Giải bài tập Phương pháp tính

[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
[Trần Đình Trọng] Page 1
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH
***Giải bài tập dựa trên:
Sách Phương pháp tính
Nguyễn Thành Long- Nguyễn Công Tâm- Lê Thị Phương Ngọc- Nguyễn Văn Ý
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -2013***
Chương 1: SAI SỐ
Câu 9: (Trần Đình Trọng)
Ta có: a = 12,3075 là số gần đúng có 2 chữ số đáng nghi:
=> 2
0,5.10a -
D £ ;
2
40,5.10
4,0626.10
12,3075
a
a
a
d
-
-D
= = =
Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
a/ x3
+3x2
-3=0 , sai số 10-3
trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2).
Giải:
Ta có: 2 2 3
2 3
log 1 log 10,97
10
b a
n
e -
- - +é ù é ù
= + = »ê ú ê úë û ë û

( ) ( )3 3 0 , 2 1 0f f- = - < - = >
3 2
2,5
2
c
- -
= =
( ) ( )2,5 0f c f b c= - > Þ =
Ta có bảng:
n an bn
2
n n
n
a b
c
+
= ( )nf c bn - an
0
-3 -2 -2,5 0,125 1
1
-3 -2,5 -2,75 -1,109375 0,5
2
-2,75 -2,5 -2,625 -0,416015625 0,25
3
-2,625 -2,5 -2,5625 -0,127197266 0,125
4
-2,5625 -2,5 -2,53125 0,003387451 0,0625
5
-2,5625 -2,53125 -2,546875 -0,060771942 0,03125
6
-2,546875 -2,53125 -2,5390625 -0,028410435 0,015625
7
-2,5390625 -2,53125 -2,53515625 -0,012441218 0,0078125
8
-2,53515625 -2,53125 -2,533203125 -0,004509337 0,00390625
9
-2,533203125 -2,53125 -2,532226563 -0,000556559 0,001953125
10
-2,532226563 -2,53125 -2,531738281 0,001416542 0,000976563
11
-2,532226563 -2,531738281 -2,531982422 0,000430265 0,000488281
Vậy: c =-2,531982422 là nghiệm của phương trình.
b/ x3
-6x+2=0 , sai số 10-3
trong khoảng phân ly nghiệm (2,3).
Giải:
Ta có: 2 2 3
1
log 1 log 11
10
b a
n
e -
-é ù é ù
= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( )-2 0 , 11 0a bf f= < = >

Ta có bảng:
n an bn
2
n n
n
a b
c
+
= ( )nf c bn - an
0
2 3 2,5 2,625 1
1
2 2,5 2,25 -0,109375 0,5
2
2,25 2,5 2,375 1,146484375 0,25
3
2,25 2,375 2,3125 0,491455078 0,125
4
2,25 2,3125 2,28125 0,184356689 0,0625
5
2,25 2,28125 2,265625 0,035831451 0,03125
6
2,25 2,265625 2,2578125 -0,037185192 0,015625
7
2,2578125 2,265625 2,26171875 -0,000780404 0,0078125
8
2,26171875 2,265625 2,263671875 0,017499618 0,00390625
9
2,26171875 2,263671875 2,262695313 0,008353134 0,001953125
10
2,26171875 2,262695313 2,262207031 0,003784747 0,000976563
11
2,26171875 2,262207031 2,261962891 0,001501767 0,000488281
Vậy: c = 2,261962891 là nghiệm của phương trình.
c/ 2x
-5x-3=0 , sai số 10-3
Giải:
Ta có: 2 2 3
1
log 1 log 11
10
b a
n
e -
-é ù é ù
= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( )-7 0 , 4 0f fa b= < = >
Ta có bảng:
n an bn
2
n n
n
a b
c
+
= ( )nf c bn - an
0
4 5 4,5 -2,872583002 1
1
4,5 5 4,75 0,158685288 0,5

2
4,5 4,75 4,625 -1,449626793 0,25
3
4,625 4,75 4,6875 -0,669654689 0,125
4
4,6875 4,75 4,71875 -0,26166235 0,0625
5
4,71875 4,75 4,734375 -0,053049715 0,03125
6
4,734375 4,75 4,7421875 0,052425374 0,015625
7
4,734375 4,7421875 4,73828125 -0,000410008 0,0078125
8
4,73828125 4,7421875 4,740234375 0,025983191 0,00390625
9
4,73828125 4,740234375 4,739257813 0,012780472 0,001953125
10
4,73828125 4,739257813 4,738769531 0,006183703 0,000976563
11
4,73828125 4,738769531 4,738525391 0,002886465 0,000488281
Vậy: c =4,738525391 là nghiệm của phương trình.
d/ x3
-x-1=0 , sai số 10-3
Giải:
Ta có: 2 2 3
1
log 1 log 11
10
b a
n
e -
-é ù é ù
= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( )-1 0 , 5 0f fa b= < = >
Ta có bảng:
n an bn
2
n n
n
a b
c
+
= ( )nf c bn - an
0
1 2 1,5 0,875 1
1
1 1,5 1,25 -0,296875 0,5
2
1,25 1,5 1,375 0,224609375 0,25
3
1,25 1,375 1,3125 -0,051513672 0,125
4
1,3125 1,375 1,34375 0,082611084 0,0625
5
1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 0,03125
6
1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 0,015625

7
1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,002127945 0,0078125
8
1,32421875 1,328125 1,326171875 0,00620883 0,00390625
9
1,32421875 1,326171875 1,325195313 0,002036651 0,001953125
10
1,32421875 1,325195313 1,324707031 -4,65949.10-3
0,000976563
11
1,324707031 1,325195313 1,324951172 0,000994791 0,000488281
Vậy: c =1,324951172 là nghiệm của phương trình.
e/ x3
-x-1=0 , sai số 10-3
trong khoảng phân ly nghiệm (-0,8;-0,5).
Giải:
Ta có: 2 2 3
0,3
log 1 log 6
10
b a
n
e -
-é ù é ù
= + = »ê ú ê úë û ë û
( ) ( )0,486 >0 , -0,75<0af f b= =
Ta có bảng:
n an bn
2
n n
n
a b
c
+
= ( )nf c bn - an
0
-0,8 -0,5 -0,65 -0,36 0,3
1
-0,8 -0,65 -0,725 -0,021 0,15
2
-0,8 -0,725 -0,7625 -0,2058 0,075
3
-0,7625 -0,725 -0,74375 -0,0866 0,02125
4
-0,74375 -0,725 -0,734375 0,0314 0,01875
5
-0,734375 -0,725 -0,7296875 4,88.10-3
9,375. 10-3
6
-0,7296875 -0,725 -0,7273375 8,18. 10-3
4,469. 10-3
Vậy: c =-0,7273375 là nghiệm của phương trình.
Bài 2:
a/ (Trần Đình Trọng)

3 2
3 3 0x x+ - = với sai số 10-4
trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
( )
3 2
2
2
3
3 3 3
3
3
x x x
x
x
x
j
= - Û = -
Þ = -
( ) ( )3
2
' 0, 3; 2 .x x
x
j
-
= ³ " Î - - Do đó là hàm tăng trên[-3,-2]
Vậy:
[ ]
8 9
3 ( 3) ( ) ( 2) 2, 3; 2
3 4
x xj j j
- -
- < = - £ £ - = < - " Î - -
Mặt khác, ta có
[ ]
( )3; 2
1
max ' 1
4x
q xj
Î - -
= = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của
phương pháp lặp.
Chọn x0=
2 3
2,5
2
- + -
= - . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( )
1
1 2
3
3, 1,2,...
n
n nx x n
x
j
-
-= = - =
Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
1 1
1
, 1,2,...
1 3
n n n n n
q
x x x x x n
q
a - -- £ - = - =
-
Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n ( )1n nx xj -=
1
1
3
n nx x --
1 -2,52 6,666.10-3
2 -2,52759 2,53. 10-3
3 -2,53042 9,433.10-3
4 -2,53147 3,5.10-4
5 -2,53186 1,3. 10-4
6 -2,53200 4,66667. 10-5

Vậy x6=2,53200 5
4,66667.10-
± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
b/ (Trần Đình Trọng)
3
6 2 0x x- + = với sai số 10-5
trong khoảng phân ly nghiệm (2,3)
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn
[2,3]
max '( ) 21
x
M f x
Î
= = . Đặt:
( )
( ) 3 3
6 2 27 2
21 21
f x x x x x
x x x
M
j
- + - + -
= - = - =
( ) ( )
2
3 27
' 0, 2;3 .
21
x
x xj
- +
= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]
Vậy:
[ ]
41 52
2 (2) ( ) (3) 3, 2;3
21 21
x xj j j< = £ £ = < " Î
Mặt khác, ta có
[ ]
( )2;3
5
max ' 1
7x
q xj
Î
Chọn x0=
2 3
2,5
2
+
= . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
( )
3
1 1
1
27 1
, 1,2,...
21
n n
n n
x x
x x nj - -
-
- + +
= = =
1 12,5 , 1,2,...
1
n n n n n
q
x x x x x n
q
a - -- £ - = - =
-
n ( )1n nx xj -= 12,5 n nx x --
1 2,517857 0,0446425
2 2,524758 0,0172525

3 2,527364 6,515. 10-3
4 2,528339 2,4375. 10-3
5 2,528702 9,075.10-4
6 2,528838 3,4.10-4
7 2,528888 1,25.10-4
8 2,528906 4,5.10-5
9 2,528914 2.10-5
10 2,528916 5.10-6
Vậy x10=2,528916 6
5.10-
c/(Trần Đình Trọng)
2 5 3 0x
x- - = với sai số 10-4
· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
( )
( ) ( )
2
2
2 5 3 log 5 3
log 5 3
x
x x x
x xj
= + Û = +
Þ = +
( )
( )
( )
5
' 0, 4;5 .
5 3 ln 2
x x
x
j = ³ " Î
+
Do đó là hàm tăng trên[4,5]
Vậy:
( ) ( ) [ ]2 24 log 23 (4) ( ) (5) log 28 5, 4;5x xj j j< = £ £ = < " Î
Mặt khác, ta có
[ ]
( )
( )4;5
5
max ' 0,3136 1
23ln 2x
q xj
Î
= = » < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn
yêu cầu của phương pháp lặp.
Chọn x0=
4 5
4,5
2
+
( ) ( )1 2log 5 3 , 1,2,...n nx x x nj -= = + =

1 10,4569 , 1,2,...
1
n n n n n
q
x x x x x n
q
a - -- £ - = - =
-
n ( )1n nx xj -= 10,4569 n nx x --
1 4,67243 0,07878
2 4,72039 0,02191
3 4,73346 5,9397.10-3
4 4,73700 1,617426.10-3
5 4,73796 4,38624.10-4
6 4,73822 1,18794.10-4
7 4,73829 3,1983.10-5
Vậy x7= 5
4,73829 3,1983.10-
d/ (Trần Đình Trọng)
3
1 0x x- - = với sai số 10-5
Chọn
[1,2]
max '( ) 11
x
M f x
Î
= = . Đặt:
( )
( ) 3 3
1 12 1
11 11
f x x x x x
x x x
M
j
- + - + +
= - = - =
( ) ( )
2
3 12
' 0, 1;2 .
11
x
x xj
- +
= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]
Vậy:
[ ]
12 17
1 (1) ( ) (2) 2, 1;2
11 11
x xj j j< = £ £ = < " Î

Mặt khác, ta có
[ ]
( )2;3
9
max ' 1
11x
q xj
Î
Chọn x0=
2 1
1,5
2
+
( )
3
1 1
1
12 1
, 1,2,...
11
n n
n n
x x
x x nj - -
-
- + +
= = =
1 11,5 , 1,2,...
1
n n n n n
q
x x x x x n
q
a - -- £ - = - =
-
n ( )1n nx xj -= 11,5 n nx x --
1
1,420455 0,119318
2
1,379947 0,060762
3
1,357418 0,0337935
4
1,344351 0,0196005
5
1,336599 0,011628
6
1,331942 0,0069855
7
1,329122 0,00423
8
1,327408 0,002571
9
1,326362 0,001569
10
1,325724 0,000957
11
1,325334 0,000585
12
1,325095 0,0003585
13
1,324949 0,000219
14
1,324859 0,000135
15
1,324804 8,25.10-5
16
1,324771 4,95.10-5
17
1,32475 3,15.10-5

18
1,324738 1,8.10-5
19
1,32473 1,2.10-5
20
1,324725 7,5.10-6
Vậy x20=1,324725 6
7,5.10-
Bài 3:
b/ (Trần Đình Trọng)
3 2
0,2 0,2 1,2 0x x x- - - = trên (1; 1,5) với sai số ε = 0,003
Ta có:
( ) ( ) ( )2
' 3 0,4 0,2; '' 6 0,4; ''' 6f x x x f x x f x= - - = - =
( )
( ) ( )
'' 0 0,4 [1;1,5],
' 1,5 5,95; ' 1 2,4
f x x
f f
= Û = Ïìï
í
= =ïî
Suy ra:
( )
( )
1 1,5
1 1,5
'( ) 0, [1;1,5]
min ' 2,4
max '' 8,6
x
x
f x x
m f x
M f x
£ £
£ £
ì
> " Îï
ï
= =í
ï
ï = =
î
Chọn x0=1,5(vì ( )(1,5) '' 0, [1;1,5]f f x x> " Î
· Đánh giá sai số
1 1
43
, 1,2,...
2 24
n n n n n
M
x x x x x n
m
a - -- £ - = - =

n ( )
( )
1
1
1'
n
n n
n
f x
x x
f x
-
-
-
= -
2
1
43
24
n n nx x -D = -
0 1,5
1 1,260504 43/24(0,239496)2
=0,429097
2 1,203173 5,234.10-3
3 1,200010 1,79249.10-5
· Đến bước k =3 thì
2
1
43
24
n n nx x -D = - =1,79249.10-5
<0,003 thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Vậy nghiệm của phương trình là:
5
1,791,2 249000 01 .1a -
= ±
3
3 5 0x x+ + = với độ chính xác 10-2
Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-1,5;-1]
Ta có:
( ) ( ) ( )2
' 3 3; '' 6 ; ''' 6f x x f x x f x= + = =
( )
( ) ( )
'' 0 0 [-1,5;-1],
' 1,5 9,45; ' 1 6
f x x
f f
= Û = Ïìï
í
- = - =ïî
Suy ra:
( )
( )
1,5 1
1,5 1
'( ) 0, [-1,5;-1]
min ' 6
max '' 9
x
x
f x x
m f x
M f x
- £ £-
- £ £-
ì
> " Îï
ï
= =í
ï
ï = =
î
· Kiểm tra (-1,5;-1) là khoảng ly nghiệm.

Ta có:
( ) ( )
( )
( ) lien tuc tren [-1,5;-1]
1,5 1 2,875 0
' 0, [-1,5;-1]
f x
f f
f x x
ì
ï
- - = - <í
ï
> " Îî
Chọn x0=-1,5(vì ( )( 1,5) '' 0, [-1,5;-1]f f x x- > " Î
1 1
3
, 1,2,...
2 4
n n n n n
M
x x x x x n
m
a - -- £ - = - =
n ( )
( )
1
1
1'
n
n n
n
f x
x x
f x
-
-
-
= -
2
1
3
4
n n nx x -D = -
0 -1,5
1 -1,205128 0,065212
2 -1,155430 1,852.10-3
2
1
3
4
n n nx x -D = - =1,852.10-3
<10-2
thoả mãn yêu cầu bài toán.
Làm tròn số: x=-1,154172≈-1,154
Sai số làm tròn
2
4
2 1,72.10'x x -
- = -
Sai số cuối cùng:
3
2 2
4 3
2 1,72.10 2,024' ' 1,85 . .102 10nx x xa - --
- £ - + D £ + »
3
2,01 2,1 4.154 0a -
- ±=
d/(Trần Đình Trọng)
4
3 1 0x x+ + = với độ chính xác 10-2

Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-0,5;-0,25]
Ta có:
( ) ( ) ( )3 2
' 4 3; '' 12 ; ''' 24f x x f x x f x x= + = =
( )
( ) ( )
'' 0 0 [-0,5;-0,25],
' 0,5 2,5; ' 0,25 2,9375
f x x
f f
= Û = Ïìï
í
- = - =ïî
Suy ra:
( )
( )
0,5 0,25
0,5 0,25
'( ) 0, [-0,5;-0,25]
min ' 2,5
max '' 0,75
x
x
f x x
m f x
M f x
- £ £-
- £ £-
ì
> " Îï
ï
= =í
ï
ï = =
î
· Kiểm tra (-0,5;-0,25) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) lien tuc tren [-0,5;-0,25]
455
0,5 0,25 0
4096
' 0, [-0,5;-0,2]
f x
f f
f x x
ì
ï
ï
- - = - <í
ï
ï > " Îî
Chọn x0=-0,25(vì ( )( 0,25) '' 0, [-0,5;-0,25]f f x x- > " Î
1 1
3
, 1,2,...
2 2
n n n n n
M
x x x x x n
m
a - -- £ - = - =
n ( )
( )
1
1
1'
n
n n
n
f x
x x
f x
-
-
-
= -
2
1
3
2
n n nx x -D = -
0 -0,25
1 -0,336436 0,011206

2 -0,337666 2,26935. 10-6
2
1
3
2
n n nx x -D = - =2,26935. 10-6
<10-2 thoả mãn yêu cầu bài
toán.
6
0,337666 2,26935.10a -
- ±=
e/(Trần Đình Trọng)
4 2
3 75 10000 0x x x- + - = với 5 chữ số chắc ( đáng tin)=> nD <0,5.10-4
· Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [5;5,5]
Ta có:
( ) ( ) ( )3 2
' 4 6 75; '' 12 6 ; ''' 24f x x x f x x x f x x= - + = - =
Suy ra:
( )
( )
5 5,5
5 5,5
'( ) 0, [5;5,5]
min ' 545
max '' 357
x
x
f x x
m f x
M f x
£ £
£ £
ì
> " Îï
ï
= =í
ï
ï = =
î
· Kiểm tra (5;5,5) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) lien tuc tren [ ]
5,5 5 0
' 0
5;5,5
5;5,[ 5, ]
f x
f f
f x x
ì
ï
<í
ï
> " Îî
Chọn x0=5(vì ( )(5) '' 0, [5;5 ],5f f x x> " Î

1 1
357
, 1,2,...
2 1090
n n n n n
M
x x x x x n
m
a - -- £ - = - =
n ( )
( )
1
1
1'
n
n n
n
f x
x x
f x
-
-
-
= -
2
1
357
1090
n n nx x -D = -
0 5
1 5,137615 7,875238.10-3
2 5,132780 3,605475. 10-8
2
1
357
1090
n n nx x -D = - =3,605475. 10-8
<0,5.10-4
thoả mãn yêu cầu
bài toán.
8
5,132780 3,605475.10a -
±=

Chương 3: GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Bài 1:
e/(Trần Đình Trọng)
A =
2 10 6 4 8
3 12 9 6 3
1 1 34 15 18
4 18 0 4 14
5 26 19 25 36
-é ù
ê ú- - -
ê ú
ê ú- -
ê ú
ê ú
ê ú-ë û
; b =
8
3
29
2
23
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
-ê ú
ê úë û
Ax = b ta có hệ phương trình:
Lập bảng tính:
HS
của x1
HS
của
x2
HS
của
x3
HS
của x4
HS của
x5
Vế phải Phương trình
2
-3
-1
4
5
10
-12
1
18
26
-6
-9
-34
0
-19
4
6
15
4
25
8
3
18
14
36
8
3
29
-2
23
E1
E2
E3
E4
E5
1
0
0
0
5
3
16
-2
-3
-18
-43
12
2
12
21
-4
4
15
30
2
4
15
41
-18
E1
(2)
=1/2 E1
E2
(2)
= E2+3E1
(2)
E3
(2)
= E3+ E1
(2)
E4
(2)
= E4- 4E1
(2)

0 1 -4 15 16 3 E5
(2)
= E5- 5E1
(2)
1
0
0
0
0
5
3
0
0
0
-3
-18
53
0
2
2
12
-43
4
11
4
15
-50
12
11
4
15
-39
-8
-2
E1
(2)
E2
(2)
E3
(3)
= E3
(2)
-16/3 E2
(2)
E4
(3)
= E4
(2)
+2/3 E2
(2)
E5
(3)
= E5
(2)
-1/3 E2
(2)
0 0 0 669/53 683/53 -50 E5
(4)
= E5
(3)
-2/53E3
(3)
0 0 0 0 5296/669 9262/669 E5
(5)
= E5
(4)
-212/669 E4
(3)
0 0 0 0 1 1,7488867 E5
(6)
= 669/9262E5
(5)
Từ bảng suy ra:
1 2 3 4 1
2 3 4 2
3 4 3
4 4
5 5
5 3 2 2,995468 298,165171
3 18 12 11,233006 66,009304
53 43 48,443353 6,794000
4 28,989641 7,247410
1,748867 1,748867
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
+ - + = - = -ì ì
ï ï- + = - =ï ïï ï
- = Û =í í
ï ï= - = -
ï ï
ï ï= =îî
Bài 2:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
10 2 3 0
10 2 5
2 3 20 10
3 2 20 15
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
- - + =ì
ï - - + =ï
í
+ + - = -ï
ï + + + =î
với sai số ε=10-3 (C)

· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:
Ta có det
10 1 2 3
1 10 1 2
39012 0
2 3 20 1
3 2 1 20
- -é ù
ê ú- -ê ú = - ¹
ê ú-
ê ú
ë û
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
· Biến đổi hệ (C) ta được:
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
0 0,1 0,2 0,3
0,1 0 0,1 0,2
0,1 0,15 0 0,05
0,15 0,1 0,05 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
= + - +ì
ï
= - + - -ï
í
= - - + +ï
ï = - - - -î
Đặt B=
0 0,1 0,2 0,3
0,1 0 0,1 0,2
0,2 0,3 0 0,1
0,3 0,2 0,1 0
-é ù
ê ú- - -ê ú
ê ú- -
ê ú
- - -ë û
c=(0;5;-10;15)T
, X=(x1,x2,x3).
Khi đó ta có hệ (C) được viết dưới dạng: X=BX+c
Ta có { }max 0,4;0,6;0,6 0,6 1B ¥
= = < vậy ma trận B thỏa điêu kiện hội
tụ.
· Chọn X(0)
=c=(0;5;-10;15)T
Tính X(1)
, X(2)
,… theo công thức
X(k+1)
=B X(k)
+c, k=0,1,2,3…
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3
, 1,2,...
1 2
k k k k k
B
X X X X X k
B
a - -¥
¥ ¥ ¥
¥
- £ - = - =
-
Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết
quả:

k x1
(k)
x2
(k)
x3
(k)
x4
(k)
( ) ( 1)3
2
k k
X X -
¥
-
0 0 5 -10 15
1 3 3 -10 15 4,5
2 2,8 3,3 -10 14,5 0,75
3 2,68 3,38 -10,1 14,5 0,18
4 2,668 3,378 -10,1 14,53 0,018
5 2,6768 3,3708 -10,094 14,534 0,0132
6 2,67848 3,37028 -10,0932 14,5322 2,7.10-3
7 2,678048 3,370728 -10,0936 14,53172 7,2.10-4
Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }(1) (1) (0) (1) (0)
1 4
3 3 3
max max 3; 2;0;0
2 2 2
4,5i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
- £ - = - = - =
{ }(2) (2) (1) (2) (1)
1 4
3 3 3
max max 0,2;0,3;0;0,5
2 2
0,7
2
5
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
- £ - = - =
=
{ }(3) (3) (2) (3) (2)
1 4
3 3 3
max max 0,12;0,0
0,
8;0,1;0
1
2 2 2
8
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
- £ - = - =
=

{ }
(4) (4) (3) (4) (3)
1 4
0,018
3 3
max
2 2
3
max 0,012;0,002;0;0,03
2
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
- £ - = -
= =
{ }
(5) (5) (4) (5) (4)
1 4
3 3
max
2 2
3
max 0,0088;0,0072;0,006;0,004 0,0132
2
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
- £ - = -
= =
{ }
(6) (6) (5) (6) (5)
1 4
3
3 3
max
2 2
3
max 0,00168;0,00052;0,0008;0,0018 2,7.10
2
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥ £ £
-
- £ - = -
= =
{ }
(7) (7) (6) (7) (6)
1 4
4
3 3
max
2 2
3
max 0,00043;0,00048;0,00036;0,00048
2
7,2.10
i i
i
X X X X Xa
¥ ¥
-
£ £
- £ - = -
= =
· k=7 thì ε= 7,2.10-4
<10-3
Làm tròn số:
(7) (7)
(7) (7)
2 2
(
1 1
3
7) (7)
(7) (7)
4
3
4
2,678048 2,678 '
3,370728 3,371 '
10,0936 10,094 '
14,53172 14,532 '
x x
x x
x x
x x
= » =
= » =
=
ì
- » - =
= » =
ï
ï
í
ï
ïî
Sai số làm tròn
( )(7) (7 5)
' 4,8.10 ;0,00027;0,00044;0,00028XX -
- =
(7) (7)
' XX
¥
- =4,4.10-4
Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:
(7) (7) (6) 43
2
7,2.10X X Xa
¥ ¥
-
- £ - =

(7) (7) (6) (
34 4
7)
3
4,4.10 7,2.1
' '
1,16.10 1,0 2.10
X X X Xa a
¥
--
¥
-
¥
-
- £ - + -
£ + = »
Vậy nghiệm của hệ:
3
3
2
3
1
3
3
4
2,678 1,
3,371 1,
10,094
2.10
2.10
2.10
2.1
1,
14,53 02 1,
a
a
a
a
-
-
-
-
= ±
±
= - ±
= ±
ì
ï
=ï
í
ï
ïî
j/(Trần Đình Trọng)
2 40 6 4 8 8
3 12 9 50 3 3
75 15 18 29
65 18 0 4 14 2
5 26 19 25 120 23
x y z u v
x y z u v
x y z u v
x y z u v
x y z u v
+ - + + =ì
ï- - - + + =ïï
- + - + + =í
ï + + + + = -
ï
+ - + + =ïî
với sai số ε=10-2
(D)
· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:
Ta có det
2 40 6 4 8
3 12 9 50 3
01 1 75 15 18
65 18 0 4 14
5 26 19 25 120
1030066610
-é ù
ê ú- - -
ê ú
ê ú = ¹- -
ê ú
ê
-
ú
ê ú-ë û
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
· Biến đổi hệ (C) ta được:
2 40 6 4 8 65 18 0 4 14
3 12 9 50 3 2 40 6 4 8
1 1 75 15 18 1 1 75 15 18
65 18 0 4 14 3 12 9 50 3
5 26 19 25 120 5 26 19 25 120
-é ù é ù
ê ú ê ú- - - -
ê ú ê ú
ê ú ê úÛ- - - -
ê ú ê ú
- - -ê ú ê ú
ê ú ê ú- -ë û ë û

0 0,28 0 0,06 0,22
0,05 0 0,15 0,1 0,2
0,01 0,01 0 0,2 0,24
0,06 0,24 0,18 0 0,06
0,04 0,22 0,16 0,21 0
x x y z u v
y x y z u v
z x y z u v
u x y z u v
v x y z u v
= - - - +ì
ï = - + + - -ïï
= - + - -í
ï = + + - -
ï
= - - + - -ïî
Đặt B=
0 0,28 0 0,06 0,22
0,05 0 0,15 0,1 0,2
0,01 0,01 0 0,2 0,24
0,06 0,24 0,18 0 0,06
0,04 0,22 0,16 0,21 0
- -é ù
ê ú- - -
ê ú
ê ú- - -
ê ú
-ê ú
ê ú- - -ë û
c=(8;3;29;-2;23)T
, X=(x,y,z,u,v).
Khi đó ta có hệ (D) được viết dưới dạng: X=BX+c
Ta có { }max 0,56;0,5;0,46;0,54;0,63 0,63 1B ¥
= = < vậy ma trận B thỏa
điều kiện hội tụ.
· Chọn X(0)
=c=(8;3;29;-2;23)T
Tính X(1)
, X(2)
,… theo công thức
X(k+1)
=B X(k)
+c, k=0,1,2,3…
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)63
, 1,2,...
1 37
k k k k k
B
X X X X X k
B
a - -¥
¥ ¥ ¥
¥
- £ - = - =
-
Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết
quả:
k x(k)
y(k)
z(k)
u(k)
v(k)
( ) ( 1)63
37
k k
X X -
¥
-
0 8 3 29 -2 23
1 2,22 11,75 34,57 5,8 -18,92 14,89865
2 0,1996 11,2785 33,4455 8,311 -21,3606 4,275486486

3 -0,35597 11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473
4 -0,50096 11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334
5 -0,54839 11,6782 34,0971 8,22556 -21,8054 0,108289073
6 -0,56061 11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441
7 -0,56368 11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412
8 -0,56473 11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241
· Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }
{ }
(1) (1) (0)
(1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0)
63
37
63
max , , , ,
37
63
max 5,78;8,75;5,57;7,8;4,08 14,8986
37
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(2) (2) (1)
(2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1)
63
37
63
max , , , ,
37
63
2,0204max ;0,4715 1,1245 2,511 2,4406 4,275486; ; ;
37
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(3) (3) (2)
(3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2)
63
37
63
max , , , ,
37
63
ma 0,55557;0,169365;0,570255;0,29036;0,52268 0,970975x
37
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =

{ }
{ }
(4) (4) (3)
(4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3)
63
37
63
max , , , ,
0,14499;0,246889;0,118195;0,14132;0,1
37
6
37179 0,4
3
max
37
20379
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(5) (5) (4)
(5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4)
63
37
63
max , , , ,
37
63
m 0,04743;0,01659;0,03684;0,063598;0,05928 0,1082ax
37
89
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(6) (6) (5)
(6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5)
63
37
63
max , , , ,
37
63
max
3
0,01221;0,002342;0,013919;0,0099;0,0137 0,0237
7
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(7) (7) (6)
(7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6)
63
37
63
max , , , ,
0,00308;0,006429;0,003143;0,003157;0,
37
6
00428 0,0
3
max
37
10947
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
{ }
{ }
(8) (8) (7)
(8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7)
63
37
63
max , , , ,
37
63
m 0,00105;0,00055;0,00112;0,001667;0,00145 0,0028ax
37
39
X X X
x x y y z z u u v v
a
¥ ¥
- £ -
= - - - - -
= =
· k=8 thì ε=0,002839241<10-2

Làm tròn số:
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
(8) (8)
'0,56473 0,56
11,68639 11,69
'34,11305 34,11
8,220483 8,22
21,8163 21,82
'
'
'
y y
u u
v
x x
z z
v
ì
ï
=
= =- » -
= »
= =»
»=
ï
ï
í
ï =
ï
ï =î - »-=
Sai số làm tròn
(8) (8)
' X X- =
(0,004729733; 0,003609616; 0,003048546; 0,000483331; 0,003737181)
(8) (8)
' XX
¥
- =0,004729733
(8) (8) (7)
0,00283
63
37
9241X X Xa
¥ ¥
- £ - =
(8) (8) (7) (8)
3
0,004729733 0,00283924
' '
7,57.1 10
X X X Xa a
¥ ¥ ¥
-
- £ - + -
£ + »
3
3
2
3
3
4
3
5
1
3
7,57.10
7,57.10
7,57
0,5
.10
6
11,69
34,11
8,22
21,82
7,57.10
7,57.10
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
ì
ï =ï
= - ±
±
= ±
ï
= ±
- ±
í
ï
ï
=ïî
Bài 3

1 2 3
1 2 3
1 2 3
8 1
5 16
4 7
x x x
x x x
x x x
- + + =ì
ï
- + =í
ï + - =î
· Kiểm tra hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
det
8 1 1
1 5 1 163 0
1 1 4
é ù
ê ú =ê ú
ê úë û
- ¹
-
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
· Đưa hệ đã cho về dạng
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 1
8 8 88 1
1 1 16
5 16
5 5 5
4 7
1 1 7
4 4 4
x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
ì
= + -ï
- = - - -ì ï
- -ï ï
- = - Û + = +í í
ï ï+ - =î - -ï
- + =ï
î
Phương pháp lặp Gauss-Seidel
( 1)
1 2 3
( 1) ( 1)
1 2 3
( 1) ( 1) ( 1)
1 2 3
1 1 1
8 8 8
1 1 16
5 5 5
1 1 7
4 4 4
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+
+ +
+ + +
ì
= + -ï
ï
- -ï
+ = +í
ï
- -ï
- + =ï
î

( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( )
1 2 3
( 1) ( 1)
2 3 1
3 2 3
3 2
( 1) ( 1) ( 1)
3 1 2
2 3 3 2
1 1 1
8 8 8
1 16 1
5 5 5
1 16 1 1 1 1
5 5 5 8 8 8
9 1 129
40 40 40
7 1 1
4 4 4
7 1 1 1 1 1 9 1 129
4 4 8 8 8 4 40 40 40
kk k
kk k
k k k
k k
k k k
k k k k
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
+
+ +
+ + +
= + -
- -
= + +
- - æ ö
= + + + -ç ÷
è ø
-
Û = - +
- -
= + -
- - -æ ö æ ö
= + + - - - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= ( ) ( )
2 3
101 1 1
40 40 40
k k
x x
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
-ï - +ïî
( )
( )
( )
( 1)
11
( 1)
2 2
( 1)
3 3
1 1 1
0
8 8 8
1 9 129
0
40 40 40
1 1 101
0
40 40 40
kk
kk
k k
xx
x x
x x
+
+
+
é ù é ù
-ê ú ê úé ùé ù ê ú ê úê úê ú - -ê ú ê úÛ = +ê úê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê úë û - -ë ûê ú ê ú
ê ú ê úë û ë û
Hay
( )( 1) kk
x Bx c+
= + (3.3)
Với
B=
( )
( )
( )
1
( )
2
3
1 1
0
8 8
1 9 1 129 101
0 , ; ; ,
40 40 8 40 40
1 1
0
40 40
k
T
kk
k
x
c x x
x
é ù
ê ú é ù
ê ú ê ú- - -æ öê ú = - = ê úç ÷ê ú è ø ê ú
ê ú ê ú- ë ûê ú
ê úë û
Ta có: { }max 0,25;0,25;0,05 0,25 1B ¥
= = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ.
Đánh giá sai số

( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)1
, 1,2,...
1 3
k k k k k
B
x x x x x k
B
a - -¥
¥ ¥ ¥
¥
- £ - = - " =
-
· Chọn x(0)
=
1 129 101
; ;
8 40 40
T
c
-æ ö
= -ç ÷
è ø
Tính x(0)
, x(1)
,… theo công thức (3.3) ta nhận được kết quả:
k x1
(k)
x2
(k)
x3
(k)
( ) ( 1)1
3
k k
X X -
¥
-
0 -0,125 3,225 -2,525
1 -0,038 3,7125 -2,669 0,1625
2 0,0055 3,7327 -2,685 0,014322917
3 0,006 3,7357 -2,685 0,001
· Giải thích cột sai số(cột cuối):
{ }
(1) (1) (0) (1) (0)
1 3
0,0875;0,4875;0,144 0,16
1 1
max
3 3
3
ma 25x
2
i i
i
x x x x xa
¥ ¥ £ £
- £ - = -
= =
{ }
(2) (2) (1) (2) (1)
1 3
1 1
max
3 3
1
ma 0,04296875;0,02015625;0,01578125
0,014322917
x
3
i i
i
x x x x xa
¥ ¥ £ £
- £ - = -
=
=
{ }
(3) (3) (2) (3) (2)
1 3
0,0005;0,003;0,0009 0,001
1 1
max
3 3
1
max
3
i i
i
x x x x xa
¥ ¥ £ £
- £ - = -
= =
· Đến bước k =3 thì ε=0,001<10-2
Làm tròn số:

(3) (3)
1
(3) (3)
2
(3) 3)
3 3
1
2
(
0,006 0,006 '
3,7357 3,736 '
2,685 2,685 '
x x
x x
x x
» =
» =
- » -
ì =
=
= =
ï
í
ï
î
Sai số làm tròn
(3) (3)
'x x- = (0;3.10-4
;0)
(3) (3)
'x x
¥
- =3.10-4
(3) (3) (2) (3) (2)
1 3
3
1
0,001
1
m
10
ax
3 3
i i
i
x x x x xa
-
¥ ¥ £ £
- £ - = -
==
(3) (3) (2) (3)
4 3 3
3.
' '
10 1,3.1010
x x x xa a
-
¥ ¥ ¥
- -
- £ - + -
£ + »
3
1
3
3
3
2
,3.10
,3.10
0,00
,3.10
6 1
3,736 1
2,685 1
a
a
a
-
-
-
= ±
±
=
ì
ï
=
-
í
±
ï
ï
ïî

CHƯƠNG 4
ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG
PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT
Bài 1: (Đào Thị Hương) Tính giá trị của một đa thức 5 4 3 2
5 ( ) 2x 3x 4xP x x x= + - + - tại
3
2
x
-
= theo sơ đồ Hoocne.
1 2 1- 3 4- 0 3
2
-
3
2
-
3
4
-
21
8
135
16
-
597
32
1 1
2
7
4
-
45
8
199
16
-
597
32
= 5 ( 3/ 2)P -
Bài 2: Tìm đa thức nội suy Lagrange theo bảng số:
a/ (Hồ Thị My)
x 1 2 3 4 7
y 17 17,5 76 210,5 1970
4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4 0 2 3 4
0 1
0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 2 1 3 1 4
0 1 3 4
2 3
2 0 2 1 2 3 2 4
( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( ) (
( )( )( )( )
P x y L y L y L y L y L
x x x x x x x x x x x x x x x x
y y
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
y y
x x x x x x x x
= + + + +
- - - - - - - -
= +
- - - - - - - -
- - - -
+ +
- - - -
0 1 2 4
3 0 3 1 3 2 3 4
0 1 2 3
4
4 0 4 1 4 2 4 3
)( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
y
x x x x x x x x
- - - -
- - - -
- - - -
+
- - - -

( 2)( 3)( 4)( 7) ( 1)( 3)( 4)( 7)
17 17,5
36 10
( 1)( 2)( 4)( 7) ( 1)( 2)( 3)( 7)
76 210,5
36 18
( 1)( 2)( 3)( 4)
1970
360
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
- - - - - - - -
= +
-
- - - - - - - -
+ +
-
- - - -
+
4 3 217
( 16x 89x 206x+168)
36
x= - + - 4 3 217,5
( 15x 75x 145x 84)
10
x- - + - +
4 3 295
( 14x 63x 106x 56)
10
x+ - + - + 4 3 2421
( 13x 53x 83x 42)
36
x- - + - +
4 3 2197
( 10x 35x 50x 24)
36
x+ - + - +
4 3 2
2x 17x 81x 153,5x 104,5= - + - +
Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 4 3 2
4 ( ) 2x 17x 81x 153,5x 104,5P x = - + - +
b/ (Hồ Thị My)
x 0 2 3 5
y 1 3 2 5
3 0 0 1 1 2 2 3 3
1 2 3 0 2 3
0 1
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3
0 1 3 0 1 2
2 3
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
P x y L y L y L y L
x x x x x x x x x x x x
y y
y y
= + + +
- - - - - -
= +
- - - - - -
- - - - - -
+ +
- - - - - -
( 2)( 3)( 5)
1
30
x x x- - -
=
-
( 3)( 5)
3
6
x x x- -
+
( 2)( 5)
2
6
x x x- -
+
-
( 2)( 3)
5
30
x x x- -
+
3 21
( 10x 31x 30)
30
x
-
= - + - 3 21
( 8x 15x)
2
x+ - + 3 21
( 7x 10x)
3
x- - + 3 21
( 5x 6x)
6
x+ - +
3 213 62
0,3x 1
6 15
x x= - + +
Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 3 2
3
13 62
( ) 0,3x 1
6 15
P x x x= - + +
c/ (Hồ Thị My)

x 321,0 322,8 324,2 325,0
y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188
3 0 0 1 1 2 2 3 3
1 2 3 0 2 3
0 1
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3
0 1 3 0 1 2
2 3
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
P x y L y L y L y L
y y
y y
= + + +
- - - - - -
= +
- - - - - -
- - - - - -
+ +
- - - - - -
( 322,8)( 324,2)( 325,0)
2,50651
23,04
x x x- - -
=
-
( 321,0)( 324,2)( 325,0)
2,50893
5,544
x x x- - -
+
( 321,0)( 322,8)( 325,0)
2,51081
3,584
x x x- - -
+
-
( 321,0)( 322,8)( 324,2)
2,51188
7,04
x x x- - -
+
5 3 4 2
1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74x x- -
= - ´ + ´ + -
Vậy đa thức nội suy Lagrange là:
5 3 4 2
3( ) 1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74P x x x- -
= - ´ + ´ + -
d/ (Lê Trần Mười)
x 2 4 6 8 10
y 0 3 5 4 1
L0 =
( 4)( 6)( 8)( 10) ( 4)( 6)( 8)( 10)
(2 4)(2 6)(2 8)(2 10) 384
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
L1 =
( 2)( 6)( 8)( 10) ( 2)( 6)( 8)( 10)
(4 2)(4 6)(4 8)(4 10) 96
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - - -
L2 =
( 2)( 4)( 8)( 10) ( 2)( 4)( 8)( 10)
(6 2)(6 4)(6 8)(6 10) 64
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
L3 =
( 2)( 4)( 6)( 10) ( 2)( 4)( 6)( 10)
(8 2)(8 4)(8 6)(8 10) 96
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - - -
L4 =
( 2)( 4)( 6)( 8) ( 2)( 4)( 6)( 8)
(10 2)(10 4)(10 6)(10 8) 384
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)

= 4 3 21 19 47 65
1
128 96 32 24
x x x x- + - +
e/ (Lê Trần Mười)
x 1 2 3 4 5
y 1 2 3 2 1
Lo =
(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 2)( 3)( 4)( 5)
(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 24
x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
L1 =
( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5)
(2 1)(2 3)(2 4)(2 5) 6
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - - -
L2 =
( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5)
(3 1)(3 2)(3 4)(3 5) 4
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
L3 =
( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5)
(4 1)(4 2)(4 3)(4 5) 6
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - - -
L4 =
( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)
(5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 24
x x x x x x x x- - - - - - - -
=
- - - -
P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)
=
4 2
43 156 108
6
x x x- + +
=
4 2
43
26 18
6 6
x x
x- + +
Bài 3: (Lê Trần Mười) Cho bảng số liệu của hàm số y = f(x)
x 11 13 14 18 19 21
y 1342 2210 2758 5850 6878 9282
a/ Tìm đa thức nội suy Newton
n x y Tỉ sp cấp
1
Tỉ sp cấp
2
Tỉ sp cấp
3
Tỉ sp
cấp4
Tỉ sp cấp
5
0 11 1342
434
1 13 2210 50
548 -1

2 14 2758 45 2
8
773 1
-
1
40
3 18 5850 51 0
1028 1
4 19 6878 58
1202
5 21 9282
P5= 1342 + (x-11)434 + (x-11)(x-13)50 + (x-11)(x-13)(x-14)(-1)
+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18)
2
8
+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18)(x-19)
1
40
P5=
5 4 3 2
56 2827 47871 393932 1273844
40
x x x x x- + - + - +
b/ Tính f(13,5)
f (13,5) =P5(13,5)
=
5 4 3 2
13,5 56(13,5) 2827(13,5) 47871(13,5) 393932(13,5) 1273844
40
- + - + - +
= -21589,70547
Bài 4: (Trần Đình Trọng) Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)
x 0 2 3 5 6
y 1 3 2 5 6
a/ Dùng đa thức nội suy tiến bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân
đến cấp 4.
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4
0 0 1

1
1 2 3 -2/3
-1 3/10
2 3 2 5/6 -11/120
3/2 -1/4
3 5 5 -1/6
1
4 6 6
Khi đó:
P4(x)= 1+(x-0).1 +(x-0)(x-2).(-2/3)
+(x-0)(x-2)(x-3).(3/10)
+ (x-0)(x-2)(x-3)(x-5).(-11/120)
( )4 3 211 73 601 413
( ) ( ) 1
120 60 120 60
x x x x= - + - + +
b/ Tính f(1,25)
f(1,25)= P4(1,25)
( )4 3 211 73 601 413
(1,25) 1,25 (1,25) .1,25 1
120 60 120 60
= - + - + +
=3,9311525
c/ Dùng đa thức nội suy lùi bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân
đến cấp 4.
0 0 1

1
1 2 3 -2/3
-1 -3/10
2 3 2 5/6 -11/120
3/2 -1/4
3 5 5 -1/6
1
4 6 6
Khi đó:
P4(x)= 6+(x-6).1 +(x-6)(x-5).(-1/6)
+(x-6)(x-5)(x-3).(-1/4)
+ (x-6)(x-5)(x-3)(x-2).(-11/120)
( )4 3 211 73 601 413
( ) ( ) 1
120 60 120 60
x x x x= - + - + +
(5,25) 5,5124fÞ =
Bài 5: (Phan Thị Kim Ngân)
i xi yi ∆ ∆ ∆ ∆
0 1,9 11,18
3,6
1 2,1 14,78 -0,49
3,11 3,08
2 2,3 17,89 2,52 -6,19
5,63 -3,11
3 2,5 23,52 -0,5
5,04
4 2,7 28,56
i xi yi ∇ ∇ ∇ ∇

Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,9:
P4(1,9 + 0,2t) = 11,18 + 3,6t –
, ( )
!
+
, ( )( )
!
–
, ( )( )( )
!
Tính gần đúng f(2,0).
Ta có: x = 2,0 = 1,9 + 0,2t ó t = 0,5.
Vậy
P4(2,0) = 11,18 + 3,6.0,5 –
, . . ( . )
!
+
, . , ( , )( , )
!
–
, . , ( , )( , )( , )
!
Ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x0 = 2,7:
P4(2,7 + 0,2t) = 28,56 + 5,04t –
. ( )
!
–
, ( )( )
!
–
, ( )( )( )
!
Bài 6: (Vương Bảo Nhi)
x 150
200
250
300
y = sin(x) 0,2588
19
0,342020 0,422618 0,500000
n x y Tỉ SP cấp
1
Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3
0 15 0,258819
0,0166402
1 20 0,342020 5,206.10-5
0,0161196 8,1733.10-7
2 25 0,422618 6,432.10-5
0,0154764
3 30 0,500000
P3(x) = 0,258819 + (x – 15). 0,0166402 + (x –15)(x – 20). 5,206.10–5
+ (x –15)(x – 20)(x
– 25).
8,1733.10-7
= 8,1733.10–7
x3
+ 3,0202.10–6
x2
+ 0,0158 x + 0,018704
P3(x) = 0,5 + (x – 30). 0,0154764 + (x –30)(x – 25). 6,432.10-5
+ (x –30)(x – 25)(x – 20).
8,1733.10-7

= 8,1733.10-7
x3
+ 3,02625.10–6
x2
+ 0,0134508 x + 0,071688
Bài 7: (Vương Bảo Nhi)
a)
x 1 2 3 4
y 1 5 14 30
n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3
0 1 1
4
1 2 5 5/2
9 1/3
2 3 14 7/2
16
3 4 30
Đặt n= 1+ t
P3 (1+ t) = 1 + 4t +
5
( 1)
2
2!
t t -
+
1
( 1)( 2)
3
3!
t t t- -
Sn= P3 (n) = 1 + 4(n –1) +
5
( 1)( 2)
2
2!
n n- -
+
1
( 1)( 2)( 3)
3
3!
n n n- - -
= 1 + 4(n –1) +
( 1)( 2)
2!
n n- -
1
( 3)
5 3
2 3
n
é ù
-ê ú
+ê ú
ê ú
ë û
= 1 + 4n – 4 +
( 1)( 2)
2!
n n- - 5 1
( 3)
2 9
n
é ù
+ -ê úë û
= 4n – 3 +
( 1)( 2)
2!
n n- - 13 1
6 9
n
é ù
+ê úë û
b)
x 1 2 3 4 5

y 1 9 36 100 225
0 1 1
8
1 2 9 9,5
27 3
2 3 36 18,5 0,25
64 4
3 4 100 30,5
125
4 5 225
Đặt n= 1+ t
P4 (1 + t) = 1 + 8t +
9,5 ( 1)
2!
t t -
+
3 ( 1)( 2)
3!
t t t- -
+
0,25 ( 1)( 2)( 3)
4!
t t t t- - -
Sn= P4 (n) = 1+ 8(n – 1) +
9,5( 1)( 2)
2!
n n- -
+
3( 1)( 2)( 3)
3!
n n n- - -
+
0,25( 1)( 2)( 3)( 4)
4!
n n n n- - - -
= 1+ 8n – 8 +
( 1)( 2)
2!
n n- - 3( 3) 0,25( 3)( 4)
9,5
3 12
n n n- - -é ù
+ +ê úë û
= 8n – 7 +
( 1)( 2)
2!
n n- - ( 3)( 4)
6,5
48
n n
n
- -é ù
+ +ê úë û
Bài 8: (Đào Thị Hương)
Dùng đa thức nội suy Newton bậc 6 với 7 nút nội suy. Ta lập được bảng các sai phân:
i xi yi yD 2
yD 3
yD 4
yD 5
yD 6
yD
0 1,4 0,9523
0,0138
1 1,5 0,9661 -0,0036

0,0102 0,0009
2 1,6 0,9763 -0,0027 -0,0004
0,0075 0,0005 0,0005
3 1,7 0,9838 -0,0022 0,0001 0,0895
0,0053 0,0006 0,09
4 1,8 0,9891 -0,0016 0,0901
0,0037 0,0907
5 1,9 0,9928 0,0891
-0,0928
6 2,0 0,9
Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,4 với h = 0,1
6
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
(1,4 0,1 ) 0,9523 0,0138 0,0036 0,0009 0,0004
2 3! 4!
( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)
0,0005 0,0895
5! 6!
t t t t t t t t t
P t t
t t t t t t t t t t t
- - - - - -
+ = + - + -
- - - - - - - - -
+ +
(1,43) (1,4 0,3.0,1) 0,9548188379Pf » + =
Bài 9:
a/ (Trần Đình Trọng)
Ta có:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
y 1,4 1,3 1,4 1,1 1,3 1,8 1,6 2,3
Ta lập bảng từ số liệu trên:
i ix iy 2
ix i ix y
1 0 1,4 0 0
2 1 1,3 1 1,3
3 2 1,4 4 2,8
4 3 1,1 9 3,3
5 4 1,3 16 5,2

6 5 1,8 25 9
7 6 1,6 36 9,6
8 7 2,3 49 16,1
1
n
i =
å
28 12,2 140 256,8
Sau đó ta giải hệ:
{28 8 12,2
140 28 47,3
b a
b a
+ =
+ =
Ta được: a = 1,14166666667 ≈ 1,14
b = 0,1095238095 ≈0,11
Vậy ta có: y = 1,14 + 0,11x
b) (Phan Thị Kim Ngân)
f(x) = a + bx + cx2
Ta lập bảng số liệu:
i xi yi xi
2
xi
3
xi
4
xiyi xi
2
yi
1 0 1,4 0 0 0 0 0
2 1 1,3 1 1 1 1,3 1,3
3 2 1,4 4 8 16 2,8 5,6
4 3 1,1 9 27 81 3,3 9,9
5 4 1,3 16 64 256 5,2 20,8
6 5 1,8 25 125 625 9 45
7 6 1,6 36 216 1296 9,6 57,6
8 7 2,3 48 343 2401 16,1 112,7
28 12,2 140 784 4676 47,3 252,9
Ta có hệ phương trình:

4676 + 784 + 140 = 252,9
784 + 140 + 28 = 47,3
140 + 12,2 + 8 = 12,2
ó
= 1,441667
= −0,190476
= 0,042857
Vậy: y = 1,441667x2
– 0,190476x + 0,042857
c/ (Đào Thị Hương)
Lấy logarit Neper ln ( ) ln xf x a b= +
ta có bảng:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)
ln 0,1715331416
0,06469348092
a
b
=ì
í
=î
→
1,187123485
0,06469348092
a
b
=ì
í
=î
Vậy 0,06469348092
( ) 1,187123485f x e= ´
d/ (Đào Thị Hương)
( ) ln( x)f x a b= +
( )
xf x
e a b= +
ta có bảng sau:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
( )f x
e 1,4
e 1,3
e 1,4
e 1,1
e 1,3
e 1,8
e 1,6
e 2,3
e
2,657918149
0,648809873
a
b
=ì
í
=î
Vậy ( ) ln(2,657918149 0,648809873 )f x x= + ´
e/ (Đào Thị Hương)
x
( ) a b
f x e +
=
ln ( ) xf x a b= +

ta có bảng sau:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)
0,1715331416
0,06469348092
a
b
=ì
í
=î
Vậy 0,1715331416 0,06469348092
( ) x
f x e + ´
=
Bài 10: (Phan Thị Kim Ngân)
a) Hàm thực nghiệm y=a + bx2
Ta lập bảng số tư liệu trên
i xi yi xi
2
xi3
xi
4
xiyi xi
2
yi
1 1 0,1 1 1 1 0,1 0,1
2 2 3 4 8 16 6 12
3 3 8,1 9 27 81 24,3 72,9
4 4 14,9 16 64 256 59,3 238,4
5 5 23,9 25 125 625 119,5 597,5
1
n
i=
å
15 50 55 225 979 205,5 920,9
Ta có hệ phương trình:
3
2
979a 225 55 920,9
225a 55 15 209,5
55a 15 5 50
0,992857 1
7,142857.10 0
0,9 1
1
b c
b c
b c
a
b
c
y x
-
+ + =ì
ï
+ + =í
ï + + =î
= »ì
ï
Þ = - »í
ï = - » -î
Þ = -
b)
2
( ) x
c
y dx
x
y x c d
= +
Û = +
Đặt f(x)=yx

theo kết quả câu a
Ta có
( ) 2
2
1
1 1
( ) 1
f x yx x
x
y x
x x
f x
y x
x x
= = -
-
Û = = - +
Þ = = - +
Bài 11: (Đào Thị Hương) Cho bảng số liệu
x 2 4 6 8 10 12
y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05
a/
3
( x)y a b= +
2
3
xy a b= +
ta có bảng sau;
x 2 4 6 8 10 12
2
3
y
3,769994535 4,07960524 4,3906136 4,70019767 4,94908462 5,25603237
3,489433334
0,1478315912
a
b
=ì
í
=î
Vậy 3
(3,489433534 0,1478315912 )y x= + ´
b/
2
ln( x )y c d= +
2
xy
e c d= +

Ta có bảng sau:
x 2 4 6 8 10 12
y
e 1510,20397 3789,5403 9897,129 26635,4949 60475,88684 171099,408
Ta lập bảng số từ bảng số liệu trên:
i xi yi
2
ix 3
ix 4
ix i ix y 2
i ix y
1 2 1510,20397 4 8 16 3020,40794 6040,81588
2 4 3789,5403 16 64 256 15158,1612 60632,6448
3 6 9897,129 36 216 1296 59382,774 356296,644
4 8 26635,4949 64 512 4096 213083,9592 1704671,674
5 10 60475,88684 100 1000 10000 604758,8684 6047588,684
6 12 171099,408 144 1728 20736 2053192,896 24638314,75
1
n
i=å 42 273407,7 364 3528 36400 2948597 32813545
Giải hệ phương trình:
36400d +364c = 32813545 d = 1133,3683
364d +6c = 273407,7 c = -23189,7246
Vậy ta có: y
e = -23189,7246 + 1133,3683 x2
→ y = ln(-23189,7246 + 1133,3683 x2
)
Bài 12: (Trần Thị Kim Ngân)
( )( ) ( )
1 2
1
( 1) ln( 1)
1 ln( 1)
( ) ( )
( ) ( 1) e (1) (2)
x
x
x x
y a e b x
f a e f b x y
f x f x y
f x a e a a f f
= - + +
Û - + + =
Û + =
= - = - = -
1
1
1
(1) e
ln ln
( 1)
x
y f a
y a x
y A X
B
= =
Û = +
Û = +
=
Điều Kiện: ln(y) với y¹ 0
Suy ra

x 1 3 2
y ln3,8 ln23,2 ln9,7
Ta có hệ:
( )
1
1
1
2
14a 6 15,31
6a 3 6,75
0,903 1
1
0,44
2
1
2
1
2
1 1 1
( ) 1
2 2 2
( ) ln( 1)
x
x x
b
b
a
b
y X
y e
f x e e
f x x
+ =ì
í
+ =î
= »ì
ï
Þ í
= »ïî
Þ = +
Û =
Þ = - = -
Þ = +
-------------------------------------------------THE END----------------------------------------------

Giải bài tập Phương pháp tính

More Related Content

What's hot

Similar to Giải bài tập Phương pháp tính

More from dinhtrongtran39

Recently uploaded

Giải bài tập Phương pháp tính