1. OKUL: İstanbul Atatürk Anadolu Lisesi
PROJE ADI: SONSUZA KADAR PİSAGOR
PROJE RAPORU
Proje Adı: SONSUZA KADAR PİSAGOR
Projenin Amacı:
Bilinen bazı özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi
bağıntı olarak ifade etmek ve bulunan bağıntılarla da yeni özel dik üçgenlere
ulaşmak.
Giriş:
3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 gibi üçgenler geometri derslerinde ve
kitaplarında çok sık karşımıza çıkmaktadır. Bu dik üçgenlerle soru hazılanırken, işlem
kolaylığının yanısıra zaman kazancı da hedeflenmektedir. Bu üçgenlerdeki kenar
uzunlukları arasındaki ilişki nedir sorusunun zihnimizde oluşturduğu merak,
hazırladığımız projenin tohumlarının atılmasına sebep oldu. Dik kenarların ve
hipotenüsün uzunlukları arasındaki ilişkiler ile bunların ortak özellikleri incelenerek
proje oluşturuldu. Örneğin “8, 15, 17 üçgeni (3+5), (3.5), (3.5+2) olarak ifade
edilebilir mi?” ve “Bu bağıntı kullanılan özel üçgenin herhangi bir katı alındığı zaman
da sağlanır mı?” sorusunun cevabı aranmıştır. Ayrıca bu sorulara ek olarak “Diğer
özel dik üçgenlerde aynı bağıntı kullanılabilir mi, yeni özel dik üçgenleri bu yolla elde
etmek mümkün müdür?” sorularını da beraberinde getirmiştir.
Yöntem:
Yöntemimizin aşamaları aşağıdaki gibidir.
1. aşama: Bir dik üçgen çizilir.
2. aşama: Bilinen dik üçgenlerden herhangi birisinin dik kenar uzunlukları ve
hipotenüsü iki sayının toplamı veya birinin k katı ile diğerinin toplamı şeklinde yazılır.
Seçilmiş olan özel dik üçgenin katlarında da bu sayısal ilişkinin varolup olmadığı
kontrol edilir.
3. aşama: Ortaya çıkan bu uzunlukların pisagor teoremi yardımıyla eşitliğinin
sağlanıp sağlanmadığına bakılır.
4. aşama: Eğer eşitlik sağlanıyorsa farklı sayılarla eşitliğin sağlaması yapılmaya
devam edilir. Daha sonra dik kenar uzunlukları bir sayının x katı ve başka bir pozitif
tamsayının toplamı ile ifade edilirek genellenmiş olur. Eğer eşitlik sağlanmadıysa bu
işlem kenar uzunlukları farklı şekillerde ilişkilendirilerek ifade edilmeye çalışılırak ilk
aşamaya dönülür.
1

2. a, b, m, n, x Z  ve uN
1.durum:
Özel durum:
Ön koşul :
a  2.b  b  1
İspat :
 a  2.b    a.b  2    a.b  2 
2 2 2
a 2  4.a.b  4b 2  a 2b 2  4.a.b  4  a 2b 2  4a.b  4
a 2  4.a.b  4b 2  0
 a  2.b   0
2
 a  2.b   0
a  2.b
Genel durum:
Ön koşul :
a  x.b  b  1
İspat :
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
2 2 2
a 2  2.a.b.x  x 2b 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2
a 2  2.a.b.x  b 2 x 2  0
 a  x.b   0
2
 a  x.b   0
a  x.b
2

3. Örnekler:
Özel durum:
b=3 alınırsa a=2b a=6 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
2 2 2
6  2.32  6.3  22  6.3  22
122  162  202
400  20
2
(3k,4k,5k k=3)
b=2 alınırsa a=2.b a=4 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
2 2 2
 4  2.2   4.2  2   4.2  2 
2 2 2
8   6  10
2 2 2
400  20
2
(3k,4k,5k k=2)
b=5 alınırsa a=2.b a=10 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
2 2 2
10  2.5  10.5  2  10.5  2 
2 2 2
 20   48   52
2 2 2
2704   52 
2
(5k,12k,13k k=4)
Genel Durum:
b=2 ve x=1 alınırsa a=x.b a=2 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
2 2 2
2  1.22  2.2  12  2.2  12
42  32  52
25  5
2
(3k,4k,5k k=1)
b=5 ve x=3 alınırsa a=x.b a=15 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
2 2 2
15  3.52  15.5  32  15.5  32
302  722  782
900  30
2
(5k,12k,13k k=6)
3

4. b=7 ve x=1 alınırsa a=x.b a=7 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
2 2 2
 7  1.7    7.7 1   7.7  1
2 2 2
14   48   50
2 2 2
2500   50 
2
(7k,24k,25k k=2)
b=4 ve x=2 alınırsa a=x.b a=8 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
2 2 2
8  2.4  8.4  2  8.4  2 
2 2 2
16   30   34
2 2 2
1156   34 
2
(8k,15k,17k k=2)
2.durum:
Özel durum:
Ön koşul :
a  3.b
İspat :
 a  3.b    3.a.b  1   3.a.b  1
2 2 2
a 2  6.a.b  9b 2  9a 2b 2  6.a.b  1  9a 2b 2  6.a.b  1
a 2  6.a.b  9b 2  0
 a  3.b   0
2
 a  3.b   0
a  3.b
4

5. Genel durum:
Ön koşul :
a  x.b
İspat :
 a  x.b    x.a.b  1   x.a.b  1
2 2 2
a 2  2.a.b.x  x 2b 2  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1
a 2  2.a.b.x  x 2b 2  0
 a  x.b   0
2
 a  x.b   0
a  x.b
En genel durum:
Ön koşul :
m.a  n.b
İspat :
 m.a  n.b    m.a.n.b  1   m.a.n.b  1
2 2 2
m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1
m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  0
 m.a  n.b   0
2
 m.a  n.b   0
m.a  n.b
5

6. Örnekler:
Özel durum:
b=1 alınırsa a=3.b a=3 olur
 a  3.b    3.a.b 1  3.a.b  1
2 2 2
3  3.12  3.3.1  12  3.3.1  12
62  82  102
100  10
2
(3k,4k,5k k=2)
Genel Durum:
b=4 ve x=1 alınırsa a=x.b a=4 olur
 a  x.b    x.a.b 1   x.a.b  1
2 2 2
4  1.42  1.4.4  12  1.4.4  12
82  152  172
289  17 
2
(8k,15k,17k k=1)
En genel durum:
b=1 , n=6 , m=3 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=2 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
2 2 2
3.2  6.12  3.2.6.1  12  3.2.6.1  12
122  352  372
1369  37
2
(12k,35k,37k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)
b=3 , n=3 , m=9 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
2 2 2
 9.1  3.3   9.1.3.3 1   9.1.3.3  1
2 2 2
18  80  82
2 2 2
6724  82 
2
(9k,40k,41k k=2 yeni elde edilmiş özel üçgen)
b=2 , n=2 , m=4 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
2 2 2
 4.1  2.2   4.1.2.2 1   4.1.2.2  1
2 2 2
8  15  17 
2 2 2
289  17 
2
(8k,15k,17k k=1 )
6

7. 3.durum:
Özel durum:
Ön koşul :
a b 1
İspat :
a  b  (a 2  b 2  1) 2   a 2  b 2 
2 2
a 2  2.a.b  b 2  a 4  b 4  1  2  a 2b 2  a 2  b 2   a 4  2a 2b 2  b 4
a 2  2.a.b  b 2  1
  a  b   1
2
a  b 1
2
a b 1
a  b olduğu için a b 1
Genel durum:
Ön koşul :
a  b  x ( x tek sayı)
u  (u  1)  x 2  2 u  1  x 2
..
İspat :
 a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
2 2 2
a 2  2.a.b  b 2  4a 2b 2  4.a.b.u  u 2  4a 2b 2  u 2  1  2  2.a.b  u  2.a.b.u 
a 2  2.a.b  b 2  4.a.b  2.u  1
a 2  2.a.b  b 2  2.u  1
a  b  2.u  1
2
x 2  2.u  1
7

8. Örnekler
Özel Durum:
a=5 ve b=4 olsun a  b  1
 a  b  (a 2  b2  1)2   a 2  b2 
2 2
5  4  (52  42  1) 2   52  42 
2 2
9  (40) 2   41
2 2
1681   41
2
(9k,40k,41k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)
a=6 ve b=5 olsun a  b  1
 a  b  (a 2  b2  1)2   a 2  b2 
2 2
 6  5  (62  52  1) 2   62  52 
2 2
11  (60) 2   61
2 2
3721   61
2
(11k,60k,61k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)
Genel Durum:
a  b  x ( x tek sayı) a=3 ve b=2 olsun 3-2=1=x(tek sayı)
2u  1  x 2
2u+1= 1 2
u=0 olur.
 a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
2 2 2
3  22  2.3.2  02  2.3.2  0  12
52  122  132
169  13
2
(5k,12k,13k k=1)
a  b  x ( x tek sayı) a=5 ve b=2 olsun 5-2=3=x(tek sayı)
2u  1  x 2 2u+1= 3 2 u=4 olur.
 a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
2 2 2
5  22  2.5.2  42  2.5.2  4  12
72  242  252
625  25
2
(7k,24k,25k k=1)
a  b  x ( x tek sayı) a=8 ve b=5 olsun 8-5=3=x(tek sayı)
2u  1  x 2
2u+1= 3 2
u=4 olur.
 a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
2 2 2
8  5   2.8.5  4   2.8.5  4  1
2 2 2
13  84  85
2 2 2
7225  85
2
(13k,84k,85k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)
8

9. 4.durum:
Ön koşul :
a  b  x ( x çift sayı)
x2 x2
u  (u  2)   2u  2   x 2  4.u  4
2 2
İspat :
 a  b    a.b  u    a.b  u  2 
2 2 2
a 2  2.a.b  b 2  a 2b 2  2.a.b.u  u 2  a 2b 2  u 2  4  2  a.b.u  2.u  2.a.b 
a 2  2.a.b  b 2  4.u  4
a  b  4.u  4
2
x 2  4.u  4
Örnekler
a  b  x ( x çift sayı) a=5 ve b=3 olsun 5-3=2=x(çift sayı)
x2  4u  4 2 2  4u  4 u=0 olur
 a  b    a.b  u    a.b  u  2
2 2 2
5  32  5.3  02  5.3  0  22
82  152  172
289  17 
2
(8k,15k,17k k=1)
a  b  x ( x çift sayı) a=8 ve b=2 olsun 8-2=6=x(çift sayı)
x2  4u  4 6 2  4u  4 u=8 olur
 a  b    a.b  u    a.b  u  2
2 2 2
8  22  8.2  82  8.2  8  22
102  242  262
676  26
2
(5k,12k,13k k=2)
a  b  x ( x çift sayı) a=3 ve b=1 olsun 3-1=2=x(çift sayı)
x2  4u  4 22  4u  4 u=0 olur
 a  b    a.b  u    a.b  u  2
2 2 2
 3  1   3.1  0  3.1  0  2 
2 2 2
 4    3   5 
2 2 2
25   5
2
(3k,4k,5k k=1)
9

10. a  b  x ( x çift sayı) a=10 ve b=6 olsun 10-6=4=x(çift sayı)
x2  4u  4 42  4u  4 u=3 olur
 a  b    a.b  u    a.b  u  2
2 2 2
10  6  10.6  3  10.6  3  2
2 2 2
16   63   65
2 2 2
4225   65
2
(16k,63k,65k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)
Sonuçlar ve Tartışma:
Bulduğumuz bağıntılarda 3. ve 4. durumda verilen eşitlikler önceki bütün durumları
kapsamaktadır. Kenarlararası ilişkileri en genel biçimde ifade etmemiz gerekirse bu
iki eşitliğin daha kapsamlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek basamaklı sayıların değişik
kombinasyonları kullanılarak daha fazla sayıda özel dik üçgen elde edilebilir. Fakat
sayılar büyükçe çıkan sonuçlar da büyük olduğundan bu oranların akılda kalması
zorlaşmaktadır. Ancak daha nitelikli sorular (yarışma soruları gibi) hazırlanacağı
zaman dik üçgenin kenar uzunlukları Z  olması isteniyorsa bu eşitliklerden
faydalanılabilir.
Projemizi inceleyerek bize görüşlerini bildiren Haliç Üniversitesi Öğretim Görevlisi
A. Burcu Özyurt Serim’e, Mimar Sinan Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Sezai Makas’a ve projemizi hazırlarken bize desteklerinden dolayı
okulumuz öğretmenlerine, Okul Müdürümüz Nureddin Turan’a, Müdür Başyardımcısı
İzzet Başyurt’ a, okulumuz 11 Fen/A sınıfına teşekkürlerimizi sunarız.
Kaynaklar:
GÜRLÜ, Ö., (2005), Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, İSTANBUL
MEB KOMİSYONU, (2006), Lise Geometri 1, Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları,
ANKARA
KAPLAN E., (2008), Ortaöğretim Matematik 10 Ders Kitabı, Paşa Yayıncılık,
ANKARA
10