SAYILAR

1. •IRRASYONEL SAYILAR
•REEL SAYILAR
•MUTLAK DEĞER
•EŞİTSİZLİKLER

2. REEL SAYILAR
• SAYI: Bir çokluk belirtecek şekilde, rakamların bir
araya getirilmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
• Örneğin: 10, 345,17 ,-33,95,√7, ∏.......... İfadeleri
birer sayıdır. 18
• Bu sayılar rakamlar yardımıyla ifade edilir.
• Bu rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9’ dur.
∀ ⇒ Her rakam bir sayıdır.
• Ör: 8 bir sayıdır, 0 bir sayıdır.
∀ ⇒ Ancak her sayı bir rakam değildir.
• Ör: 11 bir rakam değildir. √29 bir rakam değil,
sayıdır.

3. Biz sayıları 5 sınıfta toplayabiliriz
1. DOĞAL SAYILAR
• N={0,1,2,3,.....} kümesinin her bir elemanına bir
“doğal sayı” denir.
• Doğal sayılar “N” ile ifade edilir.
2. SAYMA SAYILARI
• N+={1,2,3,.....} kümesinin elemanlarına “sayma
sayıları” veya “pozitif doğal sayılar” denir.
3. TAM SAYILAR
• Z={.......-2,-1,0,1,2,...} kümesinin her bir elemanına “
tam sayı” denir.
Burada Z+= {1,2,3,4.....} kümesinin elemanlarına
“pozitif tam sayılar kümesi” denir.

4. • Ayrıca burada sayma sayılarının birer pozitif tam sayı
olduğu görülüyor.
• Z- = {........,-3,-2,-1} kümesine “negatif tam sayılar
kümesi” denir.
• Sıfır tam sayısı pozitif veya negatif değildir.
• Bu durumda;
Z=Z-∪{0} ∪Z+ dir.

5. 4. RASYONEL SAYILAR
• a ve b birer tam sayı ve b≠0 olmak üzere “a/b”
şeklinde yazılabilen sayılara “rasyonel sayılar” denir.
• Rasyonel sayılar kümesi:
Q= {a/b: a,b∈Z ve b≠0} dır.
Ör: 1/5, 23/19, -7/3 , 4/1, 0/5 sayıları rasyonel sayılardır.
⇒ Bütün tam sayılar “1” ile bölünebilir. Bunun için
bütün tam sayılar birer rasyonel sayıdır.

6. 5. “İrrasyonel sayılar”
• Rasyonel (doğal sayı, sayma sayısı veya tam sayı)
olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Bir başka
ifade ile virgülden sonrası kesin olarak bilinemeyen,
sonsuza giden, sayılara irrasyonel sayılar denir.
• İrrasyonel sayılar kümesi:
Q’= {a/b biçiminde yazılamayan sayılar: a,b∈Z ve b
≠0} dır.
İrrasyonel sayılar: Q’ ile ifade edilir.
Ör: √5, √7, 3√3, ∏, ..... Sayıları birer irrasyonel sayıdır.
Hem rasyonel hem irrasyonel sayı yoktur.
⇒Q∩Q’=∅ dir.

7. • İşte bütün bu sayıları, doğal sayılar, sayma sayıları,
tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar,
kapsayan kümeye REEL SAYILAR KÜMESİ denir.
• Değişik bir ifade ile; rasyonel sayılar ile irrasyonel
sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel, gerçel,
sayılar denir.
• Ör: -5,-7,4/9, √2,2∏,√5/2,∏2 sayıları birer reel sayıdır.
∀ ⇒ Bilimsel kaynaklarda doğal sayılar kümesi; IN,
tam sayılar kümesi; Z sembolüyle, rasyonel sayılar
kümesi; Q, reel (gerçel) sayılar kümesi; IR sembolu
ile gösterilmektedir.

8. TAM SAYI ÇEŞİTLERİ
• 1. Tek Sayı, Çift Sayı: 2 ile tam olarak bölünebilen tam
sayılara çift sayı, 2 ile tam olarak bölünemeyen sayılara
tek sayı denir.
• n bir tam sayı olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar ise
2n-1 ya da 2n+1 ile gösterilir.
• Çift sayılar kümesi: Ç={......,-4,-2,0,2,4,.....}
• Tek sayılar kümesi: T={......., -3,-1,1,3,......}
şeklindedir.
∀ ⇒iki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek
sayıdır:
• T+T=Ç
• T-T= Ç
• TxT= T
• Ör: 5+3=8 çift sayı 5x3=15 tek sayı
• 5-3=2 çift sayı

9. ∀ ⇒ İki çift sayının toplamı, farkı, çarpımı çift sayıdır.
• Ç+Ç=Ç
Ç-Ç= Ç
ÇxÇ=Ç
• Ör: 4+10 =14 çift sayı
• 4-10 = -6 çift sayı
• 4x10 =40 çift sayı
∀ ⇒ Tek sayı ile çift sayının toplamı ve farkı tek sayı,
çarpımı çift sayıdır.
• T+Ç=T
T- Ç=T
TxÇ=Ç
• Ör: 7+2=9 tek sayı
• 7-2=5 tek sayı
• 7x2=14 çift sayı

10. ∀ ⇒ Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift
sayıdır.
• n∈Z+ , Çn=Ç
• Ör: 4 bir çift sayıdır.
• 42 = 4x4 = 16 çift sayı
• 43 = 4x4x4= 64 çift sayıdır
∀ ⇒ Tek sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift
sayıdır.
• n∈Z+ , Tn=T
• Ör: 5 bir tek sayıdır.
• 52 = 5x5 = 25 tek sayıdır.
• 53 = 5x5x5= 125 tek sayıdır.
• Örnek: m tek sayı ve n çift sayı olmak üzere;
• a. m2 + n+3
• b. 3m- 2n +2
• c. (m+n)2 -mn ifadelerinin tek ya da çift olduğunu bulalım.

11. • Çözüm: m tek sayı ve n çift sayı olduğuna göre, m=1, n=2
seçelim
• a. m2 +n+3= 12+2+3=6 ⇒ çift sayı
• b. 3m-2n+2= 3x1-2x2+2= 3-4+2= 1 ⇒ tek sayı
• c. (m +n)2-mn= (1+2)2 -1x2 = 9-2 = 7 ⇒ tek sayı.
• 2. Pozitif Sayı, Negatif Sayı: Sıfırdan büyük sayılara
pozitif sayılar; sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir.
∀ ⇒Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitifdir.
• n∈ Z+ , a>0 ise an>0
• Ör: 53= 125, 24= 16, 32= 9, (1/3)3= 1/27
∀ ⇒ Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri
negatifdir.
• n∈ Z+ , a<0 ise a2n>0, a2n+1<0
• Ör: (-3)2 = 9, (-2)3 = -8, (-1)5=-1, (-1/2)4= 1/16

12. ∀ ⇒Aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitifdir.
• a ile b aynı işaretli ise axb>0 ve a/b>0 dır.
• Ör: 3x5=15 , (-7)x(-1/3)=7/3
∀ ⇒Zıt işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü negatifdir.
• a ile b ters işaretli ise axb<0 ve a/b<0
• Ör: 1/2x(-5)= -5/2 , -5/15=-1/3
• Ör: x<0<y olduğuna göre
• a. xy b. -3x/y c. x-y
• d. (x-y)/xy ifadelerinin işaretlerini bulalım.
• Çözüm: x negatif, y pozitif olduğu için; x= -1, y= 1
alabiliriz.
• a . xy= (-1) (1) = -1negatif
• b. -3x/y=(-3)(-1)/1= 3 pozitif
• c. x-y = (-1)-1=-2 neagtif.
• d. (x-y)/xy= ((-1)-1)/(-1)1= -2/-1= 2 pozitif

13. • 3.Ardışık Sayılar: Belli bir kurala göre ard arda sıralanana
sayılara ardışık sayılar denir.
• n bir sayma sayısı olmak üzere;
• Ardışık doğal sayılar = {0,1,2,3,...n,.....}
• Ardışık tam sayılar = {...,-n,...,-3,-2,-1,1,2,3...,n,...}
• Ardışık çift sayılar= {...,-2n,...,-2,0,2,...,2n,...}
• Ardışık tek sayılar= {...,-2n-1,...,-3,-1,1,3...,2n-1,...}
• Örnek: 3’ ün katı olan ardışık 3 tam sayının toplamı 54’ tür.
Bu sayıların ortancası kaçtır?
• Çözüm: Aradığımız sayıya “x” diyelim. 3’ün katı olan ardışık
sayılar 3’ er 3’ er arttığı için x’ ten bir sonraki sayı x+3, bir
önceki sayı ise x-3’ tür.
• x-3+x+x+3=54
• 3x=54
• x=18

14. • a. Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları: Ardışık sayılardan sonlu
tanesinin toplamını bulmak için şu formülü kullanabiliriz.
• r: ilk terim , n: son terim, x:artma miktarı olmak üzere:
(n+r)(n-r+x)
• r+(r+x)+(r+2x)+....+n= ___________________
2x
• Örnek: 5+8+11+....+77 toplamını bulalım.
• Çözüm: ilk terim=5 , son terim=77, artma miktarı=3’ tür.
(77+5)(77-5+3) 82x75
• 5+8+11+....+77= _______________________ = ____________ = 1025’ tir.
2x3 6
• Bazı özel ardışık sonlu toplamların formüllerini verelim.
• 1+2+3......+n= n(n+1)/2, (n=son terim)
• 2+4+6......+2n=n(n+1), (2n= son terim)
• 1+3+5..... +2n-1=n2 ,(2n-1=son terim)

15. Örnek:
a.1+2+3...+99=99x100/2=4950 (n=99’ dur)
b.2+4+6...+100=50x51=2250 (2n=100 ise n=50)
c.1+3+5....+99=502=2500 (2n-1=99 ise n=50)
MUTLAK DEĞER
 x∈R olsun. x’in mutlak değeri |x| ile gösterilir ve
• |x| = { x, x≥0 ise veya -x,x<0 ise}
• Ör: |-15|= -(-15)= 15 , |6|= 6 , |0|=0 , |3-|-2||=|3-2|
=1
• |√7-10|= -√7+10’ dur. Çünkü √7-10 <0 dır.
• Ör: | √3-5|-| √3-1|+|-5| işleminin sonucu nedir?
• Çöz: √3<5 ise √3-5<0 ⇒ |√3-5|=-√3+5
∀ √3>1 ise √3-1>0 ⇒ |√3-1|= √3-1
• -5<0 ise |-5|= -(-5)=5
• | √3-5|- |√3-1|+|-5|=(-√3+5)-(√3-1)+5
• =- √3+5- √3+1+5= 11-2√3

16. • Özellikler: x,y∈R ve a,b∈R+ olsun
• 1. |x|≥0
• 2.|x|=a ⇔ x=a veya x= -a
• 3.|x|<a ⇔ -a<x<a
• 4.|x|>a ⇔ x>a veya x<-a
• 5.a<|x|<b ⇔ a<x<b veya a<-x<b ise
a<x<b veya -b<x<-a
• 6.|xy|=|x||y|
• 7.|x/y|=|x|/|y| (y≠0)
• 8.|x|+|y|≥ |x+y|
• 9. |xn|=|x|n
• 10.|x|2=x2
• 11.|x-y|=|y-x|
• 12.|x|=|y| ⇔ x=y veya x= -y
• 13.n√xn {x,n tek ise veya |x|, n çift ise}

17. • Ör: x∈R ve X<0 olduğuna göre |x|+|-2x|-|-x|+3x ifadesi
neye eşittir?
• Çözüm: x<0 ise |x|= -x
• |-2x|= |2x|= -2x
• |-x|= |x|=-x
• |x|+|-2x|-|-x|+3x= -x-2x-(-x)+3x=-3x+x+3x=x
∀ √(-7)2+4√(-5)4+3√(-2)3
• |-7|+|-5|+(-2)= 7+5-2=10
MUTLAK DEĞERLİ DENKELEMLER
Ör: |(5-2x)/3|=2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: |(5-2x)/3|=3
(5-2x)/3=2 veya (5-2x)/3=-2
5-2x=6 5-2x=-6
x=-1/2 x=11/2 Ç={-1/2,11/2}’ DİR

18. • Ör= |5x-7|= -3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
• Çözüm= Her x∈R için |5x-7|> 0 olduğundan |5x-7|
ifadesinin negatif olması imkansızdır.
• Buna göre |5x-7= -3 denkleminin çözüm kümesi ∅ dir.
• Ör: x|x-3|= 4 denkleminin kaç tane kökü vardır.
• Çözüm:
• a.x|x-3|= 4 x≥3 için x(x-3)= 4
• ⇒x2-3x-4=0
• ⇒ (x-4)(x+1)=0
• ⇒ x=4, x= -1 x ≥ 3 olduğuna göre kök
değil.
• b. x<0 için x(-x+3)=4
• ⇒-x2+3x-4=0
• ⇒x2-3x+4=0 Çözüm= ∅
• Çözüm kümesi = {4}

19. EŞİTSİZLİKLER
• f(x)=ax+b İki Terimlisinin İşareti: f(x) fonksiyonu x’ in
bazı değerleri için pozitif bazı değerleri için negatif, bazı
değerler için sıfıra eşittir. Bunları bulma işine f(x) in
işaretini incelemek denir.
• F(x)= ax+b fonksiyonunun grafiği bir doğru gösterir.
• Bu grafiğin x eksenini kestiği nokta ax+b=0 ise = -b/a dır.
• 1. y
• f(x)=ax+b
• -b/a x
• a>0 için grafik şekildeki gibidir.
• x>-b/a için f(x)>0
• x<-b/a için f(x)<0

20. • x (-) sonsuz -b/a (+) sonsuz
• f(x) - +
• a nın işaretinin tersi a nın işaretinin aynı
• 2.
• -b/a
• a<0 için için grafik şekildeki gibidir.
• X>-b/a için f(x)<0
• x<-b/a için f(x)>0
• x (-) sonsuz -b/a (+) sonsuz
• f(x) + -
• a nın işaretinin tersi a nın işaretinin aynı

21. • Bu iki tablo dikkatlice incelenirse f(x)=ax+b iki
terimlisinin işaret kuralı aşağıdaki tabloda belirdildiği
gibidir.
•
• x (-) sonsuz 2 (+) sonsuz
• f(x)=ax+b a nın işaretinin tersi a nın işaretinin aynı
• Ör: f(x)=-2x+4 iki terimlisinin işaretinini belirtiniz.
• Çözüm: f(x)= -2x+4 ⇒ a=-2<0
• -2x+4=0 ise x =2
• x (-) sonsuz 2 (+)sonsuz
• f(x) + -

22. • f(3)=-6+4=-2<0 f(5)=-10+4=-6<0
• f(50)= -100+4= -96<0 Yani x>2 için f(x)<0 olur.
• Aynı şekilde; f(1)= -2+4=2>0 f(0) =4>0
• f(-8)=16+4=20>0 yani x<2 için f(x)>0 olur.
• UYARI: Daha önceki konularımızda birinci dereceden
eşitsizliklerin çözümünü geniş olarak görmüştük.
f(x)= ax2+bx+c ÜÇ TERİMLİSİNİN
f(x)=ax +bx+c
2 İŞARETİ
∆= b2 -4ac> 0 ise f(x) fonksiyonu x eksenini x1 ve x2 gibi iki
noktada keser.
Y a>0 için grafik şekildeki gibidir.
X1 < x< x2 için f(x) <0 (a ile ters işaretli)
x< X1 veya x> x2 için f(x)>0 (a ile aynı
işaretli)
f(x) x1 x x2

23. • y
• f(x)
• x1 x2
x x
• a<0 için grafik şekildeki gibidir.
• x1<x<x2 için f(x) > 0 (ile ters işaretli)
• x<x1 veya x>x2 için f(x)<0 (a ile aynı işaretli)
• Bu iki durumu tablo ile gösterelim.
• X -sonsuz x1 x2 +sonsuz
• a nın a nın işaretinin a nın işaretinin
• f(x) işaretinin tersi aynı
• aynı

24. • 2. ∆=b2-4ac= 0 ise
• x1=x2 olduğundan f(x) fonksiyonu x eksenine teğettir.
• y y
• x x
• a>0 ve f(x)>0 a<0 ve f(x)<0
• x - sonsuz x1=x2 + sonsuz
• f(x) a nın işaretinin aynı a nın işaretinin aynı
• 3. ∆=b2-4ac< 0 ise f(x) fonksiyonunu x-eksenini kesmez.
• y y
• x
• x
• a>0 ve f(x)>0 a<0 ve f(x)<0

25. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
EŞİTSİZLİKLER
• 0≥ax2+bx+c , ax2+bx+c≥0 eşitsizliğini çözmek için
ax2+bx+c üç terimlisinin işaretini inceleyip eşitsizliği
sağlayan x değerlerini belirtmek yeter.
ÇARPIM VE BÖLÜM BİÇİMİNDEKİ
EŞİTSİZLİKLER
Çarpım biçimindeki bir ifadede, her çarpanın ayrı ayrı işareti
incelnip aynı tabloda yazılarak işaretler çarpılır.
Bölüm biçimindeki bir ifadede, pay ve paydanın ayrı ayrı
işaretleri incelenip aynı tabloda yazılarak, işaretler bölünür.
Ayrı ayrı işaret incelemek biraz zaman alıcı olduğundan
bundan sonraki örneklerimizi aşağıdaki metod ile çözeceğiz:

26. • a. f(x)= A(x) . B(x) . C(x) biçimindeki ifadelerde;
çarpanların her biri ayrı ayrı sıfıra eşitlenip kökler bulunur.
A(x), B(x), C(x)’ in en büyük üslüleri alınıp çarpılır. Elde
edilen axn ifadesinde; a’ nın işaretinin aynı, en sağa (+
sonsuz tarafa) yazılır. Sola doğru her köke rastladıkça
işaret değiştirilerek tablo işaretlenir. (iki katlı köke
rastlandığında işaret değişmez.)
• b. f(x) = K(x)/M(x) biçimindeki ifadeler çarpım
durumundaymış gibi düşünülerek işlem yapılır.
EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
İki veya daha fazla eşitsizlikten oluşan sistemlerde, her
eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm aralığı bulunur ve bu aralıkların
kesişimleri alınır.

27. KÖKLERİN İŞARETLERİ
• ax2+bx+c=0 denkleminin gerçel sayı olan kökleri x1,x2 ve
x1<x2 olsun.
• 1. x1. x2 = c/a < 0 ise kökler ters işaretlidir. Yani x1< 0 x2
dir.
• Bu Durumda:
• a. x1+x2= -b/a > 0 ise |x1|<|x2|
• b. x1+x2= -b/a < 0 ise |x1|> |x2|
• c. X1+x2= -b/a=0 ise |x1|=|x2| dir.
• 2. ∆= b2- 4ac > 0 olmak üzere x1.x2 = c/a>0 ise kökler
aynı işaretlidir. Bu durumda:
• x1+x2= -b/a>0 ise 0<x1<x2 (köklerinin ikiside pozitifdir.)
• x1+x2= -b/a<0 ise x1<x2<0 (köklerinin ikiside neğatifdir)
• 3. x1.x2 = c/a = 0 ise köklerden en az biri sıfırdır.

28. DAİMA DOĞRU OLAN EŞİTSİZLİKLER
• 1. y grafikte a>0, ∆<0 ve f(x)>0
• x
• 2. y
• grafikte a<0, ∆<0 ve f(x)<0 dır.
• x
Ax2+bx+c=0 DENKLEMİNİN GERÇEL
KÖKLERİ İLE BİR k REEL SAYISININ
KARŞILAŞTIRILMASI
f(x)= ax2+bx+c= 0 denkleminin gerçel kökleri x1, x2 olsun.

29. • 1. DURUM: a ile ters işaretli olsun.
• y y
•
• k x x1 f(x) k x2 x
• x1 x2
• f(x)
• a>0, f(k)<0 a<0, f(x)>0
• a f(k)<0 ise k sayısı kökler arasındadır. (x1<k<x2)
• 2. DURUM: a ile f(k) aynı işaretli olsun.
• a. y
• f(k)
• f(k)
• -b/2a
• k x1 x2 k x a>0, f(k)>0, ∆>0

30. • 2. y a<0, f(k)<0, ∆>0
•
• k k
• x1 -b/2a x2 x
• f(k )
• f(k)
•
•
•
• 3. y a>0, f(x)>0, ∆<0
f(k)
-b/a k x
• af (k)>0 ve ∆>0 ise k sayısı kökler dışındadır.
• X1+X2/2= -b/2a

31. • x -b/2a
1 x k 2
• k> -b/2a ise k sayısı köklerden büyüktür.(x1<x2<k)
-b/2a
• k x1 x2
• k<-b/2a ise k sayısı köklerden küçüktür. (k<x1<x2)
• 2.DURUM:
• af(k)=0 ise k denkleminin köklerinden birine eşittir.
ÖRNEKLER:
∀ Θf(x)= x2+3x-2 üç terimlisinin işaretini inceleyiniz.
• Çözüm: -x2+3x-2 = 0 ise x2-3x+2=0
• ise x=2, x=1
• x -sonsuz 1 2 + sonsuz
•
• f(x) - a nın aynı + a nın aynı - a nın aynı

32. • F(x) = -x2+3x-2
• f(3)= -9+9-2= -2<0
• f(10)= -100+30-2= -72<0
• f(0)= -2<0
• f(-5)= -25-15-2= -42<0
• yani x<1 veya x>2 için f(x)<0 dır.
• Aynı şekilde f(3/2) = -9/4+9/2-2=1/4>0
• f(4/3)= -16/9+4-2= 2/9>0
• yani 1<x<2 için f(x)>0 dır.
• X= 1, x= 2 için f(x)= 0 dır.
∀ Θ x2-2x<-8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
• Çözüm: x2-2x<-8 ⇒ x2-2x+8<0
• f(x)= x2-2x+8 üç terimlisinin işaretini inceleyelim:
• x2-2x+8= 0 ⇒ ∆=4-32=-28 Gerçel kök yok.

33. • x -sonsuz +sonsuz
• x2-2x+8 + + +
• Tabloya göre eşitliği sağlayan x değerleri yoktur.
• Çözüm kümesi ∅ dir.
∀ Θ x2-x-6<0
• x2-5x+4<0 eşitsizlik sistemini çözünüz.
• Çözüm: x2-x-6 = 0 ise x=3, x= -2
• x2-5x+4 = 0 ise x=4, x= 1
•
• x -sonsuz -2 1 3 4 +sonsuz Her iki eşitsizliği sağlayan
• x2-x-6 + - - + + bölge çözüm
• 1<x<3
• x2-5x+4 + + - - +

34. • (m-2)x2+2x+m+1= 0 denkleminin x1<2<x2 koşolunu
sağlayan iki gerçel kökünün olması için m ne olmalıdır?
• Çözüm:
• a=m-2 k=2
• f(2)=4(m-2)+4+m+1
• f(2)=5m-3
• a.f(2)= (m-2)(5m-3)<0
• m -sonsuz 3/5 2 + sonsuz
• + - + 3/5<m<2 olmalıdır.

35. YARARLANILAN KAYNAKLAR
• Güven-Der yayınları / Matematik 1
• Tümay Yayınları / Matematik (seti 2)
• Zafer Yayınları / Matematik
• Final Yayınları / Matematik