1. 8.SINIF MATEMATİK
» Doğrusal Denklem Sistemleri
» Grafik Yöntemi, Yerine Koyma Yöntemi
» Eşitsizlikler

2. Doğrusal Denklem Sistemleri
Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük yaşamda aşağıdakine benzer pek çok problemle Karşılaşırız.
Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, 2 kg armut ve 1 kg portakal için 8 YTL, Diğer bir müşteri de 1 kg armut ve 3
kg portakal için 9 YTL ödemiştir. Armut ve portakalın Satış fiyatını belirleyiniz.
Çözüm için, bir kg armutun x YTL den, bir kg portakalın da y YTL den satıldığı varsayılırsa,
olduğu görülür. Problemimiz, yukarıdaki iki denklemi sağlayan x ve y sayılıarını bulmaktır. Bu tür
problemler için çözüm yöntemlerini vermeden önce konu ile ilgili bazı matematiksel terimler
tanımlayacağız.
Tanım 1. a , b , h ∈ R olmak üzere ax + by = h denklemine bir doğrusal denklem denir. Bu ifadede x ve y sembollerine
değişkenler, a ve b sayılarına katsayılar, h sayısına da sağ taraf sabiti denir.
Tanım 2. Verilen x0 , y0 reel sayıları için ax + by = h doğrusal denkleminde x yerine x0 ve y yerine y0 yazılınca denklem
sağlanıyorsa, başka bir deyimle, ax0 + by0 = h oluyorsa, bu takdirde (x0 , y0 ) reel sayı ikilisine bu denklemin bir çözümü
denir. Eğer a ve b sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise, ax + by = h doğrusal denkleminin
sonsuz çoklukta çözümü vardır.
Örnek 1. 2x + y = 6 doğrusal denkleminin bazı çözümleri, (1,4), (2, 2), (-1,8), (0,6), (3,0) dır. (4,2) bu denklemin bir
çözümü müdür? Neden? Her t ∈ R için bu denklemde x yerine t yazılarak y hesaplanırsa, y = - 2t + 6 elde edilir.
Dolayısıyla, her t ∈ R için (t , -2t + 6) bu denklemin bir çözümüdür. Diğer yandan, bu denklemin bir çözümünün birinci
bileşeni t ise, ikinci bileşeni de -2t + 6 olacağından bu denklemin çözüm kümesi, Ç={(t,-2t + 6) : t ∈ R}
olarak ifade edilebilir.
Uyarı. Her iki katsayısı da sıfır, sağ taraf sabiti sıfırdan farklı olan bir doğrusal denklemin hiç çözümü yoktur.
Örneğin, 0x + 0y = 3 doğrusal denkleminin hiç çözümü yoktur. Eğer hem katsayılar hem de sağ taraf sabiti sıfır, yani 0x + 0y =
0 ise, her reel sayı ikilisi, bu denklemin bir çözümüdür.

3. Geometrik olarak, katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olan her doğrusal denklemin grafiğinin düzlemde bir
doğru olduğunu anımsayınız. Doğrusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara karşılık gelen reel sayı
ikilileridir. Yukarıdaki örnekte, 2x + y = 6 denkleminin çözümleri, aşağıdaki doğrunun noktalarına karşılık gelen
reel sayı ikilileridir.
Tanım 3. a , b , c, d , h , k ∈ R olmak üzere
doğrusal denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. Böyle bir doğrusal denklem sisteminin
bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi anlaşılır. Başlangıçta ele
aldığımız problemin çözümünün
doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesinin belirlenmesine denk olduğunu görmüştük. Bir doğrusal denklem
sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çeşitli yöntemler vardır. Biz aşağıda üç yöntem üzerinde duracağız:

4. Grafik Yöntemi , Yerine Koyma Yöntemi,
Yoketme Yöntemi:
1.2. Grafik Yöntemi: Her doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu anımsayınız. Düzlemde iki doğrunun
birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem
sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri aynı düzlem üzerinde(örneğin, aynı grafik kâğıdı üzerinde)
çizilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına yani kesişim noktalarına bakılır.
􀂉 paralel doğrular ise, denklem sisteminin hiç çözümü yoktur.
􀂉 kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır.
􀂉 çakışık doğrular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır.
Örnek 1.

5. Görüldüğü üzere, bu denklem sistemine karşılık gelen doğrular bir noktada kesişmektedir.
Dolayısıyla, sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir.
Görüldüğü üzere, bu denklem sistemine karşılık gelen doğrular bir noktada kesişmektedir.
Dolayısıyla, sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir.

6. Bu örneğimizde, sisteme karşılık gelen doğrular paraleldir. Dolayısıyla, sistemin hiç çözümü Yoktur;
çözüm kümesi, boş küme, Ç = ∅ dir.

7. Örnek 3.

8. EŞİTSİZLİKLER NE DEMEKTİR?
>, ³, <, £ sembolleri kullanılarak oluşturulan sayısal ifadelere eşitsizlik denir. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir
veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik yön değiştirmez. Bir eşitsizliğin her iki tarafı, pozitif bir sayı ile çarpılır
veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez; negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse yön değiştirir. Burada eşitsizliğin yön
değiştirmesi demek, küçüktür işaretinin büyüktür olması demek veya büyüktür işaretinin küçüktür işareti olması demektir.
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık
(a, b) veya a< x< b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
3. Yarı Açık Aralık
(a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
(a, b] veya a < x £ b ifadesine soldan açık aralık denir.

9. EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.
a<b
a+c<b+c
a – d < b – d dir.
2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da
bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
a<b
c > 0 ise, a . c < b . c
d < 0 ise, a . d > b . d
k > 0 ise,
m < 0 ise,
3) 0 < a < b ise,
4) a < b < 0 ise,
5) 0 < a < b ve n Î IN+ ise, an < bn dir.
6) 0 < a < 1 ve n Î IN+ – {1} ise, an < a dır.

10. 7) a > b
+ c>d
¾¾ ¾¾¾¾¾
a+c>b+d
8) 0 < a < b
x 0<c<d
¾¾¾¾¾¾¾¾
0<a.c<b.d
9) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.
10) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.