İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK

2. MODÜLER ARİTMETİK
∀ m ∈Z+ için, tamsayılar kümesi üzerinde,
β={(x,y) x-y, m ile bölünür}
bağıntısı bir denklik bağintısıdır.Burada denklik
sınıflarının kümesi {0,1,2,3,...(m-1)}dir.Bu küme Z/m
olarak gösterilir.
Örneğin; Z/4={0,1,2,3} , Z/5= {0,1,2,3,4} ,
Z/6={0,1,2,3,4,5}tir.
Z/m kümesine,”m”nin kalan sınıfları kümesi denir.
(a,b)∈β ise; yani a ıle b aynı sınıfın elemanları ise ,
a≡b( mod m ) biçiminde gösterilir.
Örneğin; 13≡ 1(mod 4) ifadesinde, 13’ün 4 ile
bölünmesinden elde edilen kalanın 1 olduğuna dikkat
ediniz.

3. TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
x≡y (mod m)
x≡y (mod m)
u≡v (mod m) ise, x+u ≡ y+v (mod m)
u≡v (mod m) ise, x+u ≡ y+v (mod m)
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
TEOREM: x,y,u,v∈Z ve m>1 için,
x≡y (mod m)
x≡y (mod m)
u ≡v (mod m) ise x.u ≡ y.v(mod m)
u ≡v (mod m) ise x.u ≡ y.v(mod m)
TEOREM: x,y∈Z ve n ∈ N+ için,
xn ≡ yn (mod m)

4. TANIM: p,q ∈ Z/m için,
p+q=p+q ve p.q=p.q
ÖRNEK:Bu tanımdan yaralanarak,Z/4
kümesinde toplama işleminin tablosunu
yapınız ve özelliklerini belirtiniz.

5. ÇÖZÜM: Z/4={0,1,2,3}dir.Bu kümenin
elemanlarını kullanarak,
1+2=1+2=3,
2+3=2+3=1,
1+3=1+3=0...
Z/4 te tanımlı bu tür toplama
işlemlerinin tamamını aşağıdaki tablo ile
gösterebiliriz.

6. + 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

7. Bu tablodan yaralanılarak,
a) Z/4 kümesi , + işlemine göre kapalıdır.
b) Z/4 kümesinde,+ işleminin değişme
özelliği vardır.
c) Z/4 kümesinde ,+ işleminin birleşme
özelliği vardır.
d) Z/4 kümesinde,+ işleminin birim
elemanı,0(sıfır)dır.
e) ∀x∈Z/4‘nin, + işlemine göre tersi vardır.

8. 123
ÖRNEK: 3 sayısının , 5 ile
bölümünden elde edilen kalan nedir?

9. ÇÖZÜM
123
3 ≡ x (mod 5) eşitliğindeki x,istenilen kalandır.
3 ≡ 3 (mod 5)
1
2 2
3 ≡ 4 (mod 5) (3 =9 un, 5 ile bölümünden kalan 4’tür.)
2 2 2
(3 ) ≡ 4 (mod 5)
4 2
3 ≡1 (mod 5) (4 =16 nın, 5 ile bölümünden kalan 1’dir.)
4 30 30
(3 ) ≡1 (mod 5)
120
3 ≡1 (mod 5)
33 ≡2 (mod 5) ise
120
3 .3 ≡1.2 (mod 5)
3

10. ÖRNEK: 26155 sayısının, 7 ile bölünmesinde elde edilen kalan nedir?
ÇÖZÜM: 26 ≡ 5 (mod 7)
262 ≡ 4 ( mod 7)
263 ≡ 6 (mod 7)
264 ≡ 2 (mod 7)
265 ≡ 3 (mod 7)
266 ≡ 1 (mod 7)
(266)25 ≡ 125 (mod 7)
26150 ≡ 1 (mod 7)
265.26150 ≡ 1.3 (mod 7)⇒26155 ≡ 3 (mod 7)
O halde,26155 sayısının, 7 ile bölümünden bulunan kalan 3 tür.

11. ÖRNEK: 2353 ,sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz.
ÇÖZÜM: Bir sayının birler basamağındaki rakam, o sayının 10 ile
bölünmesinde bulunan kalana eşittir.
O halde 2353 ≡ x ( mod 10) ifadesindeki x i bulalım.
23 ≡ 3 (mod 10)
232 ≡ 9 (mod 10)
23 3≡ 7 (mod 10)
23 4≡ 1 (mod 10)
(234)13 ≡ 113 (mod 10)
2352 ≡ 1 (mod 10)
23.2352 ≡ 3.1 (mod 10) ⇒ 2353 ≡ 3 ( mod 10)
O halde , 2353 sayısının birler basamağındaki rakam 3 tür.

12. ÖRNEK: Z / 5 te 3x+4=3 denkleminin
çözüm kümesini bulunuz.

13. ÖRNEK:Z / 5 t 3x+4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM: Z / 5 = {0,1,2,3,4}kümesinde tanımlanan
+ ve • işlemlerinin
+ 0 1 2 3 4
. tablolarını yapalım.
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
Bu tablodan yararlanarak denklemi çözelim.
3x+4=3⇒ 3x+4+1+=3+1 ⇒ 3x=4
⇒2. 3. x=2 .4 ⇒ x= 8=3 (mod 5)
O halde, denklemin çözüm kümesi Ç= {3}tür.