Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar matriks invers, pangkat matriks, ekspresi polynomial pada matriks, transpose matriks, dan matriks dasar. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara menentukan matriks invers, operasi pangkat dan transpose pada matriks, serta penggunaan matriks dasar untuk menyederhanakan bentuk matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan notasi matriks dalam aljabar linear. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Jenis-jenis matriks yang dijelaskan meliputi matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi linier dan sistem persamaan linier dua variabel. Secara ringkas, dokumen menjelaskan bahwa (1) fungsi linier memiliki hubungan linier antara dua variabel dengan bentuk umum y = mx + b, (2) terdapat tiga cara membentuk fungsi linier berdasarkan slope dan titik potong, dan (3) sistem persamaan linier dua variabel dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Kelompok 1 terdiri dari 4 orang yang mengerjakan soal-soal tentang geometri analitik datar dan ruang. Soal-soal tersebut meliputi tentukan persamaan garis, titik potong garis, dan hubungan antar garis.
Materi bab 2 terdiri dari persamaan linear dua variabel dan tiga variabel, cara menyesaikan sistem persamaan linear metode substitusi, eliminasi, dan grafik, serta aplikasi persamaan linear.
Materi bab 3 terdiri dari pengertian matriks, operasi matriks, minor, kofaktor, adjoin, determinan, invers, serta cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi matrik, bentuk-bentuk matrik seperti matrik bujur sangkar, matrik diagonal, matrik segitiga, dan operasi-operasi pada matrik seperti penjumlahan, perkalian, dan pemangkatan matrik.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan notasi matriks dalam aljabar linear. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Jenis-jenis matriks yang dijelaskan meliputi matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi linier dan sistem persamaan linier dua variabel. Secara ringkas, dokumen menjelaskan bahwa (1) fungsi linier memiliki hubungan linier antara dua variabel dengan bentuk umum y = mx + b, (2) terdapat tiga cara membentuk fungsi linier berdasarkan slope dan titik potong, dan (3) sistem persamaan linier dua variabel dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Kelompok 1 terdiri dari 4 orang yang mengerjakan soal-soal tentang geometri analitik datar dan ruang. Soal-soal tersebut meliputi tentukan persamaan garis, titik potong garis, dan hubungan antar garis.
Materi bab 2 terdiri dari persamaan linear dua variabel dan tiga variabel, cara menyesaikan sistem persamaan linear metode substitusi, eliminasi, dan grafik, serta aplikasi persamaan linear.
Materi bab 3 terdiri dari pengertian matriks, operasi matriks, minor, kofaktor, adjoin, determinan, invers, serta cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi matrik, bentuk-bentuk matrik seperti matrik bujur sangkar, matrik diagonal, matrik segitiga, dan operasi-operasi pada matrik seperti penjumlahan, perkalian, dan pemangkatan matrik.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat operasi matriks, matriks identitas, invers matriks, transpose matriks, dan matriks elementer. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi dan contoh-contoh penerapan aturan-aturan dasar dalam operasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks elementer, invers matriks, dan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL). Secara singkat, matriks elementer adalah hasil dari satu kali operasi baris elemen matriks, sedangkan invers matriks digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan mengubahnya menjadi perkalian matriks.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode untuk menemukan titik potong antara dua fungsi linier, yaitu metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran. Metode-metode tersebut dijelaskan beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi matriks, unsur-unsur matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan perkalian antar matriks, serta beberapa jenis matriks khusus seperti matriks bujur sangkar, matriks nol, matriks diagonal dan matriks identitas.
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang berdasarkan baris dan kolom. Dua matriks disebut sama jika ukurannya sama dan memiliki elemen yang sama. Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama. Transposisi matriks ditulis dengan mengubah baris menjadi kolom dan sebaliknya.
Dokumen tersebut membahas tentang perkalian skalar dua vektor, termasuk rumus dan sifat-sifatnya. Rumus utama perkalian skalar dua vektor adalah a.b = a b cos θ, di mana a dan b adalah panjang vektor, dan θ adalah sudut antara kedua vektor. Dibahas pula konsep proyeksi vektor ortogonal dan rumus untuk menentukan panjang proyeksi.
Dokumen tersebut membahas tentang program linear dan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel secara grafik. Ia menjelaskan cara menggambar garis batasan, menentukan daerah penyelesaian, dan menemukan titik ekstrim untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif.
Materi ini Membahas : System Persamaan linear dua variabel, System Persamaan Linear tiga variabel, System Persamaan linear dan Kuadrat, System Persamaan Kuadrat
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
The document summarizes Mattel's 2014 social media campaign to reunite Barbie and Ken following their 2004 breakup. The campaign relied heavily on social media like Facebook, Twitter, and YouTube to engage fans and have Barbie decide if she should reunite with Ken. On Valentine's Day, Barbie and Ken were reunited through the collaborative social media campaign between Mattel, Ketchum PR, and other partners, resulting in significant increases to Facebook fans and social media engagement.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat operasi matriks, matriks identitas, invers matriks, transpose matriks, dan matriks elementer. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi dan contoh-contoh penerapan aturan-aturan dasar dalam operasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks elementer, invers matriks, dan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL). Secara singkat, matriks elementer adalah hasil dari satu kali operasi baris elemen matriks, sedangkan invers matriks digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan mengubahnya menjadi perkalian matriks.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode untuk menemukan titik potong antara dua fungsi linier, yaitu metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran. Metode-metode tersebut dijelaskan beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi matriks, unsur-unsur matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan perkalian antar matriks, serta beberapa jenis matriks khusus seperti matriks bujur sangkar, matriks nol, matriks diagonal dan matriks identitas.
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang berdasarkan baris dan kolom. Dua matriks disebut sama jika ukurannya sama dan memiliki elemen yang sama. Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama. Transposisi matriks ditulis dengan mengubah baris menjadi kolom dan sebaliknya.
Dokumen tersebut membahas tentang perkalian skalar dua vektor, termasuk rumus dan sifat-sifatnya. Rumus utama perkalian skalar dua vektor adalah a.b = a b cos θ, di mana a dan b adalah panjang vektor, dan θ adalah sudut antara kedua vektor. Dibahas pula konsep proyeksi vektor ortogonal dan rumus untuk menentukan panjang proyeksi.
Dokumen tersebut membahas tentang program linear dan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel secara grafik. Ia menjelaskan cara menggambar garis batasan, menentukan daerah penyelesaian, dan menemukan titik ekstrim untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif.
Materi ini Membahas : System Persamaan linear dua variabel, System Persamaan Linear tiga variabel, System Persamaan linear dan Kuadrat, System Persamaan Kuadrat
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
The document summarizes Mattel's 2014 social media campaign to reunite Barbie and Ken following their 2004 breakup. The campaign relied heavily on social media like Facebook, Twitter, and YouTube to engage fans and have Barbie decide if she should reunite with Ken. On Valentine's Day, Barbie and Ken were reunited through the collaborative social media campaign between Mattel, Ketchum PR, and other partners, resulting in significant increases to Facebook fans and social media engagement.
To add a news release to the Grapevine Chamber website, members first log in using their username and password or retrieve their login information. From the dashboard, members click on "Job Postings" under shortcuts and then click "Add Job Posting." Members provide a title, description with job details, contact information, and active dates for the posting. They can also add a business logo before submitting the posting for chamber staff approval.
Evolution of Mad Men: How Data and Technology Power Customer Experiences Mariam Giorgadze
The presentation aimed to present to non-marketing audience how the face of marketing has changed and is using data and technology to power entire customer journey and build business relationships that deliver value. It's the combination of multiple great sources and my personal work experience.
Take a look through and you will discover how intuitive multifunctional printing technology is already supporting the transition to mobile and digital healthcare in organisations just like yours.
Inside you will see how many of the current challenges in Healthcare are easy to overcome with a new approach to document management.
This document provides information about the city of Grapevine, Texas including:
- A brief history noting Grapevine was established in 1844 and named for wild grapes in the area.
- Demographic data showing the 2019 population was around 49,479 and average household income was $97,545.
- An overview of city government and services including contact information for various departments.
- Details on taxes including a combined 8.25% sales tax and average property tax rate of $0.328437 per $100 of assessed value.
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. Matriks dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan ditemukan inversnya jika memenuhi syarat tertentu. Determinan dan minor digunakan untuk menghitung invers matriks.
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks memiliki ordo yang menunjukkan jumlah baris dan kolom, seperti A3x2 yang memiliki 3 baris dan 2 kolom. Operasi yang dapat dilakukan pada matriks antara lain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Tm 01 Aljabar Linier Modul 1 matrik dan determinan revisi 2020Prayudi MT
Dokumen tersebut membahas tentang modul 1 materi kuliah tentang matrik dan determinan, yang mencakup pengertian matrik, contoh-contoh matrik khusus seperti matrik bujur sangkar, matrik segitiga atas dan bawah, matrik diagonal, matrik identitas, transpose matrik, operasi-operasi aritmatik matrik seperti penjumlahan dan perkalian matrik.
Bab 1.3-1.5 membahas tentang definisi matriks, operasi-operasi pada matriks seperti penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan perkalian matriks. Juga dibahas tentang matriks khusus seperti matriks nol dan identitas serta sifat-sifatnya. Bab selanjutnya membahas tentang konsep matriks invers, algoritmanya, dan aplikasinya dalam memecahkan sistem persamaan linier. Diakhir membahas bentuk-
Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
Perkuliahan membahas tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, determinan, dan matriks invers. Materi penting lainnya adalah persamaan linier simultan.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks, meliputi pengertian matriks, istilah-istilah terkait matriks, contoh-contoh matriks khusus seperti matriks bujur sangkar, diagonal, identitas, dan transpose matriks. Juga dibahas operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian matriks beserta contoh-contohnya.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti transpose, dan contoh soal-soal latihan mengenai matriks.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar matriks, termasuk transpose matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan dan dua buah matriks, matriks identitas, determinan matriks, invers matriks, matriks singular, dan persamaan matriks.
Dokumen tersebut berisi soal-soal pengetahuan dan keterampilan tentang operasi matriks seperti penentuan elemen matriks, jenis matriks, transposisi matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks, determinan matriks, invers matriks, dan sistem persamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar matriks, operasi-operasi pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan matriks, serta sifat-sifat perkalian matriks seperti komutatif dan invers matriks.
1. Determinan merupakan jumlah perkalian tanda dari elemen-elemen matriks.
2. Determinan digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dan menentukan apakah suatu matriks dapat diinvers.
3. Metode reduksi baris/kolom dan ekspansi kofaktor digunakan untuk menghitung nilai determinan secara efisien.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
2. A. Matriks Invers
Jika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis
yang mempunyai ukuran sama, maka dapat
ditunjukkan bahwa AB = BA = I, maka A dikatakan
dapat diinvers, dan B disebut invers dari A. Jika B
tidak dapat dicari maka A disebut matriks singular.
⇔ Contoh :
B = , A =
⇒ AB = = = I
21
53
−
−
31
52
21
53
−
−
31
52
10
01
4. Diketahui matriks :
A =
Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat
dirumuskan sebagai berikut :
A-1
= =
AA-1
= A-1
A = I ⇔ = …
dc
ba
−
−
− ac
bd
bcad
1
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
dc
ba
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
6. B. Pangkat Matriks
Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka
dapat didefinisikan pangkat Matriks A
sebagai berikut :
- A0
= I,
- An
= ( n > 0)
- Jika A dapat diinvers, maka berlaku,
A-n
= (A-1
)n
=
faktorn
AAA
faktorn
111
AAA −−−
7. - Aturan pangkat pada matriks bujursangkar,
jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan
asli, maka berlaku
Ar
As
= Ar+s,
dan (Ar
)s
= Ars
- Jika A adalah matriks yang dapat diinvers,
maka berlaku :
(a). (A-1
)-1
= A
(b). (An
)-1
= (A-1
)n
(c). Untuk k skalar, matriks kA dapat diinvers
(kA)-1
= A-1
k
1
10. D. Bentuk – bentuk Transpose
Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama
sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka,
(a). (AT
)T
= A.
(b). (A+B)T
= AT
+ BT
dan (A - B)T
= AT
- BT
(c). (kA)T
= kAT
,dengan k skalar
(d). (AB)T
= BT
AT
11. (e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers,
maka AT
juga dapat di invers, sehingga
(AT
)-1
= (A-1
)T
Contoh :
A = , AT
=
A-1
= , (A-1
)T
= , (AT
)-1
=
∴ berlaku rumus bahwa (AT
)-1
= (A-1
)T
−−
12
35
−
−
13
25
−− 52
31
−
−
53
21
−
−
53
21
12. E. Matriks Dasar (Elementary Matrices)
Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks
dasar (elementary matrices), jika matriks itu
mengalami satu kali pengolahan dasar baris (Operasi
Baris Elementer) menjadi matriks Identitas (In),
Contoh :
, , ,
Matriks – matriks ini adalah matriks dasar, yang
dapat diubah kebentuk matriks identitas.
− 30
01
0010
0100
1000
0001
100
010
301
100
010
001
13. Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) :
1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali
operasi baris elementer dengan menukar baris i
dengan j, maka matriksnya menjadi matriks identitas
(In).
2. Ei(t), (t ≠ 0), notasi ini menunjukkan OBE, jika
dilakukan perkalian baris ke-i dengan t, maka
matriksnya menjadi matriks identitas (In).
3. Eij(t), (i ≠ j), notasi ini menunjukkan OBE, jika
penjumlahan baris ke-j dikali t dengan baris ke-i pada
matriks maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).
14. Contoh 1 :
E23 = , matriks elementer ini akan menjadi
matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3
dengan baris ke–2.
E2(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks
identitas jika baris ke–2 dikali
dengan (-1)
E23(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks
identitas jika baris ke–3 dikali
dengan (-1) dijumlahkan dengan
baris ke–2 .
010
100
001
−
100
010
001
−
100
110
001
Angka 2, menunjukkan
baris ke–2 yang berubah
20. F. Metode Invers Matriks dengan OBE
Misalkan matriks Anxn non singular , maka,
(a). A ekuivalent baris dengan In
(b). A merupakan hasil perkalian matrik baris
elementer.
Contoh :
Tunjukkan bahwa A = merupakan matriks
non singular, Carilah A-1
dan uraikan bahwa A
adalah hasil perkalian matriks baris elementer.
Penyelesaian :
11
21
23. G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)
dengan Metode Invers
Jika A adalah matriks yang dapat diinvers dan
berukuran nxn, maka matriks b berukuran nx1,
suatu sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat
satu penyelesaian, katakanlah, x = A-1
b.
Contoh :
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1+ 5x2 + 3x3 = 3
x1 + 8x3 = 10
Sehingga,
24. Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah :
dengan bentuk invers :
−−
−−
−
=−
125
3513
91640
1
A
=
81
352
321
0
A
=
3
2
1
x
x
x
x,
=
17
3
5
b,
=⇔
100
010
001
801
352
321
IA ][
27. H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu
Persamaan
Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak
konsisten,
Misalnya :
x = 1
y = 2
x + y = 3, 001
hal ini, dpat dibuat konsisten dengan mengubah ke
dalam bentuk persamaan,
At
AX = At
B
28. Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi :
dengan persamaan At
AX = At
B,
dan persamaan normalnya menjadi,
2x + y = 4, 001
x + 2y = 5, 001
dengan x = 1, 001 dan y = 2. 001
=
11
10
01
A
=
y
x
X,
=
001,3
2
1
B,
110
101
y
x
=
001,3
2
1
110
101
11
10
01
y
x
=
001,5
001,4
21
12