Dokumen tersebut membahas tentang materi perkuliahan matriks dan sistem persamaan linier. Materi ini mencakup definisi matriks, jenis-jenis matriks seperti matriks bujur sangkar dan matriks segitiga, operasi aljabar pada matriks seperti penjumlahan dan perkalian matriks, serta penentuan determinan matriks bujur sangkar.
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 01KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi bersama terbesar (PBB) dari dua bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan tanpa pecahan desimal, sedangkan algoritma Euclidean menggunakan serangkaian pembagian untuk menemukan PBB dua bilangan dengan sisa terakhir.
Dokumen tersebut membahas tentang materi perkuliahan matriks dan sistem persamaan linier. Materi ini mencakup definisi matriks, jenis-jenis matriks seperti matriks bujur sangkar dan matriks segitiga, operasi aljabar pada matriks seperti penjumlahan dan perkalian matriks, serta penentuan determinan matriks bujur sangkar.
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 01KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi bersama terbesar (PBB) dari dua bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan tanpa pecahan desimal, sedangkan algoritma Euclidean menggunakan serangkaian pembagian untuk menemukan PBB dua bilangan dengan sisa terakhir.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi yang dapat dilakukan pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan perkalian matriks, serta teorema-teorema yang berkaitan dengan operasi pada matriks.
Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari elemen-elemen yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bab ini membahas pengertian matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks, serta konsep determinan dan invers matriks. Sistem persamaan linier dapat didefinisikan menggunakan notasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat operasi matriks, matriks identitas, invers matriks, transpose matriks, dan matriks elementer. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi dan contoh-contoh penerapan aturan-aturan dasar dalam operasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks elementer, invers matriks, dan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL). Secara singkat, matriks elementer adalah hasil dari satu kali operasi baris elemen matriks, sedangkan invers matriks digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan mengubahnya menjadi perkalian matriks.
Perkuliahan membahas tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, determinan, dan matriks invers. Materi penting lainnya adalah persamaan linier simultan.
Dokumen tersebut membahas tentang kelompok 3 mata kuliah Aljabar Linier yang terdiri dari 5 mahasiswa yang menulis tentang matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan matriks, serta konsep transpose dan trace matriks."
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan notasi matriks dalam aljabar linear. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Jenis-jenis matriks yang dijelaskan meliputi matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas.
Dokumen tersebut membahas tentang aturan penilaian dan materi perkuliahan tentang matriks dan transformasi linier. Materi yang dibahas antara lain definisi matriks, jenis-jenis matriks, sifat-sifat operasi pada matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan contoh-contoh perhitungannya.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
El documento describe tres aspectos clave de la interpretación de la escena del crimen: 1) La víctima siempre es revisada cuidadosamente porque puede tener evidencia física intercambiada con el autor del delito, como huellas digitales, pelo o sudor; 2) El arma u objeto utilizado también puede contener evidencia física del autor; 3) El lugar del suceso también puede contener pruebas físicas intercambiadas entre la víctima, autor y escena del crimen.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi yang dapat dilakukan pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan perkalian matriks, serta teorema-teorema yang berkaitan dengan operasi pada matriks.
Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari elemen-elemen yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bab ini membahas pengertian matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks, serta konsep determinan dan invers matriks. Sistem persamaan linier dapat didefinisikan menggunakan notasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat operasi matriks, matriks identitas, invers matriks, transpose matriks, dan matriks elementer. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi dan contoh-contoh penerapan aturan-aturan dasar dalam operasi matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks elementer, invers matriks, dan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL). Secara singkat, matriks elementer adalah hasil dari satu kali operasi baris elemen matriks, sedangkan invers matriks digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan mengubahnya menjadi perkalian matriks.
Perkuliahan membahas tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, determinan, dan matriks invers. Materi penting lainnya adalah persamaan linier simultan.
Dokumen tersebut membahas tentang kelompok 3 mata kuliah Aljabar Linier yang terdiri dari 5 mahasiswa yang menulis tentang matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan matriks, serta konsep transpose dan trace matriks."
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan notasi matriks dalam aljabar linear. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Jenis-jenis matriks yang dijelaskan meliputi matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas.
Dokumen tersebut membahas tentang aturan penilaian dan materi perkuliahan tentang matriks dan transformasi linier. Materi yang dibahas antara lain definisi matriks, jenis-jenis matriks, sifat-sifat operasi pada matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan contoh-contoh perhitungannya.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
El documento describe tres aspectos clave de la interpretación de la escena del crimen: 1) La víctima siempre es revisada cuidadosamente porque puede tener evidencia física intercambiada con el autor del delito, como huellas digitales, pelo o sudor; 2) El arma u objeto utilizado también puede contener evidencia física del autor; 3) El lugar del suceso también puede contener pruebas físicas intercambiadas entre la víctima, autor y escena del crimen.
Duma Optronics: Electro-Optical and Laser Instrumentation Technology DumaOptronicsLtd
Duma Optronics is a well established and rapidly growing company that specializes in Electro-Optical and laser instrumentation technology. This slideshow features: high power beam analysis, positioning and alignment, beam analysis and electronic autocollimator. Learn more at http://duma.co.il/.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dan metode-metode penyelesaiannya seperti eliminasi, substitusi, geometri, dan Cramer. Beberapa poin penting yang dijelaskan adalah definisi sistem persamaan linear, contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan berbagai metode, serta kelemahan dan keunggulan masing-masing metode.
How does living an active lifestyle affect one’s emotional wellbeing. final copyjamie121
The document is a student's research project on the effects of exercise on the brain. The student began by creating a driving question about staying motivated to exercise. They conducted research through online articles, a book, and personal exercise routine. The student tracked their progress over 6 weeks, noting improvements in mood, energy levels, and motivation. They concluded that exercise reduced stress and improved emotional wellbeing and quality of life. The student learned more about creating routines and gained confidence in their ability to exercise regularly long term.
The Colliers International advantage is a prevalent and knowledgeable one. We have expertise in all areas of Real Estate, and do not just stop at the point of sale. We offer property management and portfolio management services to accelerate your properties success! Colliers International Toowoomba, one of the global brands Queensland offices lives and breathes this mentality. So much so that they have landed themselves to be one of the regions most well known agencies - acquiring both quality and quantity stock.
Panduan SOP Radio Amatur (Bahasa Malaysia) ini telah diolah semula dari versi asalnya : MARTS Information Sheet- "Amateur Radio Standard Operating Procedure (ASOP) oleh 9W2SSL .
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real (R) yang meliputi sifat-sifat aljabar, urutan, dan kelengkapan dari R. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain mengenai operasi biner di R, aksioma dan sifat-sifat dasar aljabar dan urutan bilangan real, ketaksamaan segitiga, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, notasi matriks, ordo matriks, beberapa jenis matriks khusus, operasi-operasi dasar matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, perkalian dua matriks, dan pengertian determinan matriks.
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas. Operasi yang dapat dilakukan pada matriks antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi matrik, bentuk-bentuk matrik seperti matrik bujur sangkar, matrik diagonal, matrik segitiga, dan operasi-operasi pada matrik seperti penjumlahan, perkalian, dan pemangkatan matrik.
Besaran skalar memiliki nilai besar saja tanpa arah, sedangkan besaran vektor memiliki nilai besar dan arah. Vektor dapat dijumlahkan dan dikalikan, baik secara titik maupun silang. Perkalian titik vektor menghasilkan skalar, sedangkan perkalian silang menghasilkan vektor baru.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan vektor. Matriks dijelaskan sebagai kumpulan angka yang disusun dalam baris dan kolom, dan jenis-jenis matriks seperti matriks persegi, identitas, diagonal, skalar, dan nol diuraikan. Operasi pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar dan dua matriks juga dibahas. Konsep transpos dan invers matriks pun dijelaskan. Vektor di
Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks A x = b, dimana A adalah matriks koefisien, x adalah vektor variabel tidak diketahui, dan b adalah vektor konstanta. Penyelesaian sistem persamaan linear meliputi metode eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan aturan Cramer. Determinan digunakan untuk menentukan apakah suatu matriks dapat diinverskan.
Matriks adalah susunan bilangan yang disusun secara sistematis dalam baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, matriks tegak, dan lainnya. Operasi dasar pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, dan sifat-sifatnya seperti komutatif dan asosiatif.
Matriks Matematika By Ali Majid WardanaAli Must Can
Matriks adalah susunan bilangan yang disusun secara sistematis dalam baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, matriks tegak, dan lainnya. Operasi dasar pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, dan sifat-sifatnya seperti komutatif dan asosiatif.
(1) Dokumen tersebut berisi rumus-rumus matematika untuk SMP yang sesuai dengan Standar Kompetensi Lulusan Ujian Nasional tahun 2010. Terdapat rumus-rumus untuk operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear, himpunan, dan barisan bilangan.
(1) Dokumen tersebut berisi rumus-rumus matematika untuk SMP yang sesuai dengan Standar Kompetensi Lulusan Ujian Nasional tahun 2010. Rumus-rumus tersebut meliputi operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, skala dan perbandingan, jual beli, perbankan dan koperasi, serta barisan bilangan. (2) Juga terdapat rumus-rumus aljabar seperti operasi aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear, serta konsep himpunan se
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
2. Pengantar
Dua matriks itu dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran
yang sama dan jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.
• aij: elemen matrix A pada baris ke-i dan kolom ke-j.
• Untuk sebuah matriks persegi A dengan ordo n×n, diagonal
utamanya adalah:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a
A
a
=
L
L
M M O M
L
Jadi, A = B if aij = bij.
3. Penjumlahan
Jadi, jika , maka ij ij ijC A B c a b= + = +
Misal A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama.
Hasil penjumlahan dari A + B adalah matriks yang diperoleh dari
penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B.
Matriks A + B akan menjadi matriks yang berukuran sama seperti
matriks A dan B.
Jika A dan B tidak berukuran sama, mereka tidak dapat dijumlahkan,
dan kita katakan bahwa hasil penjumlahannya tidak ada.
4. 1 4 7 2 5 6 5 4
0 2 3 3 1
,
8 2 7
, .
= = =
− −
− −
Misalkan danA B C
Tentukan A + B dan A + C, Jika hasil penjumlahannya ada.
Penyelesaian:
1 2 4 5 7 6
0 3 2 1 3
1 4 7 2 5 6
0 2 3 3 1
8
3 9 1
3 1 1
( )
1
1
.
8
A B
+ +
+ = +
−
− − + +
− −
=
=
−
−
−
(2) Karena A adalah matriks 2 × 3 dan C adalah sebuah matriks 2
× 2, mereka bukan matriks yang berukuran sama, maka A + C
tidak ada.
5. Perkalian Skalar
Jadi, jika , maka ij ijB cA b ca= =
Misalkan A adalah sebuah matriks dan c adalah sebuah skalar.
Perkalian skalar dari A dengan c, dinyatakan dengan cA, adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A
dengan c. Matriks cA akan menjadi berukuran sama seperti A.
Contoh 3
1 2 4
0
.
7 3
=
−
−
Misalkan A
3 1 3 ( 2) 3 4
3 7 3 ( 3) 3
3 .
3 6 1
10
2
2 9 0
A
× × − ×
× × − ×
−
= =
−
Perhatikan bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 × 3.
6. Jika B adalah sebuah matriks, maka –B akan menyatakan hasil
kali (-1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,
maka
A – B = A + (–1)B
Contoh 4
5 0 2 2 8 1
3 6 5 0 4 6
. =
− −
−
Andaikan danA
5 2 0 8 2 ( 1) 3 8 1
3 0 6 4
.
5 6 3 2 1 1
− − − − − − −
− − − −
− = =
−
A B
7. Perkalian
11 1 2 2
1
2
2 i iij i j i j i in
j
j
n
j
nj
n
a a a
b
c a b a b b
b
b
a
= = + + +
L
M
L
Misalkan bilangan yang menyatakan banyaknya kolom sebuah
matriks A sama seperti bilangan yang menyatakan banyaknya baris
sebuah matriks B. Maka hasil kali AB itu ada.
Jika bilangan yang menyatakan banyaknya kolom A tidak sama
dengan banyaknya bilangan yang menyatakan banyaknya baris B, kita
katakan bahwa hasil kalinya tidak ada.
Misalkan A: matriks m×n, B: matriks n×k,
Hasil kali matriks C = AB yang elemen-elemennya
C adalah sebuah matriks m×k.
10. Jika A adalah sebuah matriks m × r dan B adalah sebuah matriks
r × n, maka AB akan menjadi sebuah matriks m × n.
A
m × r
B
r × n
= AB
m × n
Contoh 8
Jika A adalah sebuah matriks 5 × 6 dan B adalah matriks 6 × 7.
Karena A mempunyai 6 kolom dan B mempunyai 6 baris.
Jadi, AB itu ada. Dan AB akan menjadi matriks 5 × 7.
11. Sebuah matriks nol adalah sebuah matriks yang semua elemen-
elemennya nol.
Matriks diagonal adalah sebuah matriks yang semua elemen yang
bukan pada diagonal utama adalah nol.
Matriks identitas adalah sebuah matriks diagonalyang semua
elemen pada diagonal utama adalah 1.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
matriks nol
mn0
L
L
M M L M
L
=
11
22
0 0
0 0
0 0
matriks diagonal A
nn
A
a
a
a
L
L
M M L M
L
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
matriks identitas
nI
L
L
M M L M
L
=
Matriks Khusus
12. Beberapa Sifat Matriks
Misalkan A adalah matriks m × n dan 0mn adalah matriks nol m × n.
Misalkan B adalah sebuah matriks persegi n × n. 0n dan In adalah
matriks nol dan matriks identitas matriks n × n. Maka
A + 0mn = 0mn + A = A
B0n = 0nB = 0n
BIn = InB = B
Contoh 9
2 1 3 2 1
Misalkan dan .
4 5 8 3 4
A B
−
= = −
23
2 1 3 0 0 0 2 1 3
4 5 8 0 0 0 4 5 8
A A
− −
+ = + = =
0
2 2
2 1 0 0 0 0
3 3 0 0 0 0
B
= = =
−
0 0
2
2 1 1 0 2 1
3 4 0 1 3 4
BI B
= = =
− −
13. Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, and c adalah
skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi
yang dapat dibentuk.
Sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar
1. A + B = B + A Sifat komutatif pada penjumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif pada penjumlahan
3. A + 0 = 0 + A = A (Dimana 0 adalah matriks nol)
4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif pada penjumlahan
5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif pada penjumlahan
6. (ab)C = a(bC)
14. Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, dan c adalah
skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti
operasi yang dapat dibentuk.
Sifat-sifat Perkalian Matrix Multiplication
1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif pada perkalian
2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif pada perkalian
3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif pada perkalian
4. AIn = InA = A (Dimana In adalah matriks identitas)
5. c(AB) = (cA)B = A(cB)
Catatan: bentuk umum AB ≠ BA. Perkalian pada matriks tidak
berlaku sifat komutatif.
Sifat-sifat Secara Aljabar
