Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat operasi matriks, matriks identitas, invers matriks, transpose matriks, dan matriks elementer. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi dan contoh-contoh penerapan aturan-aturan dasar dalam operasi matriks.
Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
Buku Pengenalan Pemodelan Sistem Dinamik menggunakan Vensim PLE ini merupakan buku yang diperuntukkan bagi mereka yang baru belajar sistem dinamik untuk pertama kali dan/atau juga bagi mereka sebelumnya sudah pernah belajar sistem dinamik. Selain mudah dalam pengoperasiannya, perangkat lunak Vensim PLE yang digunakan pada buku ini tersedia dalam versi yang dapat diunduh secara gratis sehingga dapat digunakan oleh pengguna atau pemodel pemula dan kalangan akademisi yang ingin belajar sistem dinamik.
Secara umum, buku ini mengupas cara menggunakan dan mengoperasikan perangkat lunak Vensim PLE untuk memodelkan sistem dinamik, mulai dari cara instalasinya, pengenalan perangkat (tools) analisis, menu, dan fungsi-fungsi yang ada, cara pembuatan diagram baik diagram simpal kausal maupun diagram stock dan flow serta menyimulasikannya sampai dengan pembuatan simulator sederhana. Selain itu, dalam buku ini juga diulas secara ringkas konsep-konsep dasar pemodelan sistem dinamik disertai contoh-contoh modelnya, seperti umpan balik penguatan, penyeimbangan, ketertundaan atau delay dalam sistem dinamik, osilasi, model kurva-S, dan model overshoot dan kolaps sehingga para pembaca buku ini bisa juga mendapatkan pemahaman dasar pemodelan sistem dinamik.
https://guepediastore.com/products/6019336/pengenalan-pemodelan-sistem-dinamik-menggunakan-vensim-ple
1. 3 ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS
3.1 SIFAT-SIFAT DARI OPERASI MATRIKS
Beberapa Sifat Operasi Matriks:
a. A+B = B+A Hukum Komutatif untuk Penambahan
b. A+ (B+C) = (A+B) + C Hukum Asosiatif untuk Penambahan
c. A(BC) = (AB)C Hukum Asosiatif untuk Perkalian
d. A(B+C) = AB + AC Hukum Distributif
e. (B+C)A = BA + CA Hukum Distributif
f. A(B-C) = AB – AC
g. (B-C)A = BA - CA
h. a(B+C) = aB + aC
i. a(B-C) = aB - aC
j. (a+b)C = aB + bC
k. (a-b)C = aB - bC
l. (ab) = a(bC)
m. (ab)C) = a(bC)
n. AB ≠BA
Contoh 3.1
Diketahui matriks A, B, dan C dan nilai konstanta a dan b sebagai berikut
3 2 4 0 0 − 1
A= , B = 1 5 , C = 4 6 , a= -3 , b = 2
− 1 3
Hitunglah!
a. A+ (B+C) = (A+B) + C e. A(BC) = (AB)C
b. (a+b)C = aB + bC f. a(B-C) = aB - aC
c. a(BC) g. (aB)C
d. A(B-C) h. AB – AC
Sifat-sifat Matriks Nol
a. A+ 0 = 0 + A = A
b. A–A=0
c. 0 – A = -A
d. A0 = 0; 0A = 0
Lukmanulhakim Almamalik III- 1
3. 3.3 INVERS MATRIKS
Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B, sehingga
AB = BA =I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.
Jika Invers Matriks A adalah A-1 , maka AA-1 = A-1A = I
Contoh 3.4
3 5 2 − 5
Diketahui matriks B = adalah invers dari matriks A = − 1
1 2 3
3 5 2 − 5 1 0 2 − 5 3 5 1 0
karena AB = − 1 3 = 0 1 = I dan BA= − 1 3 1 2 = 0 1 =I
1 2
Jadi B adalah A-1 (B adalah invers matriks A)
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka
• AB dapat dibalik
• (AB)-1 = B-1 A-1
Contoh 3.5
1 2 3 2 7 6
Misalkan matriks A = B= AB =
1 3 2 2 9 8
Dengan menerapkan rumus (AB)-1 = B-1 A-1 akan didapatkan bahwa
3 − 2 1 − 1 4 − 3
B−1 = ( AB) −1 = 9
− 7
−1
A = 3
− 1 1 − 1 2 − 2 2
1 − 1 3 − 2
B −1 A −1 = 3 =…
− 1 2 − 1 1
3.4 MATRIKS KUADRAT
Definisi Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka definisi dari pangkat integer
taknegatif dari A adalah
A0 = I
An = AAA…A , n>0
n faktor
A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Lukmanulhakim Almamalik III- 3
4. Contoh 3.6
Diketahui matriks A adalah
maka
Tentukan p(A) jika diketahui p(x) = -6x3 + 10 x – 9
Contoh 3.7
Diketahui matriks A adalah:
Hitunglah A-3
Penyelesaian:
Lukmanulhakim Almamalik III- 4
5. Jika A matriks yang dapat dibalik maka
• A-1 dapat dibalik
• An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, …
• Untuk setiap scalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan
1
(kA)-1= A-1
k
Contoh 3.8
1 2
Diketehui matriks A = , tentukan berapa nilai dari (4A)-1
1 3
Penyelesaian:
3 2
3 − 2 3 − 2 4 − 4
A −1 =
-1 -1
, maka (4A) = ¼ (A ) = ¼ . − 1 1 = − 1 1
− 1 1
4 4
Sifat Matriks Transpose
Jika A dan B dua matriks yang dapat dioperasikan seperti diberikan di bawah, dan k
adalah suatu bilangan konstan.
a. (At )t = A
b. (AB)t = BtAt
c. (A±B)t = Bt±At
d. (kA )t = kAt
Contoh 3.9
Jika diketahui matriks A dan B, seta konstanta k berturut-turut adalah
3 2 4 0
A= dan B = 1 5 , dan k = 3
− 1 3
Lukmanulhakim Almamalik III- 5
6. 3 − 1 4 1
At = , B = 0 5
t
2 3
Hitunglah!
a. (At )t
b. (AB)t = BtAt
c. (A±B)t = Bt±At
d. (kA )t = kAt
3.5 MATRIKS ELEMENTER
Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh
dari matriks satuan (matriks identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi
baris elementer.
Contoh 3.10
Berikut semuanya adalah matriks elementer. Juga diberikan operasi baris yang sesuai
dengan ukuran matriks identitas.
1 0
0 − 3 Kalikan baris kedua matriks I2 dengan -3.
1 0 0 0
0 0 0 1
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari matriks I4
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 3
0 1 0 Tambahkan tiga kali baris ketiga dari matriks I3 pada baris pertama
0 0 1
Kalikan baris pertama matriksI1 dengan 9
Pertukarkan baris pertama dan baris keempat dari I4
Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu
pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang
dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.
Lukmanulhakim Almamalik III- 6
7. Contoh 3.11
Diketahui matriks
1 0 2 3
A = 2 − 1 3 6
1 4 4 0
Tinjaulah matriks elementer
1 0 0
E = 0 1 0
penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
3 0 1
yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
Hasil kali EA adalah
1 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3
EA = 0 1 0 2 − 1 3 6 = 2 − 1 3 6
3 0 1 1 4 4 0 4 4 10 9
3.6 MENCARI INVERS MATRIKS
Mencari matriks menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan.
Jika diketahui suatu matriks A, langkah-langkah untuk mencari invers matriks A adalah
sebagai berikut.
a. Ubah matriks ke dalam bentuk [A | I n ]
b. Selesaikan menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan, sehingga diperoleh
[
bentuk matriks I n | A −1 ]
Contoh 3.12
Diketahui matriks
Cari invers matriks A atau A-1
diubah ke dalam bentuk
Lukmanulhakim Almamalik III- 7
9. 1 2 0 − 14 6 3
0 1 0 13 − 5 − 3 R1 - 3R3 dan R2 - 3R3
0 0 1
5 − 2 − 1
1 0 0 − 40 16 9
0 1 0 13 − 5 − 3 R1 – 2R1
0 0 1
5 − 2 − 1
− 40 16 9
Jadi invers dari matrik A adalah 13 − 5 − 3
5
− 2 − 1
Contoh 3.14
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks A
Coba kerjakan sendiri ……..
Jadi invers matriks A adalah
Contoh 3.15
Diketahui matriks
Lukmanulhakim Almamalik III- 9
10. Tentukan invers matriks A jika ada !
Walaupun matriks belum dalam bentuk eselon baris tereduksi, tapi perhitungan sudah
[ ]
dapat dihentikan pada tahap ini sudah terlihat bahwa bentuk IMA −1 tidak akan bisa
didapatkan, sehingga dapat disimpulkan matriks A tidak memiliki invers.
Untuk matriks 2x2, mencari Invers Matriks menggunakan rumus
berikut.
a b
Jika matrisks A = dapat dibalik dan ad – bc ≠ 0
c d
−1 1 a b
maka A =
ad − bc c d
Jika ad – bc = 0 maka dikatakan matriks singular (tidak mempunyai invers)
Contoh 3.16
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks A jika ada !
Dengan cara cepat ad – bc = (-4).(5) – (5) (-2) = -10
Lukmanulhakim Almamalik III- 10
11. Contoh 3.17
Diketahui matriks
Tentukan invers matriks B jika ada !
Dengan cara cepat ad – bc = (-4) (3) – (-2) (6) = 0. Karena nilai ad – bc = 0 merupakan
matriks singular (tidak mempunyai invers)
3.7 SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN
Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang
berukuran n x 1, system persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan yaitu
X = A-1 B
Contoh 3.18
Sistem Persamaan Linier
-4x1 – 2x2 = 8
5x1 + 5x2 = 10
Diubah dalam bentuk matriks AX = B
− 4 − 2 x 8
A= X = 1 B=
5 5
x 2 10
Cari Matriks Invers A
−1− 1 − 1
A = 12 5
2
2 5
Hitung x1 dan x2
Lukmanulhakim Almamalik III- 11
12. x1 − 2
1 − 1 8 − 8 − 10 −3
x = 1
5 = 8 2 20 =
2 10 +
5
2 2 4
5 2 5
Latihan
1. Tentukan Invers Matriks di bawah ini jika ada
2. Jelaskan matriks elementer di bawah ini.
3. Pecahkan sistem di bawah ini menggunakan rumus X = A-1 B
a. x1 + 2x2 = 7 b. x1 + 2x2 + 2x3 = -1
2x1 + 5x2 = - 3 x1 + 3x2 + x3 = 4
x1 + 3x2 + 2x3 = 3
c. x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + 8x3 = 17
Lukmanulhakim Almamalik III- 12