Persamaan Diferensial Homogen

1. 1
TKS 4003
Matematika II
PersamaanDiferensial
–Homogen–
(Differential:Homogen)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Definisi
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n X R
sehingga berlaku F(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order
dari fungsi homogen F(x,y).
Ciri umum PD Homogen adalah tiap suku derajatnya sama.

2. 2
Definisi (lanjutan)
Contoh :
Bentuk Persamaan
𝑀 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
atau
𝒇 𝒙, 𝒚 =
−𝑴(𝒙,𝒚)
𝑵(𝒙,𝒚)
= 𝒕 𝟎
𝒇(𝒙, 𝒚)
disebut persamaan diferensial homogen orde satu, jika M dan N
adalah fungsi homogen yang berderajat sama, atau f fungsi
homogen berderajat nol.

3. 3
Metode Penyelesaian
Gunakan substitusi 𝒛 =
𝒚
𝒙
atau 𝒛 =
𝒙
𝒚
Dengan substitusi ini, persamaan diferensialnya akan menjadi
suatu persamaan diferensial peubah terpisah. Dari 𝒚′
= 𝒇(𝒙, 𝒚),
dengan fungsi f homogen berderajat nol.
Dengan mengambil 𝒕 =
𝟏
𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟎, dan 𝒛 =
𝒚
𝒙
diperoleh :
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝟏,
𝒚
𝒙
= 𝒇 𝟏, 𝒛
dan dengan penerapan aturan rantai pada 𝒚 = 𝒛𝒙,
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒛
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+
𝒅𝒚
𝒅𝒙
akan diperoleh :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒛
Metode Penyelesaian (lanjutan)
Substitusikan ke persamaan diferensialnya, akan diperoleh :
𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝒇 𝟏, 𝒛 − 𝒛
atau
𝒅𝒛
𝒇 𝟏,𝒛 −𝒛
=
𝒅𝒙
𝒙
jadi
𝒅𝒛
𝒇 𝟏,𝒛 −𝒛
=
𝒅𝒙
𝒙

4. 4
Contoh Soal
Contoh Soal (lanjutan)

5. 5
Contoh Soal (lanjutan)
Contoh Soal (lanjutan)

6. 6
Contoh Soal (lanjutan)
Contoh Soal (lanjutan)

7. 7
Contoh Soal (lanjutan)
Contoh Soal (lanjutan)

8. 8
Latihan
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!