Optimalisasi dengan satu variabel bebas melibatkan penentuan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dengan satu variabel bebas. Contohnya adalah fungsi Y = X^2 - 10X + 5 yang memiliki nilai maksimum pada X = 5 dengan nilai Y = 0. Penerapannya dalam ekonomi misalnya menentukan output yang memaksimalkan laba total dari fungsi permintaan. Pajak yang dikenakan pada monopoli akan mempengaruhi harga dan output keseimb

1. OPTIMASI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS
PENGERTIAN CONTOH :
• Teori optimasi adalah • Fungsi Y = X2 – 10X + 5,
teori-teori yang tentukan kondisi
berhubungan dengan maksimum atau
nilai maksimum dan nilai minimum?
minimum. Jawab:
• Kaidah yang digunakan: Harga ektrim dy/dx = 2X-
bila f(x)” > 0 (minimum) 10, bila dy/dx = 0
bila f(x)” < 0 (maksimum) maka X = 5, dan Y = 0
Keadaan fungsi
dy2/dx2 = 2 (minimum)

2. APLIKASI EKONOMI
• Bila fungsi permintaan sepeda • b. Gambar
gunung adalah P = 50-2Q
a. Tunjukkan apa fungsi tsb
mak/minimum, berapa nilai
penjualan sepeda tsb?
b. Gambarkan keaadan tsbdgn
kurva?
jawab
a. TR = P.Q ----- 50Q-2Q2
dTR/dQ = 50 - 4Q -- dTR2
/dQ2 = -4 (maksimum)
nilai Q adalah 12,5, maka TR =
312,5 juta

3. CONTOH : GAMBAR :
2. Bila fungsi produksi suatu
perusahaan yang
menggunakan input produksi
Q digambarkan oleh fungsi
TP = 1/3Q3 - 5Q2 + 16Q + 40
a. Tentukan apakah produksi
tsb mak/min, dan berapa nilai
produksi TP dan input Q
b. gambarkan grafiknya
jawab:
dTP/dQ = Q2 – 10Q + 16 -
dTP2 /dQ2 = 2Q -10 maka
Q1 = 2 ; Q2 = 8 --- bila Q = 2
maka dTP2 /dQ2 = -6 (maks)
bila Q =
8 maka dTP /dQ 6 (min)
2 2=
TP (2) maka 54,67
TP (8) maka 18,67

4. CONTOH : GAMBAR :
3. Fungsi permintaan mobil di Lahat
P = 50 -2Q, TC = 40 + 20Q
a. Hitunglah nilai penjualan
mobil, dan output tsb pada posisi
keuntungan
b. Tunjukkan apakah pada saat
keuntungan mak/min
c. Gambarkan grafiknya
Jawab:
a. TR = 50Q-2Q2 ---- Π = -2Q2
+ 30Q – 40
d Π /dQ = 30-4Qb-- d Π2
/dQ2 = -4 (mak)
bila d Π /dQ =0 - Q = 7,5
maka Π = 72,5
b. TRmak = 312,5 dan Q = 12,5
Π = 22,50
jadi TRmak ≠TR profit mak atau Pmak < P
profit mak

5. LATIHAN DI RUMAH :
1. Bila diketahui biaya total 2. Bila fungsi permintaan
adalah 100.000Q- pasar adalah 150-4Q,
400Q2+Q3 biaya marginal sebesar
a. tunjukkan biaya rata- 30, dan biaya rerata
rata dan biaya marginal sebesar 30
b. tunjukkan apakah a. tentukan harga dan
biaya rata-rata bersifat kuantitas keseimbangan
mak/min, berpa output b. berapa keuntungan
dan biaya rata-rata tsb? maksimum produsen
c. Gambarkan c. Gambarkan grafiknya?

6. PENGARUH PAJAK PADA MONOPOLI
Pajak yang dikenakan sebesar t unit Jika t yang dikenakan  pajak
 AC sebesar t & TC sebesar penjualan yang didasarkan pada
tx. Harga & jumlah harga yang ditetapkan pada
keseimbangan baru yang dicapai konsumen yaitu t = r.p, di mana r
dengan maksimisasi profit, biasanya dalam bentuk
menggunakan fungsi biaya: TC = persentase. Sehingga persamaan
Q + tx, sehingga: profit dapat dinyatakan sebagai
berikut: misal p adalah harga
Π = TR – TC = TR – (Q + tx) sebelum pajak dan p1 harga
= TR – Q – tx sesudah ada pajak sehingga p1 =
Π = (P.Q) - (Q + tx) p(1 + r), sehingga:
Π = TR –TC = (P.x) – TC =
Untuk mencapai laba maks, (P1.Q)/(1 + r) - TC
dibutuhkan:
dTR/dQ = dTC/dQ dan
d2TR/d2Q < d2TC/d2Q

7. CONTOH SOAL
1. Bila diket: P = 10 – 3Q dan AC = 3, terhadap 2. Jika terhadap barang dikenakan pajak sebesar
barang ini dikenakan pajak sebesar satu per t per unit, maka tentukanlah besarnya pajak
unit.
Hitung Q dan P yang menghasilkan profit yang memberikan penerimaan pemerintah yang
maksimum? maksimal?
Fungsi D : P = 10 – 3Q dan AC = 3 + 1 = 4, maka: Bila pajak sebesar t, maka AC = 3 + t dan
TR = P.Q = (10 – 3Q)Q = 10Q – 3Q2 TC = AC.Q = (3 + t).Q
TC = AC.Q = 4Q, TC = (3 + t)Q dan TR = 10Q – 3Q2
sehinga: sehingga:
Π = TR – TC = (10Q – 3Q2) – 4Q = 10Q –3Q2 –
4Q = 6Q – 3Q2 dΠ /dQ = 6 – Π = TR – TC = 10Q – 3Q2 – ((3 + t).Q) = 10Q – 3Q2 – (3Q + tQ)
6Q = 0  6Q = 6 dan Q = 1
d2Π /d2Q = – 6 < 0 
maksimum Π = 7Q – 3Q2 – tQ = (7 – t)Q – 3Q2  dΠ/dQ = (7 – t)- 6Q =
0
Π maks akan dicapai pada saat Q = 1 dan
besarnya Π = 6(1) – 3(1)2 = 3 Saat Q = 1,
maka P = 10 – 3Q = 10 – 3(1) = 7

8. Karena: TC = (3 + t)Q dan TR = 10Q – 3Q2 , sehingga: Π = TR
– TC = 10Q – 3Q2 – ((3 + t).Q) = 10Q – 3Q2 – (3Q + tQ) Π = 7Q – 3Q2 – tQ = (7 –
t)Q – 3Q2  dΠ/dQ = (7 – t) - 6Q = 0 (7 – t) = 6Q  Q = (7 – t)/6
d2Π/d2Q = -6 < 0  maksimum
Jadi, profit akan maksimum pada saat Q =(7 – t)/6 dan P = 10 - 3Q 
P = 10 – 3((7 - t)/6) = 60 – (21 - 3t)/6 = (60 – 21+3t)/6 = (39 + 3t)/6 = (13 + t)/2
Πmax = (7 – t)Q – 3Q2 = (7 – t).(7 – t)/6 – 3((7 – t)/6)2 = (7 – t)2/6 –3(7 – t)2/36
= (7 – t)2/6 –3(7 – t)2/36 = (7 – t)2/6 – (7 – t)2/12
= (2(7 – t)2 – (7 – t)2)/12 = (7 – t)2/12
T = t.Q = t.(7 – t)/6 = (7t – t2)/6  dT/dt = (7 – 2t)/6 = 0, sehingga: (7 – 2t)
= 6 . (0)  7 – 2t = 0  7 = 2t ; t = 7/2 d2T/d2t = -2/6 = -1/3 < 0 
maks
Dengan t = 7/2, Q = (7 – t)/6 = (7 – (7/2))/6 = ((14 –7)/2)/6 = (7/2)/6 = 7/12
P = (13 + t)/2 = (13 + (7/2))/2 = ((26 + 7)/2)/2 = (33/2)/2 = 33/4
T = t.Q = (7t – t2)/6 = (7.(7/2) – (7/2)2)/6 = (49/2 – 49/4)/6 = ((98
– 49)/4)/6 = 49/24