ứNg dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
------
PHẠM TIẾN PHÁT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
TP. Hồ Chí Minh, năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
------
PHẠM TIẾN PHÁT
NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ
MÃ SỐ: 102
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Ths. NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN
TP. Hồ Chí Minh, năm 2012

MỤC LỤC
MỤC LỤC...................................................................................................................1
DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ................................................................3
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ....................................................................................8
1.1.Một số khái niệm .........................................................................................8
1.1.1. Hàm gốc ...............................................................................................8
1.1.2. Hàm Heaviside.....................................................................................8
1.1.3. Hàm Delta Dirac ..................................................................................8
1.2.Phép biến đổi Laplace 1 phía.....................................................................10
1.2.1. Định nghĩa..........................................................................................10
1.2.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 1 phía ......................................10
1.3.Phép biến đổi Laplace 2 phía.....................................................................11
1.3.1. Định nghĩa..........................................................................................11
1.3.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 2 phía ......................................11
1.4.Các tính chất của phép biến đổi Laplace ...................................................13
1.4.1. Tính tuyến tính...................................................................................13
1.4.2. Tính đồng dạng ..................................................................................13
1.4.3. Tính chất dịch chuyển ảnh .................................................................14
1.4.4. Tính chất trễ .......................................................................................14
1.4.5. Ảnh của một hàm tuần hoàn ..............................................................14
1.4.6. Đạo hàm gốc ......................................................................................15
1.4.7. Tích phân gốc.....................................................................................18
1.4.8. Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn
).........................................................19
1.4.9. Tích phân ảnh (Luật chia cho t) .........................................................19
1.4.10. Ảnh của tích chập.............................................................................19
1.4.11. Định lý giá trị đầu-cuối....................................................................22
1.5.Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh.......................................22

1.5.1. Định lý................................................................................................22
1.5.2. Ảnh của tích hai gốc...........................................................................23
1.6.Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều........................................................23
1.6.1. Định nghĩa..........................................................................................23
1.6.2. Miền hội tụ.........................................................................................23
1.6.3. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều........24
1.7.Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2............................................29
1.7.1. Định nghĩa..........................................................................................29
1.7.2. Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ....30
1.7.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2....................31
Chương 2. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng..............................................................................34
2.1.Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2
không điều kiện đầu và điều kiện biên......................................................................34
2.1.1. Phương pháp giải chung.....................................................................34
2.1.2. Ví dụ áp dụng.....................................................................................35
2.2.Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2
có điều kiện đầu, điều kiện biên................................................................................38
2.2.1. Phương pháp giải chung.....................................................................38
2.2.2. Ví dụ áp dụng.....................................................................................39
Chương 3. Kết luận và hướng phát triển...................................................................53
3.1.Các kết quả đạt được..................................................................................53
3.2.Hướng phát triển........................................................................................54
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................55
PHỤ LỤC..................................................................................................................56

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
nL : phép biến đổi Laplace tác dụng lên n biến số
xL : phép biến đổi Laplace tác dụng lên biến số x
L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên tất cả các biến số
L∞ : phép biến đổi Laplace 2 phía
0L : phép biến đổi Laplace 1 phía
1
L−
: phép biến đổi Laplace ngược
R : tập số thực
C: tập số phức
■: kí hiệu đánh dấu giới hạn của phần chứng minh một công thức, định lý

MỞ ĐẦU
Các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò to lớn
trong Vật lý, là công cụ đắc lực mô tả các hiện tượng Vật lý vì nó cho phép biểu
diễn sự biến đổi của các đại lượng theo không gian và thời gian. Chẳng hạn phương
trình truyền sóng mô tả sự truyền các dao động trong các môi trường, phương trình
truyền nhiệt mô tả sự truyền nhiệt lượng, phương trình Navier-Stokes mô tả các chế
độ chảy của chất lưu, hệ phương trình Maxwell-Ampere mô tả trường điện từ và
cách thức truyền các nhiễu loạn điện từ,... Như vậy, nhu cầu tìm hiểu tường tận về
các hiện tượng vật lý đòi hỏi việc giải các phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng. Các kĩ thuật giải loại phương trình này xuất hiện từ rất sớm và phát triển
rất đa dạng, trong đó, phải kể đến phương pháp tách biến, phương pháp tích phân,
phương pháp hàm Green,...[5]. Việc tìm hiểu ưu-nhược điểm và phạm vi ứng dụng
của mỗi phương pháp là điều không thể thiếu để giải quyết các phương trình vi
phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong các phương pháp tích phân hay gặp có
phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace có những
ứng dụng quan trọng trong giải tích và áp dụng trên một lớp rộng các hàm số trong
việc giải các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm
riêng, phương trình sai phân riêng phần và các hệ của chúng. Hay gặp nhất là phép
biến đổi Laplace một phía đã được nghiên cứu từ rất sớm và phát triển đa dạng để
đáp ứng nhu cầu giải quyết các vấn đề của khoa học tự nhiên. [1]
Trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, ý tưởng của phép biến đổi
Laplace là dùng một phép tích phân có thể làm mất đạo hàm trong các phương
trình. Mặt khác nó chuyển không gian hàm gốc sang không gian ảnh. Nhờ đó, ảnh –
với tư cách là một hàm với biến số thuộc không gian mới không chịu tác động của
các toán tử (tích phân, đạo hàm) tác dụng lên các biến của không gian cũ. Như vậy,
phép biến đổi Laplace có thể đơn giản hóa được các phương trình vi phân và
phương trình đạo hàm riêng.

Trên cơ sở lý luận trên, luận văn được trình bày với mục đích tìm hiểu về
phép biến đổi Laplace và phát triển nó để giải các phương trình đạo hàm
riêng.
Với mục đích như thế, chúng tôi thực hiện các mục tiêu sau:
- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết của phép biến đổi Laplace cùng các tính chất của
nó
- Dựa trên đặc thù của phép biến đổi, thử áp dụng nó cho một lớp các phương
trình đạo hàm riêng thích hợp
- Rút ra ưu-nhược điểm của phép biến đổi Laplace
- Các đề xuất phát triển của đề tài
Trên thế giới đã có các giáo trình trình bày qui mô và nghiêm túc phép biến
đổi Laplace cũng như áp dụng nó để giải các phương trình vi phân, điển hình như là
[3-5]. Trong các công trình này, các tác giả đã tập trung nghiên cứu và giải quyết
các vấn đề cơ bản như sự tồn tại phép biến đổi Laplace, điều kiện áp dụng, các kĩ
thuật toán học và mở rộng bảng đối chiếu gốc-ảnh. Ở Việt Nam, chỉ mới thấy các
giáo trình viết về phép biến đổi Laplace ở mức độ đơn giản như: phép biến đổi
Laplace 1 phía, phép biến đổi Laplace 1 chiều, áp dụng giải phương trình vi phân
đơn giản, chỉ một biến số. Các mục tiêu của luận văn sẽ được cụ thể hóa bằng việc
đi sâu hơn vào phép biến đổi Laplace 2 phía, nhiều chiều mà biến đổi Laplace 1
phía như là một trường hợp riêng của nó và ứng dụng nó để giải các phương trình
đạo hàm riêng nhiều biến số. Phép biến đổi Laplace 2 phía có nhiều ưu điểm hơn so
với phép biến đổi Laplace 1 phía như là lớp hàm áp dụng rộng hơn, các tính chất và
biến đổi đơn giản hơn [1]. Trong quá trình khảo sát, phép biến đổi Laplace 1 phía
xuất hiện như một trường hợp riêng của phép biến đổi Laplace 2 phía giúp ta có cái
nhìn sâu sắc và bản chất. Cuối cùng, chúng tôi mở rộng phép biến đổi ra nhiều
chiều để giải các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến.

Phương pháp nghiên cứu chúng tôi sử dụng chủ yếu là:
- Thu thập thông tin: tham khảo các giáo trình và đề tài liên quan để có cái
nhìn sơ bộ về tình hình nghiên cứu phép biến đổi Laplace, các kết quả, ứng dụng đã
có
- Phương pháp toán học: cấu trúc logic các kiến thức, chứng minh và làm rõ
một số kiến thức mới
- Phương pháp đàm thoại, trao đổi với Giảng viên hướng dẫn và các đồng
nghiệp để hiểu rõ vấn đề hơn
Luận văn sẽ là một đóng góp cho hệ thống phương pháp và kinh nghiệm giải-
khảo sát các phương trình đạo hàm riêng đồng thời trang bị cho bản thân cũng như
các sinh viên quan tâm những hiểu biết cần thiết để giải quyết các bài toán Vật lý
liên quan đến các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương chính:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Chương 3: Kết luận và hướng phát triển
Chương 1 trình bày các kiến thức cần thiết về phép biến đổi Laplace bao gồm
định nghĩa, điều kiện tồn tại và các tính chất quan trọng của phép biến đổi. Khái
niệm về phép biến đổi Laplace gắn liền với khái niệm “hàm gốc”, mà sản phẩm của
nó qua phép biến đổi gọi là “ảnh”. Phép biến đổi Laplace 1 phía được trình bày
trước làm cơ sở để định nghĩa phép biến đổi Laplace 2 phía. Sau đó là liệt kê và
chứng minh các tính chất của phép biến đổi Laplace, quan trọng nhất là tính chất về
đạo hàm và tích phân ảnh, đây là cơ sở để sử dụng phép biến đổi, đưa một phương
trình đạo hàm riêng về dạng đại số. Đồng thời, nhờ tính chất này mà các đòi hỏi về

điều kiện đầu, điều kiện biên xuất hiện ngay từ những bước đầu giải phương trình
như những dữ kiện đầu vào để tiếp tục thuật giải. Như thế, sẽ giảm được một lượng
lớn các tính toán phức tạp. Lưu ý rằng chương này không đi sâu vào trình bày các
thủ thuật tìm ảnh, tìm gốc, vốn rất phổ biến trong các giáo trình về phép biến đổi
Laplace. Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về lớp phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 hệ số hằng: định nghĩa, phân loại, dạng chính tắc.
Việc nghiên cứu lớp phương trình này đóng vai trò quan trọng vì rất nhiều bài toán
trong Vật lý quy về việc giải các phương trình đạo hàm riêng bậc 2 như bài toán dao
động trong môi trường đàn hồi, sự truyền nhiệt, truyền sóng điện từ, sự chuyển
động của chất lưu,...
Chương 2 trình bày việc áp dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương
trình đạo hàm riêng bậc 2 trên cơ sở lựa chọn nhiều phương trình Toán-Lý điển
hình để giải ở mức độ tổng quát hơn. Qua đó, phân tích và đánh giá tác dụng của
phép biến đổi. Vì thế, chúng tôi không đi sâu vào giải chi tiết ra kết quả sau cùng
mà chú trọng vào quá trình biến đổi. Trong thực tế, các phương trình này rất phức
tạp và cần giải bằng phương pháp số sau khi đã đơn giản hóa bằng phép biến đổi
Laplace.
Chương cuối cùng tổng kết các kết quả đạt được: kinh nghiệm thao tác với
phép biến đổi, khả năng giải lớp phương trình đã đề xuất, hướng phát triển cho đề
tài,...
Xin chân thành cám ơn:
- Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân đã hướng dẫn tận tình, cho nhiều góp ý quý báu.
- Các thành viên trong lớp SP Vật Lý K34 đã giúp đỡ về mặt kiến thức, chia sẻ
nhiều kinh nghiệm và khích lệ về mặt tinh thần.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 5 năm 2012
Tác giả

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Hàm gốc
Hàm số f(t) (t ∈ R) là một hàm gốc, nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
+ Liên tục từng khúc trên R
+
1
2
t
2 1
1 2 1 2 t
2
f (t) M e t 0,
(M ;M ) R R ,( ; ) R :
f (t) M e t 0.
ω
+ +
ω
 ≤ ∀ ≥
∃ ∈ × ω ω ∈ 
≤ ∀ <
(nghĩa là f(t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t tiến tới ∞)
1.1.2. Hàm Heaviside
a. Hàm Heaviside đơn vị
Hàm Heaviside đơn vị (hàm bậc thang đơn vị) được định nghĩa bởi
0 khi t 0,
H(t)
1 khi t 0.
<
= 
≥
b. Hàm Heaviside đơn vị trễ to
Hàm Heaviside đơn vị trễ to (hàm bậc thang đơn vị trễ to) được định nghĩa bởi
o
o
o
0 khi t t ,
H(t t )
1 khi t t .
<
− =
≥
Nếu f(t) là một hàm bất kì thì o
o
o
0 khi t t ,
f (t)H(t t )
f (t) khi t t .
<
− =
≥
1.1.3. Hàm Delta Dirac
Xét họ hàm
0 khi t ,
1
f (t) (t ) khi t ,
2
1 khi t
ε
< −ε


= + ε − ε ≤ ≤ ε
ε
> ε
với 0ε > ,
ta thấy 0∀ε > , họ hàm fε(t) liên tục với mọi t và
0
lim f (t) H(t)
+ ε
ε→
= .

Xét họ đạo hàm theo t của f(t):
0 khi t ,
1
f ' (t) khi t ,
2
0 khi t ,
ε
< −ε


= − ε ≤ ≤ ε
ε
> ε
ta luôn có
1
f ' (t)dt f ' (t)dt f ' (t)dt f ' (t)dt f ' (t)dt dt 1
2
+∞ −ε ε +∞ ε ε
ε ε ε ε ε
−∞ −∞ −ε ε −ε −ε
= + + = = =
ε∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,
khi đó,
0
lim f ' (t) (t)
+ ε
ε→
= δ với δ(t) thỏa
(t) 0 t 0,
(t) khi t 0,
(t) 1,
+∞
−∞

δ = ∀ ≠

δ = +∞ =

δ =∫
δ(t) được gọi là hàm Delta Dirac. Lưu ý rằng hàm này không phải là một hàm số
đúng nghĩa – nó là một hàm suy rộng. Ta có thể định nghĩa hàm Delta Dirac bởi
biểu thức
dH(t)
(t)
dt
δ = hay
(t) 0 t 0
(t) và (t) 1
(t) khi t 0
+∞
−∞
δ= ∀ ≠
δ= δ=
δ = +∞ =
∫ hay bằng tích phân
Fourier ikt1
(t) e dk.
2
+∞
−∞
δ =
π ∫
Các tính chất cơ bản của hàm Delta Dirac:
●
t
H(t) (k)dk
−∞
= δ∫ (suy trực tiếp từ định nghĩa)
● Nếu f(t) liên tục tại t = to thì f(t)δ(t - to) = f(to)δ(t - to)
●
b
o o
o
oa
f (t ) khi a t b
f (t) (t t )dt
0 khi t [a;b]
< <
δ − =
∉
∫
●
1
(at) (t)
| a |
δ = δ
● Delta Dirac là hàm chẵn: δ(-t) = δ(t)

1.2. Phép biến đổi Laplace 1 phía
1.2.1. Định nghĩa
Cho p = ω + s.i là một số phức, f(t) là một hàm gốc, xét ánh xạ R C→ biến
f(t) thành F(p) với pt
0
F(p) f (t)e dt
+∞
−
= ∫ .
Ta gọi ánh xạ trên là phép biến đổi Laplace 1 phía biến f(t) thành F(p) và kí
hiệu là L{f(t)}. Khi đó, F(p) được gọi là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace, f(t)
được gọi là gốc. Theo kí hiệu trên, ta có pt
0
L{f (t)} f (t)e dt
+∞
−
= ∫ . (1.1)
Ánh xạ ngược biến F(p) thành f(t) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược, kí
hiệu là L-1
, như vậy 1
L {F(p)} f (t)−
= .
1.2.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 1 phía
Định lý: Hàm ảnh F(p)
+ Tồn tại trong miền Re(p) = ω > ωo
+ Giải tích trong miền Re(p) = ω > ωo
+ F(p) → 0 khi p → ∞ sao cho Re(p) → ∞
■ Chứng minh:
Với op: Re(p)∀ > ω , t 0∀ ≥ , vì f(t) là một hàm gốc nên ta có
o o o ot t t ( )tpt pt t ist
f (t) Me f (t)e Me . e Me e e Me ,ω ω ω ω −ω− − −ω −
≤ ⇔ ≤ = =
o
o
( )t
( )tpt
o
o o0 0 0
Me M
f (t)e dt Me dt do Re(p) ,
+∞+∞ +∞ ω −ω
ω −ω−
⇒ ≤ = = = ω > ω
ω − ω ω − ω∫ ∫
pt
o0
M
f (t)e dt
+∞
−
⇔ ≤
ω − ω∫
pt
0
f (t)e dt
+∞
−
⇒ ∫ hội tụ pt
0
F(p) f (t)e dt
+∞
−
⇒ =∫ hội tụ
(tức là tồn tại) trên miền Re(p) = ω > ωo.
Khi p → ∞ sao cho Re(p) = ω → ∞ thì
o
M
0 F(p) 0→ ⇒ →
ω − ω
.

Sau cùng, chúng tôi chứng minh tính giải tích của hàm ảnh bằng định lý
Weierstrass,
o o( )t ( ')tpt
o2
o0 0 0
M
f(t)e dt M t.e dt M t.e dt , ' R : ' Re(p) .
( ' )
+∞ +∞ +∞
ω −ω ω −ω−
≤ < = ω ∈ ω < ω ≤ = ω
ω − ω∫ ∫ ∫
Chú ý là pt pt
0 0
t.f (t)e dt f (t)e dt
p
+∞ +∞
− −∂
− =
∂∫ ∫ , theo định lý Weierstrass, F(p) hội tụ đều
trên miền Re(p) = ω > ωo. ■
1.3. Phép biến đổi Laplace 2 phía
Cho p = ω + s.i là một số phức, f(t) là một hàm gốc, xét ánh xạ R C→ biến
f(t) thành F(p) với pt
F(p) f (t)e dt
+∞
−
−∞
= ∫ .
Ta gọi ánh xạ trên là phép biến đổi Laplace 2 phía biến f(t) thành F(p) và kí
hiệu là L{f(t)}. Khi đó, F(p) được gọi là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace, f(t)
được gọi là gốc, với kí hiệu trên thì pt
L{f (t)} f (t)e dt
+∞
−
−∞
= ∫ . (1.2)
Ánh xạ ngược biến F(p) thành f(t) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược, kí
hiệu là L-1
, theo đó 1
L {F(p)} f (t)−
= .
1.3.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 2 phía
Định lý: Hàm ảnh F(p)
+ Tồn tại trong miền 1 2Re(p)−∞ ≤ ω < = ω < ω ≤ +∞
+ Giải tích trong miền với 1 2Re(p)−∞ ≤ ω < = ω < ω ≤ +∞
Miền hội tụ này là có dạng một dải bao bởi 2 đường thẳng song song với trục
ảo trong mặt phẳng phức là Re(p) = ω1 và Re(p) = ω2.

■ Chứng minh:
Với 1 2p : Re(p)∀ −∞ ≤ ω < = ω < ω ≤ +∞ , ta có
2 1
0 0
pt pt pt pt pt
0 0
0
pt pt ( p)t pt
0 0 0
I I
F(p) f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt f ( t)e d( t) f (t)e dt
f ( t)e dt f (t)e dt f ( t)e dt f (t)e dt.
+∞ +∞ +∞
− − − −
−∞ −∞ +∞
+∞ +∞ +∞
− − − −
+∞
= = + = − − +
=− − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
 
Trong phần 1.2.2, chúng tôi đã chứng minh được tích phân I1 hội tụ trên miền
1Re(p) = ω > ω (ω1 là một số thực nào đó). I2 cũng là một phép biến đổi Laplace
một chiều với biến số (-p) nên cũng hội tụ trên miền 2Re( p) ':− = ω > ω = −ω tức là
2Re(p) < ω .
- Nếu 1 2ω < ω : miền hội tụ là một dải bao bởi 2 đường 1Re(p) = ω và
2Re(p) = ω hay phép biến đổi 2 phía xác định trên miền
1 2Re(p)−∞ ≤ ω < = ω < ω ≤ +∞
- Nếu 1 2ω > ω : không tồn tại một miền nào cho I1 và I2 cùng hội tụ nên hàm
f(t) không có phép biến đổi Laplace 2 phía
- Nếu 1 2ω =ω : phép biến đổi Laplace 2 chiều có miền hội tụ chỉ là một đường
thẳng 1 2Re(p) =ω =ω
Tính chất sau chứng minh tương tự phép biến đổi Laplace 1 chiều. ■
Phép biến đổi Laplace 1 phía là trường hợp riêng của phép biến đổi
Laplace 2 phía, thật vậy
pt pt
0
0
L {f (t)H(t)} f (t)H(t)e dt f (t)H(t)e dt L {f (t)H(t)}
+∞ +∞
− −
∞
−∞
= = =∫ ∫ .
Như vậy, để chuyển phép biến đổi Laplace 2 phía của một hàm thành phép
biến đổi Laplace 1 phía, ta chỉ cần nhân hàm đó với hàm Heaviside H(t) hay nói
cách khác, với mọi hàm dạng f (t)H(t), 0L L∞ = .

1.4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
1.4.1. Tính tuyến tính
Cho f(t) và g(t) là 2 hàm gốc và ảnh tương ứng của chúng là L{f(t)} = F(p) với
ω1 < Re(p) < ω2 và L{g(t)} = G(p) với ω’1 < Re(p) < ω’2; a và b là 2 số phức bất kì,
khi đó
L{af(t) bg(t)} a.L{f(t)} b.L{g(t)}+ = + ,
với max(ω1;ω’1) < Re(p) < min(ω2;ω’2) là miền hội tụ.
■ Chứng minh:
pt pt pt
L{af(t) bg(t)} [af(t) bg(t)]e dt a f(t)e dt b g(t)e dt a.L{f(t)} b.L{g(t)}.
+∞ +∞ +∞
− − −
−∞ −∞ −∞
+ = + = + = +∫ ∫ ∫
Do đó, L{af(t) bg(t)} a.L{f(t)} b.L{g(t)}+ = + .
Dễ thấy max(ω1;ω’1) < Re(p) < min(ω2;ω’2) là miền hội tụ đảm bảo. ■
1.4.2. Tính đồng dạng
L{f(t)} = F(p) với ω1 < Re(p) < ω2,
- Cho R+
α∈ , thì 1 2
1 p
L{f ( t)} F Re(p)
 
α= αω < < αω 
α α 
- Cho R−
α∈ , thì 2 1
1 p
L{f ( t)} F Re(p)
 
α = − αω < < αω 
α α 
■ Chứng minh:
Theo định nghĩa pt
L{f ( t)} f ( t)e dt
+∞
−
−∞
α = α∫ .
Nếu α > 0, đặt u = αt thì dt = du/α, có
p
u1 1 p
L{f (u)} f (u)e du F
+∞ −
α
−∞
 
= =  
α α α 
∫ .
Vậy,
1 p
L{f ( t)} F
 
α =  
α α 
.
Trường hợp α < 0 chứng minh tương tự (do cận bị đảo nên xuất hiện dấu “-”).
Miền hội tụ được nhân thêm α là do phép đổi biến u = αt. ■

Ví dụ: L{H(t)} 1= với miền hội tụ là 0 < Re(p) < +∞.
L{ H( t)} 1− − =với miền hội tụ là -∞ < Re(p) < 0.
1.4.3. Tính chất dịch chuyển ảnh
Cho Cα∈ , L{f(t)} = F(p) với ω1 < Re(p) < ω2
thì t
L{e f (t)} F(p )α
= − α với 1 2Re( ) Re(p) Re( )ω − α < < ω − α .
■ Chứng minh:
t t pt (p )t
L{e f (t)} f (t)e e dt f (t)e dt F(p )
+∞ +∞
α α − − −α
−∞ −∞
= = = − α∫ ∫ .
Dễ thấy, do số mũ bị đổi thành (p – α) nên miền hội tụ bị tịnh tiến như trên. ■
1.4.4. Tính chất trễ
Cho a R∈ , L{f(t)} = F(p) với ω1 < Re(p) < ω2 thì pa
L{f (t a)} e F(p)+ = với
1 2Re(p)ω < < ω .
■ Chứng minh:
pt p(u a) pa pu pa
L{f (t a)} f (t a)e dt f (u)e du e f (u)e du e F(p)
+∞ +∞ +∞
− − − −
−∞ −∞ −∞
+ = + = = =∫ ∫ ∫
với miền hội tụ không đổi ω1 < Re(p) < ω2. ■
Ví dụ: Nếu L{H(t).f(t)} = F(p) với ω1 < Re(p) < ω2 thì:
- Với a > 0, L{H(t).f(t + a)} = epa
F(p) với ω1 < Re(p) < ω2
- Với a < 0, L{H(t + a).f(t + a)} = epa
F(p) với ω1 < Re(p) < ω2
1.4.5. Ảnh của một hàm tuần hoàn
Nếu f(t) là một hàm gốc có chu kì T tức là f(t) = f(t + T) thì
T
pT
pT
e f (t)dt
L{f (t)} F(p)
1 e
−
−∞
−
= =
−
∫
,
T
pT
0
pT
e f (t)dt
L{f (t)H(t)} F(p)
1 e
−
−
= =
−
∫
.

■ Chứng minh:
T
pt pt pt
T
F(p) f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt
+∞ +∞
− − −
−∞ −∞
= = +∫ ∫ ∫ .
Đặt t = u + T thì dt = du, khi đó
pt p(u T) pT pu pT
T 0 0
f (t)e dt f (t)e du e f (t)e du e F(p)
+∞ +∞ +∞
− − + − − −
= = =∫ ∫ ∫ .
Do đó,
T
pt
T
pt pT
pT
f (t)e dt
F(p) f (t)e dt e F(p) F(p)
1 e
−
− − −∞
−
−∞
= + ⇔=
−
∫
∫ .
Công thức
T
pT
0
pT
e f(t)dt
L{f(t)H(t)} F(p)
1 e
−
−
= =
−
∫
chứng minh hoàn toàn tương tự. ■
1.4.6. Đạo hàm gốc
a. Công thức đạo hàm gốc
Cho f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f’(t) cũng là hàm gốc, L{f(t)} = F(p) thì
L{f’(t)} = pF(p).
■ Chứng minh:
Theo định nghĩa (1.2) pt
L{f '(t)} f '(t)e dt
+∞
−
−∞
= ∫ .
Đặt
pt pt
u e du pe
dv f '(t)dt v f (t)
− − = = − 
⇒ 
= =  
thì
pt pt pt pt
L{f '(t)} f '(t)e dt f (t)e p f (t)e dt f (t)e pF(p)
+∞ +∞
+∞ +∞− − − −
−∞ −∞
−∞ −∞
= = + = +∫ ∫ .
Theo định nghĩa hàm gốc ở mục 1.1.1, ta có
pt pt pt
t t
f (t)e lim e f (t) lim e f (t) 0
+∞− − −
−∞ →+∞ →−∞
= − = .
Vậy, L{f’(t)} = pF(p).

Cũng có thể chứng mình bằng cách khác như sau:
Ta có
p
1 2
f (t) f (t ) 1 e
L F(p) Re(p)
ε
− − ε − 
= ω < < ω 
ε ε 
mà
p
pt pt
0 0 0
p
f (t) f (t ) 1 e
lim f (t, )e dt e lim f (t, )dt lim L lim F(p)
+∞ +∞ ε
− −
ε→ ε→∞ ε→ ε→
−∞ −∞
=
− − ε − 
ε= ε ⇒ = 
ε ε 
∫ ∫ 
1 2
0
f (t) f (t )
L lim pF(p) Re(p)
ε→
− − ε 
⇔ = ω < < ω 
ε 
.■
Nếu f(n)
(t) vẫn là hàm gốc thì áp dụng liên tiếp kết quả trên, ta được
L{f(n)
(t)} = pn
F(p).
b. Công thức đạo hàm gốc cho phép biến đổi Laplace 1 chiều
Cho f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f’(t) cũng là hàm gốc, L{f(t)H(t)} = F(p)
thì L{f’(t)H(t)} = pF(p).
■ Chứng minh:
Theo công thức định nghĩa (1.1) pt
0
L{f '(t)H(0)} f '(t)e dt
+∞
−
= ∫ .
Đặt
pt pt
u e du pe
dv f '(t)dt v f (t)
− − = = − 
⇒ 
= =  
thì
pt pt pt
0
0 0
pt
0
L{f '(t)H(t)} f '(t)e dt f (t)e p f (t)e dt
f (t)e pF(p) pF(p) f (0 ).+
+∞ +∞
+∞− − −
+∞− +
= = +
= + = −
∫ ∫
Vậy, L{f '(t)H(t)} pF(p) f (0 )+
= − . (1.3)
Nếu f(n)
(t) vẫn là hàm gốc thì áp dụng liên tiếp kết quả trên, ta được
2
L{f ''(t)H(t)} pL{f '(t)H(t)} f '(0 )
p[pF(p) f (0 )] f '(0 ) p F(p) pf (0 ) f '(0 ),
+
+ + + +
= −
= − − = − −
..........................................................................................................
(n) n n 1 n 2 0 (n 1)
L{f (t)H(t)} p F(p) [p f (0 ) p f '(0 ) ... p f (0 )],− + − + − +
= − + + +

hay
k n 1
(n) n n k 1 (k)
k 0 t 0
L{f (t)H(t)} p L{f (t)H(t)} p f (t)
+
= −
− −
= =
= − ∑ . (1.4)
Hệ quả:
Lấy giới hạn 2 vế của (1.3) và chú ý
p
Re(p)
lim L{f (t)H(t)} 0
→∞
→∞
= (định lý về sự tồn
tại của ảnh – xem tiểu mục (1.2.2)), ta có
p p p p
lim L{f '(t)H(t)} lim pF(p) 0 lim pF(p) lim pF(p) 0
→∞ →∞ →∞ →∞
= ⇔= ⇔ = .
c. Mở rộng cho hàm trễ Heaviside
Ta có
o
pt
o
t
L{f (t)H(t t )} f (t)e dt
+∞
−
− =∫ .
Áp dụng tính chất trễ L{H(t + a).f(t + a)} = epa
L{f(t)H(t)} (a = -to < 0)
và thay f(t) bằng hàm f(t + to) thì f(t + a) chuyển thành
f(t + to + a) = f(t + to – to) = f(t).
Vậy, opt
o oL{f (t)H(t t )} e L{f (t t )H(t)}−
− = + .
Xem (1.4), ta có
o
o
k n 1
(n) n n k 1 (k)
k 0 t 0
k n 1
(n) n n k 1 (k)
o o o
k 0 t 0
pt(n) (n)
o o
pt (n) n
o o
L{f (t)H(t)} p L{f (t)H(t)} p f (t) ,
L{f (t t )H(t)} p L{f (t t )H(t)} p f (t t ) ,
mà L{f (t)H(t t )} e L{f (t t )H(t)},
e L{f (t)H(t t )} p L{f (t t )H
+
+
= −
− −
= =
= −
− −
= =
−
= −
⇒ + = + − +
−= +
⇒ − = +
∑
∑
o o
o
k n 1
n k 1 (k)
o
k 0 t 0
k n 1
pt pt(n) n n k 1 (k)
o o
k 0 t tL{f (t)H(t)}
(t)} p f (t t ) ,
L{f (t)H(t t )} p e L{f (t t )H(t)} e p f (t) .
+
= −
− −
= =
= −
− − − −
= ==
− +
⇒ −= + −
∑
∑
Vậy, o
o
k n 1
pt(n) n n k 1 (k)
o
k 0 t t
L{f (t)H(t t )} p L{f (t)H(t)} e p f (t)
= −
− − −
= =
−= − ∑ .

1.4.7. Tích phân gốc
a. Công thức tích phân gốc
Cho L{f(t)} = F(p):
- Nếu Re(p) > 0 thì
t
1 2
F(p)
L f (t)dt max( ,0) Re(p)
p−∞
  
= ω < < ω 
  
∫
- Nếu Re(p) < 0 thì
t
1 2
F(p)
L f (t)dt Re(p) min( ,0)
p+∞
  
= ω < < ω 
  
∫
■ Chứng minh:
Với Re(p) > 0 thì L{H(t)} = 1 hay L-1
{1} = H(t). Khi đó
t
1 1
L f (p).1 f (x)H(t x)dx f (x)H[ x ( t)]dx f (x)dx
p
+∞ +∞
−
−∞ −∞ −∞
 
= −= − − −= 
 
∫ ∫ ∫ .
Với Re(p) < 0 thì L-1
{1} = -H(-t). Khi đó
t
1
t
1
L f (p).1 f (x)H(x t)dx f (x)dx f (x)dx
p
+∞ +∞
−
−∞ +∞
 
=− − =− = 
 
∫ ∫ ∫ .■
Một cách tổng quát, ta có thể mở rộng tính chất trên như sau:
- Với Re(p) > 0 thì
t
1 n 1
n
1 1
L f (p) f (x)(t x) dx
n 1p
− −
−∞
 
= − 
− 
∫
- Với Re(p) < 0 thì
t
1 n 1
n
1 1
L f (p) f (x)(t x) dx
n 1p
− −
+∞
 
= − 
− 
∫
b. Mở rộng cho hàm trễ Heaviside
Cho L{H(t – to)f(t)} = F(p).
Với Re(p) > 0 thì
o
t
1 n 1
n
t
1 1
L F(p) f (x)(t x) dx
n 1p
− − 
= − 
− 
∫
Với Re(p) < 0 thì
o
t
1 n 1
n
t
1 1
L F(p) f (x)(t x) dx
n 1p
− − 
= − 
− 
∫

1.4.8. Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn
)
Nếu L{f(t)} = F(p) thì
dF(p)
L{t.f (t)}
dp
= − . (1.5)
■ Chứng minh:
pt
pt ptdF(p) d de
f (t)e dt f (t) dt tf (t)e dt L{tf (t)}
dp dp dp
+∞ +∞ +∞−
− −
−∞ −∞ −∞
− =− =− = =∫ ∫ ∫ .■
Áp dụng liên tiếp kết quả (1.5) ta được L{tn
f(t)} = (-1)n
F(n)
(p).
Tương tự, ta cũng có L{H(t – to).tn
f(t)} = (-1)n
F(n)
(p).
1.4.9. Tích phân ảnh (Luật chia cho t)
Nếu
p
F(p)dp
+∞
∫ hội tụ thì
p
f (t)
L F(p)dp
t
+∞
 
= 
 
∫ .
■ Chứng minh:
Ta có pt
p p
F(p)dp dp f (t)e dt
+∞ +∞ +∞
−
−∞
=∫ ∫ ∫ . (1.6)
Đổi thứ tự lấy tích phân trong (1.6), khi đó,
pt pt pt
p p p
f (t) f (t)
F(p)dp dp f (t)e dt f (t)dt e dp e dt L
t t
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞
− − −
−∞ −∞ −∞
 
= = ==  
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .■
1.4.10. Ảnh của tích chập
a. Tích chập của 2 hàm gốc
Tích chập của 2 hàm gốc f(t) và g(t) được kí hiệu là f*g và được định nghĩa
bởi f (t)*g(t) f (x).g(t x)dx
+∞
−∞
= −∫ .
b. Các tính chất cơ bản của tích chập
- Tính giao hoán: f*g = g*f
- Tích chập của 2 hàm gốc là một hàm gốc

c. Ảnh của tích chập qua phép biến đổi Laplace
Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω1 < Re(p) < ω2 và L{g(t)} = G(p) trên
, ,
1 2Re(p)ω < < ω thì
L{f*g} = F(p).G(p) trên max(ω1, ω’1) < Re(p) < min(ω2, ω’2).
■ Chứng minh:
Ta có pt pt
L{f *g} e dt f (x)g(t x)dx f (x)g(t x)e dxdt
+∞ +∞ +∞ +∞
− −
−∞ −∞ −∞ −∞
= −= −∫ ∫ ∫ ∫ , (1.7)
mặt khác px px
1 2F(p)G(p) G(p). e f(x)dx e G(p)f(x)dx Re(p)
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
= = ω < < ω∫ ∫ . (1.8)
Theo tính chất dịch chuyển ảnh 1 px
L {e G(p)f(x)dx} f(x)g(t x)dx− −
= − . (1.9)
Áp dụng phép biến đổi Laplace vào 2 vế của (1.9), ta có
1 px
LL {e G(p)f (x)dx} L{f (x)g(t x)dx}− −
= −
px px
e G(p)f (x)dx f (x)g(t x)e dxdt
+∞
− −
−∞
⇔ = −∫ (1.10)
Thay (1.10) vào (1.8) ta thu được
px pt
F(p)G(p) e G(p)f (x)dx f (x)g(t x)e dxdt
+∞ +∞ +∞
− −
−∞ −∞ −∞
= = −∫ ∫ ∫ (1.11)
Từ (1.7) và (1.11), định lý được chứng minh. ■
d. Công thức Duhamel cho phép biến đổi Laplace 2 phía
Nếu L{f(t)} = F(p); L{g(t)} = G(p) thì
L-1
{ pF(p)G(p)} = f’*g; L-1
{ pF(p)G(p)} = f*g’.
■ Chứng minh:
Ta có L{f’(t)} = pF(p) nên L{f’*g} = L{f’}L{g} = pF(p)G(p). ■

e. Công thức Duhamel cho phép biến đổi Laplace 1 phía
Nếu L{H(t)f(t)} = F(p) và L{H(t)g(t)} = G(p) thì
L-1
{pF(p)G(p)} = H(t)[f(0).g(t) + f’*g],
L-1
{pF(p)G(p)} = H(t)[g(0).f(t) + f*g’].
■ Chứng minh:
Ta có pF(p)G(p) = f(0).G(p) + [pF(p) – f(0)].G(p).
Mặt khác L{H(t)f’(t)} = pF(p) – f(0) và L{H(t).f’*g} = L{H(t)f’(t)}.L{H(t)g(t)}
= [pF(p) – f(0)].G(p) = pF(p)G(p) – f(0)L{H(t)g(t)} = pF(p)G(p) – L{f(0).H(t)g(t)}.
Vậy, L{H(t)[f’*g + f(0).g(t)]} = pF(p)G(p) suy ra các công thức Duhamel. ■
f. Công thức tích chập mở rộng
Cho L{f1(t)} = F1(p) trên ω’1 < Re(p) < ω1;
L{f2(t)} = F2(p) trên ω’2 < Re(p) < ω2 ;…;
L{fn(t)} = Fn(p) trên ω’n < Re(p) < ωn.
Khi đó,
1
1 2 n 2 3 n 1 2 3 n 2 2 3 3 n n
, , ,
1 2 n 1 2 n
L {F (p)F (p)...F (p)} dx dx ... dx .f (t x x ... x )f (x )f (x )...f (x )
max( , ,..., ) Re(p) min( , ,..., ).
+∞ +∞ +∞
−
−∞ −∞ −∞
= − − − −
ω ω ω < < ω ω ω
∫ ∫ ∫
Thêm hàm fo(t) = H(t) trong nhóm n hàm trên thì L{H(t)} = 1 trên 0 < Re(p)
1
1 2 n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
, , ,
1 2 n 1 2 n
L {F (p)F (p)...F (p)} dx dx ... dx .H(t x x x ... x )f (x )f (x )...f (x )
max(0, , ,..., ) Re(p) min( , ,..., ).
+∞ +∞ +∞
−
−∞ −∞ −∞
= − − − − −
ω ω ω < < ω ω ω
∫ ∫ ∫
Vì H(t – x1 – x2 - …. – xn} = 1 khi t > x1 + x2 +… + xn nên
1 2 n
1 1 2 1 2 n 1
1
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
x x ... x t
t x t x x t x x ... xt
1
1 2 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
L {F (p)F (p)...F (p)} dx dx ... dx f (x )f (x )...f (x ).
L {F (p)F (p)...F (p)} dx dx dx ... dx f (x )f (x )...f (x ).
−
+∞ +∞ +∞
−
−∞ −∞ −∞
+ + + <
− − − − − − −
−
−∞ −∞ −∞ −∞
=
⇔ =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ: Cho L{f(t)H(t)} = F(p); L{g(t)H(t)} = G(p). Áp dụng tích chập ta có

t
1
0
1 2
L {F(p)G(p)} f(x)H(x)g(t x)H(t x)dx H(t) f(x)g(t x)dx
(max( , ) Re(p) ).
+∞
−
−∞
= − −= −
ω ω < < ∞
∫ ∫
1.4.11. Định lý giá trị đầu-cuối
Cho pt
0
L{f (t)} f (t)e dt
+∞
−
= ∫ . Đổi biến u = pt thì t = u/p. Khi đó,
u u
0 0
1 u u
L{f (t)H(t)} f e du pF(p) f e du
p p p
+∞ +∞
− −   
= ⇔=   
   
∫ ∫ ,
u
p p t 0
0
u
tp 0 p 0
0
u
limpF(p) limf e du lim f (t),
p
u
hay lim pF(p) lim f e du limf (t),
p
+
+ +
+∞
−
→∞ →∞ →
+∞
−
→∞→ →
 
⇒ = = 
 
 
= = 
 
∫
∫
hoặc có thể viết p
pF(p) f (0 )+
=+∞
= và p 0
pF(p) f ( )+
=
= +∞ .
1.5. Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh
1.5.1. Định lý
Nếu F(p) là một hàm phức thỏa mãn các tính chất sau:
- Giải tích trong miền 1 2Re(p)ω < < ω
- F(p) → 0 khi p → ∞ trong miền 1 2Re(p)ω < < ω
- Tích phân
a i.
pt
a i.
e F(p)dp
+ ∞
− ∞
∫ hội tụ tuyệt đối với a là một số thực thuộc miền
1 2Re(p)ω < < ω
Khi đó, F(p) là hàm ảnh của một hàm gốc f(t) xác định bởi công thức Mellin
a i.
pt
a i.
f (t) e F(p)dp
+ ∞
− ∞
= ∫ với ω1 < a < ω2,
và
a i.
pt
a i.
f (t)H(t) e F(p)dp
+ ∞
− ∞
= ∫ với ω1 < a < ∞.

1.5.2. Ảnh của tích hai gốc
Do tính tương ứng của tích chập, dễ dàng chứng minh rằng:
Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω’1 < Re(p) < ω1; L{g(t)} = G(p) trên ω’2 < Re(p) < ω2 thì
c i.
, ,
2 2 1 1
c i.
L{f (t)g(t)} F(x)G(p x)dx, c Re(p) c, c ( , )
+ ∞
− ∞
= − ω + < < ω + ∈ ω ω∫ .
1.6. Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều
Để tăng tính tổng quát, ta khảo sát phép biến đổi Laplace n-chiều 2 phía mà
một trường hợp riêng của nó là phép biến đổi Laplace 4-chiều 2 phía.
Cho hàm gốc 1 2 nf (r) f (r ,r ,...,r )= là một hàm số thực n biến,
1 2 nF(p) F(p ,p ,...,p )= là một hàm phức n biến. Khi đó, ánh xạ từ n n
R C→ biến
1 2 nf (r) f (r ,r ,...,r )= thành 1 2 nF(p) F(p ,p ,...,p )= kí hiệu là L{f(r)} được gọi là một
phép biến đổi Laplace n-chiều nếu
n
i i
i 1
p .r
1 2 n 1 2 n
n times
L{f (r)} ... f (r).e drdr ....dr F(p ,p ,...,p )=
+∞ +∞ −
−∞ −∞
∑
= =∫ ∫

.
Hiển nhiên L-1
{F(p)} = f(r) là một phép biến đổi Laplace ngược.
1.6.2. Miền hội tụ
Tồn tại một miền hội tụ dạng g(pi) = 0 để L{f(r)} tồn tại duy nhất, khi đó, để
tìm hàm gốc, chỉ cần tìm gốc theo biến kr (k bất kì) sẽ được hàm F1(pi, i ≠ k) rồi lại
tìm gốc theo biến jr (j bất kì) sẽ được hàm F2(pi, i ≠ j ≠ k), cứ như thế cho đến khi
được f(ri, i = 1,2,…,n) = f(r). Hay nói cách khác, trên một miền hội tụ xác định, có
thể tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace n-chiều bằng cách áp dụng liên tiếp các phép
biến đổi Laplace 1 chiều lên các biến bất kì không quan tâm đến thứ tự. Khi tìm gốc
từ một ảnh, cũng làm tương tự nhờ phép biến đổi Laplace ngược.

Tuy nhiên, từ một hàm ảnh có thể cho nhiều gốc khác nhau tùy vào miền hội
tụ được xét. Việc xác định các miền hội tụ này cũng như tìm các gốc tương ứng của
ảnh trong trường hợp nhiều biến khá phức tạp. [1], [6]
1.6.3. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều
Có các tính chất tương tự phép biến đổi Laplace 2 phía 1 chiều. Chúng tôi chú
trọng các tính chất sau:
a. Luật dịch chuyển
n
i i
i 1
a r
r a
i i iL{f (r a)} L{f (r a ,i 1,n} e f (p) e f (p ,i 1,n),=
∑
+ = + = = = =
hay r a1 i i
n n
i i i i
i 1 i 1
F(p a) F(p a ,i 1,n)
L {e f (r)} .
(p a ) (p a )
−−
= =
+ + =
= =
+ +∏ ∏
b. Tích chập
Cho L{f(r)} = F(p) và L{g(r)} = G(p) thì
1
1 2 n i i iL {F(p)G(p)} d d ... d .f ( )g(r )
+∞ +∞ +∞
−
−∞ −∞ −∞
= α α α α − α∫ ∫ ∫ .
c. Ảnh của đạo hàm gốc
Nếu
n
i i
i 1
p .r
1 2 n 1 2 nL{f(r)} ... f(r).e drdr ....dr F(p ,p ,...,p )=
+∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞
∑
= =∫ ∫ ∫
thì
n
n
kn
k
u
L p L{u}
r
 ∂ 
= 
∂  
. (1.12)

■ Chứng minh:
n
i i
i 1
p .r
1 2 n
k k
u(r)
L L ... u(r)e dr dr ....dr
r r
=
+∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞
 ∑ ∂ ∂ 
=   
∂ ∂   
 
∫ ∫ ∫ ,
n n
i i i i
i 1 i 1
p .r p .r
1 2 n k 1 2 n k
k k
L dr dr ... dr u(r)e dr L dr dr ... dr u(r)e dr
r r
= =
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞− −
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
    ∑ ∑∂ ∂    =    ∂ ∂        
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
kn n
i i i i
i 1 i 1
k
r
p .r p .r
1 2 n k k
r
0
L dr dr ... dr u(r)e p u(r)e dr= =
=+∞
+∞ +∞ +∞ +∞− −
−∞ −∞ −∞ −∞
=−∞
=
  
  
  ∑ ∑  
+  
  
  
    
∫ ∫ ∫ ∫

n
i i
i 1
p .r
k 1 2 n k kL p dr dr ... dr u(r)e dr p F(p)=
+∞ +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
 ∑ 
= 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ .
Áp dụng liên tục kết quả (1.12), ta có
n
n
kn
k
u
L p L{u}
r
 ∂ 
= 
∂  
.■
Để giải quyết các bài toán có điều kiện biên thì cần chú ý tìm ảnh của hàm chứa tích
hỗn hợp các hàm Heaviside:
n
i i
i 1
p .r
k j 1 2 n k j k
k kj [1,n] j [1,n]
j k j k
u u
L H(r ) H(r ) dr dr ... dr H(r ) H(r ).e dr ,
r r
=
+∞ +∞ +∞ +∞ −
∈ ∈−∞ −∞ −∞ −∞
≠ ≠
 
∑ ∂ ∂
= 
∂ ∂ 
 
∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫
n
i i
i 1
kn n
i i i i
i 1 i 1
k
p .r
i j k
ki [1,n] j [1,n] 0 0
i k j k
r
p .r p .r
i j k k
i [1,n] j [1,n] 0 0
i k j k r 0
u
dr dr e dr
r
dr dr u(r)e p u(r)e dr
=
= =
+∞ +∞ +∞ −
∈ ∈−∞
≠ ≠
= +∞
+∞ +∞ +∞− −
∈ ∈−∞
≠ ≠ =
∑∂
=
∂
 
∑ ∑ 
+ 
 
 
∏ ∏∫ ∫ ∫
∏ ∏∫ ∫ ∫

n 1 n
i i i i
i 1 i 1
p .r p .r
i j k k k
i [1,n] j [1,n] 0 0
i k j k
dr dr u(r 0)e p u(r)e dr
−
= =
+∞ +∞ +∞− −
∈ ∈−∞
≠ ≠
 ∑ ∑ 
= −= + 
 
 
∏ ∏∫ ∫ ∫
n 1 n
i i i i
i 1 i 1
p .r p .r
i j k k i j k
i [1,n] j [1,n] i [1,n] j [1,n]0 0 0
i j k j k i j k j k
dr dr u(r 0)e p dr dr u(r)e dr
−
= =
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞− −
∈ ∈ ∈ ∈−∞ −∞
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
∑ ∑
=− =+∏ ∏ ∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫ ∫
k k j i k j
j [1,n] j [1,n]
j k j k
p L u(r)H(r ) H(r ) L u(r ;r 0) H(r )
∈ ∈
≠ ≠
   
   
= −=   
   
   
∏ ∏ ,
với kí hiệu j [1,n]∈ ý nói j là một số nguyên bất kì trong đoạn từ 1 đến n. Vậy,
k j k k j i k j
k j [1,n] j [1,n] j [1,n]
j k j k j k
u
L H(r ) H(r ) p L u(r)H(r ) H(r ) L u(r ;r 0) H(r )
r ∈ ∈ ∈
≠ ≠ ≠
     
     ∂
= −=     
∂     
     
∏ ∏ ∏ .
(1.13)
Áp dụng liên tục kết quả (1.13), ta có
k
n in 1
n n i 1
k j k k j k jn i
i 0j [1,n] j [1,n] j [1,n]k k r 0
j k j k j k
u u
L H(r ) H(r ) p L u(r)H(r ) H(r ) p L H(r ) .
r r
−
− −
=∈ ∈ ∈=
≠ ≠ ≠
     
     ∂ ∂
= −     
∂ ∂     
     
∑∏ ∏ ∏
(1.14)
Một trường hợp riêng của công thức (1.14) kết hợp với tính chất trễ ở mục 1.4.4 là
{ } k ko
k ko
n mn 1
p rn n m 1
k ko k k ko kn m
m 0k k r r
u(r) u
L H(r r ) p L H(r r )u(r) e p L
r r
−
− − −
= =
  ∂ ∂   
− = − −   
∂ ∂     
∑ .
(1.15)

Ví dụ: Cho ( )o 1 o 2
f
f (x ,y) g (y); x ,y g (y)
x
∂
= =
∂
x op x
xy o x o 1
f (x,y)
L H(x x ) p L{f (x,y)H(x x )} e L{g (y)}
x
−∂ 
−= − − 
∂ 
,
( )
{ }
x o x o
x o x o
x o x o
2
xy o2
p x p x2
x o x y o y o
p x p x2
x o x y 1 y 2
p x p x2
x x y x 1 y 2 y
f (x,y)
L H(x x )
x
f
p L{f (x,y)H(x x )} e p L {f (x ,y)} e L x ,y
x
p L{f (x,y)H(x x )} e p L {g (y)} e L g (y) ,
p F(p ,p ) e p Y (p ) e Y (p ).
− −
− −
− −
 ∂
− 
∂ 
∂ 
= − − −  
∂ 
= − − −
= − −
,
d. Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn
)
Nếu L{f(r)} = F(p) thì k
k
F(p)
L{r f (r)}
p
∂
= −
∂
. (1.16)
■ Chứng minh:
n
n i i
i 1i i
i 1
p .r
p .r
1 2 n 1 2 n
k k k
e
L{f (r)} dr dr ... dr f (r)e dr dr ... dr f (r) ,
p p p
=
=
−
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞−
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
∑
∑∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
n
i i
i 1
p .r
1 2 n k kdr dr ... dr r .f (r)e L{r f (r)}=
+∞ +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
∑
=− =−∫ ∫ ∫ ∫ .■
n
n i i
i 1i i
i 1
n
i i
i 1
p .r
2 2 2p .r
1 2 n 1 2 n
k j k j k j
p .r
1 2 n k j k j
e
L{f(r)} dr dr ... dr f(r)e dr dr ... dr f(r) ,
p p p p p p
dr dr ... dr r r .f(r)e L{r rf(r)}.
=
=
=
−
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞−
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
∑
∑∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Áp dụng liên tiếp (1.16) ta được
n
k k
i i
i 1
k k
k k
m m p .r
1 2 nm m
k k
k [1;n] k [1;n]
m n m n
L{u(r)} dr dr ... dr u(r)e ,
p p
=
+∞ +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
∈ ∈
≤ ≤
∑ ∑ ∑∂ ∂
=
∂ ∂
∑ ∑
∫ ∫ ∫ ∫∏ ∏

n
i i
i 1
k
k
p .r
1 2 n m
k
k [1;n]
m n
e
dr dr ... dr u(r) ,
p
=
−
+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞
∈
≤
∑
∂
=
∂
∑
∫ ∫ ∫ ∫ ∏
n
i i
k kk i 1 k
k k
p .r
m mm m
1 2 n k k
k [1;n] k [1;n]
m n m n
( 1) dr dr ... dr r u(r)e ( 1) L r u(r)=
+∞ +∞ +∞ +∞ −
∈ ∈−∞ −∞ −∞ −∞
≤ ≤
 
∑  ∑ ∑=− =−  
 
∑ ∑ 
∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫ .
Vậy,
k
k k
k
k
k
m
m m
km
k [1;n]k
m nk [1;n]
m n
L{u(r)} ( 1) L r u(r)
p ∈
≤∈
≤
 
∑∂  ∑= −  
∂  
∑ 
∑
∏
∏
.
e. Tích phân ảnh (Luật chia cho t)
Nếu
k
k
p
F(p)dp
+∞
∫ hội tụ thì
k
k
k p
f (r)
L F(p)dp
r
+∞
 
= 
 
∫ .
■ Chứng minh:
n
i i
i 1
k K k
n
i i
i 1
i k k k
k
p .r
k K 1 2 n K
p p p
p .r
p r
1 2 n p
K k
F(p)dp L{f (r)}dp dr dr ... dr f (r) e dp
1 f (r)
dr dr ... dr f (r)e e L .
r r
=
=
≠
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞ −∞
−
+∞ +∞ +∞ +∞
+∞−
−∞ −∞ −∞ −∞
∑
= =
∑
 
=− = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy,
k
k
kp
f (r)
L{f (r)}dp L
r
+∞
 
=  
 
∫ .■
Tính chất này có thể lặp lại nhiều lần cho cùng một biến hoặc cho các biến
khác nhau.

f. Định lý giá trị - đầu cuối suy rộng cho phép biến đổi Laplace 1 phía n-chiều
Nếu
n
i
i 1
L u(r) H (r) F(p)
=
 
= 
 
∏ thì
{k}
n
{k} j i
j 1;j {k} i {k} p 0
L u(r ;{k} [1,n]) H(r ) p F(p) ,
+=∉ ∈ =
  
= +∞ ∈ = 
  
∏ ∏
và
{k}
n
{k} j i
j 1;j {k} i {k} p
L u(r 0 ;{k} [1,n]) H(r ) p F(p)+
=∉ ∈ =+∞
  
=∈ = 
  
∏ ∏ ,
trong đó, {k} là tập hợp các chỉ số gán với các biến tiến đến giá trị biên.
Ví dụ:
{ }
x y
x y x y z p p 0
L u(x ;y ;z)H(z) p p F(p ;p ;p ) +
= =
= +∞ = +∞ = ,
{ } x y
x y x y z p p
L u(x 0 ;y 0 ;z)H(z) p p F(p ;p ;p )+ +
= =+∞
= = = .
1.7. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
Cho u là một hàm số xác định trong không gian {x1,x2,...,xn}
hay u = u(x1,x2,...,xn); ix R∈ .
Các đạo hàm riêng được kí hiệu như sau:
i j i i i
2 2
x x x x x 2
i j i i
u u u
u ;u ;u
x x x x
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂
.
Khi đó, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là những phương trình có
dạng i j i
n n
ij x x i x
i,j 1 i 1
A u B u Fu G
= =
+ + =∑ ∑ , (1.17)
với Aij = Aji và Aij, Bi, F và G là những hàm số thực theo các biến x1, x2,..., xn.

1.7.2. Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
Sau đây, ta xét các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 theo 2 biến x,
y tức là x1:=x; x2:=y.
Cho n = 2, (1.17) qui về
11 xx 22 yy 12 xy 1 x 2 y(A u A u 2A u ) B u B u Fu G+ + + + + =. (1.18)
Bằng phép đổi biến tuyến tính
X x y,
Y y,
= + θ

=
và những liên hệ sau:
u u X u Y u
x X x Y x X
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
2 2
2 2
u u
x X
∂ ∂
=
∂ ∂
,
u u X u Y u u
,
y X y Y y X Y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + =θ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2 2
2
2 2 2
u u u u
u 2
X Y X Y X Yy X Y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
=θ + θ + =θ + + θ  
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂  
,
2 2 2
2
u u u u u u
x y x y X X Y X YX
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= = θ + =θ + 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ 
,
(1.18) trở thành
11 xx 22 yy 12 xy 1 x 2 y
2 2 2 2 2 2
2
11 22 12 1 x 2 y2 2 2 2
2 2 2
2
11 22 12 22 22 12 1 x 2 y2 2
(A u A u 2A u ) B u B u Cu D,
u u u u u u
A A 2 2A B u B u Cu D,
X Y X YX X Y X
u u u
(A A 2A ) A 2(A A ) B u B u Cu D.
X YX Y
+ + + + + =
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇔ + θ + + θ + θ + + + + =      ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂   
∂ ∂ ∂
⇔ + θ + θ + + θ+ + + + =
∂ ∂∂ ∂
Bằng cách chọn 12
22
22
A
,A 0
A
θ = − ≠ và đặt x y 1 x 2 y(u ,u ,u) B u B u Cu DΩ = + + − ,
ta được
11 xx 22 yy 12 xy 1 x 2 y
2 2 2 2
12 12
11 12 22 x y2 2
22 22
(A u A u 2A u ) B u B u Cu D,
u A A u
(A 2A ) A (u ,u ,u) 0.
A AX Y
+ + + + + =
∂ ∂
⇔ + − + + Ω =
∂ ∂

Như vậy, bằng một phép đổi biến tuyến tính, ta đưa phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính cấp 2 về dạng mất toàn bộ các đạo hàm hỗn hợp gọi là dạng chính
tắc
2 2
11 22 x y2 2
u u
a a (u ,u ,u) 0
X Y
∂ ∂
+ + Ω =
∂ ∂
. Lưu ý rằng phép đổi biến trên không phải
là duy nhất để đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 về dạng chính tắc.
[5]
Tương tự, trong trường hợp 4 biến, ta có thể đổi biến kiểu Lagrange
1 1 1
2 2
3
X x a y b z c t,
Y y a z b t,
Z z a t,
T t,
= + + +

 = + +

= +

 =
và đưa phương trình (1.17) về dạng
2 2 2 2
11 22 33 44 1 2 3 42 2 2 2
u u u u u u u u
a a a a b b b b c.u(X,Y,Z,T) d
X Y Z TX Y Z T
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
.
Đổi biến mới
11 22 33 44
X Y Z T
; ; ;
a a a a
  
α= β= γ= τ= 
  
, ta có
i
2 2 2 2
1 2 3 42 2 2 2
i q
u u u u u u u u
b' b' b' b' c.u( , , , ) d,
u( , , , ) f(u,u ,u ,u ,u ),
u(q , ) f(u,u ,u ).
α β γ τ
τ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + + α β γ τ =
∂α ∂β ∂γ ∂τ∂α ∂β ∂γ ∂τ
⇔ ∆ α β γ τ =
⇔ ∆ τ =
Toán tử Laplace ∆ có thể khuyết các thành phần tùy thuộc vào các hệ số ban
đầu của phương trình. Ở đây, aii có thể là các số âm và do đó căn thức của nó có thể
là số phức.
1.7.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
Người ta đề xuất cách phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
dựa trên dạng toàn phương tương ứng.

Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 2 có dạng
i j
n
ij x x
i,j 1
A u (u) 0
=
+ Ω =∑ với i
n
i x
i 1
(u) B u Fu G
=
Ω= + −∑ ,
và ma trận dạng toàn phương tương ứng là
11 12 1,n 1 1,n
21 22 2,n 1 2,n
ij
n 1,1 n 1,2 n 1,n 1 n 1,n
n,1 n,2 n,n 1 nn
A A A A
A A A A
[A ] .
A A A A
A A A A
−
−
− − − − −
−
 
 
 
 =
 
 
 
 


    


- Nếu tất cả các trị riêng dương hoặc âm thì ta nói phương trình thuộc loại
elliptic i
2n
x2
i 1 i
u
f (u,u )
x=
∂
=
∂
∑
- Nếu tất cả các trị riêng âm và một trị riêng dương hoặc tất cả các trị riêng
dương và một trị riêng âm ta nói phương trình thuộc loại hyperbolic
i
2 2n 1
x2 2
i 1 i n
u u
f(u,u )
x x
−
=
∂ ∂
− =
∂ ∂
∑
- Nếu tất cả các trị riêng xác định dương hoặc âm, trừ duy nhất một trị riêng
bằng 0 thì ta nói phương trình thuộc loại parabolic i
2n 1
x2
i 1 i
u
f (u,u )
x
−
=
∂
=
∂
∑
- Nếu có nhiều hơn một trị riêng dương và nhiều hơn một trị riêng âm, không
có trị riêng bằng 0 thì phương trình thuộc loại ultrahyperbolic
i
k 12 2n k
x2 2
i 1 i 1i i
u u
f (u,u )
x x
>−
= =
∂ ∂
− =
∂ ∂
∑ ∑
Phổ biến trong Vật lý là lớp phương trình đạo hàm riêng cấp 2 tuyến tính hệ số
hằng với 4 biến (x,y,z,t), t là biến thời gian. Điển hình là:
- Loại Hyperbolic: phương trình truyền sóng (v là hằng số dương)
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
u u u u u u u u
u x,y,z,t.vi 0 v 0 v .
x y z t x y z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ =⇔ + + − =⇔ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
- Loại Parabolic: phương trình truyền nhiệt (k là hằng số)

( )
2 2 2
2 2 2
u u u u u
u x,y,z,t k k .
t x y z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ = ⇔ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
- Loại Elliptic: phương trình Laplace, phương trình Possion, phương trình
Heltmholtz
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
u u u u
u x,y,z,t.v 0 v 0,
x y z t
∂ ∂ ∂ ∂
∆ =⇔ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
u u u u
u x,y,z,t.v u(x,y,z,t) v u(x,y,z,t),
x y z t
∂ ∂ ∂ ∂
∆ = ⇔ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
u u u u
u x,y,z,t.v k.u u(x,y,z,t) v k.u u(x,y,z,t).
x y z t
∂ ∂ ∂ ∂
∆ −= ⇔ + + + −=
∂ ∂ ∂ ∂

Chương 2. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một
lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp 2 hệ số hằng
2.1. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo
hàm riêng cấp 2 không điều kiện đầu và điều kiện biên
2.1.1. Phương pháp giải chung
Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 2 hệ số hằng
2 2 2 2
1 2 3 42 2 2 2
u u u u u u u u
a b b b b c.u (x,y,z,t)
x y z tx y z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + + =ϕ
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
. (2.1)
Áp phép biến đổi Laplace 2 phía 4 chiều vào 2 vế của phương trình (2.1), ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3 4
u u u u
L L L aL
x y z t
u u u u
b L b L b L b L cL{u} L{ (x,y,z,t)}.
x y z t
       ∂ ∂ ∂ ∂       
+ + +       
∂ ∂ ∂ ∂              
 ∂ ∂ ∂ ∂     
+ + + + + =ϕ       
∂ ∂ ∂ ∂      
Đặt { } x y z tL u(x,y,z,t) U(p ,p ,p ,p )= thì
2 2 2 2
x y z t 1 x 2 y 3 z 4 t x y z tp U p U p U ap U b p U b p U b p U b p U cU L (p ,p ,p ,p ),+ + + + + + + + =Φ
2 2 2 2
x y z t 1 x 2 y 3 z 4 t x y z t
x y z t
2 2 2 2
x y z t 1 x 2 y 3 z 4 t
1
x y z t
(p p p ap b p b p b p b p c)U (p ,p ,p ,p ),
(p ,p ,p ,p )
U ,
p p p ap b p b p b p b p c
u(x,y,z,t) L {U(p ,p ,p ,p )}.−
⇔ + + + + + + + + =Φ
Φ
⇔ =
+ + + + + + + +
⇒ =
Như vậy, một phương trình đạo hàm riêng nhiều biến hệ số hằng cấp tùy ý qua
phép biến đổi Laplace đều qui được về một phương trình đại số đơn giản. Đây là
một ưu thế rất lớn của phép biến đổi này. Đối với các phương trình có hệ số chứa
nhiều biến số, việc áp dụng phép biến đổi Laplace cần cân nhắc.

2.1.2. Ví dụ áp dụng
a. Phương trình Laplace-Poisson không điều kiện biên (phương trình sóng
elliptic)
Phương trình truyền sóng 3 chiều có dạng
2 2 2
2
2 2 2
u u u
a u (x,y,z)
x y z
∂ ∂ ∂
+ + + =−ϕ
∂ ∂ ∂
. (2.2)
Áp phép biến đổi Laplace theo 3 biến không gian vào 2 vế của phương trình (2.2)
được
2 2 2 2
x y z x y zp U p U p U a U (p ,p ,p ),+ + + = −Φ
x y z
2 2 2 2
x y z
(p ,p ,p )
U
p p p a
Φ
⇔ =−
+ + +
(2.3)
với U L{u}= . Từ bảng đối chiếu ảnh-gốc (xem phụ lục) ta thấy rằng
1 2 2 2
3 x y z2 2 2 2
x y z
1 cos(ar)
L , Re(p) Re p p p 0
p p p a 4 r
−
  
=− = + + = 
+ + + π  
,
với 2 2 2 2
a ,r x y z∈ = + + . Áp dụngphép biến đổi Laplace ngược vào 2 vế của
(2.3), ta thu được nghiệm sau
{ }2 2 2
2 2 2
cos a (x ) (y ) (z )1
u(x,y,z) d d d . ( , , )
4 (x ) (y ) (z )
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ ∞
− α + −β + − γ
= α β γ ϕ α β γ
π − α + −β + − γ
∫ ∫ ∫ .
Nếu a = 0 thì 1 2 2 2
x y z2 2 2
x y z
1 1
L , Re p p p 0,
p p p 4 r
−
  
=− + + = 
+ + π  
2 2 2
1 1
u(x,y,z) d d d . ( , , )
4 (x ) (y ) (z )
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ ∞
⇒ = α β γ ϕ α β γ
π − α + −β + − γ
∫ ∫ ∫ .
Một trường hợp rất phố biến là phương trình Laplace trong điện động lực
học, viết cho một phân bố điện tích (x,y,z)ρ trên toàn không gian. Phương trình
này có dạng
2 2 2
2 2 2
u u u (x,y,z)
u
x y z
∂ ∂ ∂ ρ
∆ = + + =−
∂ ∂ ∂ ε
(2.4)

Áp phép biến đổi Laplace theo 3 biến không gian vào 2 vế của phương trình
(2.4) được
2 2 2
x y z 2 2 2
x y z
(x,y,z) 1 (x,y,z)
p U p U p U U ,
p p p
Ω Ω
+ + =− ⇔ =−
ε ε + +
với U L{u}; L{ }= Ω= ρ .
Áp dụng kết quả ở mục 2.1.2.a, ta thu được
2 2 2
1 ( , , ) 1 (r')dr'
u(x,y,z) d d d ,
4 4 r r'(x ) (y ) (z )
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ ∞
ρ α β γ ρ
=− α β γ =−
πε πε −− α + −β + − γ
∫ ∫ ∫ ∫
với r = (x, y, z) và r’ = (α, β, γ). Đây chính là kết quả quen thuộc trong điện động
lực học, u chính là thế Coulomb do một phân bố điện tích ρ(r’) gây ra.
b. Phương trình Helmholtz
Phương trình có dạng
2 2
2
2 2
u u
au (x,y), (x,y) R
x y
∂ ∂
+ + = −ϕ ∈
∂ ∂
. (2.5)
Áp phép biến đổi Laplace theo 2 biến x, y vào phương trình (2.5), ta được
2 2
2 2
x y2 2 2 2
x y
u u
L L aL{u} L{ (x,y)} p U p U aU U
x y p p a
   ∂ ∂ Φ
+ + = − ϕ ⇔ + + = −Φ ⇔ = −   
∂ ∂ + +   
,
trong đó, L{u} = U.
Nếu a = k2
> 0 thì 2 2 2
x y
U
p p k
Φ
= −
+ +
.
Chú ý 1 (2) 2 2
xy 0 x y2 2 2
x y
1 i
L H (kr), Re p p 0, k R
p p k 4
−
  
= + = ∈ 
+ +  
(xem phụ lục)
Vậy, { }(2) 2 2
0
i
u(x,y) (x,y)H k (x ) (y ) d d
4
+∞ +∞
−∞ −∞
= − ϕ − α + −β α β∫ ∫ ,
trong đó, (2)
0H (x) là hàm Hankel loại 2.
Nếu a = -k2
< 0 thì 2 2 2
x y
U
p p k
Φ
= −
+ −
.

Tra bảng đối chiếu ảnh-gốc trong phụ lục, ta có
1 2 2
xy 0 x y2 2 2
x y
1 1
L K (kr), Re p p 0, k R,
p p k 2
−
  
=− + = ∈ 
+ − π  
Vậy, { }2 2
0
i
u(x,y) (x,y)K k (x ) (y ) d d
2
+∞ +∞
−∞ −∞
= ϕ − α + −β α β
π ∫ ∫ ,
trong đó, K0(x) là hàm Modified Bessel.
c. Phương trình Tricomi
Phương trình này mô tả hành trạng của chất lưu ở vận tốc chảy gần vận tốc âm
thanh
2 2
2 2
u u
y 0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
. (2.6)
Áp phép biến đổi Laplace vào 2 vế của phương trình (2.6), ta có
2 2 2 2
2 2
x y2 2 2 2
y y
u u u u
L y L 0 L L 0 (p U) p U,
x y p x y p
       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ =⇔ − + =⇔ =       
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       
3
y2 2 2 2
x y y y y y x2 2 2
y x x x
pU U 1 U 1
p p U p p p p ln U C(p ),
p U p U p 3p
∂ ∂ ∂
⇔ = ⇔ = ∂ ⇔ = ∂ ⇔ = +
∂ ∫ ∫
3
y 2
x y x x
3
y1 2
2 x x
p
U(p ;p ) C(p ).exp p ,
3
p
u(x,y) L C(p ).exp p .
3
−
− −
 
⇔ =   
 
   
⇒ =    
   
Các ví dụ trên còn cho thấy, để tìm được lời giải chính xác sau cùng, cần phải
trang bị một bảng tra cứu gốc-ảnh đa dạng hoặc phải tìm gốc bằng định lý Mellin.

2.2. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo
hàm riêng cấp 2 có điều kiện đầu, điều kiện biên
2.2.1. Phương pháp giải chung
Nếu chỉ khảo sát bài toán trong một thể tích V(x,y,z) nào đó, thì các biến
không thể chạy tự do trong toàn không gian. Bài toán trở nên phức tạp hơn vì đòi
hỏi thỏa các điều kiện biên. Để đơn giản và sát với mục đích sử dụng phép biến đổi
Laplace, ta chỉ xét bài toán với biến bị chặn bởi các số hữu hạn.
Chẳng hạn, nếu hàm số u(x,y,z,t) chỉ xác định trên miền [0, +∞) đối với biến x
thì nghiệm cần tìm có dạng u*
(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)H(x). Nếu x biến thiên trong [0; L]
thì nghiệm cần tìm có dạng u*
(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)[H(x) – H(x – L)]. Nói chung, ta
cần tìm nghiệm dưới dạng u*
(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)H(x,y,z,t) với H(x,y,z,t) là tích của
nhiều hàm Heaviside H(x), H(x – Lx); H(y), H(x – Ly); H(z), H(z – Lz) và H(t)
trong đó [0; Lx]×[0; Ly]×[0; Lz]×[0; +∞) là miền xác định của hàm số u(x,y,z,t).
Phương trình (2.1) trở thành
2 2 2 2
1 2 3 42 2 2 2
a b b b b c uH(x,y,z,t) (x,y,z,t)
x y z tx y z t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + + =ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ 
. (2.7)
Gọi x y z tL{u(x,y,z,t)H(x,y,z,t)} U(p ,p ,p ,p )= , x y z tL{ (x,y,z,t)} (p ,p ,p ,p )ϕ =Φ ,
áp dụng phép biến đổi Laplace vào 2 vế của (2.7) ta thu được
x y z
2 2 2 2
x y z t x y z t
f (p ,p ,p )
U ,
p p p ap p p p ap
=
+ + + + + + +
1
x y z tu(x,y,z,t) L {U(p ,p ,p ,p )}−
⇒ = .
với f(px,py,pz) là một hàm xác định nào đó.
Ta thấy các điều kiện đầu/điều kiện biên được đòi hỏi khi áp dụng phép biến
đổi Laplace cho các phương trình đạo hàm riêng cấp 2 hệ số hằng gồm:
- Điều kiện đầu: u(x,y,z,t = 0) = T(x,y,z) và
t 0
u
T'(x,y,z)
t =
∂
=
∂
- Các điều kiện biên:

u(0,y,z) = X(y,z);
x 0
u
X'(y,z)
x =
∂
=
∂
,
xx L
u
X"(y,z)
x =
∂
=
∂
u(x,0,z) = Y(x,z);
y 0
u
Y'(x,z)
y =
∂
=
∂
,
yy L
u
Y"(x,z)
y =
∂
=
∂
u(x,y,0) = Z(x,y);
z 0
u
Z'(x,y)
z =
∂
=
∂
,
zz L
u
Z"(x,y)
z =
∂
=
∂
hoặc các điều kiện tương đương. Trong đó, T, T’, X, X’, X”, Y, Y’, Y”, Z, Z’,
Z” là các hàm số thực cho trước.
Như vậy, các điều kiện biên một phía kể trên đều là điều kiện biên Dirichlet và
điều kiện biên Neumann trên mặt S bao thể tích
x y zV {0 x L ; 0 y L ; 0 z L }= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . Các điều kiện biên này đơn giản. Nếu các
điều kiện biên trở nên phức tạp hơn khi đó, ta gặp phải các vấn đề trong việc xác
định miền hội tụ: cùng một hàm ảnh nhưng trong các miền hội tụ khác nhau lại cho
các gốc khác nhau. Biết được miền hội tụ, việc tìm gốc tương ứng cũng không đơn
giản.
Tuy nhiên, phép biến đổi Laplace sử dụng ngay các điều kiện đầu/điều kiện
biên từ những bước tính ban đầu mà không cần thông qua một nghiệm tổng quát với
các tham số. Nhờ đó, giảm được phần lớn khối lượng tính toán và làm đơn giản các
biến đổi.
2.2.2. Ví dụ áp dụng
a. Truyền sóng trên dây dài vô hạn
Phương trình truyền sóng có dạng
2 2
2
2 2
u u
a (x,t)
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
, (2.8)
với điều kiện đầu
t 0
u
u(x,0) f (x); g(x)
t =
∂
= =
∂
.
Vì t luôn không âm, hàm u(x,t) cũng như các đạo hàm của nó chỉ xác định trên
t > 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình (2.8) với H(t)

2 2
2
2 2
u u
H(t) a H(t) (x,t)H(t)
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
. (2.9)
Áp phép biến đổi Laplace 2 phía 2-chiều vào 2 vế của phương trình (2.9), ta có
{ }
2 2
2
2 2 22 2
u u
L H(t) a L H(t) L (x,t)H(t) ,
t x
   ∂ ∂
= + ϕ   
∂ ∂   
{ } { } { }2 2 2
t 2 t 1 1 x 2 x t
t 0
u
p L u.H(t) p L u(x,0) L a p L u.H(t) (p ,p ),
t =
 ∂
⇔ − −= + Φ 
∂ 
x x
2 2 2
t x t t 1 1 x x t x t
F(p ) G(p )
p U(p ,p ) p L {f (x)} L {g(x)} a p U(p ,p ) (p ,p ),⇔ − −= + Φ
 
2 2 2
t x x t x t t x x(p a p )U(p ,p ) (p ,p ) p F(p ) G(p ),⇔ − =Φ + +
x t t x x
x t 2 2 2
t x
t x x tx
1 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2
t x t x t x
(p ,p ) p F(p ) G(p )
U(p ,p ) ,
p a p
p F(p ) (p ,p )G(p )
U U U .
p a p p a p p a p
Φ + +
⇔ =
−
Φ
= + + = + +
− − −
Thực hiện lần lượt các phép biến đổi ngược
x xatp atp
1 1
2 1 1 x
e e 1 1
L {U } L F(p ) f (x at) f (x at)
2 2 2
−
− −  +
= = − + + 
 
,
x xat.p at.p
1 1 1x x x
2 2 2 12 2 2
x t x x
x at x at
1 1x x
1 1
x xx at x at
x at
x at
G(p ) ap G(p ) e e
L {U } L L ,
ap p a p ap 2
G(p ) G(p ) 1 1
L L g( )d g( )d ,
2ap 2ap 2a 2a
1 1 1
g( )d g( )d g( )d
2a 2a 2a
−
− − −
+ −
− −
−∞ −∞+ −
+ −∞
−∞ −
   −
= =   
−   
   
= − = τ τ − τ τ   
   
= τ τ + τ τ= τ
∫ ∫
∫ ∫
x at
x at
,
+
−
τ∫
x a(t )t
1
2 3
0 x a(t )
1
L {U } d ( , )d
2a
+ −β
−
− −β
= β ϕ α β α∫ ∫ .
Vậy,
x a(t )x at t
x at 0 x a(t )
1 1 1 1
u(x,t) f (x at) f (x at) g( )d d ( , )d
2 2 2a 2a
+ −β+
− − −β
= − + + + τ τ + β ϕ α β α∫ ∫ ∫ .
Nếu dây dao động tự do tức là φ(x,y) = 0 ta thu được nghiệm tổng quát quen
thuộc D’Alambert.

Áp dụng: Một dây không giãn có khối lượng không đáng kể dao động tự do,
ban đầu, dây có hình dạng của hàm u (x,0) = f(x) = sinx và chuyển động từ nghỉ.
Tìm phương trình dao động của dây.
Ta có ngay
x at
x at
1 1 1
u(x,t) sin(x at) sin(x at) 0.d sin2x.cos2at
2 2 2a
+
−
= − + + + τ=∫ .
b. Dao động của dây bán vô hạn
Tìm phương trình dao động u(x,t) của một dây bán vô hạn [0; +∞). Ban đầu
dây nằm yên, trong khoảng thời gian từ 0 đến T, kích thích cho đầu dây x = 0 dao
động với phương trình u(0,t) = f(t). Biết u(∞,t) = 0.
Phương trình truyền sóng trên dây không giãn có dạng
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
u 1 u u u
0 a
x a t t x
∂ ∂ ∂ ∂
− =⇔ =
∂ ∂ ∂ ∂
, (2.10)
với các điều kiện đầu u(x,0) = 0 (ban đầu dây nằm yên) và
t 0
u
0
t =
∂
=
∂
(dây chuyển
động từ nghỉ) và các điều kiện biên u(0,t) f(t)= và u(∞,t) = 0.
Để phù hợp với các điều kiện đầu và điều kiện biên, nhân 2 vế của phương
trình (2.10) với H(x)H(t) ta được
2 2
2
2 2
u u
H(x)H(t) a H(x)H(t)
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
. (2.11)
Áp phép biến đổi Laplace 2 phía 2-chiều vào 2 vế của phương trình (2.11) ta được
2 2
2
2 22 2
u u
L H(x)H(t) a L H(x)H(t) ,
t x
   ∂ ∂
=   
∂ ∂   
{ } { }
t
2 2 2 2
x 2 x 1 1
x 0
G(p )
u
a p L u.H(x)H(t) a p L u(0,t)H(t) a L H(t) ,
x =
 ∂
⇔ − −  
∂ 
{ } { }2
t 2 t 1 1
t 0
u
p L u.H(x)H(t) p L u(x,0)H(x) L H(x) 0,
t =
 ∂
= − − = 
∂ 
t
2 2 2 2 2
x x 1 t t
F(p )
a p U a p L {f (t)H(t)} p U a G(p ) 0,⇔ − − − =


2 2
x t t t tx
t2 2 2 2 2 2 2 2 2
x t x t t x t
a p F(p ) a G(p ) aG(p ) pap
U F(p ).a .a
a p p a p p p a p p
+
⇔= = +
− − −
,
với L{uH(x)H(t)} = L{u*
} = U.
Thực hiện các phép biến đổi ngược theo biến x
1 x
x t t t2 2 2
x t
ap x
L F(p ).a F(p )ch p
a p p a
−    
=   
−   
,
1 t t t
x t2 2 2
t x t t
aG(p ) p aG(p ) x
L .a sh p
p a p p p a
−    
=   
−   
,
{ }
t t t t
1 t
t x x t t t t
t
x x x x
p p p p
t ta a a a
t
aG(p )x x
U(x,p ) L U(p ,p ) F(p )ch p sh p ,
a p a
F(p ) aG(p )
e e e e .
2 2p
−
− −
   
⇒ = = +   
   
   
= + + −   
   
Do các phép toán trên biến x không tác dụng lên ảnh nên
t t t
t t t
x x
t
F(p ) aG(p ) p
lim U(x,p ) lim u(x,t) 0 0 G(p ) F(p )
2 2p a→∞ →∞
= =⇒ − =⇔ = .
Tóm lại,
t t
x x
p p
1a a
t t t t
x x
U(x,p ) F(p )e u (x,t) L F(p )e f t H t
a a
− −
∗ −      
= ⇒ = = − −     
    
.
Nếu
g(t) t [0;T]
f (t)
0 t T
∈
= 
>
hay f (t) g(t)[H(t) H(t T)]= − − thì
t: t x/a
x x x x x
u (x,t) g(t)[H(t) H(t T)] H t g t H t H t T H t ,
a a a a a
x x x
u (x,t) g t H t H t T ,
a a a
∗
= −
∗
          
= − − − = − − − − − −          
          
      
⇔ = − − − − −      
      
hay
x x x
g t t T,
u(x,t) a a a
0 khác.
  
− ≤ ≤ +  =  



Bài toán dao động của dây bán vô hạn có một đầu tự do hoặc buộc chặt có
thể qui về bài toán dao động của dây dài vô hạn
Phương trình vi phân
2 2
2
2 2
u u
a (x,t)
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
với điều kiện
1
1
t 0
u(x,0) f (x),
u
g (x) x [0; );t 0,
t
u(0,t) 0.
=
 =

∂
= ∀ ∈ +∞ ≥
∂
 =
Xét dây dài vô hạn với điều kiện u(x,0) = f(x); ut(x,0) = g(x) trong đó,
1
1
f (x) f (x) x 0,
g(x) g (x) x 0.
= ∀ ≥

= ∀ ≥
Ở mục 2.2.2.a chúng tôi đã chứng minh nghiệm của (2.8) là
x a(t )x at t
x at 0 x a(t )
1 1 1 1
u(x,t) f (x at) f (x at) g( )d d ( , )d
2 2 2a 2a
+ −β+
− − −β
= − + + + τ τ + β ϕ α β α∫ ∫ ∫ ,
mà
a(t )at t
at 0 a(t )
1 1 1 1
u(0,t) f ( at) f (at) g( )d d ( , )d 0,
2 2 2a 2a
−β
− − −β
= − + + τ τ + β ϕ α β α=∫ ∫ ∫
nên các hàm f(x); g(x) và φ(x,t) phải là hàm lẻ theo x.
Tương tự, nếu đầu x để tự do, ta sẽ có điều kiện là các hàm f(x), g(x) và φ(x,t) chẵn
theo x.
c. Dao động của dây dài hữu hạn với 2 đầu chuyển động theo các qui luật cho
trước
Phương trình truyền sóng
2 2
2
2 2
u u
a
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
(2.12)
với điều kiện
t 0
1 2
u(x,0) f (x),
u
g(x), x [0;L], t 0
t
u(0,t) (t); u(L,t) (t).
=
 =

∂
= ∀ ∈ ≥
∂
 =ϕ =ϕ

Nhân 2 vế của phương trình (2.12) với H(t)Hx với Hx = [H(x) – H(x – L)], ta
có
2 2
2
x x x2 2
u u
H(t)H a H(t)H (x,t)H(t)H .
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
(2.13)
Áp phép biến đổi Laplace theo thời gian vào 2 vế của phương trình (2.13) được
2 2
2
t x t x2 2
u u
L H(t)H a L H(t)H ,
t x
   ∂ ∂
=   
∂ ∂   
2
2 2
t t x t x x t x2
t 0
u
p L {uH(t)}H p H u(x,0)H a L {uH(t)}H ,
t x=
∂ ∂
⇔ − − =
∂ ∂
2
2 2 t
t t t 2
U(x,p )
p U(x,p ) p g(x) f (x) a ,
x
∂
⇔ − − =
∂
2 2
t t
t t2 2
U(x,p ) p
U(x,p ) p g(x) f (x),
x a
∂
⇔ − =− −
∂
(2.14)
với L{uH(t)} = U(x,pt). Giải phương trình vi phân không thuần nhất (2.14) ta thu
được nghiệm dạng
t t t tU(x,p ) U(x,p ,A(p ),B(p ))= .
Áp dụng điều kiện biên
t t t t t 1 t
t t t t t 2 t
U(0,p ) U(0,p ,A(p ),B(p )) L {u(0,t)} (p ),
U(L,p ) U(L,p ,A(p ),B(p )) L {u(L,t)} (p ),
= = = Φ
= = = Φ
ta thu được một hệ phương trình cho phép giải ra các hằng số A và B, từ đó giải ra
nghiệm của phương trình (2.14) và suy ra hàm gốc cần tìm
t 1
t t
t
A(p )
u(x,t) L {U(x,p )}.
B(p )
−
⇒ =

Áp dụng:
L = 1; u(x,0) = f(x) = 0; ut(x,0) = g(x) = 0; u(0,t) = φ1(t) = 0 và u(1,t) = φ2(t) =
sinωt (ω > 0).
t tp p2 2
x x
t t a a
t t t t2 2
U(x,p ) p
U(x,p ) 0 U(x,p ) A(p )e B(p )e
x a
−∂
− =⇒ = +
∂
,

1 t t 1 2 t t 2 t 2 2
t
(p ) L { (t)} 0; (p ) L { (t)} L {sin t}
p
ω
Φ = ϕ = Φ = ϕ = ω =
+ ω
,
nên
t t
t t
t t
t p p
L L
2 2 a a
tt t t
p p
L L
a a
t t t 2 2
t p pt
L L
2 2 a a
t
A(p ) ,
(p ) e eU(0,p ) A(p ) B(p ) 0,
U(L,p ) A(p )e B(p )e ,
B(p ) .p
(p ) e e
−
−
−
ω
=  
 + ω −= + =  
   
⇔ω 
ω= + =  = −+ ω   
+ ω −  
  
Do đó,
t t t t
t p p p p
(x L) (x L) (x L) (x L)
2 2 2 2a a a a
t t
U(x,p )
(p ) e e (p ) e e
− + − + − −
ω ω
= −
   
+ ω − + ω −   
   
.
Đặt
x L x L
m 0; n 0 (do x L)
a a
− +
= < = > < thì
( ) ( )t t t t
t mp np mp np2 2 2 2
t t
U(x,p ) ,
(p ) e e (p ) e e− −
ω ω
= +
+ ω − + ω −
t t t t
1
t tmp np mp np2 2
t
1 1
u(x,t)H(t) u (x,t) L {U(x,p )}.
p e e e e
∗ −
− −
ω  
= + ⇒ = = 
+ ω − − 
d. Truyền nhiệt trên thanh một chiều bán vô hạn
Phương trình truyền nhiệt
2
2
2
u u
a
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
, (2.15)
với điều kiện đầu u(x,0) = To, điều kiện biên u(0,t) = 0; u(∞,t) = 0.
Nhân 2 vế của phương trình (2.15) với H(x)H(t) được
2
2
2
u u
H(x)H(t) a H(x)H(t).
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
(2.16)
Áp phép biến đổi Laplace theo 2 biến x, t vào 2 vế của phương trình (2.16)
2
2
2
u u
L H(x)H(t) a L H(x)H(t) ,
t x
 ∂ ∂ 
=   
∂ ∂   

{ } { }
{ } { }
t
t 2 1
2 2 2 2
x 2 x 1 1
x 0
G(p )
p L u.H(x)H(t) L u(x,0)H(x) ,
u
a p L u.H(x)H(t) a p L u(0,t)H(t) a L H(t) ,
x =
⇔ −
 ∂
= − −  
∂ 
2 o
t 2 2
2 2 2o t ox
t x t 2 2 2 2 2 2
x x t x t x x t
T
a G(p )
T a G(p ) T / ap
p U a p U a G(p ) U ,
p a p p a p p p (p p / a )
−
⇔ − = − ⇔= = −
− − −
t o o x
2 2 2 2
x t t x t x t
G(p ) T T1 2p
U .
p p / a p p 2p p p / a
⇔= + −
− −
Thực hiện các phép biến đổi ngược
t
t1 1t
x t x t2 2
2 tx t t t
x 2
p
pG(p ) a aaL G(p ); L G(p )sh x
pp p / a ap pp
a
− −
 
      
= =       −     −
  
,
1 o o
x
t x t
T T1
L
p p p
−  
= 
 
; t1 o ox
x 2 2
t x t t
pT Tp
L ch x
p p p / a p a
−
  
− =−     −   
,
t t t t
t t1 o o
x t t
t tt
p p p p
x x x x
o oa a a a
t
t tt
p pT Ta
L {U} U(x;p ) G(p )sh x ch x ,
a p a pp
T Ta
G(p ) e e e e ,
2p p2 p
−
− −
   
⇒ = = − +      
   
   
= − − + +   
   
   
o o
t t t
x x
tt t
T Ta
mà lim u(x,t) 0 lim U(x,p ) 0 G(p ) 0 G(p ) .
2p2 p a p→∞ →∞
=⇒ =⇒ + =⇔ =−
Tóm lại,
t
t
p
xp ax
1o oa
t o t t o
t t t
T T 1 e x
U(x;p ) e T u(x,t) L {U(x;p )} T erf .
p p p 2a t
−
−
−
 
−   
=− + = ⇒ = =   
  
 

e. Truyền nhiệt trên thanh vô hạn
2
2
2
u u
a (x,t)
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
với x R; t 0∈ > (2.17)
với điều kiện đầu u(x,0) = f(x).
Nhân 2 vế của phương trình (2.17) với H(t)
2
2
2
u u
H(t) a H(t) (x,t)H(t)
t x
∂ ∂
= + ϕ
∂ ∂
. (2.18)
Áp phép biến đổi Laplace 2 chiều vào 2 vế của (2.18) ta được
2
2
2
u u
L H(t) a L H(t) L{ (x,t)H(t)},
t x
 ∂ ∂ 
= + ϕ   
∂ ∂   
2 2
t x x t
2 2
t x x x t
p L{uH(t)} L{u(x,0)} a p L{uH(t)} (p ,p ),
p U F(p ) a p U (p ,p ),
⇔ −= + Φ
⇔ − = + Φ
x x t
x x t 1 22 2 2 2 2 2
t x t x t x
F(p ) (p ,p ) 1 1
U F(p ) (p ,p ) U U ,
p a p p a p p a p
+ Φ
⇔ = = + Φ = +
− − −
{ }
2
2 2 2
x
(x )
a t.p1 1 4a t
1 x t 1 x x 1 x
1
U (p ,t) L U F(p )e L {U (p ,t)} f ( ) e d .
2a t
−α+∞
−
− −
−∞
== ⇒ =α α
π∫
Tương tự,
2
2
(x )t
1 4a (t )
2 2
0
1
L {U } e ( , )d d
2a (t )
−α+∞ −
− −β
−∞
= ϕ α β α β
π −β∫ ∫ .
Vậy,
22
22
(x )(x ) t
4a (t )4a t
0
1 1
u(x,t) f ( ) e d e ( , )d d
2a t 2a (t )
−α−α+∞ +∞ −−
−β
−∞ −∞
= α α + ϕ α β α β
π π −β∫ ∫ ∫ .
f. Truyền nhiệt trên thanh có chiều dài hữu hạn
2
2
2
u u
a
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
, (2.19)
với các điều kiện [ ] 1 2x 0;L ;u(x,0) f (x);u(0,t) g (t);u(L,t) g (t)∈ = = = .
Nhân 2 vế của (2.19) cho H(t)Hx với Hx = H(x) – H(x – L), ta có
2
2
x x2
u u
H(t)H a H(t)H .
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
(2.20)

Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào 2 vế của (2.20), ta thu được
22
2 2 t
t t t t2 2
2
2 t
t t t t t2
U(x,p )u u
L H(t) a L H(t) p U(x,p ) u(x,0) a ,
t x x
U(x,p )
a p U(x,p ) f (x) U(x,p ) U(x,A(p ),B(p )),
x
  ∂∂ ∂ 
= ⇔ −=   
∂ ∂ ∂   
∂
⇔ − = ⇒ =
∂
với điều kiện biên U1(0, pt) = G1(pt); U2(L, pt) = G2(pt). Từ điều kiện biên, ta có
t t t 1 t t
t t t t 2 t t
U(0,p ) U(0,A(p ),B(p )) G (p ), A(p ),
U(L,p ) U(p ,A(p ),B(p )) G (p ), B(p ).
= = 
⇒ 
= = 
.
Vậy, 1
x t tu (x,y) u(x,t)H L U(x,p )∗ −
= = là nghiệm cần tìm.
g. Bài toán truyền nhiệt 2 chiều
Phương trình truyền nhiệt hai chiều
2 2
2 2 2
u u 1 u
0
x y a t
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂
, (2.21)
với u(x,y,0) = f(x,y).
Chuẩn hóa (2.21) ta được
2 2
2 2 2
u u 1 u
H(t) H(t) H(t)
x y a t
∂ ∂ ∂
+ =
∂ ∂ ∂
. (2.22)
Áp phép biến đổi Laplace theo biến x, y vào 2 vế của (2.22) được
2 2 2 2 2
2
1 U(p,q,t) U(p,q,t)
p U(p,q,t) q U(p,q,t) a (p q )U(p,q,t) 0,
a t t
∂ ∂
+ = ⇔ − + =
∂ ∂
2 2 2 2 2 2
a (p q )t a (p q )t
xyU(p,q,t) U(p,q,0)e L {f (x,y)}e+ +
⇔ = = với L{u} = U(p,q,t),
2 2
2
xy 2 2
1 (x ) (y )
u(x,y,t) L {U(p,q,t)} d d exp f ( , ).
4 a t 4a t
+∞ +∞
−
−∞ −∞
 − α + −β
⇒ = = α β − α β π  
∫ ∫
Phép biến đổi Laplace ưu thế hơn trong việc giải các phương trình một hoặc
hai biến số. Đối với các phương trình nhiều biến, việc tìm gốc (hay thực hiện liên
tiếp các phép biến đổi Laplace ngược) khá phức tạp. Đòi hỏi trang bị bảng tra cứu
ảnh-gốc đa dạng.

h. Phương trình truyền nhiệt dạng đối xứng trụ
2
2
u(r,t) u b u
a (r,t), t 0;r 0;a 0;b 0,
t r r r
∂ ∂ ∂
= + + ϕ ≥ ≥ > >
∂ ∂ ∂
(2.23)
với điều kiện đầu u(r,0) = f(r) và điều kiện biên u(0, t) = g(t).
Chuẩn hóa (2.23) ta được
2
2
u(r,t) u b u
H(t)H(r) a H(t)H(r) H(t)H(r) (r,t)H(t)H(r).
t r r r
∂ ∂ ∂
= + + ϕ
∂ ∂ ∂
(2.24)
Áp phép biến đổi Laplace theo 2 biến vào 2 vế của (2.24) được
r
t
t
r
t
F(p )
2
r r
r 0 G(p )
T(p )
r r t
p
p L{uH(t)H(r)} L{u(r,0)H(r)},
u
ap L{uH(t)H(r)} ap L H(t) a L{u(0,t)H(t)}
r
u
b L H(t)H(r) dp (p ,p ),
r
=
+∞
−
 ∂
= − − 
∂ 
∂ 
+ + Φ 
∂ 
∫



r
2
t r r r t t r t r r t
p
p U F(p ) ap U ap T(p ) aG(p ) b [p U G(p )]dp (p ,p ),
+∞
⇔ − = − − + − + Φ∫
r
2
r t r r t r t t r r t
p
b [p U G(p )]dp (ap p )U ap T(p ) aG(p ) F(p ) (p ,p ) 0,
+∞
⇔ − + − − − + + Φ =∫ (2.25)
với U = L{u}. Đạo hàm 2 vế của (2.25) theo pr, ta có
r tr
r r t
r r
(p ,p )dF(p )
bp U 2ap U aT(p ) 0,
dp p
∂Φ
− + − + + =
∂
r t r r t(2a b)p U aT(p ) F'(p ) '(p ,p ),⇔ − = − + Φ
t r tr
r r r
aT(p ) '(p ,p )1 F'(p ) 1
U
(2a b)p 2a b p 2a b p
Φ
⇔= − +
− − −
,
với L{u*
} = L{uH(r)H(t)} = U. Thực hiện phép biến đổi ngược theo biến r, ta được

r r
1 t
t r t
0 0
aT(p ) 1 1
U(r,p ) L {U} H(r) rf (r)H(r)dr r. (r,p )H(r)dr,
2a b 2a b 2a b
−
= = + − Φ
− − −∫ ∫
1
t t
r r
1
t t
0 0
r r
0 0
u (r,t) L {U(r,p )},
a H(r)H(t) 1
T(t)H(r)H(t) rf (r)dr r.L { (r,p )H(r)}dr,
2a b 2a b 2a b
a H(r)H(t) H(r)H(t)
u (r,t) T(t)H(r)H(t) rf (r)dr r (r,t)dr,
2a b 2a b 2a b
a 1
u (r,t) T(t) r[f (r)
2a b 2a b
∗ −
−
∗
∗
⇒ =
= + − Φ
− − −
⇒= + − ϕ
− − −
⇒ = +
− −
∫ ∫
∫ ∫
r
0
(r,t)]dr H(r)H(t),
 
− ϕ 
 
∫
trong đó,
r 0
u
T(t)
r =
∂
=
∂
. Lưu ý, u*
(r,t) = u(r,t)H(r)H(t) mới là nghiệm cần tìm vì nó
xác định trên miền [0, +∞)×[0;+∞).
i. Phương trình Klein-Gordon
Phương trình có dạng
2 2
2
2 2
u u
a bu.
t x
∂ ∂
= −
∂ ∂
(2.26)
Chuẩn hóa (2.26), ta được:
2 2
2
2 2
u u
H(t) a H(t) buH(t).
t x
∂ ∂
= −
∂ ∂
(2.27)
Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào 2 vế của, được
{ }
2 2
2
t t t2 2
u u
L H(t) a L H(t) bL uH(t) ,
t x
   ∂ ∂
= −   
∂ ∂   
{ }
2
2 2
t t t t t2
t 0
u
p L {uH(t)} p u(x,0) a L {uH(t)} bL uH(t) ,
t x=
∂ ∂
⇔ − −= −
∂ ∂
2
2 2 t
t t t t2
U(x,p )
p U(x,p ) p g(x) f (x) a bU(x,p ),
x
∂
⇔ − −= −
∂
2
2 2t
t t t2
U(x,p )
a (b p )U(x,p ) p g(x) f (x),
x
∂
⇔ − − =− −
∂
1
t t t tU(x,p ) U(x,p ,A,B) u(x,t) L {U(x,p ,A,B)}−
⇔ = ⇒ = .
Tùy vào điều kiện biên, ta xác định được A và B.

j. Phương trình Khokhlov–Zabolotskaya dừng
Phương trình này xuất hiện trong nhạc học và cơ học phi tuyến, có dạng
2 2
2 2
u u u
0
x y y
∂ ∂ ∂
+ α + β =
∂ ∂ ∂
với (x,y) [0; ) [0; ),∈ +∞ × +∞ (2.28)
và các điều kiện: x yu(0,y) a(y);u (0,y) b(y);u(x,0) c(x);u (0,y) d(y)= = = = .
Chuẩn hóa (2.28) thu được
2 2
2 2
u u u
H(x)H(y) H(x)H(y) H(x)H(y) 0
x y y
∂ ∂ ∂
+ α + β =
∂ ∂ ∂
. (2.29)
Áp phép biến đổi Laplace 2 chiều theo x,y vào 2 vế của (2.29) ta có
2 2
2 2
u u u
L H(x)H(y) L H(x)H(y) L H(x)H(y) 0,
x y y
     ∂ ∂ ∂
+ α +β =     
∂ ∂ ∂    
{ }
{ }
2
x x x
2
y y y
y
p L{uH(x)H(y)} p L u (0,y)H(y) L{u(0,y)H(y)},
p L{uH(x)H(y)} p L u (x,0)H(x) L{u(x,0)H(x)},
p L{uH(x)H(y)} L{u(x,0)H(x)} 0,
⇔ − −
+α − α − α
+β −β =
2 2
x x y y y y x x y xp U p B(p ) A(p ) p U p D(p ) C(p ) p U C(p ) 0,⇔ − − + α − α − α + β −β =
với A, B, C và D lần lượt là ảnh của u(0,y); ux(0,y); u(x,0) và uy(x,0),
x y x y x y
2 2
x y y
y x y y xx
2 2 2 2 2 2 2 2
x y y x y y x y y x y y
( )C(p ) p D(p ) A(p ) p B(p )
U ,
p p p
A(p ) p B(p ) p D(p )C(p )
( ) .
p p p p p p p p p p p p
α + β + α + +
=
+ α + β
= + + α + β + α
+ α + β + α + β + α + β + α + β
Bằng phương pháp khai triển Heaviside và tìm gốc từ tích chập, ta giải ra
u(x,y).

k. Một phương trình đạo hàm riêng cấp 1
Cho phương trình
u u
x 0
x t
∂ ∂
+ =
∂ ∂
với 2
(x,t) [0; )∈ ∞ (2.30)
và các điều kiện u(x,0) = 0; u(0,t) = t.
Chuẩn hóa (2.30) được
u u
H(x)H(t) x H(x)H(t) 0.
x t
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(2.31)
Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào 2 vế của (2.31) ta được:
*
2
t
t t
t t t
u
x
p
t 2
t t t t
u u
L H(x)H(t) L x H(x)H(t) 0,
x t
L {uH(x)H(t)} x.p L {uH(x)H(t)} x.u(x,0)H(x) 0,
x
U(x,p )
x.p U(x,p ) 0 U(x,p ) C(p )e ,
x
−
∂ ∂   
+ =   
∂ ∂   
∂
⇔ + − =
∂
∂
⇔ + =⇔ =
∂

t t t 2
t
1
U(0,p ) C(p ) L {u(0,t)H(t)} ,
p
= = =
nên
2
t
x 2 2
p
* 12
t t t2
t
1 x x
U(x,p ) e u L {U(x,p )} t H t
p 2 2
−
−    
= ⇒ = = − −   
   
.

Chương 3. Kết luận và hướng phát triển
3.1. Các kết quả đạt được
Chúng tôi đã hoàn thành về cơ bản những mục tiêu ban đầu:
- Hệ thống lại các tính chất quan trọng của phép biến đổi Laplace
- Đề ra phương pháp chung về mặt lí thuyết để giải quyết lớp phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
- Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một số phương trình Toán-Lý phổ biến
và cơ bản như các phương trình truyền sóng, truyền nhiệt, phương trình Laplace,
Poisson trong không gian một, hai hoặc ba chiều cùng 1 biến thời gian để đánh giá
tính khả dụng của phép biến đổi đối với lớp phương trình đạo hàm riêng cấp 2
- Nhận xét các ưu-nhược điểm khi sử dụng phép biến đổi Laplace:
+ Phép biến đổi Laplace một phía là trường hợp riêng của phép biến đổi
Laplace 2 phía khi áp dụng cho nhóm hàm dạng u(r).H(r) với H là hàm Heaviside
tuy nhiên có sự khác nhau cơ bản về miền hội tụ, nói chung, miền hội tụ của phép
biến đổi Laplace 2 phía hẹp hơn nhưng các tính chất lại rất đơn giản. Một số tính
chất có liên quan tới cận của tích phân như đạo hàm ảnh, tích phân ảnh,... cũng khác
biệt là cơ sở để giải các bài toán chứa điều kiện đầu và điều kiện biên
+ Phép biến đổi Laplace là công cụ mạnh mẽ để giải phương trình vi phân đặc
biệt là phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng cách đưa nó về các phương trình
đại số của hàm ảnh
+ Phép biến đổi Laplace có nhược điểm lớn là chỉ nên áp dụng cho các
phương trình có điều kiện biên đơn giản, không chứa nhiều biến số. Ngược lại, ta
gặp phải các vấn đề phức tạp trong việc xác định miền hội tụ: cùng một hàm ảnh
nhưng trong các miền hội tụ khác nhau lại cho các gốc khác nhau, việc tìm hàm gốc
cũng vất vả không kém
+ Phép biến đổi Laplace thuận tiện khi áp dụng cho các phương trình hệ số
hằng hoặc hệ số là tích của các biến với bậc một. Gặp khó khăn khi giải các phương
trình có hệ số chứa nhiều biến số

+ Phép biến đổi Laplace ưu thế trong việc giải các phương trình chứa một
hoặc hai biến số. Đối với các phương trình nhiều biến, việc tìm gốc (hay thực hiện
liên tiếp các phép biến đổi Laplace ngược) khá phức tạp. Đòi hỏi trang bị bảng tra
cứu ảnh-gốc đa dạng
+ Phép biến đổi Laplace sử dụng ngay các điều kiện đầu/điều kiện biên trong
những bước đầu tiên của quá trình tìm nghiệm mà không cần thông qua một nghiệm
tổng quát với các tham số. Nhờ đó, giảm được phần lớn khối lượng tính toán và làm
đơn giản các biến đổi
- Đặc biệt, trong luận văn này, chúng tôi đã nghiên cứu về phép biến đổi
Laplace 2 phía n-chiều và áp dụng chủ yếu nó để giải các phương trình đạo hàm
riêng. Bước đầu cho những đánh giá khả thi và tích cực
3.2. Hướng phát triển
- Xây dựng phép biến đổi Laplace áp dụng cho các phương trình đạo hàm
riêng có điều kiện biên phức tạp và nhiều biến hơn
- Áp dụng phép biến đổi Laplace giải lớp phương trình đạo hàm riêng có bậc
lớn hơn hai
- Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình đạo hàm riêng với điều
kiện biên hỗn hợp
- Kết hợp phép biến đổi Laplace với phương pháp hàm Green để giản hóa bài
toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Balth. Van Der Pol, H. Bremmer (1950), Operational Calculus Based On
The Two-Sided Integral, The Syndics of the Cambridge University Press, Great
Britain at the University Press, Cambridge.
[2] Dyke P.D.G (2004), An Introduction to Laplace Transforms and Fourier
Series, Springer-Verlag London, UK.
[3] James G. Holbrook, Laplace transforms for electronic engineers,
Pergamon Press Ltd, 4 & 5 Fitzroy Square, London W.1.
[4] Jole L.Schiff (1999), The Laplace Transform Theory and Applications,
Springer-Verlag New York, Inc, 175 Fifth Ayenue, New York, NY 10010, USA.
[5] Tyn Myint-U, Lokenath Debnath (2007), Linear Partial Differential
Equations fo Scientists and Engineers, Birkhauser Boston, c/o Springer
Science+Business Media LLC, 233 Spring Street, NewYork, NY 10013, USA.
[6] Urs Graf (2010), Introduction to Hyperfunctions and Their Integral
Transforms. An Applied and Computational Approach, Birkhäuser / Springer Basel
AG P.O. Box 133, CH-4010 Basel, Switzerland, Germany.
[7] Vladimirov V.S (1971), Equations of Mathematical Physics, Marcel
Dekker, Inc., New York.

PHỤ LỤC
TÓM TẮT CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VÀ CÁC CẶP GỐC - ẢNH PHỔ THÔNG [1], [3]
CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
STT f(t) F(p) α < Re(p) < β
01 M.f(t) M.F(p) α < Re(p) < β
02 f(at) (a > 0)
p
F
a
 
 
 
a Re(p) a (a 0)α < < β >
03 f(at) (a < 0)
p
F
a
 
−  
 
a Re(p) a (a 0)β < < α <
04
f (t,x)
x
∂
∂
F(p,x)
x
∂
∂
α < Re(p) < β
05
df (t)
dt
pF(p) α < Re(p) < β
06
n
n
d f (t)
dt
pn
F(p) α < Re(p) < β
07
i t
f
t i
 
 
 
p
2 pF
i
 
π  
 
Re(p) = 0
08 f(t + a) (a R)∈ eap
F(p) α < Re(p) < β
09 e-at
f(t) (a C)∈
F(p a)
p a
+
+
α – Re(a) < Re(p) < β –
Re(a)
10
n
t d
e f (t)
dt
 
 
 
(p-1)(p-2)...(p – n + 1)F(p
– n)
α + n < Re(p) < β + n
11 tn
f(t)
n
n
n
d F(p)
( 1)
dp
− α < Re(p) < β
12 f(-e-t
)
p
F( p)
sin( p)
π
−
π

13
f (t)
H(t)
t p
F(x)
dx
x
+∞
∫ 0 < Re(p) < +∞
14
1
f H(t)
t
 
 
 
1
0
p
J {2 px} F(x)dx
x
+∞
∫ 0 < Re(p) < +∞
15 f(t2
)H(t)
2
x
0
1 p dx
e F
4x x
+∞
−  
 
π  
∫ 0 < Re(p) < +∞
16 f(et
)H(t)
p 1
0
1
x F(x)dx
(p)
+∞
−
Γ ∫ 0 < Re(p) < +∞
17 f(a(et
– 1))H(t)
x p 1
0
1
e x F(x / a)dx
(p)
+∞
− −
Γ ∫ 0 < Re(p) < +∞
18 f(a.sinht)H(t) p
0
F(x)
J (ax) dx
x
+∞
∫ 0 < Re(p) < +∞
19
1
f (t / n)
H(t)
n
∞
∑ px
0
F(x)dx
e 1
+∞
−∫ 0 < Re(p) < +∞
CÁC CẶP GỐC-ẢNH
01 H(t) 1/p 0 < Re(p) < +∞
02 H(t – a) e-ap
/p 0 < Re(p) < +∞
03 tH(t) 1/p2 0 < Re(p) < +∞
04 tn
H(t) n 1
n!
p +
0 < Re(p) < +∞
05 eat
H(t)
1
p a−
Re(a) < Re(p)
06 (eat
-1)H(t)
a
p(p a)−
Re(a) < Re(p) < +∞
07 teat
H(t) 2
1
(p a)−
Re(a) < Re(p) < +∞
08 tn
eat
H(t) n 1
n!
(p a) +
−
Re(a) < Re(p) < +∞

09 sin(mt)H(t) 2 2
m
p m+
0 < Re(p) < +∞
10 cos(mt)H(t) 2 2
p
p m+
0 < Re(p) < +∞
11 sh(mt)H(t) 2 2
m
p m−
|Re(m)| < Re(p)
12 ch(mt)H(t) 2 2
p
p m−
|Re(m)| < Re(p)
13 eat
sin(mt)H(t) 2 2
m
(p a) m− +
Re(a) < Re(p) < +∞
14 eat
cos(mt)H(t) 2 2
p a
(p a) m
−
− +
Re(a) < Re(p) < +∞
15 eat
sh(mt)H(t) 2 2
m
(p a) m− −
|Re(m)| + Re(a) < Re(p)
16 eat
ch(mt)H(t) 2 2
p a
(p a) m
−
− −
|Re(m)| + Re(a) < Re(p)
17 tsin(mt)H(t) 2 2 2
2pm
(p m )+
0 < Re(p) < +∞
18 tcos(mt)H(t)
2 2
2 2 2
p m
(p m )
−
+
0 < Re(p) < +∞
19 tsh(mt)H(t) 2 2 2
2pm
(p m )−
|Re(m)| < Re(p)
20 tch(mt)H(t)
2 2
2 2 2
p m
(p m )
+
−
|Re(m)| < Re(p)
21 sin2
(mt)H(t)
2
2 2
2m
p(p 4m )+
0 < Re(p) < +∞
22 cos2
(mt)H(t)
2 2
2 2
p 2m
p(p 4m )
+
+
0 < Re(p) < +∞
23 sh2
(mt)H(t)
2
2 2
2m
p(p 4m )−
|Re(2m)| < Re(p)
24 ch2
(mt)H(t)
2 2
2 2
p 2m
p(p 4m )
−
−
|Re(2m)| < Re(p)

25 teat
sin(mt)H(t)
2 2
2 2 2
(p a) m
[(p a) m ]
− −
− +
Re(a) < Re(p) < +∞
26 teat
cos(mt)H(t) 2 2 2
2m(p a)
[(p a) m ]
−
− +
Re(a) < Re(p) < +∞
27 teat
sh(mt)H(t) 2 2 2
2m(p a)
[(p a) m ]
−
− −
|Re(m)| + Re(a) < Re(p)
28 teat
ch(mt)H(t)
2 2
2 2 2
(p a) m
[(p a) m ]
− +
− −
|Re(m)| + Re(a) < Re(p)
29 [1 – cos(mt)]H(t)
2
2 2
m
p(p m )+
0 < Re(p) < +∞
30 f(t)sin(mt)H(t)
1
[F(p i.m) F(p i.m)]
2
− − +
31 f(t)cos(mt)H(t)
1
[F(p i.m) F(p i.m)]
2
− + +
32 f(t)sh(mt)H(t)
1
[F(p m) F(p m)]
2
− − +
với F là ảnh của f(t)
33 f(t)ch(mt)H(t)
1
[F(p m) F(p m)]
2
− + +
34
sin t
t
πH(p2
+ 1) Re(p) = 0
35 sin(at)
H(t)
t
arctan(a/p) 0 < Re(p) < +∞
36 δ(t) 1 -∞ < Re(p) < +∞
37 δ(n)
(t) pn -∞ < Re(p) < +∞
38 δ(n)
(1 – e-t
) (p-1)(p-2)...(p-n) -∞ < Re(p) < +∞
39 log(t)H(t)
-(1/p)log(p) – γ/p
γ là hằng số Euler-
Mascheroni
0 < Re(p) < +∞
40 log(t + γ)H(t) -(1/p)log(p) 0 < Re(p) < +∞
41
t
1 e
H(t)
t
−
− 1
log 1
p
 
+ 
 
0 < Re(p) < +∞

42 log(et
+ 1)
psin( p)
π
π
0 < Re(p) < 1
43 erfc(-t)H(t)
21
p
4
(2 / p)e 0 < Re(p) < +∞
44
21
t
4
e H(t)
− 2
p
e erfc(p)π -∞ < Re(p) < +∞
45 erf ( t)H(t)
1
p p 1+
0 < Re(p) < +∞
46 erf (t)H(t)
2
p /4
e [1 erf(p / 2)]
p
−
0 < Re(p) < +∞
47
at1
e erfc( at)H(t)
a
1
p(p a)+
Re(-a) < Re(p) < +∞
48 erf at
H(t)
a
1
p p a+
Re(-a) < Re(p) < +∞
49
a
erfc H(t)
2 t
 
 
 
a p
e
p
−
0 < Re(p) < +∞
50
2
a /4t
3
a
e H(t)
2 t
−
π
a p
e− 0 < Re(p) < +∞
51
at
e
H(t)
t
−
π
1
p a+
Re(-a) < Re(p) < +∞
52
at bt
e e
H(t)
t
− p b
ln
p a
−
−
53
at bt
e e
H(t)
a b
−
−
1
(p a)(p b)− −
54
t/a t/b
e e
H(t)
a b
−
−
1
(ap 1)(bp 1)+ +
55 (1 + at)eat
H(t) 2
p
(p a)−
Re(a) < Re(p) < +∞
56
a
2
e at 1
H(t)
a
− −
2
1
(p a)p−
Re(a) < Re(p) < +∞

57 Jo(at)H(t) (hàm Bessel) 2 2
1
p a+
0 < Re(p) < +∞
58
x 1
t
(x)
−
Γ
x
1
x 0
p
>
KÍ HIỆU: 2 2 2 23 2
i i
i i1
x x
r x ; arccos ; arctan ; p p
r x
  
= θ= ϕ= =  
   
∑ ∑
01
1
4 r
−
π
1/p2
Re(p) = 0
02 n
n 1
P (cos )
r +
θ n n
3
2
( 1) p4
n! p
−π
− Re(p) = 0
03
ikr
e
4 r
−
π
2 2
1
p k+
|Re(p)| < Im(k)
04
cos(kr)
4 r
−
π
, k thực 2 2
1
p k+
Re(p) = 0
05
sin(kr)
4 rπ
, k thực δ(p2
+ k2
) Re(p) = 0

ứNg dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ứNg dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

Similar to ứNg dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý (20)

More from https://www.facebook.com/garmentspace

More from https://www.facebook.com/garmentspace (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

ứNg dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý