Giới thiệu quang phi tuyến

1
Tài liệu quang phi tuyến:
http://mientayvn.com/Cao%20hoc%20quang%20dien%20tu/Semina%20tren%2
0lop/seminar.html#6
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ QUANG PHI TUYẾN
1.1 Giới thiệu quang phi tuyến
Quang phi tuyến là một phân ngành quang học nghiên cứu sự truyền của chùm
ánh sáng cường độ cao trong chất rắn, chất lỏng, chất khí và sự tương tác của chúng
với các môi trường đó. Sự xuất hiện của laser giúp con người có được những nguồn
phát bức xạ với công suất lên đến 109
-1010
W, nhờ đó, nhiều hiện tượng quang học mới
lạ đã xuất hiện. Đặc điểm chung của những hiện tượng mới này là sự xuất hiện và bản
chất của chúng phụ thuộc vào cường độ ánh sáng. Trường ánh sáng mạnh làm thay đổi
tính chất quang học của môi trường (chiết suất n, hệ số hấp thụ), và bản chất của các
hiện tượng quang học này gắn liền với đặc tính của những thay đổi đó. Quang phi
tuyến có nhiều điểm giống với lí thuyết dao động phi tuyến, âm học phi tuyến
v.v…Trước đây, trong quang học, người ta sử dụng trường ánh sáng cường độ yếu
không đủ để làm thay đổi tính chất của môi trường nên quang học ở giai đoạn đó gọi
là quang học tuyến tính.
Lịch sử quang phi tuyến. Trong quang học "phi laser", đặc tính cơ bản của
sóng ánh sáng, góp phần xác định bản chất của tương tác của nó với vật chất là tần số
hoặc bước sóng 𝜆 và tính chất phân cực. Đối với đa số các hiệu ứng quang học, cường
độ điện trường E (hoặc mật độ thông lượng bức xạ I = cnE2
/ 8𝜋, ở đây c là tốc độ ánh
sáng, n – chiết suất) không ảnh hưởng đến tính chất của môi trường. Chiết suất n, hệ

2
số hấp thụ, tiết diện hiệu dụng của các chùm sáng được ghi trong các tài liệu mà
không cần chú thích về cường độ ánh sáng được sử dụng trong quá trình đo chúng, bởi
vì người ta chưa quan sát thấy sự phụ thuộc của các đại lượng này vào cường độ ánh
sáng. Nhưng về sau đã có vài công trình nghiên cứu về ảnh hưởng của cường độ ánh
sáng đến các hiện tượng quang học. Năm 1923, SI Vavilov và Levshin đã quan sát thấy
sự giảm hệ số hấp thụ của thủy tinh Uranium khi tăng cường độ ánh sáng và đã giải
thích dựa trên quan điểm là: trong một trường điện mạnh, các nguyên tử (hoặc phân
tử) ở trạng thái kích thích không thể hấp thụ photon nữa. Xét thấy rằng đây chỉ là một
trong nhiều hiệu ứng phi tuyến khả dĩ trong quang học, Vavilov đã đưa vào thuật ngữ
"quang phi tuyến".
Một cộng đồng rộng lớn những nhà nghiên cứu quang phi tuyến đã hình thành
sau sự xuất hiện của các laser. Vào năm 1961, P. Franken và các cộng sự (Mỹ) đã
khám phá hiện tượng phát sóng hài bậc hai trong tinh thể thạch anh. Năm 1962, hiện
tượng phát sóng hài bậc ba được khám phá. Trong những năm 1961-1963, Liên Xô và
Mỹ đã thu được các kết quả cơ bản trong việc xây dựng lí thuyết về các hiện tượng
quang phi tuyến. Trong những năm 1962-1963, hiệu ứng Raman cưỡng bức được
khám phá và giải thích. Điều này mở đường cho việc khám phá các loại hiệu ứng tán
xạ cảm ứng khác như tán xạ Mandel'shtam – Brillouin cảm ứng, tán xạ Rayleigh cảm
ứng v.v…..
Vào năm 1965, hiệu ứng tự hội tụ của chùm ánh sáng được phát hiện. Thông
thường, một chùm sáng khi truyền trong môi trường sẽ bị mở rộng do nhiễu xạ.
Nhưng ở đây, khi chùm sáng cường độ cao truyền trong môi trường lại bị hội tụ. Hiện
tượng tự hội tụ của sóng điện từ đã được G.A.Askar'yan (Liên Xô) tiên đoán vào năm
1962. Các công trình thực nghiệm và lí thuyết đã được tiến hành đồng thời bởi
C.H.Townes và các cộng sự (Mỹ, 1964). Đóng góp lớn nhất trong việc hiểu biết bản
chất của hiện tượng này là của AM Prokhorov và các cộng sự.

3
Năm 1965, J.A.Giordmaine và R.C.Miller đã tạo được các bộ phát tham số ánh
sáng, trong đó các hiệu ứng quang phi tuyến được dùng để tạo ra bức xạ quang học kết
hợp, có thể điều chỉnh được bước sóng một cách liên tục trên một khoảng rộng. Năm
1967 bắt đầu nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến liên quan đến sự lan truyền của các
xung ánh sáng siêu ngắn trong môi trường (chu kì cỡ 10-12
s). Kể từ năm 1969, các
phương pháp quang phổ phi tuyến dựa trên các hiệu ứng phi tuyến xuất hiện góp phần
cải thiện độ phân giải và độ nhạy trong nghiên cứu vật chất.
Tương tác của trường ánh sáng mạnh với môi trường. Một số chất điện môi
trong nó đã tồn tại sẵn các lưỡng cực điện, ví dụ như H2O, NaCl,v.v….Một số chất
điện môi khác không có sẵn các lưỡng cực điện, ví dụ như H2, N2,…..Đối với loại điện
môi thứ nhất, khi chưa có trường điện ngoài, các lưỡng cực phân tử sắp xếp hoàn toàn
hỗn loạn theo mọi phương do chuyển động nhiệt. Tổng của các momen lưỡng cực
phân tử sẽ bằng 0 nên vectơ phân cực điện môi cũng bằng 0. Khi có điện trường ngoài
với cường độ không quá lớn tác động vào thì các momen lưỡng cực điện sẽ hướng
theo chiều điện trường. Người ta chứng minh được, lúc này độ phân cực điện môi tỉ lệ
tuyến tính với cường độ trường điện tác dụng theo hệ thức:
𝑃⃗ = 𝜒𝐸⃗ (1.1.1)
Ở đây 𝜒 là độ cảm điện môi tuyến tính chỉ phụ thuộc vào tính chất của môi trường.
Đối với loại điện môi thứ hai, mối quan hệ giữa độ phân cực điện môi và trường
điện ngoài tác dụng vào cũng tuân theo hệ thức tương tự.
Hệ thức (1.1.1) là hệ quả của một nguyên lí quan trọng trong quang tuyến tính.
Đó là nguyên lí chồng chất. Hệ thức (1.1.1) có thể được rút ra từ mô hình dao động tử
cổ điển được dùng phổ biến trong quang học để nghiên cứu tương tác của ánh sáng
với vật chất. Theo mô hình này, nguyên tử và phân tử khi đặt trong trường ngoài sẽ
dao động như các dao động tử trong cơ học. Tất nhiên, với cường độ ánh sáng yếu,
cường độ điện trường tương ứng cũng nhỏ, các dao động này sẽ là các dao động điều
hòa.

4
Tuy nhiên, với ánh sáng Laser, thành phần điện trường trong nó có thể đạt đến
cường độ cỡ 1,2 .108
V /m. Cường độ điện trường này có thể đủ lớn để gây ra sự đánh
thủng không khí (cỡ 3.106
V / m ) và chỉ nhỏ hơn vài bậc so với cường độ trường điện
để giữ các nguyên tử với nhau (cỡ 5.1011
V / m) đối với Hidro, số hạng này cũng còn
được gọi là cường độ trường điện nguyên tử đặc trưng Eat. Với cường độ điện trường
lớn như vậy, dao động của các nguyên tử và phân tử sẽ là phi điều hòa và hệ quả của
nó là độ phân cực điện môi không còn tỉ lệ tuyến tính với cường độ điện trường ngoài
nữa. Nếu môi trường không hấp thụ và không tán sắc, các electron dịch chuyển vị trí
theo cùng hướng với trường điện ngoài thì độ phân cực điện môi và điện trường ngoài
liên hệ với nhau qua hệ thức phi tuyến:
𝑃( 𝑡) = 𝜒(1)
𝐸(𝑡) + 𝜒(2)
𝐸2
(𝑡) + 𝜒(3)
𝐸3
(𝑡) + ⋯ (1.1.2)
Ở đây 𝜒(2)
và 𝜒(3)
tương ứng là độ cảm điện môi phi tuyến bậc II và bậc III.
Nếu môi trường có hấp thụ và tán sắc, thì 𝜒(2)
và 𝜒(3)
là các tensor hạng ba và
hạng bốn. Hệ thức (1.1.2) phải được hiệu chỉnh lại. Chẳng hạn như, chúng ta phải viết
độ phân cực phi tuyến bậc hai dưới dạng như sau:
𝑃𝑖
(2)
= ∑ 𝜒𝑖𝑗𝑘
(2)
𝐸𝑗 𝐸𝑘
𝑗𝑘
Giả sử có một sóng ánh sáng đơn sắc E = Acos (ωt - kz), ở đây A – biên độ, ω –
tần số, k – số sóng, z – hướng truyền sóng, t – thời gian, theo (1.1.2), đóng góp của độ
phân cực phi tuyến bậc hai là:
𝑃(2)
= 𝜒(2)
𝐸2
=
𝜒(2) 𝐴2
2
+
𝜒(2) 𝐴2
2
𝑐𝑜𝑠2( 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) (1.1.3)
Số hạng cuối cùng trong (1.1.3) mô tả sự phân cực biến đổi với tần số 2ω, tương ứng
với sự phát sóng hài bậc hai. Sự phát sóng hài bậc ba và sự phụ thuộc chiết suất vào
cường độ ánh sáng tới được mô tả bởi số hạng 𝜒(3)
𝐸3
trong (1.1.2).
Sự đáp ứng phi tuyến của các dao động tử nguyên tử trong trường laser mạnh là
nguyên nhân chủ yếu của các hiệu ứng quang phi tuyến. Tuy nhiên, cũng có những

5
nguyên nhân khác, ví dụ sự thay đổi chiết suất n do nhiệt của môi trường laser. Sự
thay đổi nhiệt độ ΔT = AE2
(A – hệ số hấp thụ ánh sáng) dẫn đến:
𝑛 = 𝑛0 +
𝜕𝑛
𝜕𝑇
∆𝑇
Ngoài ra, hiệu ứng điện giảo cũng góp phần tạo ra hiệu ứng phi tuyến. Trong
trường laser mạnh, áp suất điện giảo tỉ lệ với E2
, mật độ môi trường vật chất thay đổi
dẫn đến sự tạo các sóng âm. Các hiệu ứng nhiệt và điện giảo thường đi kèm với sự tự
hội tụ của ánh sáng.
Sóng hài quang học. Hình 1.1 biểu diễn một bức xạ đơn sắc cường độ cao của
laser thủy tinh neodymium ( 𝜆1 = 1064 𝑛𝑚) đi qua tinh thể barium niobate được
chuyển thành bức xạ có bước sóng bằng phân nửa bức xạ ban đầu, tức là, sự phát sóng
hài bậc hai ( 𝜆2 = 532 𝑛𝑚).
Hình 1.1: Bức xạ laser 1064nm qua tinh thể barium niobate được chuyển thành
bức xạ hài bậc hai 532 nm.
Trong những điều kiện nhất định, hiệu suất chuyển đổi sóng hài bậc hai có thể
hơn 60%. Sự nhân đôi tần số cũng được phát hiện với các bức xạ laser khác trong
vùng khả kiến và hồng ngoại. Một số tinh thể và chất lỏng cũng có khả năng tạo sóng

6
hài bậc ba. Ngoài ra còn có thêm nhiều hiệu ứng khác phức tạp hơn nếu trường đầu
vào bao gồm hai hoặc nhiều sóng cường độ cao với tần số khác nhau ω1 và ω2. Như
vậy, cùng với sóng hài của mỗi sóng (2ω1, 2ω1), còn có thêm các sóng có tần số kết
hợp (ω1 + ω2, ω1 – ω2).
Các quá trình phi tuyến bậc ba. Giả sử có 3 sóng phẳng đơn sắc truyền dọc
theo trục z vào một môi trường phi tuyến bậc ba (Hình 1.2). Điện trường tổng hợp
trong môi trường phi tuyến bậc ba sẽ là tổng hợp của ba điện trường ứng với ba sóng
này:
Hình 1.2 Mô hình tương tác trong môi trường phi tuyến bậc ba
tEtEtEE 332211 coscoscos   (1.1.4)
),( 111 zEE  , ),( 122 zEE  và ),( 333 zEE  .
Để cho việc tính toán được thuận tiện và ngắn gọn, ta sẽ đặt tEA kkk cos
(k=1,2,3). Vậy theo (1.1.4):
321
3
1,
2
3
1
3
33
1
3
63 AAAAAAAE
lk
lk
k
k
k
k 





  
(1.1.5)
Hãy xét từng số hạng dưới dấu xích ma:
)3cos(
4
1
)cos(
4
3
)(cos 33333
tEtEtEA kkkkkkk  
)2cos(
4
1
)2cos(
4
1
)cos(
2
1 2222
lklklklkllklk EEtEEtEEAA  
k=1,2,3; l=1,2,3;Các cặp k,l khả dĩ là: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1).

7
   
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
4
cos cos cos( ) cos( )
A A A E E E
t t           

               
Độ phân cực phi tuyến bậc ba là:
  3)3(
0
)3(
EtP 
sẽ bao gồm các thành phần:
  





 1
2
31
2
2
3
1
)3(
01
2
1
2
1
4
3
EEEEEP 
  





 2
2
32
2
1
3
2
)3(
02
2
1
2
1
4
3
EEEEEP 
  





 3
2
23
2
1
3
3
)3(
03
2
1
2
1
4
3
EEEEEP 
  321
)3(
0321321321321
4
1
)()()( EEEPPPP  
  3
1
)3(
01
4
1
3 EP  
  3
2
)3(
02
4
1
3 EP  
  3
3
)3(
03
4
1
3 EP  
  1
2
2
)3(
01212
4
1
)2(2 EEPP  
  3
2
2
)3(
03232
4
1
)2(2 EEPP  
  2
2
3
)3(
02323
4
1
)2(2 EEPP  
  3
2
1
)3(
03131
4
1
)2(2 EEPP  
  1
2
3
)3(
01313
4
1
)2(2 EEPP  

8
Mỗi thành phần này ứng với một quá trình phi tuyến bậc ba nhất định.
Sự tự hội tụ của ánh sáng Khi chùm song song có
công suất vượt quá một giá trị tới hạn Pcr truyền qua một môi trường phi tuyến thì
chùm bị hội tụ thay vì bị mở rộng do nhiễu xạ (Hình 1.3).
Giá trị của Pcr khác nhau đối với các môi trường khác nhau, đối với một số chất
lỏng hữu cơ Pcr ~ 10-50 kW. Trong một số tinh thể, Pcr không quá vài W. Thỉnh
thoảng, khi một laser xung cường độ mạnh truyền qua chất lỏng, sự hội tụ lại này có
thể phá hủy chính nó. Quá trình này kèm theo sự tăng nhanh của trường ánh sáng, nó
có thể gây ra sự tự hủy của ánh sáng, sự dịch chuyển trạng thái và những thay đổi
khác trong môi trường vật chất. Trong những trường hợp khác, chẳng hạn như sự lan
truyền của laser khí hoạt động ở chế độ liên tục trong thủy tinh, sự tăng của cường độ
trường cũng cần được chú ý, mặc dù không quá nhanh. Có thể hình dung sự co này
giống như sự hội tụ của chùm thông thường bằng thấu kính. Tuy nhiên có một sự khác
biệt đáng kể. Đó là tính tuần hoàn của các điểm hội tụ.
Nguyên nhân của sự tự hội tụ là sự thay đổi chiết suất của môi trường dưới tác
dụng của chùm laser mạnh. Chiết suất của môi trường phi tuyến bậc ba được tính theo
công thức n = n0 + n2E2
, ở đây n0 – thành phần không đổi, không phụ thuộc E, n2 > 0.
Do điện trường E ở trục lớn hơn ở ngoại vi và vận tốc pha của ánh sáng v = c / n = c
/(n0 + n2E2
), nên mặt đầu sóng bị bẻ cong và các tia bị uốn cong vào trục chùm (hình
1.3).
Hiệu ứng ngược lại – sự lệch tiêu – xuất hiện khi chiết suất giảm trong vùng bị
chiếm bởi chùm sáng (do n2 <0). Trong trường hợp này, chùm laser mạnh sẽ phân kì
nhanh hơn chùm laser cường độ yếu.
Hình 1.3 Sự tự hội tụ

9
Sự trong suốt cảm ứng và sự hấp thụ phi tuyến. Một môi trường không trong
suốt đối với bức xạ cường độ yếu có thể trở nên trong suốt với ánh sáng cường độ cao,
và ngược lại, vật liệu trong suốt có thể hấp thụ ánh sáng khi chiếu bức xạ cường độ
cao (gọi là sự hấp thụ phi tuyến). Đây là những đặc trưng quan trọng nhất của sự hấp
thụ ánh sáng cường độ cao.
Quang phi tuyến và quang phổ. Các bộ dao động tham số. Sự phát triển của
quang phi tuyến góp phần cải tiến các phương pháp quang phổ và phát triển các
phương pháp quang phổ mới. Các phương pháp quang phổ mới này gọi là các phương
pháp quang phổ phi tuyến. Một tiêu chí quan trọng trong kỹ thuật quang phổ hấp thụ
là phải tạo ra nguồn sáng thích hợp, có thể điều chỉnh được tần số. Quang phi tuyến có
thể giải quyết vấn đề này nhờ các quá trình dao động tham số quang học – thiết bị ứng
dụng sự phát tần số hiệu để phát ra bức xạ laser có tần số thay đổi trong khoảng vài
A0
. Dưới đây, chúng ta sẽ xét một số hiệu ứng quang phi tuyến đặc trưng có liên quan
đến đề tài.
1.2 Sự trộn ba sóng phẳng:
Chiếu hai sóng điện từ vào một môi trường phi tuyến bậc hai. Một sóng phân
cực theo hướng j được mô tả bởi biểu thức:
𝐸𝑗
(𝜔1)
( 𝑡) = 𝐸𝑗
(𝜔1)
𝑒 𝑖𝜔1 𝑡
(1.2.1)
Sóng thứ hai phân cực theo hướng k:
𝐸𝑘
(𝜔2)
( 𝑡) = 𝐸𝑘
(𝜔2)
𝑒 𝑖𝜔2 𝑡
Sự tồn tại của hai trường này có thể gây ra độ phân cực tại tần số nω1 + m ω2. Các cặp
số nguyên n và m khả dĩ là (0,0), (0,2), (2,0), (-1,1), (1,-1). Thành phần i của độ phân
cực ở tần số ω3 = ω1 + ω2 là:
𝑃𝑖
(𝜔3=𝜔1+𝜔2)
(𝑡) = 𝑃𝑖
(𝜔3)
𝑒 𝑖𝜔3 𝑡
Biên độ phức của nó là:

10
𝑃𝑖
(𝜔3)
= 2 ∑ ∑ 𝑑𝑖𝑗𝑘
(𝜔3=𝜔1+𝜔2)
𝐸𝑗
(𝜔1)
𝐸𝑘
(𝜔2)
𝑘𝑗 (1.2.2)
Tương tự, đối với sự phát tần số hiệu 𝑑𝑖𝑗𝑘
(𝜔3
′ =𝜔1−𝜔2)
𝑃𝑖
(𝜔3
′ )
= 2 ∑ ∑ 𝑑𝑖𝑗𝑘
(𝜔3
′ =𝜔1−𝜔2)
𝐸𝑗
(𝜔1)
𝐸𝑘
(−𝜔2)
𝑘𝑗 (1.2.3)
ở đây, theo (1.2.1), 𝐸𝑘
(−𝜔2)
= (𝐸𝑘
(𝜔2)
)
∗
(* là kí hiệu cho đại lượng liên hợp phức).
Các biểu thức của 𝐸⃗ và 𝑃⃗ phải thỏa mãn phương trình Maxwell:
∇2
𝐸⃗ = 𝜇0 𝜎
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
+ 𝜇0 𝜀
𝜕2
𝐸⃗
𝜕𝑡2
+ 𝜇0
𝜕2
𝑃⃗ 𝑛𝑙
𝜕𝑡2
(1.2.4)
Xét trường hợp một chiều và các trường đầu vào là sóng phẳng truyền theo trục z:
𝐸𝑖
(𝜔1)
( 𝑧, 𝑡) = 𝐸1𝑖( 𝑧) 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
(1.2.5)
𝐸𝑘
(𝜔2)
( 𝑧, 𝑡) = 𝐸2𝑘( 𝑧) 𝑒 𝑖(𝜔2 𝑡−𝑘2𝑧 𝑧)
(1.2.6)
𝐸𝑗
(𝜔3)
( 𝑧, 𝑡) = 𝐸3𝑗( 𝑧) 𝑒 𝑖(𝜔3 𝑡−𝑘3𝑧 𝑧)
(1.2.7)
ở đây i, j, k là kí hiệu x, y, z trong hệ tọa độ Đề Các.
Thành phần theo hướng i của độ phân cực phi tuyến ở tần số 𝜔1 = 𝜔3 − 𝜔2 có dạng:
(𝑃𝑛𝑙
(𝜔1)
)
𝑖
= 2𝑑𝐸𝑗
(𝜔3)
(𝐸𝑘
(𝜔2)
)
∗
= 2𝑑𝐸3𝑗 𝐸2𝑘
∗
𝑒 𝑖[(𝜔3−𝜔2)𝑡−(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧)𝑧]
(1.2.8)
Dùng (1.2.5), chúng ta thu được:
∇2
𝐸𝑖
(𝜔1)
=
𝜕2
𝐸𝑖
(𝜔1)
𝜕𝑧2
Giả sử biên độ trường biến thiên chậm, tức là:
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
<< 𝑘1𝑧 𝐸1𝑖
Dẫn đến
𝑑2
𝐸1𝑖
𝑑𝑧2
≪ 𝑘1𝑧
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
Trong điều kiện này, chúng ta thu được:
∇2
𝐸𝑖
(𝜔1)
= (−𝑘1𝑧
2
𝐸1𝑖 − 2𝑖𝑘1𝑧
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
) 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
(1.2.9)

11
Thế (1.2.8) và (1.2.9) vào (1.2.4) và chú ý rằng
𝜕
𝜕𝑡
= 𝑖𝜔, chúng ta thu được:
(−𝑘1𝑧
2
𝐸1𝑖 − 2𝑖𝑘1𝑧
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
) 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
= ( 𝑖𝜔1 𝜇0 𝜎1 − 𝜔1
2
𝜇0 𝜀1) 𝐸1𝑖 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
+
𝜇0
𝜕2(𝑃 𝑛𝑙
(𝜔1)
)
𝑖
𝜕𝑡2
(1.2.10)
Vì 𝜔1
2
𝜇0 𝜀1 = 𝑘1𝑧
2
, (1.2.10) trở thành:
2𝑖𝑘1𝑧
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
=
−𝑖𝜔1 𝜇0 𝜎1 𝐸1𝑖 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
− 𝜇0( 𝑖𝜔1)2
2𝑑𝐸3𝑗 𝐸2𝑘
∗
𝑒 𝑖[𝜔1 𝑡−(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧)𝑧]
Chia cả hai vế cho 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡−𝑘1𝑧 𝑧)
chúng ta thu được:
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
= −
𝜎1
2
√
𝜇0
𝜀1
𝐸1𝑖 + 𝑖𝜔1√
𝜇0
𝜀1
𝑑𝐸3𝑗 𝐸2𝑘
∗
𝑒−𝑖(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧−𝑘1𝑧)𝑧
(1.2.11)
Tương tự đối với các thành phần trường tần số 𝜔2 và 𝜔3, chúng ta thu được :
𝑑𝐸2𝑘
𝑑𝑧
= −
𝜎2
2
√
𝜇0
𝜀2
𝐸2𝑘 + 𝑖𝜔2√
𝜇0
𝜀2
𝑑𝐸1𝑖 𝐸3𝑗
∗
𝑒−𝑖(𝑘3𝑧−𝑘2𝑧−𝑘1𝑧)𝑧
(1.2.12)
𝑑𝐸3𝑗
𝑑𝑧
= −
𝜎3
2
√
𝜇0
𝜀3
𝐸3𝑗 + 𝑖𝜔3√
𝜇0
𝜀3
𝑑𝐸1𝑖 𝐸2𝑘 𝑒−𝑖(𝑘1𝑧+𝑘2𝑧−𝑘3𝑧)𝑧
(1.2.13)
Nếu môi trường không hấp thụ ở tần số 𝜔1, 𝜔2, và 𝜔3, thì 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 0, đặt
∆𝑘 = 𝑘3𝑧 − 𝑘2𝑧 − 𝑘1𝑧, chúng ta thu được:
𝑑𝐸1𝑖
𝑑𝑧
= 𝑖𝜔1√
𝜇0
𝜀1
𝑑𝐸3𝑗 𝐸2𝑘
∗
𝑒−𝑖∆𝑘𝑧
(1.2.14)
𝑑𝐸2𝑘
𝑑𝑧
= 𝑖𝜔2√
𝜇0
𝜀2
𝑑𝐸1𝑖 𝐸3𝑗
∗
𝑒−𝑖∆𝑘𝑧
(1.2.15)
𝑑𝐸3𝑗
𝑑𝑧
= 𝑖𝜔3√
𝜇0
𝜀3
𝑑𝐸1𝑖 𝐸2𝑘 𝑒 𝑖∆𝑘𝑧
(1.2.16)
1.3 Phát sóng hài bậc hai với sóng phẳng:

12
Bây giờ, xét hiện tượng phát sóng hài bậc hai. Trong trường hợp này, chúng ta
có:
𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔, ∆𝑘 𝑧 = 𝑘3𝑧 − 2𝑘1𝑧
𝑑𝐸3𝑗
𝑑𝑧
=
1
2
𝑖𝜔3√
𝜇0
𝜀3
𝑑𝐸1𝑖 𝐸1𝑘 𝑒 𝑖∆𝑘𝑧
(1.2.16)
Hệ số
1
2
xuất hiện ở vế phải là do độ lớn của vector phân cực trong sự tạo sóng hài bậc
hai khác với độ lớn của vector phân cực trong sự tạo dao động tần số tổng.
Nếu 𝐸3𝑗(0) = 0, tức không có sóng hài bậc hai ở đầu vào, và tinh thể có chiều
dài L. Nghiệm của (1.2.16) là:
𝐸3𝑗( 𝐿) =
1
2
𝑖𝜔3√
𝜇0
𝜀3
𝑑𝐸1𝑖 𝐸1𝑘
𝑒 𝑖∆𝑘𝐿
− 1
𝑖∆𝑘
Hay
𝐸3𝑗( 𝐿) 𝐸3𝑗
∗ ( 𝐿) =
1
4
𝜇0
𝜀3
𝜔3
2
𝑑2
𝐿2
𝐸1𝑖
2
𝐸1𝑘
2
𝑠𝑖𝑛2∆𝑘𝐿
2
(
∆𝑘𝐿
2
)
2 (1.3.1)
Mối quan hệ giữa công suất và cường độ trường là:
𝐼( 𝜔ℓ) =
𝑃( 𝜔ℓ)
𝑆
=
1
2
√
𝜀ℓ
𝜇0
𝐸ℓ𝑗 𝐸ℓ𝑗
∗
Ở đây 𝜀ℓ = 𝜀0 𝑛ℓ
2
; S là tiết diện ngang của chùm.
Hiệu suất chuyển đổi:
𝜂 =
𝑃( 𝜔3)
𝑃( 𝜔1)
=
1
2
(
𝜇0
𝜀0
)
3/2 𝜔3
2
𝑑2
𝐿2
𝑛1
2
𝑛3
(
𝑃( 𝜔1)
𝑆
)
𝑠𝑖𝑛2 ∆𝑘𝐿
2
(
∆𝑘𝐿
2
)
2
Đặt tích của các hằng số thành một hằng số duy nhất, ta được:
𝜂 = 𝐶
2
(
∆𝑘𝐿
2
)
2 (1.3.2)

13
Ở đây 𝐶 =
1
2
(
𝜇0
𝜀0
)
3/2 𝜔3
2 𝑑2 𝐿2
𝑛1
2 𝑛3
(
𝑃(𝜔1)
𝑆
)
Ở đây, ta thấy ngay rằng 𝜂 sẽ đạt cực đại khi
2
(
∆𝑘𝐿
2
)
2 → 1 tức là khi ∆𝑘 = 0
 k3=2k1 (1.3.3)
Có thể tổng quát hóa các kết quả trên cho sự tạo dao động tần số tổng:
𝑘3
(𝑗)
= 𝑘1
(𝑖)
+ 𝑘2
(𝑘)
(1.3.4)
Các điều kiện (1.3.3) và (1.3.4) được gọi là điều kiện đồng bộ về không gian của
sự phát sóng hài bậc hai và sự tạo dao động tần số tổng.
Đối với sự phát sóng hài bậc hai, khi điều kiện đồng bộ về không gian thỏa mãn
thì (1.3.2) trở thành:
𝜂 = 𝐶 =
1
2
(
𝜇0
𝜀0
)
3/2 𝜔3
2
𝑑2
𝐿2
𝑛1
2
𝑛3
(
𝑃( 𝜔1)
𝑆
)
Nghĩa là hiệu suất chuyển đổi sóng hài bậc hai tỉ lệ với bình phương chiều dài
tinh thể và hệ số quang phi tuyến d.
Đồ thị của hàm
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆𝒌𝑳
𝟐
(
∆𝒌𝑳
𝟐
)
𝟐 . Đặt 𝑥 =
∆𝑘𝐿
2
, ta được hàm
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥2
. Đồ thị của hàm này có
dạng như sau (hình 1.4):

14
Hình 1.4 Đồ thị của hàm sin2
x/x2
Bảng 1.1 Giá trị và vị trí cực đại của hàm
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥2
:
𝑥 0 4,49 7,73 10,10
𝑠𝑖𝑛2
𝑥
𝑥2
1 0,047 0,016 0,008
Từ bảng 1.1, chúng ta thấy giá trị cực đại thứ hai chỉ gần bằng 5% cực đại thứ
nhất. Độ dài kết hợp sẽ là hiệu của giá trị L tại x=4,49 (ứng với 𝐿 =
2.4.49
∆𝑘
) và x=0
(ứng với L=0).
𝐿 𝑐 =
2.4.49
∆𝑘
∆𝑘 = 𝑘(2𝜔)
− 2𝑘(𝜔)
=
4𝜋
𝜆
[𝑛(2𝜔)
− 𝑛(𝜔)
]
Từ đó suy ra:
𝐿 𝑐 ≈ 0,715/[𝑛(2𝜔)
− 𝑛(𝜔)
]
Từ (1.3.3), ta viết lại điều kiện hợp pha trong sự phát sóng hài bậc hai là:
𝑘(2𝜔)
= 2𝑘(𝜔)
(1.3.5)
Vì 𝑘(2𝜔)
= 2𝜔𝑛(2𝜔)
/𝑐 và 𝑘(𝜔)
= 𝜔𝑛(𝜔)
/𝑐 nên (1.3.5) trở thành:

15
𝑛(2𝜔)
= 𝑛(𝜔)
Điều kiện này khó đạt được trong các môi trường bình thường, tức môi trường
có chiết suất tăng theo 𝜔. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta dựa vào sự kiện: trong
tinh thể bất đẳng hướng, chiết suất phụ thuộc vào hướng truyền của tia sáng. Ánh sáng
khi đi vào tinh thể lưỡng chiết sẽ tách thành hai sóng truyền với vận tốc khác nhau.
Trong tinh thể đơn trục, tia tương ứng với sóng mà chiết suất của nó không phụ thuộc
vào hướng truyền được gọi là tia thường. Tia ứng với sóng ánh sáng mà chiết suất của
nó phụ thuộc vào hướng truyền được gọi là tia bất
thường. Sự phụ thuộc đó có dạng:
1
𝑛 𝑒
2( 𝜃)
=
𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑛 𝑜
2
+
𝑠𝑖𝑛2
𝜃
𝑛 𝑒
2
Ở đây 𝜃 là góc giữa hướng truyền và trục quang học
của tinh thể.
Nếu 𝑛 𝑒
2𝜔
< 𝑛 𝑜
𝜔
thì sẽ có một góc 𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ mà ở đó
𝑛 𝑒
2𝜔
(𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ) = 𝑛 𝑜
𝜔
(1.3.6)
Trên hình 1.5, 𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ được xác định bởi giao
điểm của mặt cầu biểu diễn chiết suất của tia thường tần số 𝜔 (mặt cầu màu vàng) với
ellipsoid chiết suất của tia bất thường tần số 2 𝜔 (ellipsoid màu hồng).
Trong trường hợp tinh thể đơn trục âm 𝑛 𝑒
𝜔
< 𝑛 𝑜
𝜔
, góc thỏa mãn điều kiện (1.3.6)
là:
𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ
(𝑛 𝑜
2𝜔)
2 +
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ
(𝑛 𝑒
2𝜔)
2 =
1
(𝑛 𝑜
𝜔)2
(1.3.7)
𝑠𝑖𝑛2
𝜃𝑠𝑦𝑛𝑐ℎ =
(𝑛 𝑜
(𝜔)
)
−2
−𝑛 𝑜
(2𝜔)−2
(𝑛 𝑒
(2𝜔)
)
−2
−𝑛 𝑜
(2𝜔)−2 (1.3.8)
1.4 Phát sóng hài bậc hai với chùm Gauss:
Hình 1.5: Bề mặt chiết suất đối
với tia thường và tia bất thường
trong tinh thể đơn trục âm

16
Hình 1.6 Sơ đồ hình học trong phân tích SHG với chùm Gauss
Trường điện đầu vào ứng với chùm Gauss có dạng:
 
 
    
1
2
0 2
1 0 1
w
w
z
r /
E r,z,t E e e cos t k z r,z z
z



 

 
       
 
(1.4.1)
Ở đây, α1 là hệ số tắt dần.  và k1 là tần số và vectơ sóng của chùm cơ bản đầu vào.
Vì chúng ta giả sử rằng chùm đối xứng tâm quanh trục z, chúng ta sẽ xác định khoảng
cách từ trục z qua biến 𝑟 = [ 𝑥2
+ 𝑦2]1/2
. Tại khoảng cách 𝑟 = 𝑤( 𝑧) tính từ trục, biên
độ điện trường giảm 1/e so với giá trị ở trục z. Giá trị 𝑤( 𝑧) này được gọi là bán kính
1/e của chùm. Giá trị cực tiểu của bán kính 1/e này xuất hiện tại z=0 và được thiết kế
bằng 𝑤0, “bán kính cổ chùm”. Bán kính 1/e của chùm biến đổi theo z:
𝑤( 𝑧) = 𝑤0 [1 + (
𝜆𝑧
𝜋𝑛𝑤0
2)
2
]
1/2
(1.4.2)
Số hạng
 
0w
w z
cho biết chùm truyền ra xa trục z = 0 và chùm mở rộng, biên độ peak
giảm.

17
 
 
2
2
kr
r,z
R z
  (1.4.3)
với  
22
0w
1
n
R z z
z


  
   
   
(1.4.4)
thể hiện sự cong của mặt đầu sóng. Tại z=0, 𝑅( 𝑧) = ∞, tức là mặt đầu sóng là mặt
phẳng. Và tại 𝑧 = ∞, chúng ta cũng có 𝑅( 𝑧) = ∞, tức là với khoảng cách đủ xa từ cổ
chùm, mặt đầu sóng cũng là mặt phẳng (ứng với sóng phẳng). Tại khoảng cách
2
0wn
z


 , mặt đầu sóng có độ cong cực đại. Khoảng cách này được gọi là khoảng
Rayleigh, 𝑧 𝑟. Một đại lượng quan trọng khác là tham số đồng tiêu 𝑏 = 2𝑧 𝑟. Góc phân
kì trường xa của chùm là 𝜃0 = 𝜆/𝜋𝑛𝑤0.
Cuối cùng, số hạng
  1
r
z
z tan
z
  
   
 
(1.4.5)
là số hạng dịch chuyển pha phụ thuộc z.
(1.4.1) tương đương:
 
 
     
 
2
1
1w0 0 2
1
w
2 w
r
z z j r,z j zj t jk zE
E r,z,t e e e e e e cc
z



   
 
  
 
(1.4.6)
Đặt  
 
     
2
1
1w0 0 2
1
w
2 w
r
z z j r,z j zjk zE
E r,z e e e e e
z


  
 
  
 
(1.4.7)
Chúng ta sẽ thực hiện tính toán trên số hạng phức  1E r,z này.
Từ các phương trình (1.4.2) và (1.4.4), ta được: 2
2
wo r
z z z
n z b


  .
Đặt
2z
b
  , ta có:

18
 
1
2
0w w 1z 
     (1.4.8)
     
2
2
2 2
0w 12
rkr jj
j r,z R z
e e e



  (1.4.9)
 
2
1
1
j z j
e


 


(1.4.10)
Phương trình (1.4.7) trở thành:
     
2 2
1 2 2 2
01
w 1 w 10 2
1 2 2
1 1
2 1 1
r r
j
z
jk zE j
E r,z e e e e
  
 




   

 
(1.4.11)
   
2
1
1w 10 2
1
1
2 1
r
z j jk zE
E r,z e e e
j




   


(1.4.12)
Các phương trình trên viết khi cổ chùm đặt ở z = 0. Chúng ta có thể làm biểu thức trên
tổng quát hơn bằng cách đặt cổ chùm ở vị trí z = f, và có thể đạt được sự thay đổi này
trong phương trình (1.4.11) bằng cách đặt
 2 z f
b

 
Độ phân cực cảm ứng có thể được viết là:
     
2
3 1 1 1
2222
w 1 20 1
2
2 1
r
jz jk z
ff effe
E
P d E e ed e
j
  




 
 
 
       

 
(1.4.13)
 3 3
323
32
jk zj
kdE e
n
P dz




(1.4.14)
   
2
1
22
w 13 0
3 2
3
1 1
2 2 1 1
r
jzj kz
eff
jk E
dE x e d e e dz
n j j

 




   
  
   
(1.4.15)
Biểu thức này biểu diễn sự đóng góp vào sự phát sóng hài bậc hai của một mảnh
nhỏ tinh thể phi tuyến với chiều dài dz được đặt ở vị trí z bên trong tinh thể (0<z<l).
So sánh phương trình (1.4.15) và (1.4.12), ta thấy đại lượng trong ngoặc của (1.4.15)
có dạng giống như chùm Gauss với kích thước vết 0w 2/ , tham số đồng tiêu b, và
đặt tại z=f .

19
Chúng ta muốn xác định đóng góp của phần này vào trường sóng hài bậc hai
được nhìn bởi một người nào đó ở xa, đứng ở bên ngoài tinh thể tại vị trí 𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′. Để
bỏ qua sự phản xạ và khúc xạ ở các đầu tinh thể, chúng ta sẽ xét tinh thể được nhúng
vào môi trường có cùng chiết suất. Do hiện tượng walk-off (giả sử xuất hiện trong mặt
phẳng x-z), đóng góp SHG được tạo ra tại điểm x, y, z vào trường phát hiện tại điểm
 x' x l z     và tại điểm 𝑦′
= 𝑦. Phần Gauss trong ngoặc bên trên có thể được
truyền đến vị trí của người quan sát bằng cách thay  bằng đại lượng
 2' z f
b

  và
dùng mối quan hệ giữa x và 𝑥′ và y và 𝑦′ được cho ở trên, ta có:
 
    
 
2 2
3
1
2
2
w 13 0 2
3 2
3
1 1
2 2 1 1
x' l z y'
l z j 'zj kz
eff
jk E
dE e d e e e dz
n j j '



 


    
  
 
  
  
  
 
(1.4.16)
Ở đây chúng ta đã đưa vào số hạng
 3
2
l z
e

 
để tính đến sự mất mát sóng hài bậc
hai khi nó truyền từ điểm ban đầu của nó đến mặt phẳng quan sát. Chú ý rằng số hạng
e mũ không đơn giản chứa r2
nữa. Sự biến đổi của trường trong mặt phẳng ngang lúc
này phức tạp hơn, do hiệu ứng walk-off. Để xác định biên độ tổng cộng tại điểm
𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′, chúng ta lấy tích phân tất cả các đóng góp từ các vị trí z khác nhau:
    
 
2 2
3
2
2
w 13 0 2
3 2
3 0
1
2 2 1 1
x' l z y'
l z j kz
l j '
eff
jk E e e
E ( r',z') d e e dz
n j j '



 


    
   
 
  
  
  
 
 (1.4.17)
ở đây 𝛼 = 𝛼1 −
1
2
𝛼3. Bây giờ, chúng ta hãy đặt điểm quan sát ở vô cùng xa tinh thể,
'   . Thế thì:
   2 2 22 2
2 20 00
0 2
1 1 1 1
w 1 w1w 1
w 1
j ' j ' j '
j ' ''
'
'
  
 


  
  
  
 
 
(1.4.18)

20
Chúng ta định nghĩa thêm một số tọa độ không gian chuẩn hóa:
 
0w
x' l f
u
'


 
 (1.4.19)
0w
y'
v
'
 (1.4.20)
0



 (1.4.21)
Sau đó, chúng ta có thể chứng minh rằng:
 
 
   
   
2 2 2
2
2 2 2
0 0
1
1 1 2
w 1 w
x' l z j ' x' l z
j ' u u j ' ju
j ' ' '
   
   
  
                     
(1.4.22)
Chú ý rằng ' chỉ phụ thuộc z' chứ không phải z, vì thế các số hạng có liên quan đến
nó có thể được đem ra ngoài dấu tích phân:
 
  3 2 22 4
2 13 0 2
3 2
3 0
2 2 1
l z j kz ju
l j ' u v
eff
k E e e e
E r',z' d e e dz
n ' j
  

 
 
   
 
 (1.4.23)
Nếu chúng ta đổi biến tích phân, dùng
 2 z f
b

  , và do đó 2dz / b  ,
chúng ta thu được tích phân:
 2
4 42 2
20
1 2 1
l f b kb
jl z j kz ju f j kf jub
f
b
e e e b e e e e e
dz d
j j
  
   

 
 

   


   (1.4.24)
Đặt
2
4
2 2
b kb l f l
, , ' u, ,
l b

     
 
      
Tích phân có thể viết lại là:
 
 
2 1
j '
f j kfb e e
e e d
j
   




  
 
 
 (1.4.25)
Chúng ta đặt:

21
 
 
 
1
2 1
j '
e e
H ', , , d
j
   

   
 
  
 
 
 (1.4.26)
Thay vào (1.4.23), ta được:
 
  
 
3 2 22
2 13 0 2
3 2
3
2
2 2 2
l j ' u v f j kf
eff
k E b
E r',z' d e e e e H ', , ,
n '

 
   

     
     (1.4.27)
Cường độ sóng hài bậc hai:
   
 
2 2
3
2 4
242 2 2 23 0
3 4 2
3 3
1
8
u vl f
eff
k E
I r',z' d e e b e H ', , ,
n '
 
   
 
  
  (1.4.28)
Công suất phát sóng hài bậc hai toàn phần được xác định bằng cách lấy tích phân
cường độ theo diện tích. Kết quả là:
 
 
 
2 2
3
2 2
3
2 4
242 2 2 23 0
3 4 2
3 3
2 4
22 2 2 2 4 43 0
0 04 2
3 3
1
8
1
8
u vl f
eff
l f u v
eff
k E
P d e b e dxdye H ', , ,
n '
k E
d e b e ' due H ', , , ' dve
n '
 
 
   
 
       
 
  
 
   
 
 
   
    
   

 
(1.4.29)
Chúng ta định nghĩa các đại lượng:
   
2 242
4u
F , , , , due H u, , ,       




    (1.4.30)
Và
   
2
l
h , , , , e F , , , ,
         

(1.4.31)
Từ đó, công suất phát sóng hài bậc hai có dạng đơn giản:
 
2
2 4 2 23
3 0 04
3 3
1
32
'l
eff
k
P d E b e h , , , ,
n

    


   (1.4.32)
ở đây 𝛼′
= 𝛼1 +
1
2
𝛼3
Công suất ở tần số cơ bản là:

22
2 2
0 0
1
12 2
E
P


 (1.4.33)
Qua một số tính toán trung gian, chúng ta thu được kết quả:
 
2 2
2
3 13
0 1 3 1
16 eff 'l
d
P P e lh , , , ,
c n n


   
 

  (1.4.34)
1.5 . Các tinh thể phi tuyến:
Các tinh thể phi tuyến được dùng để tạo sóng hài (nhân đôi tần số, nhân ba tần
số), trộn tần số, khuếch đại và dao động thông số quang học.v.v…. Hai tinh thể phi
tuyến đơn trục điển hình là Potassium Dihydrogen Phosphate (KDP) and Potassium
Dideuterium Phosphate (KD*P ). Chúng là một trong số các tinh thể phi tuyến thương
mại được dùng phổ biến nhất trong các ứng dụng nhân đôi tần số. Ngoài ra, đây cũng
là các tinh thể điện quang có hệ số điện quang cao, được dùng phổ biến trong các bộ
điều biến điện quang, Q-switch, tế bào Pockels. Ưu điểm của hai loại tinh thể này là:
hệ số truyền qua trong vùng tử ngoại cao, ngưỡng hủy hoại quang học cao, hệ số
quang phi tuyến cao. Một số tính chất quang học và vật lý khác của chúng được liệt kê
trong phụ lục I.
Ngoài ra, hiện nay người ta đang sử dụng một số tinh thể quang phi tuyến mới
có hệ số quang phi tuyến rất cao như BBO, LBO, KTP. Trong đó, KTP (Potassium
Titanium Oxide Phosphate) có giá thành rất thấp và hệ số quang phi tuyến hiệu dụng
của nó tại bước sóng 1064 nm lớn hơn 1,5 lần so với BBO và KDP. Tuy nhiên, KTP
là tinh thể lưỡng trục nên không thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài này.

Giới thiệu quang phi tuyến

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Giới thiệu quang phi tuyến

More from www. mientayvn.com

Giới thiệu quang phi tuyến