Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan persamaan non-linear yaitu metode biseksi dan metode Newton-Raphson. Metode biseksi memecah interval awal menjadi dua bagian secara berulang sampai didapat nilai error yang diinginkan, sedangkan metode Newton-Raphson menggunakan derivasi fungsi untuk memprediksi akar berikutnya. Kedua metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear.

1. METODE BISEKSI DAN
METODE NEWTON - RAPHSON
Paper
Disusun untuk memenuhi tugas Metode Numerik yang dibina oleh Bapak
Sujito, S.T., M.T.
Oleh
LILIK EMI RAHAYU
207533408593
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
MARET 2009

2. PENDAHULUAN
Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan
sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika. Salah
satu persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode numerik adalah persamaan
non linear.
Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar dari persamaan
non linier tersebut. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika
seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai
persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x)
=0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Bila
digambarkan dengan grafik, akar persamaan yang menyebabkan f(x) = 0 adalah titik
potong antara kurva f(x) dengan sumbu x.
Meskipun tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non
linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.
Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non
linier yaitu dengan metode akolade dan metode terbuka. Metode akolade (Bracketing
Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-
ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai jenisnya akan berubah
disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan
berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Metode ini terdiri dari metode
Regula Falsi (false position method) dan metode bagi-dua/ biseksi (bisection
Akar persamaan
sebagai penyelesaian

3. method). Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas
bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal
tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan
lebih cepat dari metode biseksi. Metode ini terdiri dari metode Newton-Raphson,
metode secant dan iterasi titik-tetap (Fix point iteration). Dari metode-metode
tersebut, metode biseksi dan metode Newton-Raphson adalah dua metode yang
sering digunakan.
Catatan :
Pendekatan Dan Kesalahan
Kesalahan di dalam metode numerik dibagi menjadi dua macam yaitu:
1. Kesalahan pembulatan ( round of error)
2. Kesalahan pemotongan ( truncation error )
Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan
misalnya 0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan
adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah
angka signifikan.
Kesalahan numerik adalah kesalahan yang timbul karena adanya proses
pendekatan.Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :
dimana xˆ adalah nilai yang sebenarnya ( nilai eksak ), x adalah nilai pendekatan
yang dihasilkan dari metode numeric, e adalah kesalahan numerik.
Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahandan nilai sebenarnya.
Pada banyak permasalahan kesalahan fraksional di atas sulit atau tidak bisa
dihitung karena nilai eksaknya tidak diketahui.Sehingga kesalahan fraksional
dihitung berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh:
Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan
konvergensi pada suatu proses iterasi.

4. PEMBAHASAN
1. Metode Biseksi
Seperti yang telah disinggung sebelumnya, metode biseksi merupakan salah
satu contoh dari metode akolade. Metode biseksi juga disebut metode pembagian
interval karena membagi area antara 2 bilangan yang merupakan tebakan awal
menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar
dan bagian yang tidak. Bagian yang tidak mengandung akar akan dibuang
selanjutnya pencarian dilakukan pada bagian yang diperkirakan mengandung
akar.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
• Langkah-langkah menentukan akar dengan metode biseksi
1. Menentukan dua titik nilai awal, misalnya a sebagai batas bawah dan b
sebagai batas atas. Nilai ini diperoleh dengan cara menebak. Namun harus
diusahakan range tebakan sedekat mungkin dengan perkiraan akar
persamaan.
2. Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai tengah ( c ) dengan rumus :
Sehingga akan muncul dua daerah yaitu daerah akar (x) yaitu antara c dengan
a ( a<x<c) dan antara c dengan b (c<x<b)
3. Setelah memperoleh nilai c, masukkan nilai tersebut pada persamaan f(x)
sehingga persamaan menjadi f(c)
4. Jika f(c) > 0 maka akar(x) berada pada daerah a< x < c atau di sebelah kiri
garis bagi daerah (garis yang ditarik vertical dari titik c )
Jika f(c) < 0 maka akar (x) berada pada daerah c < x < b atau di sebelah
kanan garis bagi daerah (garis yang ditarik vertikal dari titik c)
c

5. 5. Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas
yang baru. Ulangi langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara a dan c ,
selanjutnya kita sebut nilai tengah ini dengan xn saja.
Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap batas atas. Ulangi
langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara c dan b, selanjutnya kita
sebut nilai tengah ini dengan xn saja.
6. Setelah mendapatkan nilai tengah (xn) ulangi langkah 3 dan 4 sampai f(xn) =
0 atau mendekati 0 (tergantung toleransi yang diberikan). Bila f(xn) = 0 atau
mendekati 0 berarti akar persamaannya sudah ditemukan sehingga iterasi
dihentikan.
a
b
c
Daerah akar bila f(c) > 0
Daerah akar bila f(c) < 0

6. • Algoritma metode biseksi
(1) Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.
(2) Tentukan nilai a dan b.
(3) Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N.
(4) Hitung f(a) dan f(b.)
(5) Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak
dilanjutkan.
(6) Hitung
(7) Hitung f(c.)
(8) Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas
yang baru.
Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap sebagai batas atas.
(9) Jika |b-a|<e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan
didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.
• Contoh program untuk menghitung dengan metode biseksi
uses wincrt;
label ulang;
var
x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;
i : integer;
ab : char;
begin
ulang :
clrscr;
writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan
Metode Biseksi');
write( 'Masukan nilai x1 = ' );
readln( x1 );
y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3;
writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);
repeat
begin
write( 'Masukan nilai x2 = ');
c

7. readln(x2);
y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;
write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);
end;
if (y1*y2)<0 then
Writeln(' Syarat Nilai Ok')
else
Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai');
until ( y1 * y2 ) < 0;
I :=2;
Writeln;
writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' &
x2= ',x2:0:2);
writeln('--------------------------------------------------------------------------');
writeln('n x f(x) error ');
writeln('--------------------------------------------------------------------------');
repeat
begin
i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2;
y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3;
if (i mod 10)=0 then readln;
if i<10 then
writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::')
else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::');
if ( y1* y3) <0 then
begin
x2 :=x3;
end else
begin
x1 := x3;
end;
end;
until abs( y3 )<1E-07;
writeln('-------------------------------------------------------------------------');
writeln('akar persamaanya = ',x3);
writeln('errornya =',abs( y3 ));
writeln('-------------------------------------------------------------------------');
write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): ');
readln(ab);
if (ab='y') or (ab='Y') then
begin
goto ulang;
end
else
donewincrt;
end.

8. • Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi secara manual
Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode
Biseksi:
f(x) = x3
+ x2
- 3x - 3 = 0
Penyelesaian:
Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus
memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.
f(x1)= 13
+ 12
- 3(1) – 3 = -4
f(x2)= 23
+ 22
- 3(2) – 3 = 3
Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan
x2 = 2.
Langkah 2: mencari nilai x3.
Dan f(x3)= 1.53
+ 1.52
- 3(1.5) – 3 = -1.875
Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai
f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10
maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai
f(x1)*f(x3)<0 maka :
Dan f(x4)= 1.753
+ 1.752
- 3(1.75) – 3 = 1.71875
Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai
didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7
. Maka dari hasil perhitungan
didapatkan nilai x = 1.73205080 dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08.
• Kelebihan dan kekurangan metode biseksi
Kelebihan : Metode biseksi lebih mudah dalam pembuatan programnya
dan selalu mencapai laju yang konvergen ke arah akar yang
diinginkan.
Kekurangan : Nilai awal yang harus ditebak lebih banyak dan pencarian akar
pendekatan membutuhkan waktu lebih lama karena begitu
konvergennya sehingga memerlukan banyak iterasi.
• Catatan
Bila toleransi error yang kita tentukan pada sebuah metode biseksi semakin
kecil, misalnya 0.001 (ataupun lebih kecil lagi) maka banyaknya iterasi yang

9. dibutuhkan akan semakin bertambah besar. Hal tersebut karena semakin kecil
nilai toleransi, maka akan semakin teliti hasil yang diinginkan
2. Metode Newton - Raphson
Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson
dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini
adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat
untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki
laju konvergensi linear. Pencarian akar dilihat dari tan gradien grafik suatu fungsi
persamaan (turunan fungsi persamaan).
Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu
fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu,
misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai
katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik
garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x.
Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu
titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik
tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :
Xn+1 = Xn - f(Xn)
f’(Xn)
Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :

10. • Langkah-langkah menentukan akar dengan metode Newton-Raphson
Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan dengan
mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)),
sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik
(x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik
(x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0)
antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)). Demikian seterusnya. Untuk
lebih jelasnya, perhatikan langkah berikut.
tan (beta) = f’(x0) = 10
0 )(
xx
xf
− ,
maka Iterasi pertama
x1 = x0 - )('
)(
0
0
xf
xf
dilanjutkan iterasi kedua
x2 = x1 - )('
)(
1
1
xf
xf
dan seterusnya, dengan cara yang sama didapat
xi+1 = xi - )('
)(
i
i
xf
xf
(1)
iterasi dihentikan jika dua iterasi yang berurutan menghasilkan hampiran
akar yang sama (jika selisih antara akar-akarnya relatif sama) atau
|xi+1 = xi | < tol
Dari bentuk (1), terdapat penyebut f’(xi). Sehingga agar setiap iterasi
tidak terjadi kesalahan (error), maka selama iterasi nilai f’(xi)tidak boleh nol,
karena pembagi tidak boleh nol.

11. • Algoritma Metode Newton-Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f1(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e
Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
Flow chartnya :

12. • Contoh program untuk menghitung akar dengan Metode Newton-Raphson
Terapkan Metode Newton Raphson pada persamaan f(x) = x3
+ x – 1 = 0.
Penyelesaian:
f(x) = x3
+ x – 1 = 0 , maka f’(x) = 3x2
+ 1, sehingga
xn+1 = xn - 13
1
2
3
+
−+
x
xx
%metode Newton Raphson
%persaman yang diketahui fx=x.^3 + x - 1, fx1 = 3*x^2 +1
xn = 1; tol = 0.000001;
fprintf('tol = %10.8fn', tol);
fprintf('n xn fx fx1 xn1n');
n=0;
fx = xn^3 + xn - 1;
fx1 = 3*xn^2 +1;
xn1 = xn-fx/fx1;
fprintf('%g %8.6f %8.6f %8.6f %8.6fn',n,xn,fx,fx1,xn1);
while abs((xn1 - xn)/xn1) > tol

13. xn = xn1;
n=n+1;
fx = xn^3 + xn - 1;
fx1 = 3*xn^2 + 1;
xn1 = xn -fx/fx1;
fprintf('%g %8.6f %8.6f %8.6f %8.6fn',n,xn,fx,fx1,xn1);
end;
fprintf('%g %8.6f n',n,xn);
fprintf('n|(xn1 - xn)/xn1| = %8.6f <= tol = %8.6fn', abs((xn1 - xn)/xn1),tol);
fprintf('Akarnya = %8.6f, banyak iterasi = %g n',xn1,n);
OUTPUTNYA :
tol = 0.00000100
n xn fx fx1 xn1
0 1.000000 1.000000 4.000000 0.750000
1 0.750000 0.171875 2.687500 0.686047
2 0.686047 0.008941 2.411979 0.682340
3 0.682340 0.000028 2.396762 0.682328
4 0.682328 0.000000 2.396714 0.682328
4 0.682328
|(xn1 - xn)/xn1| = 0.000000 <= tol = 0.000001
Akarnya = 0.682328, banyak iterasi = 4
• Contoh soal dan penyelesaian metode Newton-Raphson secara manual

14. • Kelebihan dan kekurangan metode Newton-Raphson
Kelebihan : Bila taksiran awal kebetulan memang mendekati akar yang
sesungguhnya maka waktu yang dibutuhkan untuk
menghitung akar lebih cepat.
Kekurangan : Bila taksiran awal tidak tepat, hasilnya justru akan divergen
(semakin menjauhi nilai akar yang sebenarnya).
• Permasalahan pada pemakaian metode Newton-Raphson
1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik
ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F’(x) = 0 sehingga nilai
penyebut dari F (x)
F’( x) sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai
berikut:
Pendekatan pada titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan
berada di tak berhingga.

15. 2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.
Titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat
mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik
selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya
berbeda.
• Penyelesaian permasalahan yang timbul pada metode Newton-Raphson
Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton
raphson ini, maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut
harus di geser sedikit, xi = xi ±δ dimanaδ adalah konstanta yang ditentukan
dengan demikian F1(xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson tetap dapat
berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya
pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga
dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson
Contoh :
Selesaikan persamaan :

16. x . e-x + cos(2x) = 0
Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281
f(x) = x . e-x + cos(2x)
f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x)
Sehingga F(x0) = 1,086282 dan F1(x0) = -0,000015
Perhatikan grafik dari fungsi ini:
Grafik y=x.e-x+cos(2x)
Iterasi menggunakan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:
Akar yang ditemukan adalah x=71365, padahal dalam range 0 sampai
dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1. Untuk menghindari ini sebaikan
digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang
baik.

17. Bila digunakan pendekatan awal x0=0.5 maka dengan iterasi dari metode
Newton - Raphson diperoleh:
Akar yang ditemukan adalah x=0.973692.
• Algoritma metode Newton – Raphson dengan modifikasi tabel :
Dengan menggunakan algoritma newton raphson yang dimodifikasikan
diharapkan akar yang diperoleh sesuai dengan harapan dan bila terdapat lebih
dari satu akar dalam range ditunjuk, akan ditampilkan semuanya.

18. Contoh :
Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range
[0,5] adalah sebagai berikut :

19. KESIMPULAN
1. Metode biseksi merupakan salah satu contoh pendekatan numerik dengan
metode akolade (Bracketing Mode). Langkah awal untuk menghitung akar
sebuah fungsi dengan metode ini adalah dengan menebak 2 nilai awal sebagai
batas bawah dan batas atas. 2 nilai tersebut harus memiliki tanda yang
berlawanan (positif dan negatif). Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai
tengah yang akan membagi daerah hasil menjadi 2 bagian. Cek masing-
masing daerah dengan aturan yang ada pada metode biseksi untuk
mengetahui daerah mana yang mengandung akar dan daerah mana yang
tidak. Langkah ini diulangi terus-menerus hingga akar yang diinginkan
ditemukan. Kelebihan dari metode ini adalah hasilnya selalu konvergen
(mendekati akar yang sebenarnya) tapi kcepatannya untuk mencapai akar
yang sebenarnya lambat karena memerlukan banyak iterasi.
2. Metode Newton-Raphson adalah salah satu contoh pendekatan numerik
dengan metode terbuka. Disebut metode terbuka karena akarnya tidak
dibatasi oleh batas bawah ataupun batas atas seperti pada metode biseksi.
Metode ini menggunakan tan dari grafik persamaan fungsi atau menggunakan
turunan fungsi tersebut. Langkah awal menentukan metode ini adalah dengan
mendefinisikan persamaan fungsi dan turunan fungsi tersebut terlebih dahulu.
Setelah itu, tentukan nilai awal x yang diperkirakan merupakan akar
persamaan. Masukkan x tersebut ke dalam persamaan fungsi dan turunannya
kemudian cek apakah x tersebut benar-benar akar asli persamaan dengan
aturan yang berlaku pada metode Newton-Raphson. Kelebihan metode ini
adalah bila perkiraan akar ataupun nilai awal sudah tepat, maka waktu yang
dibutuhkan untuk mendapatkan akar persamaan pun lebih cepat daripada
waktu yang dibutuhkan oleh metode biseksi. Namun bila tebakan awal salah,
maka semakin lama, hasil perhitungan justru akan semakin menjauhi akar
yang sebenarnya. Oleh karena itu metode ini membutuhkan ketelitian dan
ketepatan yang besar.

20. 3. Metode Newton-Raphson ternyata kadang memiliki permasalahan dalam
implementasinya. Permasalahan terjadi antara lain jika titik pendekatan
berada pada titik ekstrim atau puncak sehingga nilai penyebut / f’(x) akan
menjadi nol dan hasil akhir perhitungan akan menjadi tak terhingga.
Permasalahan lain yang mungkin muncul adalah bila titik pendekatan berada
pada dua titik puncak maka akibatnya akan menghilangkan penyelesaian
(divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik
puncak atau arah pendekatannya berbeda.
4. Cara yang dapat ditempuh untuk mengatasi permasalahan yang timbul pada
metode Newton-Raphson adalah dengan menggeser titik pendekatan bila titik
itu berada di titik puncak serta menggunakan metode tabel terlebih dahulu
untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berjauhan sehingga
konvergensi bisa terjamin.
5. Baik pada metode biseksi ataupun Newton-Raphson, toleransi pendekatan
sama-sama dibutuhkan untuk mendapat akar persamaan yang benar-benar
tepat. Semakin kecil toleransi maka semakin teliti hasil yang diinginkan.
6. Besarnya toleransi berbanding terbalik dengan jumlah iterasi. Semakin kecil
nilai toleransi maka semakin banyak iterasi yang dibutuhkan, sebaliknya,
semakin besar toleransi maka semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan.

21. DAFTAR RUJUKAN
1. Implementasi Penyelesaian Persamaan dengan Metode Newton-Raphson,
2009, one.indoskripsi.com/judul-skripsi-makalah-tentang/newton-raphson
2. Subakti, Irfan.2006. Modul Metode Numerik, ITS, Surabaya
3. www.snapdrive.net/files/544779/Metode Numerik
4. http://www.informatika.org/~rinaldi/Buku/Metode%20Numerik/BAb-
%2001%20Metode%20Numerik%20Secara%20Umum.pdf
5. http://jack_w.staff.gunadarma.ac.id
6. http://gofar.files.wordpress.com/2007/09/modul-numerik1.pdf
7. www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/Susy%20KA/Persamaan/Newton.htm