Dokumen ini membahas pendinginan atom dengan laser sampai suhu yang sangat rendah. Metode ini memanfaatkan penyerapan atom terhadap cahaya laser yang frekuensinya diatur mendekati resonansi atom. Penyerapan momentum laser dapat menghasilkan gaya yang memperlambat atom. Dokumen ini juga membahas efek Doppler dan pemanasan akibat emisi spontan yang dapat meningkatkan suhu atom kembali. Suhu minimum yang dapat dicapai disebut Doppler limit.

1. Pendinginan atom dengan Laser sampai ke limit Doppler
Phillip Gould
Department of Physics, University of Connecticut.
Terjemahan: Wahyu Setyawan
I. Cakupan
Soal-soal berikut mengilustrasikan pendinginan atom dengan menggunakan laser. Untuk bisa
mengerjakannya, siswa harus mengerti konsep osilasi teredam, efek Doppler, equipartition theorem, dan
properti-properti dasar particle cahaya (photon). Solusi dari salah satu soal didapatkan dengan
menggunakan properti-properti proses random walk.
II. Pendinginan atom dengan Laser
Para peneliti telah berhasil mendinginkan atom-atom sampai suhu di bawah 1 mK dengan
menggunakan laser, dan kemudian memanfaatkan atom-atom yang telah dingin ini di berbagai aplikasi,
mulai dari jam atom sampai pengamatan Bose-Einstein condensation. Pendinginan sampai suhu yang
sangat rendah ini didapat dengan penyinaran laser yang frekuensinya diatur mendekati optical
resonance dari atom yang bersangkutan, agar momentum laser dapat diserap dengan baik oleh atom, dan
menghasilkan sebuah gaya yang bisa digunakan untuk mendinginkan (mengurangi laju gerak) atom.
Dalam soal-soal berikut, Anda diminta untuk menganalisis: gaya yang dihasilkan dari resonance
radiation ini, efeknya dalam meredam gerak atom, dan efek samping yang tidak diinginkan yang berupa
pemanasan atom akibat photon yang terpental balik. Anda juga diminta untuk menghitung suhu
equilibrium terendah, yang juga dikenal sebagai Doppler limit dari sebuah gas yang bergerak di satu
dimensi.
III. Tekanan radiasi pada frekuensi resonansi
Sebuah atom yang berada pada kondisi yang mendekati resonansi cahaya dapat dimodelkan sebagai
sebuah osilator harmonik, yaitu sebagai sebuah elektron dengan muatan q dan masa m pada sebuah
pegas yang memiliki frekuensi resonansi 0ω dan laju redaman γ (damping rate), dibawah pengaruh
gaya dari medan listrik tEE ωcos0= . Perpindahan )(tx elektron dari posisi equilibrium adalah solusi
dari persamaan gerak osilator harmonic yang teredam:
tE
m
q
xxx ωωγ cos0
2
0 =++  (1)
di mana 0E adalah amplitude medan listrik dan ω adalah frekuensi sudutnya. Untuk solusi yang
memiliki bentuk umum: )cos()( 0 φω −= txtx dan dengan mengambil pendekatan 0ωγ << dan
00 ωωω <<−≡∆ , amplitudo gerakan 0x dan fasa φadalah:






∆
−
=






+∆
= −
2
tan,
4
2
1
2/12
2
0
0
0
γ
φ
γ
ω
E
m
q
x (2)
Soal-soal:
(1) Daya rata-rata yang terserap

2. Karena geraknya teredam, elektron menyerap daya dari setiap siklus medan listrik. Pada setiap saat,
daya ini adalah eFP υ= , di mana qEF = adalah gaya yang dikerjakan oleh medan listrik pada
elektron dan eυ adalah kecepatan elektron.
Tunjukkan bahwa daya rata-rata yang terserap dalam satu siklus dari medan listrik adalah:
( )
2
022
2
42
E
m
q
P
γ
γ
+∆
= (3)
(2) Gaya dari proses penyerapan
Dapatkan persamaan gaya pada sebuah atom akibat penyerapan resonansi. Anda dapat melakukannya
dengan menghitung laju penyerapan R (absorption rate) photon oleh atom dan kemudian mengalikannya
dengan momentum sebuah photon.
Tulis jawaban Anda dalam intensitas medan listrik I, yang merupakan hasil kali dari energi per
volume dan kecepatan cahaya:
2
00
2
1
cEI ε= (4)
Agar jawaban Anda sesuai dengan jawaban yang biasanya ditemukan di literatur, nyatakan jawaban
Anda dalam sI (saturation Intensity):
2
2
0
e
mc
Is
ωγε 
= (5)
(3) Harga numerik percepatan
Hitung harga numerik percepatan a dari sebuah atom sodium (Na) yang disinari dengan cahaya yang
tepat ber-resonansi pada λ= 589 nm dengan intensitas I = 2/sI (ingat bahwa penyinaran tepat pada
panjang gelombang resonansi akan menghasilkan gaya yang maksimum). Karena laju redaman
(damping rate) adalah berbanding terbalik dengan waktu hidup rata-rata (mean lifetime) dari suatu atom
yang sebesar 16.2 ns, maka 17
1016.6 −
×= sγ .
IV. Pendinginan Doppler
Untuk mendinginkan atom, gerakan atom harus diredam (laju redaman ini berbeda dengan laju redaman
γ pada osilasi elektron dalam model yang digunakan untuk mendiskripsikan penyerapan cahaya seperti
di atas). Seperti halnya peradaman pada objek makroskopik (benda-benda besar), peredaman ini
memerlukan sebuah gaya yang berubah sebagai fungsi dari kecepatan.
Gaya yang demikian bisa dihasilkan dari pengaruh efek Doppler akibat interaksi atom dengan
radiasi. Untuk kasus satu dimensi (x) dan dengan laser yang merambat ke arah +x, sebuah atom yang
bergerak dengan kecepatan υ akan merasakan medan yang berosilasi dengan frekuensi sudut:
c
c
/1
/1
'
υ
υ
ωω
+
−
= (8)
Soal-soal:
(4) Doppler shift
Tunjukkan bahwa untuk kecepatan rendah (yang tentu saja benar untuk kasus pendinginan atom
dengan laser), bahwa Doppler shift bisa dinyatakan sebagai:
υωωδω kD −=−= ' (9)
Ini berarti bahwa dalam menghitung gaya pada persamaan (7), Anda bisa memperhitungkan efek
Doppler shift pada sebuah atom yang bergerak dengan mengganti 0ωω −=∆ dengan υδω kD −∆=+∆ .

3. (5) Gaya sebagai fungsi dari kecepatan
Kiranya jelas bahwa dengan menyinari atom dengan satu berkas laser yang berlawanan arah dengan
gerak atom akan memperlambatnya. Tetapi, kalau gaya radiasi ini terus bekerja, gaya ini akan
membalikkan arah gerak atom dan kemudian mempercepatnya. Kita ingin agar atom tidak lagi
merasakan gaya setelah berada dalam keadaan diam. Hal ini bisa terjadi jika kita menyinari atom dengan
dua berkas laser yang identik (intensitas dan frekuensinya sama) yang merambat pada arah yang
berlawanan, seperti pada gambar 1.
Gambar 1.
Anggap bahwa kedua berkas ini mengerjakan gaya pada atom secara terpisah, dan hitunglah gaya
total pada sebuah atom yang bergerak dengan kecepatan υ ,
(i) Tunjukkan bahwa untuk kecepatan rendah ( ∆<<υk dan γυ <<k , gaya totalnya dapat ditulis
sebagai αυ−=F (perhatikan bahwa ini seperti sebuah gaya redaman).
(ii) Hitunglah harga dari koefisien redaman α
(6) Lama proses pendinginan
Tunjukkan bahwa energi E dari sebuah atom di bawah pengaruh gaya redaman αυ−=F meluruh
(decay) secara eksponensial terhadap waktu, dan hitunglah konstanta waktunya (time constant) τ . Ingat
bahwa τ adalah waktu yang diperlukan agar energi menjadi 1/e dari harga awalnya (initial value).
Ambil harga I = Is/10, 2/γ−=∆ , dan hitunglah τ untuk atom sodium.
V. Pemanasan akibat photon yang terpental balik
Atom berinteraksi dengan cahaya dengan cara menyerap photon, yang akan mengakibatkan transisi
state dari keadaan dasar (ground state) (3s pada sodium) ke keadaan ter-eksitasi (excited state) (3p).
Keadaan ter-eksitasi ini tidak stabil (waktu hidup atom sodium pada keadaan 3p adalah 16.2 ns), jadi
atom akan kembali ke keadaan dasar dengan meng-emisikan photon secara spontan ke arah sembarang
(random) yaitu + atau – dalam kasus satu dimensi. Dalam kedua kejadian di atas (penyerapan dan emisi
spontan), momentum tidak ditransfer ke atom secara kontinyu, melainkan secara ter-kuantisasi per unit
k . Hal ini akan mengakibatkan momentum atom berlaku seperti random walk dengan langkah k .
Dalam setiap interval waktu, jumlah langkah dalam random walk ditentukan oleh jumlah photon yang
terserap dan ter-emisi. Menurut gambar 1, sebuah atom dapat menyerap photon yang merambat ke arah
+ atau -. Pada kecepatan mendekati nol, photon + dan photon – akan memiliki peluang yang sama untuk
diserap. Setelah penyerapan, atom akan meng-emisikan photon ke arah + atau – dengan peluang yang
juga sama. Jadi, setiap penyerapan (yang diikuti dengan emisi spontan) akan menghasilkan 2 langkah
random walk, pertama adalah akibat randomness arah penyerapan, dan kedua adalah akibat randomness
arah emisi. Sehingga, dalam interval waktu dt, atom akan melakukan sejumlah langkah random walk:
dN = 2Rtotdt, di mana Rtot = R+ + R- adalah laju penyerapan total dari kedua berkas laser.
Pada proses random walk satu dimensi dalam momentum space, momentum rata-ratanya adalah nol,
tetapi rata-rata dari kuadrat momentum akan sama dengan jumlah langkah dikalikan kuadrat besar
langkah (step size):
22
)( kNp = (16)
Soal-soal

4. (7) Laju pemanasan
Hitunglah laju peningkatan energi
dt
pd
Mdt
dE
heat 2
1
=





akibat pemanasan. Anggap kecepatan atom sangat rendah.
(8) Suhu kesetimbangan
Dalam keadaan kesetimbangan, laju pengurangan energi oleh pendinginan Doppler harus sama
dengan laju peningkatannya akibat pemanasan:
0=





+





=





heatcool dt
dE
dt
dE
dt
dE
(17)
Gunakan equipartition theorem dalam satu dimensi (one degree of freedom), dan carilah suhu akibat
gerakan atom.
(9) Harga minimum suhu
Tunjukkan bahwa suhu akan minimum ketika 2/γ−=∆ , dan besarnya adalah:
Bk
T
2
min
γ
= (18)
Ini dikenal sebagai “Doppler limit” dari pendinginan laser.
(10) Tmin untuk atom Na
Untuk atom Na, hitunglah Tmin dan juga harga rms (root-mean-square) dari kecepatan.

5. Jawaban
(1) Daya rata-rata yang terserap
Daya adalah hasil kali dari gaya F dan kecepatan elektron x . Dengan menurunkan )(tx :
)sin(0 φωω −−= txx
dan gayanya adalah:
tqEqEF ωcos0==
Sehingga dayanya adalah:
)sin(cos00 φωωω −−= ttxqEP
)sincoscossin(cos 2
00 φωφωωω tttxqE −−=
Ketika kita ambil harga rata-ratanya, ∫=
T
PdtTP
0
/1 , hanya suku yang mengandung tω2
cos yang
memberi kontribusi, jadi:
φω sin
2
1
00 xqEP =
Dengan menggunakan persamaan (2) dan identitas trigonometri
φ
φ
φ
2
tan1
tan
sin
+
= ,
Anda dapatkan
)4(2 222
0
2
02
2
2
γω
γω
+∆
=
E
m
q
m
P
Kemudian karena penyinarannya adalah pada frekuensi resonansi, maka 0ωω = dan akan kita dapatkan
persamaan (3).
(2) Gaya dari proses penyerapan
Gaya adalah perubahan momentum per waktu. Ini sama dengan momentum dikalikan dengan R (laju
penyerapan photon), yaitu sama dengan persamaan (3) dibagi dengan energi per photon. Kalau ditulis
dalam I dan sI , R menjadi:
γ
γ 22
/41
/
∆+
= sII
R (6)
yang kalau dikalikan dengan momentum per photon ( khp == λ/ , di mana λπ /2=k adalah the wave
number) akan menjadi gaya
γ
γ
k
II
kRF s
 22
/41
/
∆+
== (7)
(3) Harga numerik percepatan
Ketika 0=∆ , gaya akan menjadi γkII s )/( , yang kalau dibagi dengan masa atom sodium akan
menjadi percepatan atom tersebut:
25
2719
734
m/s101.9
1066.12310589
1016.6210055.1
2
1
×=
××××
××××
= −−
−
π
a
Harga ini hampir 105
kali percepatan gravitasi. Harga di atas sebenarnya adalah percepatan maksimum
sebuah atom sodium yang terdorong oleh cahaya. Persamaan (7) memberi prakiraan bahwa gaya akan
terus semakin besar tanpa batas. Tetapi, model yang kita pakai hanya benar untuk intensitas rendah,

6. sII < = 12.1 mW/cm2
. Pada intensitas tinggi, kita harus memperhitungkan emisi terstimulasi yang mana
akan membatasi gaya pada harga 2/γk .
(4) Doppler shift
Dengan mengambil ekspansi binomial persamaan (8) sampai order pertama (to the first order), akan
kita dapatkan persamaan (9).
(5) Gaya sebagai fungsi dari percepatan
Gaya dari laser yang merambat ke arah + dan – dapat ditulis sebagai:
γ
γυ
k
k
II
kRF s


 22
/)(41
/
∆+
±=±= ±±
(10)
Jadi gaya totalnya:



−∆+
=+= −+ 22
/)(41
1
)/(
γυ
γ
k
kIIFFF s 



+∆+
− 22
/)(41
1
γυk
Gambar 2 memperlihatkan gaya + dan – (garis putus-putus) serta gaya totalnya dengan mengambil harga
2/γ−=∆ dan 10/sII = . Pada kecepatan rendah, ekspansi binomial penyebut (denominators)
menghasilkan:
22
])/2(1[
)/2(
)/(8
γ
γυ
∆+
∆
=
k
kIIF s  (12)
Ini merupakan bagian linier dari kurva di sekitaro 0=υ pada gambar 2. Jadi, persamaan 12 bisa ditulis
sebagai αυ−=F di mana:
22
2
])/2(1[
/)(2
)/(8
γ
γ
α
∆+
∆−
= kII s  (13)
Perhatikan bahwa kita hanya akan mendapatkan redaman ( 0>α ) ketika frekuensi laser diset (tuned)
di bawah resonansi atom ( 0<∆ ). Ini bisa diartikan sebagai berikut. Laser yang berlawanan dengan arah
gerak atom akan terlihat memiliki frekuensi lebih tinggi (Doppler shifted up). Ketika laser diset di
bawah resonansi, laser yang berlawanan dengan arah gerak atom ini akan lebih dekat ke resonansi
sehingga menghasilkan gaya yang lebih besar dibandingkan dengan laser yang merambat searah gerak
atom. Sehingga gaya totalnya akan selalu terlihat sebagai gaya yang memperlambat gerak atom.
Sebaliknya, kalau frekuensi laser diset di atas resonansi, maka gaya totalnya akan selalu searah dengan
gerak atom dan akan mempercepatnya.

7. Gambar 2
Perhatikan juga bahwa menurut gambar 2, gaya redaman akan lebih efektif dalam internal kecepatan
antara k/∆+ dan k/∆− . Untuk atom sodium, k/∆ ~ 3 m/s, yang mengindikasikan bahwa atom
harus bergerak agak lambat agar pendinginan Doppler menjadi efektif. Ketika gaya redaman ini bekerja,
gaya ini menurunkan energi kinetik atom. Karena proses pendinginan ini memanfaatkan efek Doppler,
maka disebut sebagai pendinginan Doppler (Doppler cooling).
(6) Lama proses pendinginan
Dengan menyatakan laju pengurangan energi terhadap waktu dalam bentuk gaya dan kecepatan, akan
kita dapatkan persamaan diferensial berikut:
22
)()
2
1
( αυυ
υ
υυ −==== F
dt
d
MM
dt
d
dt
dE
E
M
α2
−= (14)
di mana M adalah masa atom. Ini menggambarkan peluruhan eksponensial dengan konstanta waktu:
]/)(2)[/(16
])/2(1[
2 2
22
γ
γ
α
τ
∆−
∆+
==
sIIk
MM

(15)
dengan memasukkan semua harga, akan didapat s95.7 µτ = .
(7) Laju pemanasan
Untuk kecepatan rendah,
22
2
)(2)( kTk
dt
dN
dt
pd
tot  ==
2
)(
)/2(1
)/(4
k
II s

γ
γ
∆+
(19)
Sehingga,
)/2(1
)/(4
2
)(
2
1 22
γ
γ
∆+
==




 s
heat
II
M
k
dt
pd
Mdt
dE 
(20)
(8) Suhu kesetimbangan
Gunakan persamaan (20), (14), dan (15) untuk mendapatkan energi pada keadaan kesetimbangan:
8/)(2
)/2(1 2
γ
γ
γ 
∆−
∆+
=E (21)
Perhatikan bahwa kita telah menggunakan 0<∆ , karena ini adalah satu-satunya kondisi agar
pendinginan terjadi. Menurut equipartition theorem, setiap degree of freedom memiliki energi kBT/2.
Jadi, suhu kesetimbangannya:
Bk
T
4/)(2
)/2(1 2
γ
γ
γ 
∆−
∆+
= (22)
(9) Suhu minimum
Suhu minimum bisa didapat dengan mengambil turunan T terhadap ∆.
(10) Tmin untuk atom Na

8. Dengan memasukkan harga-harga yang sesuai untuk atom na, kita dapatkan KT µ236min = dan
harga rms kecepatan yang bersesuaian smrms /29.0=υ .

9. AFM
AFM (Atomic Force Microscopy) adalah suatu alat untuk melihat atom. Alat ini menggunakan sebuah
cantilever untuk men’scan” permukaan. Ketika scan dimulai, ujung (tip) alat ini menyentuh permukaan
dan menggambar permukaan.
a) Pada gambar diatas sebuah cantilever gaya F bekerja pada sebuah cantilever yang panjangnya l.
Buktikan bahwa simpangan dari ujung cantilever:
3
3
l
z F
EI
= −
I adalah momen inersia dari cantilever. E adalah modulus Young.
b) Jika AFM beroperasi pada udara yang mengandung uap air. Maka ujung cantilever akan ditutup oleh
uap air. Ujung ini akan mengalami gaya kapiler (gaya adhesi).
Anggap suatu gelembung sabun jari-jari r dengan tegangan permukaan γ.
Gelembung ini tidak pecah karena tekanan didalam gelembung diimbangi dengan tegangan permukaan.
Buktikan bahwa perbedaan tekanan dibagian dalam dan bagian luar gelembung (dinamakan tekanan
Laplace) adalah
2
P
r
γ
∆ =
Tegangan Laplace ini juga bertanggung jawab pada kenaikan cairan dalam pipa kapiler.

10. Jika θ > 0 buktikan bahwa
2 cos
P
r
γ θ
∆ =
dimana R = r/cosθ.
Secara umum kita bisa turunkan rumus tekanan Laplace ini:
Pada gambar diatas, suatu bidang mempunyai jari-jari kelengkungan R1 dan R2.
Jika bagian pada gambar diatas itu kecil kita bisa anggap R1 dan R2 constant.
Buktikan bahwa usaha yang diperlukan untuk membentuk tambahan luas adalah
W = γ (xdy + ydx)
Dari gambar juga kita peroleh hubungan berikut (buktikan)
1 1
2 2
y y dy
R R dz
x x dx
R R dz
+
=
+
+
=
+

11. Buktikan bahwa tekanan Laplace adalah
1 2
1 1
P
R R
γ
 
∆ = + ÷
 
dan jika untuk lingkaran (R1 = R2) , kita peroleh ∆P = 2γ/r.
Pada gambar diatas buktikan bahwa yang bekerja pada bidang seluas
πx2
adalah F = 4 πRγ cosθ
dan jika untuk lingkaran (R1 = R2) , kita peroleh ∆P = 2γ/r.