1. ใบความร้ ูที 8.1
เรือง รากที n จํานวนเชิ งซ้ อนในรปเชิ งขัว
ู
รากที n ของจํานวนเชิ งซ้ อน ( The n th Root of Complex Numbers )
บทนิยาม ให้ z และ w เป็ นจํานวนเชิงซ้อน และ n ∈ N ,
็่
w เป็ นรากที n ของ z กตอเมือ w n = z
สมบัติของรากที n ของจํานวนเชิ งซ้ อน
ให้ z และ w เป็ นจํานวนเชิงซ้อน และ n ∈ N
็่
1. w n = 0 กตอเมือ w = 0
่ ั
2. ถ้า z = r (cos θ + i sin θ) ≠ 0 แล้วรากที n ของ z มีท% งหมด n รากทีแตกตางกนคือ
ั
 θ + 2 kπ θ + 2 kπ 
w k +1 = n r cos + i sin หรื อ
 n n  
  θ 2 kπ   θ 2 kπ  
w k +1 = n r cos +  + i sin  + 
 n n  n n  
เมือ k = 0,1,2,..., n − 1
หรื อจากสู ตรรากที n ของ z อาศัยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ โดยที
 θ θ
w 1 = n r cos + i sin 
 n n
  θ 2π   θ 2π 
w 2 = n r cos +  + i sin  + 
 n n   n n 
 θ  2π   θ  2π   
w 3 = n r cos + 2   + i sin + 2  
n  n 
   n    n  
M
 θ  2π   θ  2π   
w n = n r cos + (n − 1)   + i sin + (n − 1)  
n  n 
   n    n  

2. จากนิยาม สามารถสรุ ปวิธีการหารากที n ของจํานวนเชิงซ้อน ดังนี%
1. เปลียน z = x + yi ให้เป็ น z = r (cos θ + i sin θ)
2. จากสู ตร w k +1 = n r cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ 
 
 n n 
 θ θ
ให้หา w1 ่
เสี ยกอน จะได้w 1 = n r cos + i sin 
 n n
o
3. หาขนาดของมุมทีตางกนจากสู ตร ∆ = 360
่ ั
n
4. หา w 2 , w 3 ,... ได้ดงนี%
ั
 θ  θ 
w 2 = n r cos + ∆  + i sin  + ∆  θ
 n  n  θ2 = +∆
n
w 3 = n r [cos(θ 2 + ∆) + i sin(θ 2 + ∆)]
M
ตัวอย่ างที 1 จงหารากที 4 ของ -81
วิธีทา
ํ ให้ z = −81 = −81 + 0 ⋅ i
z = 81(cos180 + i sin 180)
180 o 180 o
หา w 1 = 4 81(cos + i sin )
4 4
จะได้ w 1 = 3(cos 45 o + i sin 45 o )
360 o
หา ∆= = 90 o
4
รากที 4 ของ 81 คือ
w 1 = 3(cos 45 o + i sin 45 o )
2 2
= 3( + i)
2 2
3 2 3 2
= + i
2 2
w 2 = 3(cos(45 o + 90 o ) + i sin(45 o + 90 o )
= 3(cos 135 o + i sin 135 o )
= 3(− cos 45 o + i sin 45 o )
2 2
= 3(− + i)
2 2
3 2 3 2
=− + i
2 2

3. w 3 = 3(cos(135 o + 90 o ) + i sin(135 o + 90 o ))
= 3(cos 225 o + i sin 225 o )
= 3(− cos 45 o − i sin 45 o )
2 2
= 3(− − i)
2 2
3 2 3 2
=− − i
2 2
w 4 = 3(cos(225 o + 90 o ) + i sin(225 o + 90 o ))
= 3(cos 315 o + i sin 315 o )
= 3(cos 45 o − i sin 45 o )
2 2
= 3( − i)
2 2
3 2 3 2
= − i
2 2
ดังนั% น รากที 4 ของ 81 คือ 3 2 + 3 2 i , − 3 2 + 3 2 i , − 3 2 − 3 2 i , 3 2 + 3 2 i
2 2 2 2 2 2 2 2

4. แบบฝึ กทักษะที 8.1
่
1. จงหารากที 3 ของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี%
1.1 − 8i
1.2 27i
1.3 − 64
1.4 8
1.5 − 8
1.6 − 27
1.7 27
1.8 64i
่
2. จงหารากที 4 ของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี%
2.1 − i
2.2 1
2.3 − 1
2.4 16
2.5 − 16i
2.6 − 16