Pelabelan graf memberikan pemetaan satu-satu antara elemen graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat empat jenis pelabelan graf yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, pelabelan total, dan pelabelan total titik ajaib. Pelabelan total titik ajaib memetakan titik dan sisi graf dengan bilangan sedemikian rupa sehingga jumlah label setiap titik ditambah label sisi yang menghubungkannya adalah bilangan kon

1. TEORI GRAF
PELABELAN
KELOMPOK : 5
1. ULFA ZULFIA ANANDINI 20191112002
2. DESI PATMAWATI 20191112005
3. AMANAT SOLIKAH 20191112022
4. AGUNG BUDIARTO 20191112031
5. MUHAMAD SETIO BUDI 20221112039

2. POKOK PEMBAHASAN
Pelabelan
Titik
1
Pelabelan
Sisi
2
Pelabelan
Total
3
Pelabelan
Total Titik
4

3. Definisi Pelabelan
Pelabelan Graf merupakan suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari
elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif. Atau
Sebarang pemetaan atau fungsi yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi)
dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif)
Jenis- jenis pelabelan graf:
1. Pelabelan Titik
2. Pelabelan Sisi
3. Pelabelan Total
4. Pelabelan Total Titik Ajaib

4. PELABELAN TITIK

5. Pelabelan Titik
Pelabelan titik merupakan suatu pemetaan jika domainnya berupa himpunan titik.
Jika diberikan suatu graf G yang memiliki himpunan titik 𝑓: 𝑉 𝐺 → 1,2,3,4,5 dengan
𝑣 → 𝑖, 𝑖 ∈ 𝑍+.
Pada gambar di atas terdapat dua buah graf yaiu graf 𝐺1 dan 𝐺2 . Graf 𝐺1 belum
berlaku pelabelan titik, sedangkan pada graf 𝐺2 sudah berlaku pelabelan titik pada
graf dengan menggunakan bilangan bulat positif.

6. PELABELAN SISI

7. Pelabelan Sisi
Pada Gambar dibawah terdapat dua buah graf yaitu graf 1 dan 2. Dimana graf 1 belum
berlaku pelabelan sisi, sedangkan pada graf 2 sudah berlaku pelabelan sisi pada graf
dengan menggunakan bilangan bulat positif.
Contoh :

8. PELABELAN TOTAL

9. Pelabelan Total
Pelabelan total merupakan suatu pemetaan jika domainnya berupa himpunan titik dan
sisi. Jika diberikan suatu graf 𝐺 yang memiliki himpunan titik 𝑓: 𝑉 𝐺 → {1,2,3,4,5} dan
himpunan sisi 𝑓: 𝐸 𝐺 → {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔, ℎ} sehingga pelabelan total dinotasikan dengan:
𝑓: 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 → 1, 𝑎, 2, 𝑏, 3, 𝑐, 4, 𝑑, 5, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ
Pada gambar diatas terdapat dua buah graf yaitu graf 𝐺1 dan 𝐺2. Dimana graf 𝐺1 belum
berlaku paleblan total, sedangkan pada graf 𝐺2 sudah berlaku pelabelan total pada graf
dengan gabungan pelabelan sisi dan pelabelan titik.

10. PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB

11. Pelabelan Total Titik Ajaib
Terdapat suatu graf G yang memiliki himpunan 𝑉 = 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸 = 𝐸(𝐺)
dimana 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺) diberikan suatu fungsi satu-satu dan fungsi pada
dengan pemetaan yang menggunakan bilangan bulat positif {1,2, … , 𝑣 + 𝑒} sehingga
untuk setiap titik v berlaku 𝑓 𝑣 + Σ𝑓 𝑣𝑒 = 𝑘 dimana setiap titik 𝑣 dan 𝑒 saling
terhubung serta 𝑘 adalah bilangan konstanta ajaib dari fungsi tersebut.
Dari gambar disamping merupakan contoh
pelabelan total titik ajaib karena dari
gambar tersebut dapat diperoleh :
𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑒1 + 𝑓 𝑒3 = 1 + 6 + 5 = 12
𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑒1 + 𝑓 𝑒2 = 2 + 6 + 4 = 12
𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑒3 + 𝑓 𝑒2 = 1 + 6 + 5 = 12
Dari perhitungan tersebut maka didapatkan
nilai 𝑘 = 12

12. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen P(n,m)
Untuk melakukan pelabelan total titik ajaib pada setiap graf Petersen P (n,m) maka harus
memenuhi dua teorema yaitu :
Teorema 2.9.1 (a)
Untuk 𝑛 ≥ 3,1 ≤ 𝑚 ≤
𝑛−1
2
, setiap graf Petersen yang diperumum P(n,m) dapat dikatakan
pelabelan total titik ajaib apabila memiliki bilangan konstanta ajaib yaitu 𝑘 = 9𝑛 + 2
Bukti:
Adapun cara pelabelan adalah sebagai berikut :
𝜆1 𝑢𝑖 = 4𝑛 + 1 𝛼 𝑖, 0 + 5𝑛 + 1 − 𝑖 𝛼 1, 𝑖
𝜆1 𝑣𝑖 = 2𝑛 + 𝑚 − 1 𝛼 𝑖, 𝑚 − 1 + 3𝑛 + 𝑚 − 𝑖 𝛼 𝑚, 𝑖
𝜆1 𝑢𝑖𝑢𝑖+1 = 1 + 𝑖
𝜆1 𝑢𝑖𝑣𝑖 = 4𝑛 − 𝑖
𝜆1 𝑣𝑖𝑣𝑖+𝑚 = 𝑛 + 1 + 𝑖
Untuk 𝑖 ∈ 𝐼 = 0,1, … , 𝑛 − 1 dimana:
𝛼(𝑥, 𝑦) ቊ
1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 𝑦
0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 𝑦

13. Gambar 2.15 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (5,2) dengan 𝑘 =
9𝑛 + 2 = 9.5 + 2 = 47

14. Gambar 2.16 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (6,2) dengan
𝑘 = 9𝑛 + 2 = 9.6 + 2 = 56

15. Teorema 2.91 (b)
Untuk 𝑛 ≥ 3,1 ≤ 𝑚 ≤
𝑛−1
2
, setiap graf Petersen yang diperumum P(n,m) dapat
dikatakan pelabelan total titik ajaib apabila memiliki bilangan konstanta ajaib yaitu
𝑘 = 10𝑛 + 2
Bukti:
Adapun cara pelabelan adalah sebagai berikut :
𝜆2 𝑢𝑖 = 4𝑛 + 1 𝛼 𝑖, 0 + 5𝑛 + 1 − 𝑖 𝛼 1, 𝑖
𝜆2 𝑣𝑖 = 𝑚 − 1 𝛼 𝑖, 𝑚 − 1 + 𝑛 + 𝑚 − 𝑖 𝛼 𝑚, 𝑖
𝜆2 𝑢𝑖𝑢𝑖+1 = 𝑛 + 1 + 𝑖
𝜆2 𝑢𝑖𝑣𝑖 = 3𝑛 − 𝑖
𝜆2 𝑣𝑖𝑣𝑖+𝑚 = 3𝑛 + 1 + 𝑖
Untuk 𝑖 ∈ 𝐼 = 0,1, … , 𝑛 − 1 dimana:
𝛼(𝑥, 𝑦) ቊ
1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 𝑦
0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 𝑦

16. Gambar 2.17 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (5,2) dengan
𝑘 = 10𝑛 + 2 = 10.5 + 2 = 52

17. Gambar 2.18 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (6,2) dengan
𝑘 = 10𝑛 + 2 = 10.6 + 2 = 62

18. TERIMAKASIH