ЕБС-ийн ахлах ангийн статистикийн зарим агуулга

1. Статистикийн зарим ойлголтыг заах, бодлого
бодох арга зүй
/5 дахь жилдээ ажиллаж буй математикийн багшийн үндсэн сургалт/
БМДИ-ийн ТМА-ны
мэргэжилтэн, арга зүйч
Д.Даваасүрэн

2. Нээлттэй хэлэлцүүлэг:
Асуулт 1. Бага боловсролын математикийн хөтөлбөрт буй статистик
(өгөгдөлтэй ажиллах)-ийн гол ухагдахуун, ойлголтуудыг нэрлэнэ үү? Эдгээр
нь суурь болон ахлах ангийн статистикийн агуулгатай хэрхэн холбогдох вэ?
/)
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
____________________________________
Асуулт 2. Ахлах ангийн сургалтын хөтөлбөрт тусгагдсан статистикийн
ухагдахуун, нэр томъёонуудаас заахад хүндрэлтэй буюу, өмнөх
хөтөлбөрөөс ахисан түвшний агуулгуудыг нэрлэнэ үү.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________________

3. Агуулга
1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
• Гистограм
• Цэгэн диаграм
• Сахалтай хайрцаг
• Иш навчны диаграм
2. Зарим статистик үзүүлэлтүүд /төвийн хандлагын ба
байршлын хэмжигдэхүүн, децил, квартил, стандарт
хазайлт, дисперс /
3. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундаж, медиан, моод олох арга
4. Хэвийн тархалт, хэвийн тархалтын хүснэгт ашиглан
магадлал олох арга

4. 1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
• Хуримтлагдсан дамтамжийн хүснэгт ба
график:
Сар
Нэмж
хийсэн
Хуримтлал
3-р сар $120 $120
4-р сар $50 $170
5-р сар $110 $280
6-р сар $100 $380
7-р сар $50 $430
8-р сар $20 $450

5. 1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
Иш-навчны диаграм /Stem and Leaf Plots/
•Танхим дахь бүх хүмүүсийн өндөр ба гутлын хэмжээг иш
навчны диаграмаар дүрсэлье
•Иш навчны диаграм ашиглах нь ямар ач холбогдолтой вэ?
•Иш навчны диаграм ашиглан дундаж, медиан, моод,
далайцыг олцгооё.

6. 1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
Иш навчны
диаграмаар
дүрсэлсэн өгөгдлөөс
тамхи татдаг ба
татдаггүй хүмүүсийн
цусны даралтын
далайц, моод,
медиан, дундаж
зэргийг олж
харьцуулаарай.
Энэ судалгаанд хэдэн хүн хамрагдсан
байна вэ?
Иш-навчны диаграм /Stem and Leaf Plots/
ХБУ ХИУ Далайц Моод Медиан Арифметик дундаж
Тамхи
татдаг
Тамхи
татдаггүй

7. 1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
Цэгэн диаграм
Хандлагын шулуун /Регрессийн шулуун/
Корреляцийн коэффициент нь 2
санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын
хамаарлын зэргийг тодорхойлно.

8. 1. Өгөгдлийг дүрслэх зарим арга
Корреляц /хамаарлыг нэрлээрэй/
A B
C D

9. Корреляцийн чанарууд
өндөр-y
(см)
жин-x (кг) y-y x-x (y-y)^2 (x-x)^2 (y-y)*(x-x)
a1 150 55.0 150.0 55.0 22,500 3,025 8,250.0
a2 120 38.0 120.0 38.0 14,400 1,444 4,560
a3 89 18.0 89.0 18.0 7,921 324 1,602
a4 165 54.0 165.0 54.0 27,225 2,916 8,910
a5 173 67.0 173.0 67.0 29,929 4,489 11,591
a6 180 95.0 180.0 95.0 32,400 9,025 17,100
a7 151 45.0 151.0 45.0 22,801 2,025 6,795
a8 165 61.0 165.0 61.0 27,225 3,721 10,065
a9 120 40.0 120.0 40.0 14,400 1,600 4,800
a10 190 85.0 190.0 85.0 36,100 7,225 16,150
1,503 558 1,503 558 234,901 234,901 89,823
r (Корреляцийн коэффициент) 0.9796
r^2 (Детерминацийн зэрэг) 0.9596
-
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
- 50 100 150 200
AxisTitle
Axis Title

10. Сахалтай хайрцагны диаграм
• Сахалтай хайрцагны диаграмм /Box and Whisker Plot/
• Сахалтай хайрцагны диаграмм /"Box and Whisker Plot"/-аас маш олон
мэдээллийг олж харах боломжтой.
• Жишээ 1. Дараах өгөгдлийн жагсаалтыг сахалтай хайрцагны диаграммаар
дүрсэлж, квартил хоорондын далайцыг ол.
• 4, 17, 7, 14, 18, 12, 3, 16, 10, 4, 4, 11
Перцентил: Өгөгдлийн байршлыг илэрхийлэх хэмжигдэхүүн. /заримдаа проценталь гэж бичсэн
байдаг./ Тухайн өгөгдлөөс бага утгатай өгөгдөл нийт өгөгдлийн хэдэн хувийг эзэлж байгааг
илэрхийлнэ. Жишээ нь: 20 хүний дотор та өндрөөрөө 4-рт жагссан гэе. Тэгвэл 80% нь танаас
намхан хүмүүс байна буюу таны өндрийн үзүүлэлт 80% Перцентил /проценталь/-тай байна гэсэн
үг.
Өөрөөр хэлбэл "1.85м" гэсэн өгөгдлийн хувьд перцентил нь 80 байна гэж ярьдаг.
Децил /Deciles/: Өгөгдлүүдийн эрэмбэлэгдсэн жагсаалтыг 10; 10%-иар бүлгүүдэд хувааж
үзсэнийг Децил /Deciles/ гэдэг. Жишээ нь 2-р децил нь 20%-ийн перцентилтэй давхцана

11. Давтамжийн хүснэгтээс өгөгдлийн
дундаж утга, моод, медиан олох
x f f*x
3 2 6
8 7 56
13 8 104
18 3 54
Нийлбэр: 20 220
Давтамжийн хүснэгт ашиглан моод,
медиан, дунаж, далайц зэргийг олоорой

12. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дундаж
x f f*x
3 4 12
8 6 48
13 8 104
18 2 36
Нийлбэр: 20 200
Тоглоомн
ы тоо
Давтамж
1 - 5 4
6 - 10 6
11 - 15 8
16 - 20 2
Бүлэг тус бүрийн оронд
түний дундаж цэгийн
байрлуулан дараах
хүснэгтийг хийж болох
юм
/

13. Бүлэглэсэн өгөгдлийн моод, медианыг олох
Дээрх хүснэгтээс гистограм байгуулж,
дундаж, моод, медианыг олоорой.
9
6
73
2

14. Дасгал
1. Өмнө цуглуулсан өгөгдлөө ашиглан сарнилын цэгэн
даиграм байгуулаарай
2. Моод, медиан, дундаж өндөрийг олоорой.
3. Өндөр ба жингийн хамаарлыг илэрхийлэх корреляцийг
бодож үзээрэй.
4. Иш навчны диаграмаас өндөрийн хувьд квартилуудыг
ольё.
5. Одоо үүнийгээ сахалтай хайрцагны диаграмаар
илэрхийлье.
5. Өндөрийн хэмжээг 5 өргөнтэй гистограмаар дүрслээрэй.
6. Гистограм ашиглан бүлэглэсэн өгөгдлийн үнэлсэн моод,
медиан, дундаж зэргийг бодож, анхдагч өгөгдлөөс олсон
үзүүлэлтүүдтэй харьцуулж ярилцъя.

15. Санамсаргүй
хэмжигдэхүүн
Дискрет санамсаргүй
хэмжигдэхүүн
Тасралтгүй
санамсаргүй
хэмжигдэхүүн
Дискрет санамсаргүй
хэмжигдэхүүний
тархалтын функц
Стандарт
хазайлт ба
дисперс
Бином тархалт Хэвийн тархалт

16. 3. Стандарт хазайлт
Стандарт хазайлт нь түүврийн утгууд дунджаасаа хэр хол зайд тархаж байгааг харуулдаг.
Түүнийг σ үсгээр тэмдэглэнэ.. Стандарт хазайлт нь энгийн томъёогоор бодогдох бөгөөд
дисперсийн арифметик квадрат язгууртай тэнцүү. Тэгвэл дисперс гэж юу вэ?
Дисперс (variance) гэдэг нь дунджаас хазайх хазайлтуудын квадратлаг дундаж юм.
Дисперсийг олохдоо дараах дарааллаар олно.
1.Түүврийн бүх утгуудын дунджийг олно.
2.Түүврийн бүх утгуудын дунджаас хазайх хазайлтуудын квадратуудыг олно. Өөрөр
хэлбэл утга бүрээс дуднжийг хасч ялгаврыг квадрат зэрэгт дэвшүүлнэ.
3.Тэдгээр ялгаврын квадратуудын дунджийг олно.

18. Стандарт хазайлт ба дунджаас муруй хэрхэн
хамаарах вэ?

19. Стандарт хазайлт ба муруйн хэлбэр

20. Хэвийн тархалтын хууль
m - математик дундаж (заримдаа µ эсвэл a-аар
тэмдэглэх нь бий)
σ - стандарт хазайлm

21. Хэвийн тархалтын муруйн нийт талбай 1 байх тул:
Эндээс с тогтмолыг олбол:
Өөрөөр хэлбэл нормал тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь /тухайн магадлал нь/
Стандарт хазайлт ба математик дундаж гэсэн хоёр параметрээс хамаарна.
Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь
дараах хэлбэртэй бол хэвийн тархалттай байна гэдэг. Үүнд:
Хэвийн тархалтын дээрх 2 параметрийг ашиглан тэмдэглэнэ.

22. Стандарт хэвийн тархалт:
байх тархалтыг стандарт хэвийн тархалт гэдэг. Стандарт хэвийн
тархалтын хүснэгтийг ашиглан Z онооны тусламжтайгаар бусад хэвийн
тархалтттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалыг олдог.
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

23. Let us use table of normal distibution and
“Statistics Calculator”

24. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

25. Дээрх жишээний хувьд санамсаргүй сонгосон сурагч 80- аас
багагүй оноо авсан байх магадлал хэд байх вэ? Бодож
олоорой.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Санамсаргүй сонгосон сурагч 80-90 оноо авсан байх
магадлалыг тооцоолж олоорой.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
________________________________________________

26. 1.X is a normally normally distributed variable with mean μ = 30 and standard
deviation
σ = 4. Find
a) P(x < 40)
b) P(x > 21)
c) P(30 < x < 35)
2.A radar unit is used to measure speeds of cars on a motorway. The speeds are
normally distributed with a mean of 90 km/hr and a standard deviation of 10 km/hr.
What is the probability that a car picked at random is travelling at more than 100
km/hr?
3.For a certain type of computers, the length of time bewteen charges of the
battery is normally distributed with a mean of 50 hours and a standard deviation
of 15 hours. John owns one of these computers and wants to know the probability
that the length of time will be between 50 and 70 hours.
4.Entry to a certain University is determined by a national test. The scores on this
test are normally distributed with a mean of 500 and a standard deviation of 100.
Tom wants to be admitted to this university and he knows that he must score
better than at least 70% of the students who took the test. Tom takes the test and
scores 585. Will he be admitted to this university?

27. 5. The length of similar components produced by a company are
approximated by a normal distribution model with a mean of 5 cm and a
standard deviation of 0.02 cm. If a component is chosen at random
a) what is the probability that the length of this component is between
4.98 and 5.02 cm?
b) what is the probability that the length of this component is
between 4.96 and 5.04 cm?

28. • Answers to the Above QuestionsNote: What is meant here by area is the
area under the standard normal curve.
a) For x = 40, the z-value z = (40 - 30) / 4 = 2.5
Hence P(x < 40) = P(z < 2.5) = [area to the left of 2.5] = 0.9938
b) For x = 21, z = (21 - 30) / 4 = -2.25
Hence P(x > 21) = P(z > -2.25) = [total area] - [area to the left of -2.25]
= 1 - 0.0122 = 0.9878
c) For x = 30 , z = (30 - 30) / 4 = 0 and for x = 35, z = (35 - 30) / 4 = 1.25
Hence P(30 < x < 35) = P(0 < z < 1.25) = [area to the left of z = 1.25] - [area
to the left of 0]
= 0.8944 - 0.5 = 0.3944

29. 2. Let x be the random variable that represents the
speed of cars. x has μ = 90 and σ = 10. We have to
find the probability that x is higher than 100 or
P(x > 100)
For x = 100 , z = (100 - 90) / 10 = 1
P(x > 90) = P(z >, 1) = [total area] - [area to the
left of z = 1]
= 1 - 0.8413 = 0.1587
The probability that a car selected at a random
has a speed greater than 100 km/hr is equal to
0.1587

30. 3. Let x be the random variable that represents the length
of time. It has a mean of 50 and a standard deviation of
15. We have to find the probability that x is between
50 and 70 or P( 50< x < 70)
For x = 50 , z = (50 - 50) / 15 = 0
For x = 70 , z = (70 - 50) / 15 = 1.33 (rounded to 2
decimal places)
P( 50< x < 70) = P( 0< z < 1.33) = [area to the left of z =
1.33] - [area to the left of z = 0]
= 0.9082 - 0.5 = 0.4082
The probability that John's computer has a length of
time between 50 and 70 hours is equal to 0.4082.

31. 4. Let x be the random variable that represents the scores. x
is normally ditsributed with a mean of 500 and a standard
deviation of 100. The total area under the normal curve
represents the total number of students who took the
test. If we multiply the values of the areas under the curve
by 100, we obtain percentages.
For x = 585 , z = (585 - 500) / 100 = 0.85
The proportion P of students who scored below 585 is
given by
P = [area to the left of z = 0.85] = 0.8023 = 80.23%
Tom scored better than 80.23% of the students who took
the test and he will be admitted to this University.

32. 5. a) P(4.98 < x < 5.02) = P(-1 < z < 1) = 0.6826
b) P(4.96 < x < 5.04) = P(-2 < z < 2) = 0.9544

33. 7. What length of time marks the shortest 70%
of all pregnancies?
Normal Distribution µ = 266 σ = 16
P(X < ?) = 0.70 ⇒ P(Z < ?) = 0.70 ⇒
Z = 0.52
X = 266 + 0.52(16)
X = 266 + 8.32
X = 274.32

34. For each question, construct a normal distribution curve
and label the horizontal axis. Then answer each
question.
The mean life of a tire is 30 000 km. The standard
deviation is 2000 km.
1. 68% of all tires will have a life between ______km and
______km.
2. 95% of all tires will have a life between ______km and
______km.
3. What percent of the tires will have a life that exceeds
26000 km?
4. If a company purchased 2000 tires, how many tires
would you expect to last more than 28 000 km?

35. Бином тархалт ба хэвийн тархалт

36. Бином тархалт ба хэвийн тархалт