Tugas Makalah Statistika

1. 1
BAB 1
PENDAHULUAN
Statistik merupakan salah satu ilmu yang sangat penting untuk dipelajari
agar dapat memudahkan seseorang dalam membuat suatu penelitian, observasi
ataupun riset yang berbentuk angka, mulai dari pengumpulan data, pengolahan
data, analisis data, hingga penyajian data yang akhir tujuannya ialah penarikan
kesimpulan.
Ada beberapa ilmuan yang menjelaskan tentang pengertian-pengertian statistik.
Diantaranya yaitu:
1. Modenhall
Statistik merupakan salah satu bidang sains yang berhubungan dengan ekstrasi
informasi dari sebuah data numerik dan digunakan untuk membuat keputusan dari
suatu populasi darimana data itu didapatkan.
2. Kendal & Stuart
Statistik merupakan cabang dari metode ilmiah yang berkaitan dengan
pengumpulan data yang dikumpulkan dengan mengukur sifat-sifat dari populasi
yang ditemukan.
3. Asher
Menurutnya statistik itu berkaitan dengan suatu langkah atau metode dalam
menarik sebuah kesimpulan dari hasil uji coba.
4. Mood, Graybill & Boes
Mereka mengemukakan bahwa statistik merupakan suatu teknologi dari salah
satu metode ilmiah dan berkaitan dengan percobaan, penyelidikan dan penarikan
kesimpulan.
5. Anderson & Bancroft
Mereka mengungkapkan statistik sebagai ilmu & seni perkembangan juga
metode yang paling tepat dan efektif dalam pengumpulan, mentabulasikan dan
menginterprestasikan data-data kuantitatif.

2. 2
BAB II
DISTRIBUSI FREKUENSI
DISTRIBUSI FREKUENSI Merupakan suatu uraian atau ringkasan yang
dapat dibuat dalam bentuk tabel suatu kelompok data yang menunjukkan sebaran
data observasi dalam beberapa kelas. Sehingga ada dapat membentuk suatu tabel
frekuensi yang berisikan kategori-kategori Misalnya anda ingin membuat tabel
frekuensi nilai matapelajaran statistika pada kelas anda, dengan rentang nilai
tertentu.
Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data
acak yang dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah
disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok
disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Distribusi frekuensi adalah
susunan data menurut kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam
sebuah daftar (Hasan, 2001).
Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai
dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan
dijelaskan sebagai berikut (Hasan, 2001):
 Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data
acak.
 Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu
dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap
kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih
terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas
untuk data-data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class
limits) dan batas kelas atas (upper class limits).
 Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak
memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas
yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda dalam pengertiannya dari
data, yaitu: tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.
 Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat
terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang
mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas
bawah) kelas.
 Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan
kelas yang lain.
 Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas
dan tepi bawah kelas.
 Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas
tertentu dari data acak.

3. 3
Komponen Distribusi Frekuensi
1. Kelas
2. Batas kelas
3. Interval kelas
1. Kelas Frekuensi
Kelas yang dimaksud adalah kelopok yang ditentukan dengan perhitungan
tertentu sehingga antar kelas memiliki aturan dan karakter yang sama.
2. Batas Kelas Distribusi Frekuensi
Batas kelas merupakan nilai yang berada pada tepi bawah atau tepi atas
suatu kelompok (kelas). Dengan demikian batas kelas terdiri dari batas atas dan
batas bawah.
3. Intervel Kelas
Interval kelas menunjukkan seberapa lebar suatu kelas pada tabel
distribusi frekuensi. misalnya sebuah kelas yang terbentuk 1-5 (maka panjang
intervalnya adalah 5)
Jenis Jenis Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap
kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan
tiga jenis (Hasan, 2001):
1.Distribusi frekuensi biasa
Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok
data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan
distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.
2. Distribusi frekuensi relatif
Distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi
kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi
data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu
kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari
pengamatan atau observasi.

4. 4
3. Distribusi frekuensi kumulatif
Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang
dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif.
Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi
kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.
Penyusunan Distribusi Frekuensi
Penyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan
data. Pertama melakukan pengurutan data-data terlebih dahulu sesuai urutan
besarnya nilai yang ada pada data, selanjutnya diakukan tahapan berikut ini
(Hasan, 2001).
1. Menentukan jangkauan (range) dari data. Jangkauan = data terbesar – data
terkecil.
2. Menentukan banyaknya kelas (k). Banyaknya kelas ditentukan dengan
rumus sturgess K = 1 + 3.3 log n; k (Keterangan: k = banyaknya kelas, n =
banyaknya data)
3. Menentukan panjang interval kelas. Panjang interval kelas (i) = Jumlah
Kelas (k)/ Jangkauan (R)
4. Menentukan batas bawah kelas pertama. Tepi bawah kelas pertama
biasanya dipilih dari data terkecil atau data yang berasal dari pelebaran
jangkauan (data yang lebih kecil dari data data terkecil) dan selisihnya
harus kurang dari panjang interval kelasnya.
5. Menuliskan frekuensi kelas didalam kolom turus atau tally (sistem turus)
sesuai banyaknya data.
Tahapan Membuat Tabel Distribusi Frekuensi
Tahapan-tahapan yang perlu anda lakukan untuk membuat tabel distribusi
frekuensi adalah sebagai berikut :
1. Membuat rentang atau selisih nilai terbesar dan terkecil.
2. Membuat jumlah kelas yang dapat diberi lambang k dengan menggunakan
rumus berikut :
k = 1 + 3.322 log n, n : menunjukkan banyaknya nilai observasi.
3. Selanjutnya anda tentukan jumlah interval kelas yang diberi lambang (c),
dengan rumus

5. 5
KET :
k : Banyaknya kelas
Xn : Nilai observasi terbesar
X1 : Nilai observasi terkecil.
 Tahap terakhir adalah menentukan batas kelas (tepi bawah dan tepi atas)
Batas bawah kelas (tepi bawah) menunjukkan kisaran nilai data terkecil
pada suatu kelas (kelompok). Sedangkan batas atas kelas menunjukkan
kemungkinan nilai data terbesar dalam suatu kelas (kelompok).
Sebagai contoh :
Dalam sebuah kelas bahasa inggiris diperoleh nilai dari 40 siswa sebagai berikut:
50 53 74 73
75 76 58 67
74 74 73 72
72 73 73 72
79 71 70 75
78 52 74 74
75 74 72 74
75 74 72 68
79 71 79 69
71 70 70 79
Dari data tersebut ingin bibuat sebuah tabel frekuensi untuk menyajikan data
sebaran nilai dari ke 40 siswa saat ujian bahasa Inggris.
maka;
n =40
k=1+3.322n
k=6.322 ~ 6
c = (79-50)6=4.8~5

6. 6
Kelas Frekuensi Tepi Bawah Tepi Atas
50-54 3 49,5 54,5
55-59 1 54,5 59,5
60-64 59,5 64,5
65-69 3 64,5 69,5
70-74 23 69,5 74,5
75-79 10 74,5 79,5
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Untuk membentuk tabel frekuensi, anda dapat menggunakana persamaan yang
terdapat di dalam tabel berikut :
X F Fr Fk* Fk**
(1) (2) (3) (4) (5)
X1
X2
…
Xi
…
Xk
f1
f2
…
fi
…
fk
f1/n
f2/n
…
fi/n
…
fk/n
f1
f1 + f2
…
f1 + f2 + … + fi
…
f1 + f2 + … + fi + …
+ fk
f1 + f2 + … + fi + … + fk f2 + … + fi +
… + fk
…
f1 + fk
…
fk
Jumlah

7. 7
BAB III
PENGUKURAN STATISTIK SAMPLE
1. Mean
Rata-rata atau Mean adalah ukuran statistik kecenderungan terpusat sama halnya
seperti Median dan Modus.
Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (aritmatik), rata-rata
geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata
“rata-rata” saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung
(aritmatik).
RUMUS :
Keterangan:
= rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel
Contoh soal rata-rata hitung :
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas.
Kita bisa mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur
tinggi badannya. Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh
siswa tersebut dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :
sehingga

8. 8
Rata-rata Ukur (Geometrik)
Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan
mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian
diakarpangkatkan dengan jumlah data sampel tersebut. Secara matematis rata-rata
ukur (geometrik) dirumuskan seperti berikut ini.
Keterangan:
G = rata-rata ukur (geometrik)
n = jumlah sampel
Contoh soal rata-rata ukur :
Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank adalah sebagai berikut.
6.75, 5.75, 6.50, 6.25, 6.25, 6.10, 5.70, 5.90, 6.25, 5.60
Berapakah rata-rata ukur (geometrik) suku bunga bank-bank tersebut?
Jawab:
Rata-rata ukur (geometrik) bisa dihitung dengan menggunakan rumus pertama
atau kedua. Cara penghitungannya adalah sebagai berikut.
G = 6,095
Rata-rata Harmonik (Harmonic Average)
Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung
dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan
sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan
tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data.
Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung
(aritmatik).

9. 9
Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
H = rata-rata harmonik
n = jumlah data sampel
xi = nilai data ke-i
Contoh soal rata-rata harmonis :
Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan tersebut
ingin diketahui rata-rata lama bermain dalam 1 set kartu bridge. Pada
pertandingan pertamanya dihitung lama bermain untuk setiap set kartu di setiap
meja. Hasilnya adalah sebagai berikut (dalam menit).
7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11
Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut?
Jawab:
Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai berikut.
Rata-rata Tertimbang (Terbobot)
Rata-rata tertimbang/terbobot (weighted average) adalah rata-rata yang
dihitung dengan memperhitungkan timbangan/bobot untuk setiap datanya. Setiap
penimbang/bobot tersebut merupakan pasangan setiap data.
Rumus rata-rata tertimbang/terbobot adalah sebagai berikut.

10. 10
Keterangan:
= rata-rata tertimbang
xi = nilai data ke-i
wi = bobot data ke-i
n = jumlah data
Contoh soal rata-rata tertimbang :
2. MODUS
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Modus
tidak harus tunggal,artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara
mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya.
Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan rumus :
Dengan;
b = batas bawah kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang interval kelas modus
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudah kelas modus
Jika rumus di atas digunakan untuk mencari modus dari tabel di bawah ini

11. 11
Maka diperoleh :
a. kelas modus = kelas ke-4
b. b = 59,5
c. b1 = 15 – 6 = 9
d. b2 = 15 – 13 = 2
e. p = 8
Rumus Modus dan Contoh Soalnya
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai
frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut
unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki
modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Tentukan modus dari data di bawah ini.
2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10

12. 12
Penyelesaian
a) 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.
b) Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6.
Jadi, modusnya adalah 6.
2) Modus data bergolong
Modus data bergolong dirumuskan sebagai berikut:
3. MEDIAN
Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua
bagian yang sama besar atau suatu nilai yang menbagi 50% frekuensi bagian atas
dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama
dengan frekuensi yang trdapat di bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah
data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilai- nilainya.
Adapun cara mencari median, antara lain :
a. Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Sebelum dihitung mediannya, data diurutkan lebih dulu dari data yang terkecil ke
yang terbesar. Rumusan median untuk data tunggal dibedakan jadi dua, yaitu :

13. 13
Contoh
1. Untuk contoh tabel sebelumnya dengan data 8 6 6 7 8 7 7 8 6 6.
Setelah data diurutkan diperoleh 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8. Jumlah data genap sehingga
untuk mencari median digunakan rumus di atas dan diperoleh
2. Diketahui data sebagai berikut.
Tentukan median dari data di atas!
Untuk data di atas diketahui n ganjil, sehingga untuk mencari median
digunakan rumus pertama dan diperoleh :
b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung
dengan rumus :

14. 14
dengan
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas median
n = jumlah data
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
Contoh
Dari tabel sebelumnya diperoleh kelas median terletak pada interval ke-4,
sehingga diperoleh b = 59,5 ; p = 8; n = 50 ; F = 15 dan f = 15 akibatnya
Rumus Modus dan Contoh Soalnya
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai
frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut
unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki
modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Tentukan modus dari data di bawah ini.
2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10

15. 15
Penyelesaian
a) 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.
b) Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6.
Jadi, modusnya adalah 6.
2) Modus data bergolong
Modus data bergolong dirumuskan sebagai berikut:
C. Kelebihan dan Kekurangan Rata-rata, Median dan Modus
 Rata-rata
Kelebihan
1. Rata-rata lebih populer dan lebih mudah digunakan.
2. Dalam satu set data, rata-rata selalu ada dan hanya ada satu rata-rata.
3. Dalam penghitungannya selalu mempertimbangkan semua nilai data.
4. Tidak peka terhadap penambahan jumlah data.
5. Variasinya paling stabil.
6. Cocok digunakan untuk data yang homogen.
Kelemahan
1. Sangat peka terhadap data ekstrim. Jika data ekstrimnya banyak, rata-rata
menjadi kurang mewakili (representatif).
2. Tidak dapat digunakan untuk data kualitatif.
3. Tidak cocok untuk data heterogen.

16. 16
 Median
Kelebihan
1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif.
3. Cocok untuk data heterogen.
Kelemahan
1. Tidak mempertimbangkan semua nilai data.
2. Kurang menggambarkan rata-rata populasi.
3. Peka terhadap penambahan jumlah data.
 Modus
Kelebihan
1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Cocok digunakan untuk data kuantitatif maupun kualitatif.
Kelemahan
1. Modus tidak selalu ada dalam satu set data.
2. Kadang dalam satu set data terdapat dua atau lebih modus. Jika hal itu
terjadi modus menjadi sulit digunakan.
3. Kurang mempertimbangkan semua nilai.
4. Peka terhadap penambahan jumlah data.
D. Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), Median dan Modus
 Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai
rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva
distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk
simetris.

17. 17
 Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus,
maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di
sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di
sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.
 Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus,
maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di
sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di
sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke
kanan.
 Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke
kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan
modus sebagai berikut. Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)
Varians
Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris:
variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah
ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol
mengindikasikan bahwa semua nilai sama.
Varians selalu bernilai non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan
bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan
antara satu sama lainnya, sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa
titik data sangat tersebar disekitar rerata dan dari satu sama lainnya.

18. 18
Pengukuran yang sama yaitu akar kuadrat dari varians, disebut juga
simpangan baku. Simpangan baku memiliki dimensi dan data yang sama, oleh
karena itu bisa dibandingkan dengan deviasi dari rerata.
Varians adalah salah satu pendeskripsi dari sebuah distribusi probabilitas.
Pada khususnya, varians adalah salah satu momen dari sebuah distribusi. Dalam
konteks tersebut, ia menjadi bagian dari pendekatan sistematis sebagai pembeda
antara distribusi probabilitas. Walau pendekatan lain telah dikembangkan, yang
berbasis momen lebih menguntungkan dalam kemudahan secara matematis dan
penghitungan.
Varians adalah salah satu parameter yang menjelaskan, antara lain,
distribusi probabilitas sebenarnya dari suatu populasi bilangan yang diobservasi,
atau distribusi probabilitas teoretis dari sebuah populasi yang tidak secara penuh
diobservasi di mana sebuah bilangan sampel diambil. Pada kasus terakhir, sebuah
sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk membentuk sebuah estimasi
varians dari distribusi yang mendasarinya; pada kasus sederhana estimasi ini bisa
menjadi varians sampel.
Sebagai contoh, berikut adalah tampilan data:
10, 12, 15, 16 dan 12
Maka dapat dengan mudah dihitung rata-rata dari lima data di atas adalah (10 + 12
+ 15 + 16 + 12)/5 = 65/5 = 13. Varian dihitung berdasarkan kuadrat selisih dari
masing-masing data terhadap nilai rata-ratanya, sehingga:
(10-13)^2 + (12-13)^2 + (15-13)^2 + (16-13)^2 + (12-13)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 +
2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 9 + 1 = 24.
Jadi besarnya varian adalah 24 dibagi 5 (jumlah data jika merupakan
populasi) atau dibagi 5-1 = 4 jika merupakan sampel. Sehingga nilainya adalah
24/4 = 6 (dianggap merupakan sampel).
Dan jika akan dihitung standar deviasi maka akar kuadrat dari 6 yaitu sebesar
2,449.
Varian merupakan ukuran variabilitas data, yang berarti semakin besar
nilai varian berarti semakin tinggi fluktuasi data antara satu data dengan data yang
lain. Untuk jelasnya, perhatikan data gaji pada dua kelompok masyarakat di
bawah:
Kelompok kampung: 3 juta, 1 juta, 6 juta, 8 juta, rata-rata 4,5 juta
Kelompok perumahan: 4 juta, 5 juta, 4,2 juta, 4,8 juta, rata-rata 4,5 juta.
Empat orang dari dua kelompok diambil secara acak dan diambil data gaji
perbulannya. Kelompok pertama, terdiri dari empat orang warga kampung X,
yang pertama mempunyai gaji 3 juta, yang kedua 1 juta, yang ketiga 6 juta dan
yang keempat 8 juga, maka rata-ratanya adalah sebesar 4,5 juta.

19. 19
Empat orang dari kelompok kedua, yaitu warga perumahan, yang pertama
mempunyai gaji 4 juta, yang kedua 5 juta, yang ketiga 4,2 juta dan yang keempat
4,8 juta dengan rata-rata 4,5 juta.
Tampak bahwa rata-rata kedua kelompok adalah sama yaitu sebesar 4,5
juta. Tampilan data dengan rata-rata, menimbulkan bias, karena seolah-olah
mempunyai rata-rata yang sama, sehingga kebijakan yang diambil dapat salah.
Jika kita menghitung varian dari kedua kelompok tersebut akan diperoleh bahwa
kelompok pertama mempunyai varian sebesar 29/3 = 9,67 dan untuk kelompok
kedua mempunyai varian sebesar 0,68/3 = 0,227.
Tampak bahwa varian kelompok satu (warga kampung) lebih tinggi dari
pada varian kelompok kedua (warga perumahan). Interpretasinya adalah bahwa
pendapatan warga kampung sangat berfluktuatif ada yang kecil ada yang sangat
besar. Akan tetapi pendapatan warga perumahan relatif sama dan mempunyai
tingkat ekonomi yang relatif sama antara satu warga dengan warga perumahan
yang lain. Dengan menyertakan nilai varian pada rata-rata akan memberikan
informasi yang lebih akurat. Demikian juga dengan standar deviasi, yang besarnya
merupakan akar kuadrat dari varian.
Pengertian Standar Deviasi
Standar deviasi adalah nilai statistik yang dimanfaatkan untuk menentukan
bagaimana sebaran data dalam sampel, serta seberapa dekat titik data individu
ke mean atau rata-rata nilai sampel.
Sebuah standar deviasi dari kumpulan data sama dengan nol menandakan
bahwa semua nilai dalam himpunan tersebut adalah sama. Sedangkan nilai deviasi
yang lebih besar menunjukkan bahwa titik data individu jauh dari nilai rata-rata.
Untuk cara menghitung standar deviasi, yang perlu dilakukan pertama-
tama adalah menghitung nilai rata-rata dari semua titik data. Rata-rata sama
dengan jumlah dari semua nilai dalam kumpulan data lalu dibagi dengan jumlah
total titik data tersebut.
Setelah itu langkah berikutnya adalah menghitung penyimpangan setiap
titik data dari rata-rata. Caranya dengan mengurangkan nilai dari nilai rata-rata.
Deviasi setiap titik data akan dikuadratkan dan dicari penyimpangan kuadrat
individu rata-rata. Lalu nilai yang dihasilkan disebut sebagai varians. Sedangkan
standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians.
Fungsi Standar Deviasi
Biasanya standar deviasi dimanfaatkan oleh para ahli statistik atau orang
yang berkecimpung dalam dunia tersebut untuk mengetahui apakah sampel data
yang diambil mewakili seluruh populasi.

20. 20
Sebab mencari data yang tepat untuk suatu populasi sangat sulit untuk
dilakukan. Maka dari itu perlu menggunakan sampel data yang dapat mewakili
seluruh populasi sehingga mempermudah untuk melakukan penelitian atau suatu
tugas.
Sebagai gambaran, jika seseorang ingin mengetahui berat badan anak laki-
laki berusia 10-12 tahun di suatu sekolah, maka yang perlu dilakukan adalah
mencari tahu berat beberapa orang dan menghitung rata-rata serta standar
deviasinya. Dari perhitungan tersebut akan diketahui nilai yang dapat mewakili
seluruh populasi.
Cara Menghitung Standar Deviasi Secara Manual
Dalam menghitung standar deviasi, ada beberapa metode yang bisa
dimanfaatkan. Seperti menghitungnya secara manual, dengan kalkulator dan
Excel. Akan kami jelaskan satu per satu. Tetapi untuk pertama-tama kita bahas
cara yang manual.
Untuk mengetahui cara menghitung standar deviasi maka ada dua rumus
yang harus diketahui, yakni rumus varian dan rumus standar deviasi. Berikut
adalah rumus yang bisa dipaka
Rumus Varian
Rumus Standar Deviasi
Selain rumus di atas, juga ada versi lain yang bisa Anda gunakan. Walaupun
rumus berbeda, hasil akhirnya tetap sama. Berikut adalah rumusnya:
Rumus Varian 2

21. 21
Rumus Standar Deviasi 2
Keterangan:
s2 : Varian
s : Standar deviasi
xi : Nilai x ke-i
: Rata-rata
n : Ukuran sampel
Rumus Varian
Rumus Standar Deviasi
Selain rumus di atas, juga ada versi lain yang bisa Anda gunakan.
Walaupun rumus berbeda, hasil akhirnya tetap sama. Berikut adalah rumusnya:
Rumus Varian 2

22. 22
Rumus Standar Deviasi 2
Keterangan:
s2 : Varian
s : Standar deviasi
xi : Nilai x ke-i
: Rata-rata
n : Ukuran sampel
Contoh Soal
Dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa siswa dijadikan sampel. Berikut
adalah data sampel tersebut:
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas, dapat diketahui jumlah data (n) = 10 dan (n – 1) = 9. Langkah
berikutnya adalah menghitung komponen untuk rumus varian. Anda bisa
menyusun tabel seperti gambar di bawah ini.
Berdasarkan tabel di atas, langkah selanjutnya seperti yang tertulis berikut:

23. 23
Jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka menjadi seperti ini:
Sudah diketahui bahwa nilai varian adalah 30,32. Maka dari itu untuk cara
menghitung standar deviasi hanya perlu mengakarkuadratkan nilai varian
tersebut.
s = √30,32 = 5,51
Maka hasil standar deviasi dari contoh di atas adalah 5,51.
Untuk data berkelompok, rumus yang digunakan tidak jauh berbeda. Supaya lebih
jelas silakan perhatikan rumus berikut ini:
Rumus Varian Data Berkelompok

24. 24
Rumus Standar Deviasi Data Berkelompok
Contoh Soal
Dilakukan sebuah penelitian terhadap tinggi badan anak di suatu desa.
Hitung varian dan standar deviasi data tersebut.
Berdasarkan contoh di atas kita sudah mengetahui interval dan frekuensi
tiap kelas interval (fi). Maka langkah selanjutnya adalah membuat tabel lagi untuk
mengetahui banyaknya data, titik tengah, fixi dan fixi^2. Berikut adalah tabelnya.

25. 25
Dari tabel di atas, dapat kita hitung:
Setelah itu kita bisa mengetahui varian data berkelompok dengan rumus yang
sudah ditulis di atas.
Sudah kita peroleh bahwa varian contoh di atas adalah 60,83. Sedangkan untuk
menghitung standar deviasi kita perlu mengakarkuadratkan angka varian.
s = √60,83 = 7,8
Jadi standar deviasi dari data berkelompok di atas adalah 7,8.

26. 26
BAB 4
HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan
dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota
himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota
himpunan atau bukan.
Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning,
dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5,
dan 7.
Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.
Jenis-Jenis Himpunan
1. Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari
himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 }dan B = { 2,4} maka B ⊂ A

27. 27
Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi
tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur
himpunan A juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu
harus saling berkaitan.
2. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang
sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan
dengan huruf yunani ø (phi).
3. Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum)
yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata
lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
4. Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu
pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :

28. 28
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan
yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B
pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang
sama.
Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D
saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua
himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama
6. Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan
komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U.
Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan
himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan
sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4

29. 29
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan
tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun
beranggotakan 4.
1. Cara Penulisan Himpunan
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam
sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya
dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2. menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga
cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau
sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan
sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}

30. 30
Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x < Asli}Î6,
4. Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli
matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta
digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam
segiempat tersebut.
Operasi Pada Himpunan
1. Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap
anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Dinotasikan A B
Notasi : A B = {x | x Є A atau x Є B}
2. Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.
Notasi : A B = {x | x Є A dan x Є B}
3. Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan
yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan Ac
Notasi : Ac = {x | x Є S dan x Є A} atau
4. Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan
anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B
adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan x Є B}
5. Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )

31. 31
Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan
yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota
B. Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}
1. Hukum Aljabar Himpunan
Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan.
cukup banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya
dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada
sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
3. Hukum komplemen:
A = U
A =
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
5. Hukum involusi:
= A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
10. Hukum De Morgan:
=
=
11. Hukum 0/1
= U
= Æ

32. 32
Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan
analogi hukum –hukum logika , dengan operator menggantikan L (dan) ,
sedangkan operator menggantikan V ( atau ).
1. Prinsip inklusi dan eksklusi
Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B.
penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-
elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan
B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara
A dan B adalah |A | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali
pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah
elemen di dalam |A | . karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya
adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di
dalam irisannya, atau |A| + B | -|A |
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan
teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:
a)Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling
lepas (disjoint) , maka |A| + B |
b)Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga
maka berhingga dan|A| + B | -|A |
c)Dengan cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil
operasi beda setangkup |A| + B | -2 |A |.
Contoh :
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5
Penyelelsaian :
Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5
A himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan
bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).
Ø Yang ditanyakan adalah
Terlebih dahulu kita harus menghitung
|A| = [100/3] = 33 | B | = [100/5]= 20 |A | = [100/15] = 6

33. 33
Untuk mendapatkan |A| + B | – |A | = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .
Prinsip inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah
himpunan. untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema
berikut:Teorema 2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga
maka berhingga danSedangkan untuk empat buah himpunan
maka|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| –
|B ∩C| – |B ∩ D| – |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| +
|B ∩ C∩ D |– |A ∩ B ∩ C ∩ D|
Contoh :
Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879
orang mengambil kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa
jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23
orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil
kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling
sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa
banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan :
I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.
P =himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.
J = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.
Maka , |I | = 1232 |P | = 879 |J| = 114 | I P | = 103
| I J | = 23 | P J | = 14 dan |I ∪ P ∪ J| = 2092
Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan
|I ∪ P ∪ J| = |I | + |P | + |J| – | I P | – | I J | – | P J | + |I P J|
2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 -14 + |I P J|
Sehingga |I P J| = 7
Jadi ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris ,
perancis dan jerman

34. 34
DAFTAR PUSTAKA
https://suryana900.wordpress.com/2017/03/22/pengertian-himpunan/
http://www.konsultanstatistik.com/2009/04/no-comment.html
https://id.scribd.com/doc/225995276/Soal-Dan-Pembahasan-Menentukan-
Mean-Pada-Data-Tunggal-Atau-Kelompok

35. 35