Rangkuman singkat dokumen tersebut adalah: Pertama, dokumen tersebut membahas tentang permasalahan Brachistochrone yaitu masalah untuk mencari lintasan terpendek antara dua titik dengan waktu minimum. Kedua, dokumen tersebut menjelaskan cara membuat rangkaian sederhana untuk penerapan permasalahan Brachistochrone. Ketiga, dokumen tersebut membandingkan lintasan garis lurus, sikloid dan lingkaran untuk mengetahui lint

1. PEMBUATAN ALAT PRAKTIKUM
BRACHISTOCRONE
Oleh :
ARDIKA AGUNG PRIHANTORO
Distributed by:
Pakgurufisika
www.pakgurufisika.blogspot.com
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
pakgurufisika.blogspot.com

2. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Berbagai permasalahan fisika yang sering ditemukan dalam kehidupan
sehari-hari tidak dapat terlepas dari penyelesaian matematis. Penting untuk
memahami konsep dan prinsip dasar dalam menyelesaikan permasalahan fisika
yang ada. Pendekatan yang dilakukan untuk menemukan solusi dari tiap
permasalahan harus dilakukan dengan cermat. Kerangka berpikir yang sistematis
diperlukan saat permasalahan tersebut melibatkan lebih dari satu konsep.
Dalam fisika, kalkulus memiliki peranan penting sebagai salah satu
kajian untuk menggambarkan dinamika dari suatu sistem. Salah satu metode
kalkulus yang menarik dan dikembangkan dalam fisika matematika adalah
kalkulus variasi. Para ilmuwan terdahulu menggunakan metode kalkulus variasi
sebagai dasar dalam penyelesaian berbagai permasalahan fisika, khususnya dalam
perkembangan ilmu fisika modern. Krisdiana (2009) menambahkan kalkulus
variasi adalah suatu metode untuk menyelidiki nilai maksimum atau minimum
dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi. Kalkulus variasi
merupakan salah satu cabang matematika klasik, yang didalamnya terdapat
masalah-masalah penting, seperti masalah geometris optik, masalah untuk studi
tubuh bergerak dalam cairan atau masalah brachistochrone yang dirumuskan oleh
Galileo.
Beberapa pertanyaan yang mendasar seperti “bagaimanakah jarak
terpendek antara dua titik pada bidang datar?”. Kemudian muncul pertanyaan
yang sama, hanya saja pada sebuah sferis/bola (bidang lengkungan), sebagai
contoh bumi. Bagaimanakah jarak terpendek antara dua titik pada permukaan
bumi, yang diukur sepanjang permukaannya? Tentu dapat dijawab bahwa jarak
yang diukur sepanjang lingkaran sebagai permukaan bumi tersebut. (Boas, 1983 :
383)
Ketika pertanyaan diajukan kembali menanyakan hal yang sama namun
tentang beberapa permukaan yang lain, sebutlah ellipsoid atau silinder pada
pakgurufisika.blogspot.com

3. 2
sebuah kerucut, maka kurva sepanjang permukaan yang menandai jarak terpendek
antara dua titik yang berdekatan disebut dengan geodesik dari permukaan. Dengan
menemukan geodesik maka satu masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan
kalkulus variasi. (Boas 1983 : 383)
Seringkali dijumpai masalah-masalah dalam Fisika bahwa suatu kuantitas
tertentu perlu diminimalisasi. Euler dan Lagrange juga menemukan cara yang
sistematis dalam menangani masalah-masalah dalam kalkulus variasi dengan
memperkenalkan apa yang sekarang dikenal sebagai persamaan Euler-Lagrange,
kemudian diperluas dalam berbagai cara.
Permasalahan yang akan dikaji dalam makalah ini merupakan salah satu
permasalahan tertua yang telah diselesaikan oleh para fisika-matematikawan
dengan menggunakan metode kalkulus variasi yaitu permasalahan
Brachistochrone. Dari permasalahan tersebut penulis tertarik untuk membuat
rangkaian alat sederhana yang merupakan penerapan dari permasalahan
Brachistochrone dan menulis Makalah Eksperimen Fisika II dengan judul
“Brachistochrone”.
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, dapat diidentifiksikan
masalah-masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana merumuskan secara matematis waktu terpendek.
2. Bagaimana persamaan parametrik Brachistochrone.
3. Bagaimana aplikasi penyelesaian permasalahan Brachistochrone dalam
bidang Fisika.
C. Pembatasan Masalah
Berdasarkan identifikasi masalah di atas, penulis memberikan batasan
masalah sebagai berikut :
1. Prinsip permasalahan Brachistochrone.
2. Pembuatan rangkaian alat sederhana untuk penerapan dari permasalahan
Brachistochrone.
pakgurufisika.blogspot.com

4. 3
D. Perumusan Masalah
Berdasarkan identifikasi dan pembatasan masalah, maka dapat dirumuskan
masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana cara membuat rangkaian alat sederhana untuk penerapan dari
Brachistochrone?
2. Diantara lintasan yang berbentuk garis lurus, sikloid dan lingkaran lintasan
mana yang memerlukan waktu tempuh yang paling cepat?
E. Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam Eksperimen Fisika II ini adalah:
1. Mengetahui mengenai permasalahan Brachistochrone.
2. Mengetahui cara membuat rangkaian sederhana Brachistochrone.
3. Mengetahui bentuk lintasan yang waktu tempuhnya paling cepat.
F. Manfaat
Dengan Eksperimen Fisika II ini diharapkan dapat memberikan manfaat:
1. Menambah pengetahuan bagi penulis pada khususnya maupun pembaca
pada umumnya mengenai permasalahan Brachistochrone.
2. Menjadi referensi untuk modifikasi rangkaian sederhana Brachistochrone.
pakgurufisika.blogspot.com

5. 4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Landasan Teori
1. Pengertian Alat Peraga
Alat peraga termasuk dalam media pembelajaran yang dapat meningkatkan
pemahaman siswa belajar dalam pembelajaran. Kata media berasal dari bahasa
latin dan merupakan bentuk jamak dari kata medium yang secara harafiah berarti
perantara atau pengantar. Association for Education and Communication
Technology (AECT) mengartikan media sebagai segala bentuk yang digunakan
untuk proses penyaluran informasi. Sedangkan National Education Association
(NEA) mengartikan media sebagai segala benda yang dapat dimanipulasikan,
dilihat, didengar, dibaca, atau dibicarakan beserta instrumen yang digunakan
untuk kegiatan tersebut. Menurut Arsyad, media adalah segala bentuk dan saluran
yang digunakan untuk menyampaikan pesan atau informasi. Sedangkan,
pengertian alat peraga adalah alat bantu yang digunakan oleh pengajar dalam
proses belajar mengajar agar proses belajar siswa lebih efektif dan efisien (Nana,
2000).
Jadi media adalah segala sesuatu yang dapat digunakan untuk menyalurkan
pesan dari pengirim ke penerima sehingga dapat merangsang pikiran, perasaan,
perhatian, dan minat serta perhatian siswa sedemikian rupa sehingga proses
belajar terjadi (Arif, 2012).
Alat peraga pembelajaran adalah alat yang digunakan oleh guru pada saat
mengajar untuk memperjelas materi pelajaran dan mencegak terjadinya
verbalisme pada siswa. Alat peraga dalam mengajar memegang peranan penting
sebagai alat bantu untuk menciptakan proses belajar mengajar yang efektif. Proses
belajar mengajar ditandai dengan adanya beberapa unsur antara lain tujuan, bahan,
dan alat. Unsur metode dan alat merupakan unsur yang tidak bisa dilepaskan dari
unsur lain yang berfungsi sebagai cara atau teknik untuk mengantarkan sebagai
pakgurufisika.blogspot.com

6. 5
bahan pelajaran agar sampai pada tujuan pembelajaran. Alat tersebut berguna agar
pelajaran yang disampaikan guru lebih mudah dipahami siswa (Dwi, 2013).
Dapat disimpulkan bahwa alat peraga merupakan alat yang digunakan oleh
guru dalam proses pembelajaran untuk memperjelas materi sehingga proses
belajar siswa lebih efektif dan efisien
2. Fungsi Alat Peraga
Pemakaian alat peraga merangsang imajinasi anak dan memberikan kesan
yang mendalam dalam mengajar, panca indra dan seluruh kesanggupan anak perlu
dirangsang, digunakan, dan dilibatkan, sehingga tidak hanya mengetahui
melainkan dapat memakai dan melakukan apa yang dipelajari. Penyediaan
perangkat alat peraga merupakan bagian dari pemenuhan kebutuhan siswa.
Pembelajaran menggunakan alat peraga berarti mengoptimalkan fungsi seluruh
panca indra siswa untuk meningkatkan efektivitas siswa belajar dengan cara
mendengar, melihat, meraba, dan menggunakan pikirannya secara logis dan
realitis. Dalam proses pembelajaran Arif menjelaskan alat peraga berfungsi
sebagai :
1) Mencegah rangkaian pembelajaran dengan ceramah secara monoton
2) Menambah pembelajaran dengan rumor untuk memperkuat minat belajara anak
3) Menghibur siswa dalam pembelajaran agar siswa tidak merasa bosan
4) Memfokuskan perhatian siswa pada materi pelajaran secara konkrit
5) Melibatkan siswa dalam proses belajara sebagai rangkaian pengalaman nyata
(2012).
Alat peraga pada pembelajaran IPA, berfungsi untuk memudahkan siswa
dalam menangkap materi ajar agar paham san jelas secara maksimal pada pokok
bahasan yang telah diajarkan.
3. Macam-Macam Alat Peraga
Alat peraga merupakan media yang dapat mengkonkritkan pemahaman
siswa. Oleh karena itu guru harus pandai-pandai dalam memilih alat peraga.
Seorang ahli bernama Arif (2012) menyatakan jika ditinjau dari wujudnya, ada
berbagai macam alat peraga diantaranya adalah :
pakgurufisika.blogspot.com

7. 6
1) Alat peraga benda asli
Alat peraga benda asli adalah semua benda asli yang digunakan sebagai alat
peraga, misalnya bola, buah, pohon, kayu, kubus, kerucut, jam dinding, dan benda
nyata lainnya yang berkaitan dengan pembelajaran.
2) Alat peraga benda tiruan
Alat peraga benda tiruan adalah semua benda bukan asli yang dapat digunakan
sebagai alat peraga pembelajaran. Misalnya gambar, bentuk-bentuk binatang,
kotak, dan sebagainnya
Memilih alat peraga pembelajaran yang sesuai bukanlah hal yang mudah.
Sifat alat peraga yang patut diperhatikan dalam pemilihan alat peraga diantaranya
adalah :
1. Tahan lama (terbuat dari bahan yang cukup kuat)
2. Bentuk dan warnanya menarik
3. Sederhana dan mudah dikelola (tidak rumit)
4. Ukuran sesuai (seimbang) dengan ukuran anak
5. Dapat mengajikan konsep IPA (tidak mempersulit pemahaman)
6. Sesuai dengan konsep pembelajaran (kesesuaian alat pengajaran yang
dipilih dengan materi pengajaran atau jenis kegiatan yang akan dilakukan)
7. Dapat memperjelas konsep
8. Alat peraga dapat bermanfaat banyak
4. Permasalahan Brachistochrone
Sejarah singkatnya, permasalahan Brachistochrone pertama kali
diselesaikan oleh Johann Bernoulli di tahun 1696 dengan metode kalkulus variasi
(Chow, 2000 : 350). Bernoulli mengembangkan metode kalkulus variasi dalam
menemukan suatu lintasan dari benda, yang jatuh tanpa gesekan dalam medan
gravitasi, sehingga meminimalkan waktu tempuh antara dua titik tetap.
Chow (2000 : 351) mengatakan bahwa Brachistochrone berasal dari
bahasa yunani, Brachistos = terpendek, chronos = waktu, seperti dalam
chronometer. Boas (1983 : 384) menambahkan permasalahan ini selengkapnya
dapat dijelaskan sebagai berikut : dalam bentuk apakah seharusnya lengkungan
suatu kawat yang menghubungkan dua titik sehingga sebuah manik-manik akan
pakgurufisika.blogspot.com

8. 7
meluncur turun dari satu titik ke titik lainnya tanpa adanya gesekan dalam waktu
terpendek (tersingkat) ?
Dalam Thesisnya yang berjudul Pertidaksamaan Konstrain Dalam
Kalkulus Variasi Dan Aplikasinya Pada Masalah Brachistochrone, Krisdiana
menambahkan masalah Brachistochrone yaitu suatu masalah untuk mencari
lintasan terpendek dari sebuah manik-manik yang meluncur pada sebuah kawat
dari suatu titik ke titik lain dengan waktu yang minimum. Metode yang digunakan
adalah metode Euler-Lagrange yaitu salah satu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi dalam kalkulus variasi.
Dari penjelasan tersebut terdapat sesuatu yang harus diperkecil terkait
dengan hal yang harus diminimalkan yaitu : waktu, dimana  dtt . Apabila ds
adalah elemen panjang busur, maka kecepatan partikel adalah v = ds/dt. Sehingga
akan diperoleh :
 dxy
v
ds
v
dt 2
'1
11
 (1)
Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut bahwa dengan menggunakan
hukum kekekalan energi akan dapat diperoleh v sebagai fungsi x dan y.
5. Persamaan Parametrik Brachistochrone
a. Prinsip Variasi
Pada dasarnya, kalkulus variasi menjelaskan suatu metode mengenai
prinsip-prinsip variasi dalam fisika yang sering digunakan dalam analisis fisika
modern. Dimulai sejak pembahasan permasalahan ekstremal tertentu
(maksimum dan minimum) yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus
dasar. (Chow : 345)
Dalam formulasi kalkulus dasar, masalah penentuan ekstremal (titik-titik
ekstrim) fungsi f(x,y), secara sederhana dapat diselesaikan dengan
dy
y
f
dx
x
f
df





 dengan mensubtitusikan 0


x
f
dan 0


y
f
, dimana titik
(x,y) yang memenuhi kondisi tersebut merupakan titik-titik kritis yang dapat
pakgurufisika.blogspot.com

9. 8
berupa titik maksimum atau titik minimum. Titik-titik kritis tersebut secara
khusus juga disebut sebagai titik stasioner.
Kalkulus variasi berkaitan dengan keadaan stationer dari suatu fungsi.
Misalkan:
 
2
1
,,
x
x
dxyyxFI  (2)
dimana
dx
dy
y  . Kuantitas F bergantung pada fungsi variabel terikat y.
Chow (2003 : 348) menambahkan permasalahan nilai ekstrim dari integral
muncul sangat sering dalam geometri dan fisika. Contoh yang sederhana
adalalah masalah menentukan kurva terpendek (atau jarak terpendek) antara
dua titik yang diberikan. Apabila bidang yang dimaksud adalah bidang datar,
maka jawabannya adalah garis lurus. Tetapi jika dua titik yang diberikan
terletak pada permukaan sembarang, maka persamaan analitik kurva ini yang
disebut geodesik ditemukan sebagai solusi dari masalah nilai ekstrem di atas.
Kurva sepanjang permukaan yang menandai jarak terpendek antara dua
titik yang berdekatan disebut dengan geodesik dari permukaan. Dengan
menemukan geodesik, maka satu masalah dapat diselesaikan dengan
menggunakan kalkulus variasi.
Dalam bukunya, Boas memberikan beberapa contoh terkait dengan
geodesik sebagai berikut : asumsikan yang akan ditentukan adalah persamaan
kurva y = y(x) yang menghubungkan dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) pada suatu
bidang sehingga jarak antara titik yang diukur sepanjang kurva (merupakan
panjang minimumnya). Untuk menentukan panjang busur, maka
    22
dydxds . Karena    dxydydx 222
'1 , sehingga dapat
disederhanakan menjadi :
  
2
1
2
'1
x
x
dxyI (3)
Persamaan (3) merupakan pengembangan dari persamaan (2) dimana
F[x,y,y’] =  2
'1 y
pakgurufisika.blogspot.com

10. 9
Banyak contoh fisika lainnya terkait rumusan matematis pada persamaan
(2). Prinsip Fermat dalam optika juga memiliki landasan penyelesaian dari
konsep di atas yang nantinya akan disinggung di bagian akhir pada makalah
ini.
b. Persamaan Euler
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa garis lurus merupakan jarak terpendek
di antara dua titik pada bidang datar.
(a) (b)
Gambar 2.1 (a) Kurva y(x) dan Y(x) di titik x1,y1 (b) fungsi sembarang η(x)
Seperti yang telah dijabarkan sebelumnya, supaya y = y (x) maka
  
2
1
2
'1
x
x
dxyI (4)
harus bernilai sekecil mungkin.
Menurut Boas (1983 : 386) permasalahan yang akan ditinjau adalah
sebagai berikut: misalkan fungsi y berharga tetap di titik x1 dan x2. Namun, di
antara kedua titik, fungsi tersebut dapat memiliki berbagai macam lintasan
yang mungkin. Yang akan ditentukan adalah lintasan mana (gambar 1) yang
mengakibatkan fungsi I memiliki harga minimum (stasioner).
Misalkan, kurva dengan garis kontinu pada gambar 1 merupakan lintasan y
yang dimaksud, sedangkan lintasan yang lain, secara prinsip, dapat dinyatakan
melalui transformasi y ke dalam bentuk berikut:
)()()( xxyxY  (5)
dimana fungsi  menggambarkan sembarang lintasan dari x dan memiliki
kondisi 0)()( 21  xx  sedangkan  merupakan parameter.
x
y
(x2,y2)
(x1,y1)
y(x)
Y(x)
x2x1
Sembarang η (x)
x
y
pakgurufisika.blogspot.com

11. 10
Dikarenakan oleh perubahan harga ),(x )(xY merupakan kurva (bernilai
tunggal dengan turunan kedua yang kontinu) yang digambar sembarang
melalui (x1,y1) dan (x2,y2). Di luar semua kemungkinan kurva Y(x), yang
diinginkan hanyalah satu kurva, dimana :
 
2
1
2
'1
x
x
dxYI (6)
bernilai minimum. I merupakan suatu fungsi dari parameter ε. Saat ε = 0 ,
maka Y = y(x), yang juga merupakan ekstremal. Permasalahan selanjutnya
adalah menjadikan I(ε) memiliki nilai minimum saat ε = 0. Dengan kata lain,
0
d
dI
(7)
Dengan menurunkan persamaan (7) di bawah tanda integral dan dengan
bergantung pada parameter ε, akan diperoleh :
 







2
1
'
'2
'1
1
2
1
2
x
x
dx
d
dY
Y
Yd
dI

(8)
Dengan menurunkan persamaan (5) terhadap x, diperoleh :
)(')(')(' xxyxY  (9)
Dari bentuk persamaan (9) akan didapatkan :
)(x
d
Yd




 (10)
Apabila persamaan (5) disubtitusikan ε = 0 , maka Y(x) = y(x).
Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (10) ke persamaan (8) dan
dI/dε sama dengan nol saat ε = 0, akan diperoleh :
 








2
1
0
1
)()(
2
0
x
x
dx
y
xxy
d
dI

 
 
(11)
Selanjutnya persamaan (11) diingintegralkan secara parsial (karena
diasumsikan bahwa η dan y kontinu pada turunan kedua). Misalkan :
dxxdv
yyu
)(
1/ 2




(12)
Maka
pakgurufisika.blogspot.com

12. 11
dx
y
y
dx
d
du










2
1 

(13)
)(xv  (14)
dan
 

















2
1
2
1
22
0 1
)()(
1
x
x
x
x
dx
y
y
dx
d
xx
y
y
d
dI





 
(15)
Hasil integral bagian pertama sama dengan nol karena η(x) = 0 di titik
akhir. Sedangkan hasil integral bagian kedua, kembali disebut η(x) sebagai
suatu fungsi sembarang. Hal ini berarti bahwa
0
1 2









 y
y
dx
d


(16)
Sebaliknya fungsi η(x) tertentu mengakibatkan integralnya tidak
menghasilkan nol. Maksudnya dxxxf
x
x
2
1
)()(  selalu bernilai nol untuk setiap
η(x) jika f(x) sama dengan nol. Berbeda halnya apabila dibandingkan dengan
pernyataan sebagai berikut. Misalkan dxxxf
x
x
2
1
)()(  bernilai positif (tidak
nol). Apabila f(x) tidak nol dan ketika η (x) sembarang, akan dipilih harga η(x)
positif saat f(x) positif dan negatif saat f(x) negatif. Kemudian f(x)η(x) akan
bernilai positif, sehingga hasil integralnya tidak nol dan bernilai positif.
Dengan mengintegralkan persamaan di atas terhadap x akan diperoleh :
2
1 y
y



= konstan (17)
Atau y’ = konstan. Maka dari itu kemiringan y(x) konstan, sehingga y(x)
adalah garis lurus seperti yang diharapkan.
Permasalahan selanjutnya adalah untuk menemukan y(x) yang akan
membuat integral menjadi stasioner

2
1
),,(
x
x
dxyyxFI  (18)
pakgurufisika.blogspot.com

13. 12
dimana F adalah fungsi yang diberikan. Metode penyelesaian yang akan
digunakan sama dengan metode yang digunakan dalam menganalisis garis
lurus sebelumnya. Misalkan kurva yang lain sama dengan persamaan (5) :
)()()( xxyxY 
Selanjutnya akan diperoleh :
 
2
1
,,)(
x
x
dxYYxFI  (19)
Yang akan ditentukan adalah (d/dε)I(ε) = 0 saat ε = 0 (seperti persamaan
(7)). Y dan Y merupakan fungsi ε. Dengan menurunkan terhadap ε dibawah
tanda integral, akan didapatkan:
 











2
1
x
x
dx
d
Yd
Y
F
d
dY
Y
F
d
dI



(20)
Dengan mensubtitusikan persamaan (5) dan (10) ke dalam persamaan (20),
akan diperoleh bahwa :
 











2
1
)()(
x
x
dxx
Y
F
x
Y
F
d
dI




(21)
Supaya dI/dε = 0 saat ε = 0; maka Y(x) = y(x). Sehingga persamaan di atas
menjadi :
0)()(
2
10



























x
x
dxx
y
F
x
y
F
d
dI

 


(22)
Kemudian tinjau integral pada bagian kedua dalam tanda kurung
persamaan di atas. Dengan memanfaatkan integral parsial akan diperoleh:
dxx
y
F
dx
d
y
F
xdxx
y
F
x
x
x
x
x
x
 












 2
1
2
1
2
1
)()()( 



(23)
Mengingat di titik-titik ujung 0)()( 21  xx  , maka integral persamaan
di atas tereduksi menjadi :
dxx
y
F
dx
d
dxx
y
F
x
x
x
x
 









 2
1
2
1
)()( 

 (24)
Sehingga akan diperoleh bentuk persamaan (22) sebagai berikut :
pakgurufisika.blogspot.com

14. 13
































2
1
)(
0
x
x
dxx
y
F
dx
d
y
F
d
dI

  
(25)
Seperti sebelumnya, karena η(x) merupakan fungsi sembarang, akan
didapatkan:
0





y
F
y
F
dx
d

(26)
Persamaan di atas dinamakan persamaan Euler yang menyatakan bahwa
keadaan stasioner fungsi I hanya dapat dicapai jika fungsi F memenuhi
persamaan tersebut. Alatas (hal.154) menambahkan penurunan persamaan di
atas dengan menggunakan simbol variasi δ adalah sebagai berikut:















2
1
2
1
x
x
x
x
dxy
y
F
y
y
F
I
FdxI




(27)
Serupa dengan persamaan integral sebelumnya, bagian kedua dari ruas
kanan persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
 
dxy
y
F
dx
d
y
F
ydxy
y
F
dxy
dx
d
y
F
dxy
y
F
dx
dx
dy
y
F
dxy
y
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















































2
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0














dxy
y
F
dx
d
dxy
y
F
x
x
x
x
 














 2
1
2
1




(28)
dimana telah digunakan syarat variasi δy=0 di titik x=x1 dan x=x2 . Dengan
demikian diperoleh kembali bentuk:
0
2
1

















  dxy
y
F
dx
d
y
F
I
x
x


(29)
pakgurufisika.blogspot.com

15. 14
dan jelas bahwa suku di dalam kurung siku integral di atas adalah persamaan
Euler (26).
Perlu menjadi catatan penting bahwa berbagai masalah dalam kalkulus
variasi, pada prinsipnya dapat dipecahkan dengan mencari fungsi I, kemudian
mencari keadaan stationernya dan dengan mensubstitusikan fungsi terkait pada
persamaan Euler untuk selanjutnya dicari lintasan yang dimaksud.
Persamaan Euler dapat dituliskan dalam bentuk berikut :
0








y
f
yf
dx
d

 (30)
Persamaan di atas juga sering kali disebut dengan bentuk kedua dari
persamaan Euler. Jika f tidak melibatkan secara eksplisit x, hal ini dapat
digabungkan untuk menghasilkan
c
y
f
yf 




 (31)
dimana c merupakan konstanta penggabungan.
Persamaan Euler dapat dikembangkan untuk beberapa kasus dimana f
merupakan fungsi beberapa variabel terikat :
 )(),(),(),(, 2211 xyxyxyxyxff  (32)
Selanjutnya dalam analogi terhadap persamaan (5), sehingga diperoleh :
)()()( xxyxy iii  , dimana i = 1,2,... n (33)
Pengembangan tersebut memberikan cara penyelesaian yang dapat
disamakan dengan hasil :
dx
y
f
dx
d
y
fI
x
x
i
ii
 




















 2
1

 
(34)
Karena masing-masing memiliki nilai yang berbeda, karena i bernilai
sembarang. Dengan mengingat kondisi yang harus dipenuhi ketika ε = 0 pada
persamaan (7), sehingga persamaan di dalam kurung menjadi :
0










ii y
f
y
f
dx
d

, i = 1,2,....,n (35)
pakgurufisika.blogspot.com

16. 15
c. Persamaan Parametrik
Dalam buku Scaum’s Outline Kalkulus Edisi Keempat, Ayres dan
Mendelson (2006 : 216) menjelaskan jika koordinat (x,y) dari titik P pada
kurva diberikan sebagai fungsi-fungsi
x=f(u),
y=g(u) (36)
dari variabel atau parameter ketiga u, persamaan x=f(u) dan y=g(u) disebut
parameterik kurva.
Purcell, dkk (2003 : 170) juga menambahkan untuk mengenali sebuah
kurva yang dinyatakan dengan persamaan-persamaan parametrik, kadangkala
harus dihilangkan parameternya, yang dapat dicapai dengan menyelesaikan
satu persamaan untuk parameternya (u) dan mensubtitusikannya ke dalam
persamaan lain. Misalkan x = cos θ dan y = 4 sin2
θ adalah persamaan
parametrik. Yang akan dicari adalah kurva dari persamaan parametrik tersebut.
Karena x = cos θ, maka cos2
θ = x2
. Sehingga akan diperoleh
cos2
θ + sin2
θ = 1 atau x2
+ y/4 = 1. (37)
Dapat juga ditulis sebagai berikut :
4x2
+ y = 4. (38)
Oleh karenanya kurvanya berbentuk parabola.
d. Penyelesaian Permasalahan Brachistochrone
Dalam penyelesaian permasalah Brachistochrone dikatakan perlu untuk
meninjau suatu partikel yang meluncur akibat pengaruh gaya gravitasi melalui
sebuah lintasan di bidang (x,y) sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2.2
P(x, y)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x
y
g
pakgurufisika.blogspot.com

17. 16
Gambar 2.2 Suatu partikel meluncur karena pengaruh gaya gravitasi dari titik P1
(x1, y1) ke titik P2 (x2, y2) melalui lintasan P
Partikel meluncur dari keadaan diam dari titik P1 ke tempat lebih rendah
yaitu titik P2. Karena yang akan ditentukan adalah bentuk lintasan yang
ditempuh partikel dalam waktu tersingkat, maka terlebih dahulu harus
menemukan persamaan parametrik Brachistochrone.
Dalam buku Mathematical Methods in The Physical Sciences, Boas (1983:
394) memisalkan partikel dengan kelereng dan kelajuan sesaat kelereng dengan
v serta jarak yang ditempuhnya adalah s(x,y). Dengan demikian v = ds/dt atau
dt = ds/v . Jika kelereng tersebut memiliki kecepatan awal sama dengan nol
yaitu saat y = y1 , maka berdasarkan hukum kekekalan energi mekanik
diketahui bahwa :
)(
2
1
0 1
2
1
2211
yymgmvmgy
EpEkEpEk


(39)
dimana saat kelajuan kelereng sama dengan v, ketinggian kelereng adalah
y2=y1-y. Sehingga diperoleh gyv 2 atau dapat ditulis bahwa :
gydtdsv 2/  (40)
Selanjutnya karena yang ingin dicari adalah lintasan dengan waktu
minimum, maka fungsi terkait yang akan dihitung minimumnya adalah waktu
(seperti yang telah disinggung sebelumnya), sehingga :
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P y
ds
ggy
ds
v
ds
dttI . (41)
Sebelum menyelesaikan persamaan di atas, akan diselesaikan terlebih
dahulu dalam bentuk 
2
1
P
P y
ds
I . Boas (1983 : 392) menjelaskan bahwa
22
dydxds  . Bentuk ds dapat dijabarkan sebagai berikut :
 dxyds 2
1  dimana dxdyy / (42)
Atau dapat juga dijabarkan
pakgurufisika.blogspot.com

18. 17
 dyx
dy
dy
dy
dx
dydxds 12
2
2
2
2
22
 
(43)
Oleh karena itu, akan didapatkan :
 

 dyxyFdy
y
x
I ),(
12


(44)
Karena 0/  xF , sehingga berdasarkan persamaan Euler akan
didapatkan :
0
12


















xy
x
dy
d
x
F
dy
d



(45)
dan diperoleh bahwa

12
xy
x


konstan (46)
Boas (1983 : 392) menyebut persamaan di atas dengan integral pertama
persamaan Euler (seperti pembahasan sebelumnya). Misalkan :
c
xy
x

 2
1 

(47)
dengan c sebuah konstanta. Dengan mengatur kembali persamaan (47) akan
diperoleh :
 
cy
cy
x
cycyx
xcycyx
c
xy
x














1
1
1
2
22
2
2





cy
cy
dydx


1
(48)
atau
pakgurufisika.blogspot.com

19. 18
2
y
c
y
ydy
dx

 (49)
Dengan mengintegralkan kedua ruas akan diperoleh (berdasarkan tabel
integral) :
  ccy
c
y
c
y
x  21arccos
2
12
(50)
Persamaan di atas merupakan persamaan kurva sepanjang kelereng
(partikel) meluncur dalam waktu minimum. Karena sumbu yang dipilih
untuk membuat kurva yaitu melalui titik awal dimana x = y = 0, supaya
memenuhi persamaan tersebut, maka 0c . Persamaan ini disebut persamaan
sikloid. Dapat disederhanakan kembali apabila dituliskan dalam persamaan
parametrik sikloid.
Boas (1983 : 394) kembali menjelaskan suatu lingkaran dengan jari-jari a
(misalkan suatu roda) pada bidang (x,y) menggelinding sepanjang sumbu x.
Misalkan garis singgung sumbu x pada titik awal diilustrasikan pada gambar
2.3. Letakkan suatu tanda pada lingkaran di titik O. Karena lingkaran
menggelinding, jejaknya membekas membentuk sikloid seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2.4.
x
O A
B
C
P
θ
y
a
Gambar 2.3 Lingkaran berjari-jari a menggelinding sepanjang sumbu x
pakgurufisika.blogspot.com

20. 19
Misalkan titik P pada gambar 2.3 terletak pada posisi saat lingkaran
bersinggungan dengan sumbu x pada A; misalkan (x,y) ada di koordinat P.
Karena lingkaran menggelinding OA = PA = aθ dengan θ dalam radian.
Selanjutnya dari gambar 2.3 diperoleh :
 

cos1cos
)sin(sin


aaaBCACABy
aaaPBOAx
(51)
Persamaan di atas merupakan persamaan parametrik dari sikloid
y
x
Gambar 2.4 Lintasan lingkaran yang menggelinding sepanjang sumbu x
Bentuk persamaan (50) dapat dituliskan ke dalam bentuk berikut jika
dimisalkan arc cos (1-2cy) = θ.
 
    
  



2
2
2
2
2
22
2
2
sin
4
1
cos1
4
1
cos1cos12
4
1
cos1
2
1
cos21
cc
y
c
y
c
y
c
y
c
y
cy




(52)
Sehingga
sin
2
1
2
2
2
c
y
c
y
 (53)
Dan persamaan (50) dengan c’ = 0 menghasilkan

cc
x
2
1
sin
2
1

Untuk itu dari persamaan (52) dan (53) diperoleh bentuk parametrik
Brachistochrone
pakgurufisika.blogspot.com

21. 20
 
 

cos1
2
1
sin
2
1


c
y
c
x
(54)
Hasil plot dari persamaan parametrik (54) atau persamaan (52) diberikan
pada tabel 2.1 dan gambar 2.4 dengan selang θ = 0 sampai 2π, apabila c = 1.
Bentuk kurva pada Gambar 2.5 tersebut dikenal sebagai kurva cycloid atau
sikloid.
Tabel 2.1 Hasil plot persamaan parametrik (54)
Θ x Y
0 0 0
0,5π 0,285 0,5
Π 1,57 1
1,5π 2,856 0,5
2π 3,14 0
1
0
1,570,285
0,5
2,86 3,14 x
y
Gambar 2.5 Kurva sikloid terbalik (1)
Dengan memplotkan kurva di atas, didapatkan bentuk lintasan yang
merupakan sikloid. Dengan demikian nilai 1/2c sama besarnya dengan a yaitu
jari-jari lingkaran atau manik-manik yang melintas.
Dalam Kalkulus Jilid 2, Purcell, Varberg dan Rigdon (2003 : 170)
menambahkan sikloid adalah suatu kurva yang dibentuk oleh sebuah titik P
pada bagian terluar dari sebuah roda tersebut berputar di sepanjang garis lurus
tanpa tergelincir.
pakgurufisika.blogspot.com

22. 21
Karena yang ingin diambil sumbu y positif menurun (gambar 2.2 dan 2.5)
maka lingkaran yang menghasilkan sikloid menggelinding di bawah sumbu x.
O
Ax1
y1
2a
B x
y
P2
P1
P3
Gambar 2.6 Lingkaran yang menggelinding di bawah sumbu x
pakgurufisika.blogspot.com

23. 22
B. Kerangka Berpikir
Beberapa pertanyaan yang mendasar seperti “bagaimanakah jarak
terpendek antara dua titik pada bidang datar?”. Kemudian muncul pertanyaan
yang sama, hanya saja pada sebuah sferis/bola (bidang lengkungan), sebagai
contoh bumi. Bagaimanakah jarak terpendek antara dua titik pada permukaan
bumi, yang diukur sepanjang permukaannya? Tentu dapat dijawab bahwa jarak
yang diukur sepanjang lingkaran sebagai permukaan bumi tersebut.
Ketika pertanyaan diajukan kembali menanyakan hal yang sama namun
tentang beberapa permukaan yang lain, sebutlah ellipsoid atau silinder pada
sebuah kerucut, maka kurva sepanjang permukaan yang menandai jarak terpendek
antara dua titik yang berdekatan disebut dengan geodesik dari permukaan. Dengan
menemukan geodesik maka satu masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan
kalkulus variasi.
Seringkali dijumpai masalah-masalah dalam Fisika bahwa suatu kuantitas
tertentu perlu diminimalisasi. Euler dan Lagrange juga menemukan cara yang
sistematis dalam menangani masalah-masalah dalam kalkulus variasi dengan
memperkenalkan apa yang sekarang dikenal sebagai persamaan Euler-Lagrange,
kemudian diperluas dalam berbagai cara.
Permasalahan yang akan dikaji kali ini merupakan salah satu permasalahan
tertua yang telah diselesaikan oleh para fisika-matematikawan dengan
menggunakan metode kalkulus variasi yaitu permasalahan Brachistochrone. Dan
dari penjelasan diatas maka akan dibuat untuk membuktikan permasalahan
brachistocrone secara fisis bukan hanya teori. Berdasarkan uraian kerangka
berpikir di atas, maka dapat dibuat suatu kerangka berpikir seperti berikut
pakgurufisika.blogspot.com

24. 23
Gambar 2.7 Skema Kerangka Berpikir
Permasalahan fisika
permasalahan Brachistochrone
Rancangan alat permasalahan Brachistochrone
Pembuatan alat percobaan permasalahan
Brachistochrone
Alat Brachistochrone
pakgurufisika.blogspot.com

25. 24
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian
1. Tempat Penelitian
Pembuatan dan penelitian dilaksanakan di Laboratorium Program
Studi Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas
Sebelas Maret Surakarta.
2. Waktu Penelitian
Pembuatan dan penelitian Brachistochrone dilaksanakan pada bulan
Agustus - September 2015.
B. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan pada Eksperimen Fisika II ini adalah
metode eksperimen. Metode penelitian ini memiliki beberapa tahapan dalam
pelaksanaannya. Tahapan awal yaitu tahap persiapan, yang meliputi kajian
pustaka serta mempersiapkan alat dan bahan yang digunakan untuk membuat
Brachistochrone. Tahap selanjutnya adalah pembuatan alat Brachistochrone,
dimana pada tahap ini dilakukan pengujian alat. Pengujian alat dilakukan dengan
mencoba alat yang telah jadi dapat berjalan atau tidak. Jika alat dapat berjalan,
maka langkah selanjutnya dapat dilakukan pembuktian terhadap teori. Akhir
tahapan dari penelitian ini yaitu analisis hasil dan pengambilan kesimpulan.
pakgurufisika.blogspot.com

26. 25
Gambar 3.1 Diagram metode penelitian
Pengujian Alat Pembuktian
Analisis hasil
Pembuatan Brachistochrone
Persiapan
Alat dan BahanKajian Pustaka
Kesimpulan
pakgurufisika.blogspot.com

27. 26
C. Alat dan Bahan
Alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Tabel 3.1
Tabel 3.1 Alat dan bahan rangkaian alat sederhana Brachistochrone
No Nama Bahan Gambar Jumlah
1. Obeng 1 buah
2. Tang 1 buah
3. Palu 1 buah
4. gargaji 3 buah
5. Mobil-mobilan 3 buah
6. Papan kayu 3 buah
7. Ampelas 3 buah
8 Plat Besi 1 buah
9 kawat 1 buah
10 paku secukupnya
pakgurufisika.blogspot.com

28. 27
D. Prosedur Pembuatan Alat
Berikut adalah gambar rancangan rangkaian Brachistochrone beserta tahap
pembuatannya:
Gambar 3.2 Rancangan alat Brachistochrone
Tahap 1 : Persiapan.
Pada tahap persiapan ini meliputi menyiapkan alat dan bahan yang
dibutuhkan dalam membuat Brachistochrone. Adapun alat dan bahan yang
dibutuhkan antara lain:
No Nama Bahan Jumlah
1. Obeng 1 buah
2. Tang 1 buah
3. Palu 1 buah
4. gargaji 3 buah
5. Mobil-mobilan 3 buah
6. Papan kayu 3 buah
7. Ampelas 3 buah
8 Plat Besi 1 buah
9 kawat 1 buah
10 paku secukupnya
pakgurufisika.blogspot.com

29. 28
Tahap 2: Pembuatan.
Setelah menyiapkan alat dan bahan yang diperlukan maka tahap
selanjutnya adalah membuat alat Brachistochrone tersebut. Langkah-langkah
dalam membuat Brachistochrone ini adalah sebagai berikut:
a. Potong plat besi dengan lebar 3cm sebagai dasar dari lintasan sebanyak
3 buah
b. Buat pola dinding lintasan pada plat besi untuk litasan a berupa garis
lurus, litasan b berupa sikloid dan lintasan c berupa seperempat
lingkaran masing-masing 2 dan tebal 1cm
c. Potong pola dinding lintasan pada plat besi dengan alat potong besi
d. Satukan dinding plat besi dengan dasar lintasan dengan cara dilas
e. Setelah lintasan terbentuk kita bentuk bagian atas dan dibagian bawah
kita belokan secara horizontal yang digunankan sebagai tempat mobil-
mobilan yang akan digunakan
f. Kita potong papan kayu dengan ukuran yang sudah ditentukan yang
akan digunakan sebagai penyangga dari lintasan-lintasan diatas
g. Setelah papan penyangga sudah jadi satukan dengan lintasan dan paku
supaya tidak bergeser-geser
h. Bentuk kawat sesuai kebutuhan yang berfungsi sebagai pembatas titik
awal mobil-mobilan.
i. Rangkailah alat yang digunakan untuk mendeteksi mobil yang paling
cepat dengan menggunakan saklar dan ic 7486 (gerbang and)
j. Kemudian satukan dengan rangkaian diatas menjadi alat seperti
gambar di bawah
pakgurufisika.blogspot.com

30. 29
Gambar 3.3 Alat Percobaan Brachistochrone
Tahap 3: Pengujian.
Setelah alat Brachistochrone sudah selesai dirangkai, maka tahap
selanjutnya adalah pengujian. Alat perlu diuji kembali apakah dapat berjalan
dengan baik sesuai dengan teori atau tidak. Tahap pengujian yaitu dilakukan
dengan membandingkan lama waktu dari ketiga bentuk lintasan yang telah dibuat.
Jika pengujian alat ini telah sesuai dengan teori, maka alat sudah jadi. Sehingga
dapat dilakukan pengambilan hasil.
pakgurufisika.blogspot.com

31. 30
E. Hasil pengujian alat
Pengambilan hasil pada Brachistochrone ini adalah dengan melakukan
langkah-langkah seperti berikut:
a. Siapkan rangkaian alat dan bahan
b. Pertama-tama kita bandingkan antara lintasan 1 dan lintasan 2
c. Letakan mobil-mobilan dilintasan 1 dan 2 sesuai tempat yang
ditentukan
d. Letakan saklar pada lintasan 1 dan lintasan 2
e. Sambungkan sumber daya dengan alat indikator yang berada didepan
lintasan
f. Tarik tuas agar mobil meluncur
g. Amati lampu LED mana yang menyala karena itu memandakan mobil
yang paling cepat. jika LED lintasan 2 yang menyala berarti lintasan 2
yang paling cepat
h. Ulangi langkah-langkah diatas untuk membandingkan lintasan 1dan
lintasan 3 dan lintasan 2 dengan lintasan 3
i. Simpulkan lintasan mana yang paling cepat
Dari langkah-langkah diatas nanti akan dapat ditarik kesimpulan lintasan manakah
yang memiliki waktu tempuh tercepat dengan cara mengamati mobil-mobilan
mana yang sampai lebih dahulu
F. Teknik Analisis Data
Dalam penelitian ini, teknik analisis data yang digunakan adalah :
1. Analisis kualitatif
pakgurufisika.blogspot.com

32. 31
BAB IV
HASIL PENELITIAN
A. Deskripsi Data
Pembuatan alat ini bertujuan untuk menunjukkan pembuktian dari
permasalahan Brachistocrone. bahwa Brachistochrone berasal dari bahasa yunani,
Brachistos = terpendek, chronos = waktu, seperti dalam chronometer.
menambahkan permasalahan ini selengkapnya dapat dijelaskan sebagai berikut :
dalam bentuk apakah seharusnya lengkungan suatu kawat yang menghubungkan
dua titik sehingga sebuah manik-manik akan meluncur turun dari satu titik ke titik
lainnya tanpa adanya gesekan dalam waktu terpendek (tersingkat)
Prinsip kerja alat dapat dikemukakan sebagai berikut. Misalnya suatu
benda meluncur dari suatu titik ke titik lainnya tanpa adanya gesekan maka
lintasan manakah yang memerlukan waktu paling singkat. Dan dalam percobaan
ini digunakan tiga lintasan yang berupa lintasan lurus, lintasan sikloid dan lintasan
berupa potongan dari sebuah lingkaran. Dalam percobaan kali ini kita
menggunakan mobil-mobilan yang kita luncurkan di ketiga lintasan diatas
kemudian kita amati mobil di lintasan manakah yang membutuhkan waktu paling
singkat
Kelemahan dari alat Brachistocrone ini adalah skala yang digunakan
kurang besar sehingga selisih waktu yang digunakan benda saat meluncur tidak
begitu besar sehingga sulit untuk diamati.
pakgurufisika.blogspot.com

33. 32
B. Analisis Data
1. Analisis Kualitatif
a. Prinsip Brachistocrone
Dalam penyelesaian permasalah Brachistochrone dikatakan perlu untuk
meninjau suatu partikel yang meluncur akibat pengaruh gaya gravitasi melalui
sebuah lintasan di bidang (x,y) sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2.2
Gambar 4.1 Suatu partikel meluncur karena pengaruh gaya gravitasi dari titik P1
(x1, y1) ke titik P2 (x2, y2) melalui lintasan P
Partikel meluncur dari keadaan diam dari titik P1 ke tempat lebih rendah
yaitu titik P2. Karena yang akan ditentukan adalah bentuk lintasan yang
ditempuh partikel dalam waktu tersingkat, maka terlebih dahulu harus
menemukan persamaan parametrik Brachistochrone.
Dalam buku Mathematical Methods in The Physical Sciences, Boas (1983:
394) memisalkan partikel dengan kelereng dan kelajuan sesaat kelereng dengan
v serta jarak yang ditempuhnya adalah s(x,y). Dengan demikian v = ds/dt atau
dt = ds/v . Jika kelereng tersebut memiliki kecepatan awal sama dengan nol
yaitu saat y = y1 , maka berdasarkan hukum kekekalan energi mekanik
diketahui bahwa :
)(
2
1
0 1
2
1
2211
yymgmvmgy
EpEkEpEk


P(x, y)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x
y
g
pakgurufisika.blogspot.com

34. 33
dimana saat kelajuan kelereng sama dengan v, ketinggian kelereng adalah
y2=y1-y. Sehingga diperoleh gyv 2 atau dapat ditulis bahwa :
gydtdsv 2/ 
Selanjutnya karena yang ingin dicari adalah lintasan dengan waktu
minimum, maka fungsi terkait yang akan dihitung minimumnya adalah waktu
(seperti yang telah disinggung sebelumnya), sehingga :
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P y
ds
ggy
ds
v
ds
dttI .
Sebelum menyelesaikan persamaan di atas, akan diselesaikan terlebih
dahulu dalam bentuk 
2
1
P
P y
ds
I . Boas (1983 : 392) menjelaskan bahwa
22
dydxds  . Bentuk ds dapat dijabarkan sebagai berikut :
 dxyds 2
1  dimana dxdyy /
Atau dapat juga dijabarkan
 dyx
dy
dy
dy
dx
dydxds 12
2
2
2
2
22
 
Oleh karena itu, akan didapatkan :
 

 dyxyFdy
y
x
I ),(
12


Karena 0/  xF , sehingga berdasarkan persamaan Euler akan
didapatkan :
0
12


















xy
x
dy
d
x
F
dy
d



pakgurufisika.blogspot.com

35. 34
dan diperoleh bahwa

12
xy
x


konstan
Boas (1983 : 392) menyebut persamaan di atas dengan integral pertama
persamaan Euler (seperti pembahasan sebelumnya). Misalkan :
c
xy
x

 2
1 

dengan c sebuah konstanta. Dengan mengatur kembali persamaan di atas akan
diperoleh :
 
cy
cy
x
cycyx
xcycyx
c
xy
x














1
1
1
2
22
2
2





cy
cy
dydx


1
atau
2
y
c
y
ydy
dx


Dengan mengintegralkan kedua ruas akan diperoleh (berdasarkan tabel
integral) :
  ccy
c
y
c
y
x  21arccos
2
12
pakgurufisika.blogspot.com

36. 35
Persamaan di atas merupakan persamaan kurva sepanjang kelereng
(partikel) meluncur dalam waktu minimum. Karena sumbu yang dipilih
untuk membuat kurva yaitu melalui titik awal dimana x = y = 0, supaya
memenuhi persamaan tersebut, maka 0c . Persamaan ini disebut persamaan
sikloid. Dapat disederhanakan kembali apabila dituliskan dalam persamaan
parametrik sikloid.
Boas (1983 : 394) kembali menjelaskan suatu lingkaran dengan jari-jari a
(misalkan suatu roda) pada bidang (x,y) menggelinding sepanjang sumbu x.
Misalkan garis singgung sumbu x pada titik awal. Letakkan suatu tanda pada
lingkaran di titik O. Karena lingkaran menggelinding, jejaknya membekas
membentuk sikloid seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.3.
x
O A
B
C
P
θ
y
a
Gambar 4.2 Lingkaran berjari-jari a menggelinding sepanjang sumbu x
Misalkan titik P pada gambar 4.2 terletak pada posisi saat lingkaran
bersinggungan dengan sumbu x pada A; misalkan (x,y) ada di koordinat P.
Karena lingkaran menggelinding OA = PA = aθ dengan θ dalam radian.
Selanjutnya dari gambar 4.2 diperoleh :
pakgurufisika.blogspot.com

37. 36
 

cos1cos
)sin(sin


aaaBCACABy
aaaPBOAx
Persamaan di atas merupakan persamaan parametrik dari sikloid
y
x
Gambar 4.3 Lintasan lingkaran yang menggelinding sepanjang sumbu x
Bentuk persamaan dapat dituliskan ke dalam bentuk berikut jika
dimisalkan arc cos (1-2cy) = θ.
 
    
  



2
2
2
2
2
22
2
2
sin
4
1
cos1
4
1
cos1cos12
4
1
cos1
2
1
cos21
cc
y
c
y
c
y
c
y
c
y
cy




Sehingga
sin
2
1
2
2
2
c
y
c
y

Dan persamaan (50) dengan c’ = 0 menghasilkan

cc
x
2
1
sin
2
1

Untuk itu dari persamaan dan diperoleh bentuk parametrik
Brachistochrone
pakgurufisika.blogspot.com

38. 37
 
 

cos1
2
1
sin
2
1


c
y
c
x
Secara garis besar dapat diperoleh kesimpulan bahwa lintasan yang
memerlukan waktu tercepat adalah lintasan yang berbentuk sikloid. Dan
hasil yang diperoleh dari alat brachistocrone ini juga menunjukan lintasan
yang membutuhkan waktu paling singkat adalah lintasan yang berbentuk
sikloid. Jadi alat ini sesuai dengan teori.
pakgurufisika.blogspot.com

39. 38
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembuatan alat percobaan koefisien muai panjang
dengan rancangan ketel uap pada Eksperimen Fisika II ini, diperoleh kesimpulan
sebagai berikut:
1. Cara pembuatan alat brachistocrone dengan (a) Potong plat besi dengan lebar
3cm sebagai dasar dari lintasan sebanyak 3 buah. (b)Buat pola dinding lintasan
pada plat besi untuk litasan a berupa garis lurus, litasan b berupa sikloid dan
lintasan c berupa seperempat lingkaran masing-masing 2 dan tebal 1cm.
(c)Potong pola dinding lintasan pada plat besi dengan alat potong besi.
(d)Satukan dinding plat besi dengan dasar lintasan dengan cara dilas.
(e)Setelah lintasan terbentuk kita bentuk bagian atas dan dibagian bawah kita
belokan secara horizontal yang digunankan sebagai tempat mobil-mobilan
yang akan digunakan. (f)Kita potong papan kayu dengan ukuran yang sudah
ditentukan yang akan digunakan sebagai penyangga dari lintasan-lintasan
diatas. (g)Setelah papan penyangga sudah jadi satukan dengan lintasan dan
paku supaya tidak bergeser-geser. (h)Bentuk kawat sesuai kebutuhan yang
berfungsi sebagai pembatas titik awal mobil-mobilan. (i)Kemudian satukan
dengan rangkaian diatas
2. Prinsip kerja alat dapat dikemukakan sebagai berikut. Misalnya suatu benda
meluncur dari suatu titik ke titik lainnya tanpa adanya gesekan maka lintasan
manakah yang memerlukan waktu paling singkat. Dan dalam percobaan ini
digunakan tiga lintasan yang berupa lintasan lurus, lintasan sikloid dan lintasan
berupa potongan dari sebuah lingkaran. Dalam percobaan kali ini kita
menggunakan mobil-mobilan yang kita luncurkan di ketiga lintasan diatas
kemudian kita amati mobil di lintasan manakah yang membutuhkan waktu
paling singkat dan ternyata lintasan yang membutuhkan waktu paling singkat
adalah lintasan sikloid, sehingga hasil yang ditunjukan oleh alat ini sesuai
dengan teorinya.
pakgurufisika.blogspot.com

40. 39
B. Saran
Berdasarkan hasil pembuatan alat brachistocrone, maka peneliti
menyarankan beberapa hal untuk langkah perbaikan sebagai berikut:
1. Skala alat dibuat yang lebih besar sehingga diperoleh hasil yang lebih akurat.
2. Menggunakan lintasan yang koefisien geseknya nol.
3. Lebih teliti dalam melakukan pengamatan.
4. Dari alat ini mungkin dapat dikembangkan juga alat yang digunakan untuk
permasalahan teutocrone
pakgurufisika.blogspot.com

41. DAFTAR PUSTAKA
Alatas, Dr. Husin . Buku Pelengkap Fisika Matematika Edisi I . Bogor : FMIPA IPB
Aryes, Frank, JR., h.D. dan Mendelson, Elliot, Ph.D . 1992 . Scaum’s Outlines
Kalkulus Edisi Keempat . Jakarta : Erlangga
Boas, Mary L. 1983 . Mathematical Methods in The Physical Sciences Second
Edition . New York : John Wiley & Sons, Inc
Butkov, Eugene. 1968. Matheatical Physics. Canada : Addison-Wesley
Chow, Tai L. 2000. Mathematical Methods for Physicists : A concise introduction.
New York : Cambridge University
Krisdiana, Ika . 2007 . Pertidaksamaan Konstrain Dalam Kalkulus Variasi Dan
Aplikasinya Pada Masalah Brachistochrone . Surabaya : ITS
MathWorld, Wolfarm . Tautochrone’s Problem.
http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html diakses pada 9
Januari 2014
Purcell, dkk . 2004 . Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Jakarta : Erlangga
Tipler, Paul A. 1996 . Fisika untuk Sains dan Teknik. Jakarta : Erlangga
pakgurufisika.blogspot.com