Makalah matematika tentang peluang

1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Kebanyakan mahasiswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang
sulit. Pada dasarnya Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika
berpikir.Soal sesulit apapun akan menjadi mudah jika mahasiswa memiliki logika
berpikir yang baik.Sama halnya dengan sub bab Matematika yang berjudul
“PELUANG”.Untuk menjawab soal Peluang ini sendiri tentu setiap mahasiswa harus
memiliki kecakapan dalam menganalisis semua data yang diperoleh dengan system
logika berpikir yang baik.
Berdasarkan uraian tersebut penulis mengangkat sebuah makalah yang
berjudul: “PELUANG”.
1.2 RUMUSAN MASALAH
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini yaitu menyebutkan macam-
macam peluang serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
1.3 TUJUAN
Adapun tujuan dalam makalah ini yaitu agar dapat mengetahui macam-
macam peluang serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

2. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 PELUANG
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A
dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang
Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
Maka :
S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
A = {mmb, bmm}
n(S) = 23 = 8
n(A) = 2
P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali.
A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
Maka :
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}
n(S) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah
P(A) maka berlaku
_
P(A) + P(A) = 1

3. Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu.
Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13
A. PENGISIAN TEMPAT
Jika terdapat n buah tempat yang tersedia dengan :
 𝒑 𝟏 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
 𝒑 𝟐 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua sesudah tempat
pertama terisi.
 𝒑 𝟑 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga sesudah tempat
pertama dan kedua terisi dan seterusnya.
 𝒑 𝒏 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat
pertama,kedua,…, dan ke-n terisi.
Banyaknya cara untuk mengisi n buah tempat yang tersedia secara
keseluruhan adalah:
𝒑 𝟏 𝒙𝒑 𝟐 𝒙𝒑 𝟑 𝒙…..x𝒑 𝒏
Contoh:
Dari bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan yang terdiri
atas tiga angka dengan ketentuan dalam bilangan tersebut tidak boleh ada angka
yang sama. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk?
Jawab:
Perhatikan kotak berikut ini:
I II III
 Kotak I ditempati nilai tempat ratusan, untuk mengisinya dapat dipilih dari enam
angka.
 Kotak II ditempati nilai tempat puluhan, untuk mengisinya dapat dipilih dari
lima angka (karena satu angka sudah terpakai untuk mengisi tempat pertama).

4.  Kotak III ditempati nilai tempat satuan, untuk mengisinya dapat dipilih dari
empat angka (karena dua angka sudah terpakai untuk mengisi tempat pertama
dan kedua).
6 5 4
Banyaknya bilangan tiga angka yang dapat dibentuk adalah 6x5x4=120.
B. FAKTORIAL
Untuk setiap n bilangan asli didefinisikan :
𝒏! = 𝒏 ∙ ( 𝒏 − 𝟏) ∙ ( 𝒏 − 𝟐) ∙ … .∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
Notasi 𝑛! disebut 𝑛 faktorial.
Didefinisikan pula :
1! = 1 dan 0! = 1
Contoh:
1. 4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
2. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
C. PERMUTASI
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan
tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
 Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi dengan k unsur dari n unsur berbeda adalah :
𝒏𝑷𝒌 =
𝒏!
( 𝒏 − 𝒌)!
, 𝒌 ≤ 𝒏
Contoh:
Dari 6 orang siswa, akan dipilih seorang ketua, seorang wakil ketua, dan
seorang sekretaris.Berapakah banyaknya susunan pengurus yang dapat
dibentuk?
Jawab:
Banyaknya susunan pengurus yang terdiri atas 3 orang yang dapat dibentuk
dari 6 siswa yang ada, adalah:
𝟔
𝟑
𝑷 =
𝟔!
( 𝟔−𝟑)!
=
𝟔!
𝟑!
=
𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
= 120 Susunan

5.  Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Misalkan terdapat n unsur sebagai berikut:
Banyaknya permutasi yang memuat a dan b unsur yang sama adalah :
𝑷 =
𝒏!
𝒂! 𝒃!
Contoh :
Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “
PALAPA”!
Jawab:
Huruf P = 2, A = 3
Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “PALAPA”:
P =
6!
2!3!
=
6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1
(2 ∙1)(3∙2 ∙1)
= 60 susunan
.Permutasi siklis
Permutasi dari n unsur yang disusun melingkar adalah:
P = (n – 1 )!
Contoh:
Diketahui ada 5 orang yang duduk mengelilingi suatu meja bundar.Berapa
macam susunan yang dapat terjadi ?
Jawab:
Banyaknya susunan yang dapat terjadi adalah :
P = ( 5 – 1)!= 4!= 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 susunan
Contoh:
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja
makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat
duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan
urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6
unsur yaitu :

6. D. KOMBINASI
Kombinasi adalah susunan yang tidak memperhatikan urutan. Banyaknya
kombinasi k unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia adalah:
𝒏𝑪 𝒌 =
𝒏!
( 𝒏−𝒌)!𝒌!
, k ≤ 𝒏
Contoh :
Dari 10 orang siswa akan dipilih 3 orang siswa untuk menjadi petugas pengibar
bendera.Berapa banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera
tersebut?
Jawab:
Banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera tersebut adalah:
𝐶 =3
10 𝟏𝟎!
( 𝟏𝟎−𝟑)!𝟑!
=
𝟏𝟎!
𝟕!𝟑!
= 𝟏𝟐𝟎
Jadi,banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera tersebut adalah
120 cara.
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
E. PELUANG
Misalkan dalam suatu percobaan yang menyebabkan munculnya n buah
hasil, kejadian A dapat muncul sebanyak k kali. Peluang kejadian A didefinisikan
sebagai : P (A) =
𝒌
𝒏

7. Himpunan semua hasil dari suatu percobaan disebut ruang sampel.
Kisaran nilai peluang kejadian A adalah 0 ≤ 𝑃( 𝐴 ) ≤ 1. Jika P (A) = 0 berarti
kejadian A mustahil terjadi , sebaliknya jika P(A) = 1 berarti kejadian A pasti
terjadi. Frekuensi harapan terjadinya A dalam m kali percobaan adalah :
F = P(A) ∙ 𝒎
Contoh:
Diketahui suatu dadu dilempar sebanyak 20 kali. Tentukan peluang dan harapan
muncul mata dadu ganjil dalam percobaan tersebut !
Jawab:
Ruang sampel dari perlemparan dadu tersebut adalah {1,2,3,4,5,6} → 𝑛 = 6
A: kejadian muncul mata dadu ganjil adalah {1,3,5} → 𝑘 = 3
P(A) =
𝑘
𝑛
=
3
6
=
1
2
F = P(A) ∙ 𝑚 =
1
2
∙ 20 = 10
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang
masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah
kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
 Peluang komplemen suatu kejadian
Misalkan A adalah suatu kejadian, maka kejadian “ tidak terjadinya
kejadian A “ dinamakan komplemen kejadian A (𝐴 𝐶
).
P(𝑨 𝑪
) = 1 – P(A)
Contoh:
Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah. Tentukan peluang
tidak munculnya kartu As dalam penarikan tersebut.

8. Jawab:
Misal A adalah kejadian terambilnya kartu As dalam penarikan tersebut,
maka; P(A) =
4
52
=
1
13
Peluang tidak munculnya kartu As dalam penarikan tersebut adalah
P(𝐴 𝐶
) = 1 − 𝑃( 𝐴) = 1 −
1
13
=
12
13
 Peluang Kejadian Majemuk
Misalkan A dan B adalah dua buah kejadian dalam ruang sampel 5,
peluang kejadian A ∪ B dapat ditentukan dengan :
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Keterangan :
 P(A∪ 𝐵) : peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B
 P (A) : peluang terjadinya kejadian A
 P(B) : peluang terjadinya kejadian B
 P(A ∩ B): peluang terjadinya kejadian A sekaligus kejadian B
Contoh :
Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah
kartu.Tentukan peluang terambilnya kartu Queen atau kartu berwarna merah!
Jawab:
Dalam percobaan ini, kejadian yang mungkin terjadi adalah :
 Kejadian terambilnya satu kartu Queen, namakan sebagai kejadian A,
maka:P(A) =
4
52
 Kejadian terambil satu kartu berwarna merah, namakan sebagai kejadian
B, maka:P(B) =
26
52
 Kejadian terambilnya satu kartu Queen warna merah, namakan sebagai
kejadian A ∩ B, maka P( A ∩ B ) =
2
52
Peluang terambilnya kartu Queen atau kartu berwarna merah adalah:
P( A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B )
=
4
52
+
26
52
−
2
52

9. =
28
52
=
7
13
 Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Lepas
Kejadian A dan kejadian B dalam suatu percobaan dikatakan saling lepas
jika masing-masing kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama.
Peluang kejadian A atau B yang saling lepas dapat ditentukan dengan
rumus:
P( A ∪ B ) = P (A) + P(B)
Contoh :
Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah kartu. Tentukan
peluang terambilnya kartu hati atau kartu berwarna hitam!
Jawab:
Perhatikan bahwa pada percobaan ini tidak mungkin muncul kartu hati
berwarna hitam.
Dengan demikian kejadian terambilnya satu kartu hati dan kejadian
terambilnya satu kartu berwarna hitam dikatakan saling lepas.
Misal:
 A: kejadian terambilnya satu kartu hati,maka P (A) =
13
52
 B: kejadian terambilnya satu kartu berwarna hitam, maka P(B) =
26
52
 Peluang terambilnya satu kartu hati atau kartu berwarna hitam adalah :
P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) =
13
52
+
26
52
=
39
52
=
3
4
 Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Bebas
Kejadian A dan kejadian B dalam suatu percobaan dikatakan saling bebas
jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya.
Peluang kejadian A atau B yang saling bebas dapat ditentukan dengan
rumus:
P(A ∩ B) = P (A) ∙ P(B)
Contoh:
Dua keping uang logam dilemparkan bersamaan sebanyak satu kali. Tentukan
peluang munculnya sisi gambar pada mata uang pertama dan munculnya sisi
mata uang yang sama untuk kedua mata uang tersebut!
Jawab:
Misal:
A: Kejadian munculnya sisi gambar pada mata uang pertama .

10. B: Kejadian munculnya sisi mata uang yang sama untuk kedua mata uang
tersebut.
Perhatikan bahwa tiap uang logam terdiri atas sisi gambar ( G) dan sisi angka
(A).
Ruang sampel : {( 𝐺, 𝐺), ( 𝐺, 𝐴), ( 𝐴, 𝐺),(𝐴, 𝐴)} → 𝑛 = 4
Kejadian A : {( 𝐺, 𝐺),(𝐺, 𝐴)} → 𝑃( 𝐴) =
2
4
=
1
2
Kejadiaan B : {( 𝐺, 𝐺),(𝐴, 𝐴)} → 𝑃( 𝐵) =
2
4
=
1
2
Kejadiaan A ∩ 𝐵 ∶ {( 𝐺, 𝐺)} → 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) =
1
4
 Peluang Kejadian Bersyarat
Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah:
P( 𝑨| 𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩𝑩 )
𝑷(𝑩)
, P (B) ≠ 𝟎
Peluang munculnya kejadiaan B dengan syarat kejadiaan A telah muncul
adalah:
𝑷( 𝑩| 𝑨) =
𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩 )
𝑷 (𝑨)
, 𝑷( 𝑨) ≠ 𝟎
Contoh:
Sebuah dadu enam sisi dilemparkan satu kali.Tentukan peluang munculnya
bilangan ganjil jika diketahui telah muncul bilangan prima.!
Jawab:
Misal:
A : Kejadiaan munculnya bilangan ganjil, maka A = {1,3,5} → P(A) =
3
6
B : Kejadiaan muncul bilangan prima, maka B = {2,3,5} → P(B) =
3
6
A∩ 𝐵 ∶ Kejadiaan munculnya bilangan prima ganjil, maka
A∩ 𝐵 = {3,5} → 𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) =
2
6
Peluang munculnya bilangan ganjil jika diketahui telah muncul bilangan
prima adalah:
P( 𝐴| 𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩𝐵 )
𝑃(𝐵)
=
2
6⁄
3
6⁄
=
2
3
 Peluang Pengambilan Tanpa Pengembalian
Contoh:
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak
tersebut diambil satu buah bolapertama dan satu bola kedua secara berturut-
turut tanpa pengembalian.
Tentukan peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih.

11. Jawab:
Misal:
A: kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama
B: kejadian terambilannya sebuah bola putih pada pengsmbilan kedua
Peluang terambilnya bola pertama merah adalah P(A) =
4
7
Peluang terambilnya bola kedua putih jika diketahui bola pertama merah
adalah P(( 𝐵| 𝐴) =
3
6
=
1
2
Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua
putih adalah :
P (A∩ 𝐵) = P(A) ∙ P( 𝐵| 𝐴)
=
4
7
∙
1
2
=
2
7
 Peluang pengambilan dengan pengembalian
Contoh:
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak
tersebut diambil satu buah bola pertama kemudian dikembalikan lagi kedalam
kotak. Lalu diambil lagi sebuah bola kedua. Tentukan peluang terambilnya
bola pertama merah dan bola kedua putih.
Jawab:
Misal:
A: kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama, maka
P (A) =
4
7
B: kejadian terambilnya sebuah bola putih pada pengembalian kedua, maka
P(B) =
3
7
Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua
putih adalah:
P(A∩ 𝐵) = P(A) ∙ P( 𝐵| 𝐴) =
4
7
∙
3
7
=
12
49

12. BAB III
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
Adapun kesimpulan dalam makalah peluang ini adalah suatu peluang
terdiri dari 5 macam yaitu pengisian tempat, factorial, permutasi, kombinasi,dan
peluang.
3.2 SARAN
Adapun saran yang dapat diajukan yaitu agar makalah ini dapat menjadi
rujukan untuk pembaca budiman sekalian, yang kelak akan membuat makalah
selanjutnya.

13. DAFTAR PUSTAKA
 Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskret. Jakarta: Penerbit PT.
Gramedia Pustaka Utama
 Ngurah,I Gusti,2002.Statistika.Raja Grafindo Persada: Jakarta
 Sembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama Putra
 Spiegel, M. R. 1991. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika
Dasar. Jakarta: Penerbit Erlangga
 Wijaya, Rony. 2012. Peluang. Jakarta: Erlangga

14. MATEMATIKA
“PELUANG”
Disusun oleh:
Nama : Yustika Oktaviani
Kelas : XI. IPA.3
Guru Pembimbing : Masrah Gusriani, S.Pd
SMA NEGERI 4 PAGARALAM
TAHUN AJARAN 2014/2015

15. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................i
DAFTAR ISI ..........................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..................................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah .............................................................................................1
1.3 Tujuan.................................................................................................................1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Peluang ..............................................................................................................2
A. Pengisian tempat ............................................................................................2
B. Faktor .............................................................................................................3
C. Permutasi .........................................................................................................
D. Kombinasi ........................................................................................................
E. Peluang ............................................................................................................
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan ..........................................................................................................
3.2 Saran ....................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA