tentang statistik maxwel boltzman

1. Andi, M.Sc.

2.  Isi Bab Ini
Bab ini berisi contoh aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann pada sejumlah
assembli sederhana yang mengandung partikel klasik dan beberapa
perbandingan ramalan menggunakan statistik ini dengan data pengamatan.
 Tujuan Bab Ini
Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami beberapa aplikasi statistik
Maxwell-Boltzmann pada sejumlah assembli klasik dan perbandingan hasil
ramalan tersebut dengan data pengamatan.
 Apa Yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu
Untuk memahami aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann mahasiswa perlu
memahami prinsip dasar statistik Maxwell-Boltzmann, kerapatan keadaan klasik
dan beberapa teknik integral.

3.  Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi maupun gelombang elektromagnetik.
 Salah satu pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang mendekati pengamat
maka frekuensi yang diukur lebih besar daripada apabila sumber diam terhadap
pengamat. Atau dengan kata lain panjang gelombang yang dikur oleh pengamat
lebih kecil daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Berlaku juga untuk
sebaliknya.

4.  Khusus untuk gelombang elektromagnetik, panjang gelombang yang dikur oleh
pengamat yang diam yang dihasilkan oleh sumber bergerak dengan kecepatan vx
terhadap pengamat adalah
 Dalam astronomi, efek Dopler digunakan untuk mengukur kecepatan bintang-
bintang
0 1 x
v
c
 
 
 
 
 
0
dengan panjang gelombang yang diukur pengamat
panjang gelombang jika sumber gelombang diam terhadap pengamat
kecepatan cahaya
0 jika sumber mendekati pengama
x
c
v





 t
0 jika sumber menjauhi pengamat
x
v 
 
1

5.  Perhatikan sebuah atom yang memiliki dua
tingkat energi seperti ditunjukan gambar
disamping!
 Atom tersebut memancarkan spektrum
gelombang elektromagnetik dengan panjang
gelombang tertentu, sebut saja λ0, akibat
transisi elektron antar tingkat energi atom
tersebut.
 Jika atom dalam keadaan diam maka panjang
gelombang yang kita ukur adalah λ0, persis
sama dengan panjang gelombang yang
dipancarkan atom.

6.  Jika atom tersebut bergerak dengan
kecepatan vx maka panjang gelombang
yang diukur oleh pengamat sesuai dengan
yang ditunjukan oleh persamaan (1):
0 1 x
v
c
 
 
 
 
 
0 1 x
v
c
 
 
 
 
 
Sumber mendekati
pengamat
Sumber menjauhi
pengamat

7.  Jika ada sejumlah atom yang diam maka gelombang yang diukur pengamat
merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh semua atom. Panjang
gelombang yang diterima dari semua atom sama, yaitu λ0. Yang dideteksi oleh
pengamat hanyalah gelombang dengan panjang λ0 tetapi memiliki intensitas
tinggi.
 Akan tetapi jika atom yang memancarkan gelombang bergerak secara acak maka
komponen kecepatan ke arah pengamat, yaitu vx juga acak. Akibatnya panjang
gelombang yang diukur pengamat yang berasal dari satu atom berbeda dengan
yang diukur dari atom lainnya.
 Pengamat akan mengukur gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi
dalam jangkauan tertentu. Ini berakibat pada pelebaran garis spektrum yang
diamati.

8.  Selanjutnya kita akan menentukan distribusi intensitas spektrum pada berbagai
panjang gelombang.
 Kecepatan atom gas pemancar spektrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell-
Boltzmann karena merupakan partikel klasik. Peluang keberadaan sebuah atom
pada rentang komponen kecepatan antara vx sampai dengan vx+dvx adalah:
 Untuk mendapatkan fungsi distribusi intensitas maka kita harus mentrasformasi
variable kecepatan ke dalam variable panjang gelombang λ dengan menggunakan
persamaan Doppler (1).
 
2
/2
2
x
mv kT
x x x
m
n v dv e dv
kT



0 1 x
v
c
 
 
 
 
  0
1
x
v c


 
 
 
  0
x
dv c
d 
 
0
x
c
dv d

 

9.  Apabila transformasi dilakukan, maka:
 Sehingga:
   
x x
n v dv I d
 

 
dimana : menyatakan intensitas panjang gelombang yang memiliki panjang
gelombang antara samapai
I d
d
 
  

 
2
/2
2
x
mv kT
x
m
I d e dv
kT
 




10.  Selanjutnya:
 Dalam bentuk sederhana dapat dituliskan:
 
 
2
0
0
2
2
0 0
1
exp
2 2
exp 1
2 2
m c
m c
I d d
kT kT
m c mc
I d d
kT kT


  
 

  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
   
 
   
 
   
2
2
0
0
exp 1
2
mc
I d I d
kT

   

 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
0 0
0
intensitas ketika .
tidak bergantung pada panjang gelombang tapi bergantung pada besaran lain seperti
suhu gas dan massa atom gas
I
I
  

 

 
2

11. Dari gambar di atas tampak bahwa intensitas terdeteksi disekitar λ0 dengan λ0
merupakan lokasi puncak intensitas. Jika suhu diperbesar maka spektrum akan makin
lebar dan intensitasnya makin lemah. Hal ini disebabkan karena gerakan atom yang
makin acak

12.  Selanjutnya kita akan bahas suatu assembli yang
mengandung kumpulan atom yang memiliki momen
magnet. Di dalam assembli tersebut kita berikan
medan magnetic B.
 Untuk mempermudah, kita asumsikan sifat-sifat
berikut:
1) Tidak ada interaksi antar atom. Interaksi hanya
terjadi antara atom dengan medan magnet luar
yang diberikan. Pada kenyataanya ada interaksi
antara momen magnetic.
2) Momen magnetik atom hanya bisa mengambil salah
satu dari dua arah orientasi, yaitu searah medan
magnet atau berlawanan arah medan magnet.

13.  Kita akan menentukan berapa momen magnetik total yang dihasilkan oleh
kumpulan atom-atom tersebut.
 Mula-mula kita hitung energi yang dimiliki masing-masing atom akibat interaksi
momen magnetik dengan medan magnet luar.
 Karena di awal kita sudah membatasi arah orientasi momen magnetic, yaitu
searah medan magnet luar atau berlawanan medan magnet luar, maka:
cos
U B B
  
   
dimana : momen magnetik
medan magnet luar
sudut antara momen magnetik dan medan magnetik
B





cos0
U B B
 

   
cos
U B B
  

  
Momen magnetic searah medan magnet luar
Momen magnetic berlawanan medan magnet luar
 
3

14.  Probabilitas menemukan atom dengan arah momen searah medan magnet luar
sebanding dengan
 Probabilitas menemukan atom dengan arah momen berlawanan medan magnet
luar sebanding dengan
 Sehingga:
 Karena jumlah probabilitas sama dengan 1, maka faktor normalisasi dapat
dituliskan:
 
n U
 
n U
 
 
P Kn U
P Kn U
 
 


K adalah faktor penormalisasi
   
   
1
P P K n U n U
K n U n U
   
 
 
  
 
 
 
 
   
1
K
n U n U
 


 
4
 
5

15.  Dengan mensubstitusi persamaan (5) ke persamaan (4) didapat:
 Selanjutnya, karena atom merupakan partikel klasik yang memenuhi distribusi
Maxwell-Boltzman, maka probabilitas masing-masing arah orientasi memenuhi:
 
   
 
   
n U
P
n U n U
n U
P
n U n U


 


 




 
6
 
 
exp exp
exp exp
U B
n U
kT kT
U B
n U
kT kT






   
  
   
 
 
   
   
   
 
 
 
7

16.  Dengan mensubstitusi persamaan (7) ke persamaan (6) kita peroleh:
 Momen magnetic yang searah medan memberikan kontribusi momen magnetic
+μ, dan yang berlawanan dengan arah medan memberi kontribusi momen
magnetik −μ.Selanjutnya momen magnetic rata-rata dapat dihitung dengan
persamaan sederhana:
exp
exp exp
exp
exp exp
B
kT
P
B B
kT kT
B
kT
P
B B
kT kT

 

 


 
 
 

   
 
   
   
 

 
 

   
 
   
   
P P
  
 
  
 
8
 
9

17.  Dengan mensubstitusi persamaan (8) ke persamaan (9) kita dapatkan:
exp exp
exp exp exp exp
exp exp
exp exp
B B
kT kT
B B B B
kT kT kT kT
B B
kT kT
B B
kT kT
 
  
   
 
 
 
   

   
   
 
       
   
       
       
 
   
 
 
   
 
   
  
   
 
 
   
 
   
 
:tanh
x x
x x
e e
ingat x
e e





tanh
B
kT

 
 
  
 
 
10

18.  Dari persamaan (10) dapat disimpulkan:
Artinya bahwa pada suhu tersebut momen magnetik rata-rata mengambil arah yang
sama. Ini terjadi karena pada suhu yang mendekati nol, getaran termal atom-atom
menjadi sangat kecil. Interaksi dengan medan magnet luar dapat memaksa atom-
atom mengambil arah orientasi yang sama.
Ini akibat getaran atom-atom yang sangat intensif sehingga medan magnet luar yang
diberikan tidak sanggup mengarahkan momen-momen magnet. Energi termal
electron jauh melampaui energi interkasi dengan medan magnet. . Arah momen
magnet atom-atom menjadi acak. Akibatnya, jumlah momen magnet yang searah
medan menjadi sama dengan yang berlawanan arah medan.
 Tampak juga untuk suhu yang sama, momen magnetic rata-rata makin besar jika
medan makin besar. Ini disebabkan penggunan medan yang besar akan memberikan
paksaan yang lebih besar kepada atom-atom untuk menyearahkan momen
magnetiknya.
Jika 0 maka
T  
 
Jika maka 0
T 
  

19.  Setelah kita membahas momen magnetic rata-rata dimana hanya ada 2 orientasi
yang diizinkan, selanjutnya jika kasusnya sedikit kita perluas dimana arah
orientasi yang diizinkan menjadi 3 arah orientasi (searah medan magnet, tegak
lurus medan magnet dan berlawanan medan magnet), bagaimana momen
magnetic rata-ratanya?
 Dari persamaan energi interaksi antara momen magnetik dengan magnet luar
yang ditunjukan oleh persamaan (3) kita dapatkan:
cos0
U B B
 

   
cos
U B B
  

  
Momen magnetic searah medan magnet luar
Momen magnetic berlawanan medan magnet luar
cos 0
2
U B


    Momen magnetic tegak lurus medan magnet luar

20.  Probabilitas untuk mendapatkan momen magnetic pada berbagai arah tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut:
 Dengan faktor normalisasi
 
 
 
P Kn U
P Kn U
P Kn U
 
 
 



     
1
K
n U n U n U

 

 
 
     
 
     
 
     
n U
P
n U n U n U
n U
P
n U n U n U
n U
P
n U n U n U



 



 



 

 

 

 

21.  Dengan cara yang sama ketika membahas dengan 2 arah orientasi kita dapatkan:
 
 
 
exp exp
0
exp exp 1
exp exp
U B
n U
kT kT
U
n U
kT kT
U B
n U
kT kT








   
  
   
 
 
   
   
   
 
 
   
   
   
 
 
exp
exp 1 exp
1
exp 1 exp
exp
exp 1 exp
B
kT
P
B B
kT kT
P
B B
kT kT
B
kT
P
B B
kT kT

 
 

 



 
 
 

   
  
   
   

   
  
   
   
 

 
 

   
  
   
   

22.  Momen magnetic yang searah medan memberikan kontribusi momen magnetic
+μ, yang tegak lurus memberikan kontribusi momen magnetik nol dan yang
berlawanan dengan arah medan memberi kontribusi momen magnetik −μ.
Selanjutnya momen magnetic rata-rata dapat dihitung:
0
P P P
  

 
   
exp exp
exp 1 exp exp 1 exp
exp exp
exp exp
2
exp 1 exp
1
2
B B
kT kT
B B B B
kT kT kT kT
B B
B B kT kT
kT kT
B B
kT kT
 
  
   
 
 
  
 
   

   
   
 
       
     
       
       
   
 
   
 
       
 
 
   
 
   
 
 
   
 
  
   
 
   
 
exp exp
2
B B
kT kT
 
 
 
 
 
 
   
 
 
   
 
   

 
 

23. :sinh
2
cosh
2
x x
x x
e e
ingat x
e e
x






exp exp
sinh
2
1
exp exp cosh
1 2
2 2
B B
B
kT kT
kT
B B B
kT kT kT
 

  
  
 
   
 
 
     
   
   
   
 
 
     
 
    
   
 
     

 
 