Credit by www.clipvidva.com

1. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
1
เรขาคณิตวิเคราะห์
และภาคตัดกรวย
ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย เปนบทที่เอาไปประยุกตใชตอในหลายๆเรื่องที่เกี่ยวกับ
รูปทรงตางๆในวิชาตางๆทั้ง ฟสิกส หรือคณิตศาสตร นองๆหลายคนมีปญหากับบทนี้นะครับวาคอนขางยาก
เนื่องจากสูตรเยอะ ประยุกตคอนขางมาก และทําขอสอบไมทัน พี่มั่นใจวาถาตั้งใจเรียนซะหนอยปญหาเหลานี้
นาจะหมดไปนะครับ
เรขาคณิตวิเคราะห
และภาคตัวกรวย
1. จุด
3. วงกลม
6. พาราโบลา
2. เสนตรง
1.1) ระยะหางระหวางจุดสองจุด
4. วงรี
5. ไฮเพอรโบลา
1.2) จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด
1.3) จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n
1.4) จุดตัดเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม
2.1) ความชัน
2.2) สมการเสนตรง
2.3) ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง
2.4) ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนาน

2. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
2
1. จุด
การเขียนชื่อจุดนิยมใชตัวอักษรใหญ เชน จุด P,จุด Q และอาจเขียนกํากับดวยคูอันดับในพิกัดฉาก ใน
รูป P(x,y) เชน Q(2,-4) ใชแทนจุดที่ชื่อ Q และ มีพิกัดเปน (2,-4)
1.1 ระยะหางระหวางจุดสองจุด
สัญลักษณที่ใชแทนระยะทางระหวางจุด P กับ Q คือ PQ หรือ PQ
2 2
2 1 2 1PQ (x x ) (y y )= − + −
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
1.2 จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด
1 2 1 2x x y y
R( , )
2 2
+ +
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
1.3 จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n
1 2 1 2mx nx my ny
R( , )
m n m n
+ +
+ +
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
P(x1,y1)
n
m

3. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
3
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,-2) และ Q(-5,4)
ก.ระยะ PQ เทากับเทาใด
ข.ใหหาจุดกึ่งกลางของ PQ
ค.ใหหาพิกัดจุด R ที่ทําให PR : RQ 2 :3=
1.4 จุดตัดของเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

4. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
4
ตัวอยาง กําหนดสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยูที่ A(2,8), B(6,12), C(-2,-4) ถาจุด P และ Q อยูบน
ดาน AB และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราสวน AP : PB 1:3= และ BQ : BC 3 :4= ใหหาคาของ PQ
ตัวอยาง ขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด
ก.จุด A(10,5), B(3,2), C(6,-5) เปนจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ข.จุด D(1,2), E(-3,10), F(4,-4) อยูบนเสนตรงเดียวกัน
ค.จุด A(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) อยูบนเสนตรงเดียวกัน

5. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
5
ตัวอยาง ใหหาจุด P บนแกน X ซึ่งอยูหางจากจุด P1 (1,-2) และP2 (3,5) เปนระยะเทากัน
ตัวอยาง ถา (m,n) เปนจุดตัดของเสนมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งซึ่งมีจุดยอดอยูที่ (4,5), (-4,7)
และ (4,1) แลว คา m-n เทากับเทาใด
2. เส้นตรง
2.1 ความชัน (slope; m) ของเสนตรง
ความชันของเสนตรง คือ อัตราสวนระหวางคา y ที่เปลี่ยนแปลงไป ตอคา x ที่เปลี่ยนแปลงไป ใช
สัญลักษณ m โดยคา m อาจะเปนบวก หรือลบ หรือเปนศูนยก็ได
- ถา m>0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงขึ้นทางขวา
- ถา m<0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงลงทางขวา
- ถา m=0 แสดงวา เปนเสนนอนขนานแกน x
- และสําหรับเสนตั้งขนานกับแกน y นั้น m หาคาไมได (เปนอนันต)

6. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
6
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
2.2 สมการของเสนตรง
รูปทั่วไปที่1 ของสมการเสนตรงคือ Ax+By+C = 0 ( โดยที่ A,B,C เปนจํานวนจริงใดๆ )
รูปทั่วไปที่2 ของสมการเสนตรงในรูป y=mx+c โดย m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
จากสมการทั่วไปที่1 และ 2 เราสามารถสรุปไดวา
สมการรูปทั่วไปที่1ของเสนตรง สามารถจัดใหอยูในลักษณะ
A C
y x
B B
=− − จึงทําใหทราบวา คา
ความชัน m =
A
B
− และระยะตัดแกนy c=
C
B
− เสมอ
ขอควรรู

7. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
7
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9)
ก .ความชันของเสนตรงที่ผานจุด P และ Q เทากับเทาใด
ข.ใหหาสมการเสนที่ตรงที่ผานจุด P และ Q
ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9) ใหหาสมการของเสนตรง L ซึ่งตั้งฉากกับ เสนตรงPQ
และผานจุดกึ่งกลางของเสนตรง PQ
2.3 ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

8. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
8
สมการระยะหางนี้มีการแทนคาจุด (x1,y1) ลงในสมการเสนตรงในรูป Ax+By+C=0 ซึ่งจะสอดคลอง
กับความรูพื้นฐานที่วา ถาแทนคาแลวไดเทากับ 0 หมายถึงจุดๆนี้อยูบนเสนตรงพอดี จากสูตรก็จะไดระยะทาง
เทากับ 0 ดวย
2.4 ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานทั้งสองเสน
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L1 : 2x+3y-24 = 0
ก.ระยะทางจากจุด S(-2,5) ไปยังเสนตรง L1 เทากับเทาใด
ข.ใหหาสมการเสนตรงที่อยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย
ขอสังเกต

9. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
9
ค.ใหหาจุดบนเสนตรง L2 : 2x+y-6 = 0 ซึ่งอยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย
ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L3 : 3x y 2 3+ = และ L4 : 3x 3y 18+ =
ก.เสนตรงที่ขนานกับ L3 จะตองมีความชันเทาใด
ข.มุมระหวาง L4 กับแกน x ที่เปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศา

10. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
10
3. วงกลม
วงกลม คือ “เซตของคูอันดับที่อยูหางจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เปนระยะเทากัน” เรียกจุดคงที่นั้นวา จุด
ศูนยกลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นวา รัศมี (Radius; r)
สมการวงกลม
สมการของวงกลม ถูกสรางขึ้นจากสมการระยะทางระหวางจุดสองจุด โดยอาศัยหลักการวา ระยะทาง
จากจุด (x,y) ใดๆที่อยูบนวงกลม ไปยังจุดศูนยกลาง จะตองมีคาคงที่เทากับความยาวรัศมีเสมอ
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงกลมที่มีสมการเปน 2 2
x y 2x 4y 10 0+ + − − =

11. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
11
ตัวอยาง ใหสมการวงกลมที่มีจุดศุนยกลางอยูที่ (1,-2) และผานจุด (2,1) และตอบในรูป
Ax2
+By2
+Dx+Ey+F=0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสมการทั่วไปของวงกลมที่มีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.มีจุดศูนยกลางอยูที่ (3,4) และผานจุด (1,1)
ข.ผานจุด (1,-5) และผานจุดตัดทั้งสองของวงกลม 2 2
x y 2x 2y 8 0+ − + − =กับ
2 2
x y 3x 3y 8 0+ + − − =
ขอสังเกต

12. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
12
ค.เสนผานศูนยกลางเสนหนึ่ง เชื่อมระหวางจุด (1,1) กับ (2,2)
3.1 เสนสัมผัสวงกลม
เสนสัมผัสวงกลม คือ เสนตรงที่ลากผานจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเทานั้น โดยเรียกจุดๆ นี้วาจุด
สัมผัส มีสมบัติทางเรขาคณิตอยางหนึ่งของรูปวงกลมที่กลาววา เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมี ณ จุด
สัมผัสนั้นเสมอ
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ตัวอยาง ใหหาความยาวของเสนสัมผัสที่ลากจากจุด (0,1) ไปยังจุดสัมผัสบนวงกลม
3x2
+3y2
+11x+15y = -9

13. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
13
ตัวอยาง ใหหาสมการของเสนตรง ที่สัมผัสวงกลม 2 2
x y 8+ =ที่จุด (2,2)
ตัวอยาง ใหหาคา k ที่ทําให 2 2
x y 6x 8y k 0+ − + + =เปนวงกลม
ตัวอยาง เสนตรงเสนหนึ่งมีความชันเทากับ 4 3− และผานจุดศูนยกลางวงกลม
2 2
x y 4x 2y 1 0+ − + + =ถาเสนตรงเสนนี้ตัดกับวงกลมนี้ที่จุด A กับ B และกําหนดจุด D(-1,-2) แลว
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD เทากับเทาใด

14. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
14
4. วงรี
วงรี คือ “เซตของคูอันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุดคงที่สอง
จุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1, F2) และนอกจากนี้ระยะทางรวมซึ่งเปนคาคงที่นั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน
เอก (2a) พอดี
แกนเอก (Major Axis) คือเสนแสดงความยาวของวงรี ( 1 2V V ) ยาว 2a หนวย และ แกนโท (Minor
Axis) คือเสนแสดงความกวางของวงรี ( 1 2B B ) ยาว 2b หนวย โดยที่ a > b เสมอ
คา a และ b เทียบไดกับรัศมีวงกลม, แกนเอกและแกนโท เทียบไดกับเสนผานศูนยกลางของวงกลม
ตางกันตรงที่แนวนอนและแนวตั้งของวงรีจะยาวไมเทากัน
สมการวงรี
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

15. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
15
เมื่อพิจารณารูปวงรีทีละดาน จะมีลักษณะโคงคลายรูปถวย ซึ่งแตละรูปนั้นจะมีจุดโฟกัสอยูภายในโคง
ดวย และระยะโฟกัส c สามารถหาไดจากคา a กับ b โดยมีความสัมพันธกันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีดาน
a ยาวที่สุด นั่นคือ 2 2
c a b= −
ตัวอยาง ใหสมการวงรีที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (2,1) มีจุดโฟกัสอยูที่ (2,4) และจุดยอดอยูที่ (2,-4) และ
ตอบในรูป 2 2
Ax By Dx Ey F 0+ + + + =โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 2
7x 16y 28x 96y 60 0+ + − + =
และตั้งฉากกับเสนตรง 3x+4y = 5
ขอควรรู

16. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
16
ตัวอยาง ใหหาสมการรูปทั่วไปของวงรี ที่มีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.จุดศูนยกลางอยูที่ (3,-1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว6 หนวย
ข.จุดยอดอยูที่ (-4,2) และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย
ค.จุดศูนยกลางอยูที่ (-2,1) มีจุดโฟกัสที่ (-2,4) และผานจุด (-6,1)
ตัวอยาง ใหหาสมการเสนตรงที่ผานจุดศูนยกลางของวงรี 2 2
4x 9y 48x 72y 144 0+ − + + =

17. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
17
ตัวอยาง ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานที่ทํามุม 45° กับแกน x และผานจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี
2 2
x 3y 4x 2 0+ − − =
ANET50 ถา k, l และ m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี 2 2
kx ly 72x 24y m 0+ − − + =มีจุด
ศูนยกลางอยูที่จุด (4,3) และสัมผัสแกน y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด
ก.ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย
ข.ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย
ค.ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย
ง.จุด (2,6) อยูบนวงรี
ANET 49 วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง อยูที่จุดศูนยกลางของวงรีที่มีสมการเปน
2 2
9x 4y 36x 24y 36 0+ − − + =ถาวงกลมวงนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1,3) และ (5,0) แลวรัศมีของ
วงกลมวงนี้เทากับเทาใด

18. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
18
5. ไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอรโบลา คือ “เซตของคูอันดับที่ ผลตางของระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุด
คงที่สองจุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1,F2) และผลตางระยะทางซึ่งเปนคาคงที่นั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน
ตามขวาง (2a) พอดี
แกนตามขวาง ( Transversal Axis) 1 2V V ยาว 2a หนวย และ แกนสังยุค (Conjugate Axis) 1 2B B
ยาว 2b หนวย (โดย a กับ b ยาวเทาใดก็ได) ใชประกอบกันในการสราง เสนกํากับ (Asymptote) 2 เสน เพื่อ
บังคับความกวางของไฮเพอรโบลา
สมการไฮเพอรโบลา
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

19. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
19
ไฮเพอรโบลามุมฉากเอียง
ไฮเพอรโบลาที่มีคา a=b (กรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัส)นั้น รูปวงรีในกรอบจะกลายเปนวงกลม และเสนกํากับ
2 เสนตั้งฉากกันพอดี เรียกไฮเพอรโบลาแบบนี้วาเปน ไฮเพอรโบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)
ขอสังเกต

20. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
20
ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางที่ (2,1) มีจุดโฟกัสที่ (2,-4) และจุดยอดที่ (2,4)
และตอบในรูป 2 2
Ax By Dx Ey F 0+ + + + =โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน 2 2
x 5y 10y 25 0− + − =
ตัวอยาง ใหหาสมการทั่วไปของไฮเพอรโบลา ที่มีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้
ก.จุดศูนยกลางอยูที่ (-3,1) มีจุดยอดที่ (2,1) และแกนสังยุคยาว 6 หนวย

21. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
21
ข.จุดโฟกัสอยูที่ (-1,-6) และ (-1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย
ตัวอยาง ถาภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเปน 2 2
9x 16y 18x 64y 199 0− − − − =แลวผมรวม
ของระยะทางจาดจุกโฟกัสทั้งสองไปถึงเสนตรง 3x+4y = 8 เปนเทาใด
ตัวอยาง กําหนดไฮเพอรโบลา 2 2
9(x 1) 4(y 2) 36− − − =ใหหาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ
ระยะทางจากจุดใดๆบนวงรี ไปยังจุดที่ไฮเพอรโบลาตัดแกน x ทั้งสองจุด เปน 8 หนวย
ตัวอยาง กําหนด E แทนวงรี 2 2
6x 5y 12x 20y 4 0+ + − − =ใหหาสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุด
ศูนยกลางรวมกับ E มีจุดยอดอยูที่เดียวกับจุดโฟกัสของ E และมีความยาวแกนสังยุคเทากับความยาวแกนโท
ของ E พอดี

22. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
22
PAT1 ก.ค.53 กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดาน
หนึ่งของไฮเพอรโบลา 2 2
9x 16y 90x 64y 17 0− − + + =แลววงกลมดังกลาวมีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้
ANET 50 ถาเสนกํากับของไฮเพอรโบลา 2 2
16x 9y 32x 36y 164 0− + + − =ตัดแกน x ที่จุด A
และ B แลว ระยะระหวาง A, B ยาวกี่หนวย
PAT1มี.ค. 53 กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมี สมการเปน 2 2
25x 21y 100x 42y 404 0+ + − − =แลว
ไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด ( 3,1 8)− + มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้
ก. 2 2
5y 4x 10 8y 32x 25 0− − − − =
ข. 2 2
3y 2x 6 8y 8x 15 0− − − + =
ค. 2 2
y 4x 2y 16x 19 0− − − − =
ง. 2 2
y 7x 2y 28x 28 0− − − − =

23. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
23
6. พาราโบลา
พาราโบลา คือ “เซตของคูอันดับที่มีระยะหางจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เทากับระยะไปยังเสนตรงคงที่เสน
หนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นวา จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเสนตรงคงที่เสนนั้นวา ไดเรกตริกซ (Directrix; เสน
บังคับ)
รูปก ราฟที่ไดจะมีลักษณะเปนเสนโคงคลายถวย สองดานสมมาตรกัน โดยเสนสมมาตรจะผานจุดโฟกัส
และตั้งฉากกับเสนไดเรกตริกซ เรียกเสนนี้วา แกน (Axis) ของพาราโบลา และจุกวกกลับของพาราโบลาจะ
เรียกวา จุดยอด (Vertex) อยูกึ่งกลางระหวางจุดโฟกัสกับเสนไดเรกตริกซพอดี (ตามนิยามที่ไดกลาวขางตน)
สมการพาราโบลา
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

24. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
24
ตัวอยาง ใหหาสมการรูปทั่วไปของพาราโบลา ที่มีลักษณะดังนี้
ก.จุดยอดอยูที่ (-2,3) และจุดโฟกัสอยูที่ (5,3)
ข.จุดยอดอยูที่ 0 และผานจุด (-4,-6) โดยมีแกน x เปนแกนสมมาตร
ค.จุดโฟกัสอยูที่ (2,2) และมีสมการไดเรกตริกซเปน x+2=0
ขอสังเกต

25. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
25
ง.ผานจุด (1,3), (9,1) และ (51,-2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x
ตัวอยาง คอรดที่เกิดจากเสนตรง 2x-y=8 ตัดกับพาราโบลา y2
=8x มีความยาวเทาใด
ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปพาราโบลาที่มีสมการเปน 2
x 2x 2y 3 0− − − =
ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (1,-2) และผานจุด (2,1) โดยมีแกนสมมาตรแนวตั้ง
และตอบในรูป 2 2
Ax By Dx Ey F 0+ + + + =โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม

26. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
26
ตัวอยาง ใหหาสมการพาราโบลาที่ผานจุดของเสนตรง x=y กับวงกลม x2
+y2
+6x=0 โดยมีแกน x เปน
แกนสมมาตร
ตัวอยาง จุดบนโคง 2
4y (x 1)= − ซึ่งอยูหางจากจุดโฟกัส 13 หนวย จะอยูหางจากแกน x เทาใด
PAT1มี.ค. 54 ใหเสนตรง x-y+2=0 ตัดกับวงกลม 2 2
x y 6x 4y 4 0+ + − + =ที่จุด A และ จุด B ถา
(a,b) เปนจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีเสนตรง y=2 เปนแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี่ผานจุด A และจุด
B แลว a+b เทากับเทาใด

27. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
27
ANET 51 ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 2 2
4x y 24x 6y 11 0− − + + =สมการของ
พาราโบลาที่มี เสนตรงAB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน x คือสมการในขอใดตอไปนี้
ก. 2
(x 3) 4(y 2)− = − ข. 2
(x 3) 8(y 1)− = −
ค. 2
(x 2) 4(y 2)− = − ง. 2
(x 2) 8(y 1)− = −
ENTมี.ค. 48 กําหนดใหพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเปน 2
y 16x 4y 12 0− − − =ถา L เปนเสนตรงที่
ผานโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และตั้งฉากกับเสนตรง 3x-2y+5 = 0 แลว ระยะตัดแกน y ของเสนตรง L มีคา
เทากับเทาใด
ENTต.ค. 46 ให H เปนไฮเพอรโบลา 2 2
4x 12y 16x 72y 44 0− + + + + =ซึ่งมีจุดโฟกัสคือ F1 และ
F2 ให E เปนวงรีซึ่งมีจุดศูนยกลางรวมกับ H โดยมี F1 และ F2 เปนจุดยอด และสัมผัสแกน y ถา E ตัดแกน x
ที่จุด A และ B แลว AB ยาวเทากับเทาใด

28. คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com
28
เอกสารอางอิง
คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554.
สมัย เหลาวานิชย, รศ., “ตะลุยคลังขอสอบเขามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร สาระการเรียนรูพื้นฐานและ
เพิ่มเติม”, สํานักพิมพไฮเอ็ด พับบลิชชิ่ง.
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/
http://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณิตวิเคราะห