Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Chu kỳ của Chip-firing game song song trên đồ thị, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Mai Thu Huyền
CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2019

2. BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Mai Thu Huyền
CHU KỲ CỦA CHIP-FIRING GAME SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Hoàng Thạch
Hà Nội - 2019

3. i
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài: "Chu kỳ của chip-firing game
song song trên đồ thị" được trình bày lại từ hai bài báo [3] và [4]. Các ví dụ và
số liệu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong các công trình
khác. Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về
đề tài của mình.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019
Mai Thu Huyền

4. Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Nguyễn Hoàng Thạch, thầy đã hướng
dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học
tập và làm luận văn. Thầy đã truyền cảm hứng và giúp tôi hoàn thiện bản thân
rất nhiều sau quá trình làm việc cùng thầy.
Tôi xin gửi lòng cảm ơn tới tất cả thầy cô của Viện Toán Học đã truyền đạt
các kiến thức chuyên sâu và ý nghĩa của việc học Toán trong hai năm học. Tôi
xin cảm ơn tới tất cả thầy cô và các anh chị của Học viện Khoa học và Công
nghệ đã giúp đỡ và quan tâm tôi rất nhiều trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới bố mẹ, những người thân trong gia đình
và bạn bè đã luôn ủng hộ, khích lệ và động viên tinh thần trong suốt quá trình
học tập để hoàn thành tốt luận văn thạc sĩ của mình.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019
Mai Thu Huyền

5. Danh mục kí hiệu
CFG Mô hình chip-firing game
Cn Chu trình n đỉnh
Kn Đồ thị đầy đủ n đỉnh
Wn Đồ thị bánh xe n đỉnh
C(t) Cấu hình chip tại thời điểm t
Cv(t) Cấu hình chip của đỉnh v tại thời điểm t
L Ma trận Laplace
fvi
(t) Vết của đỉnh vi tại thời điểm t trong chu kỳ T
Si
k Tập lớn nhất của các kí tự 1
Di
k Tập lớn nhất của các kí tự 0

6. Danh sách hình vẽ
1.1 Một ví dụ về đồ thị đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một ví dụ về đa đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Một ví dụ về đồ thị có khuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Một ví dụ về đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Một ví dụ về đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b) . 6
1.6 Một ví dụ về chu trình: (a) C3, (b)C4, (c) C5 . . . . . . . . . . 8
1.7 Một ví dụ về đồ thi đầy đủ: (a) K4, (b) K5 . . . . . . . . . . . 8
1.8 Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2,3, (b) K3,3 . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Đồ thị bánh xe: (a) W3, (b) W4, (c) W5 . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Đồ thi liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Đồ thị không liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.12 Cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Cấu hình ban đầu của chip trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Bắn chip trên chu trình C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Bắn chip trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Đồ thị cho ma trận Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Cấu hình chip ban đầu trên chu trình C6 . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Cấu hình ban đầu của chip trên đường đi . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Cấu hình ban đầu của chip trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Cấu hình ban đầu của chip trên chu trình . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Cây có chu kỳ T = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Chu trình có chu kỳ T = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7. Danh sách bảng
2.1 Bắn chip trên chu trình C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Bắn chip song song trên đường đi . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 CFG song song trên chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 CFG song song trên chu trình 5 đỉnh . . . . . . . . . . . . . . 31

8. 1
Mục lục
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ ĐỒ THỊ 3
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ VÀ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG . . . . . 8
1.4 CÂY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 CHIP-FIRING GAME TRÊN ĐỒ THỊ 12
2.1 MÔ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ 21
3.1 MÔ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ . . . . . . . . 21
3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY . . . . . . . . . . . . . . 24
A Mã nguồn CFG 33
B Mã nguồn CFG song song 35

9. 2
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, mô hình Chip-firing game (CFG) đã thu hút rất
nhiều nhà nghiên cứu, nhiều công trình đã được công bố. CFG đã trở thành
một phần quan trọng trong cấu trúc tổ hợp (structural combinatoric). Năm
1986, CFG được mở đầu bởi bài báo của J. Spencer khi viết về "balancing
game". Năm 1991, A. Bjorner, L. Lovasz, và P. W. Shor đã xây dựng mô hình
CFG cho đồ thị đơn, vô hướng và liên thông, được trình bày trong [3]. Họ đã
chỉ ra tính hữu hạn của CFG, mối liên hệ giữa CFG và ma trận Laplace. Năm
1992, J. Bitar và E. Goles đã xây dựng mô hình CFG song song và chu kỳ của
cây,được trình bày trong [4].
Trong khuôn khổ của luận văn chỉ trình bày các kết quả trên đồ thị hữu
hạn, liên thông, đơn và vô hướng.
Luận văn bao gồm ba chương.
Chương 1 trình bày một số định nghĩa và kết quả được sử dụng trong
chương 2 và chương 3. Đó là một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị.
Chương 2 trình bày mô hình CFG, tính hữu hạn của CFG, mối liên hệ giữa
CFG và ma trận Laplace.
Chương 3 trình bày mô hình CFG song song và chu kỳ của chip trên một
dạng đồ thị là cây.
Phụ lục A trình bày mã nguồn tìm cấu hình kết thúc của CFG, phụ lục B
trình bày mã nguồn tìm cấu hình tại một thời điểm của CFG song song trên
đồ thị. Mã nguồn được trình bày bằng ngôn ngữ Python 3 với thư viện được
xây dựng cho đồ thị networkx.

10. 3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
VỀ ĐỒ THỊ
Phần này trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị được tham khảo từ
[1], [2]. Đó là các kiến thức cơ sở trong phần tiếp theo của luận văn.
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong phần này trình bày một số khái niệm cơ sở về đồ thị hữu hạn.
Định nghĩa 1.1. Một đồ thị (vô hướng) G = (V, E) được xác định bởi:
• một tập hợp V khác rỗng gồm các đỉnh,
• một tập hợp E gồm các cạnh, mỗi cạnh có hai đầu là hai đỉnh.
Định nghĩa 1.2. Nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có không quá một cạnh thì G được
gọi là một đồ thị đơn. Khi đó E có thể được đồng nhất với một tập hợp các
cặp đỉnh không sắp thứ tự. Một cách tương đương, E có thể được đồng nhất
với một ánh xạ từ V × V vào {0, 1} sao cho với mọi vi, vj ∈ V :
E(vi, vj) = E(vj, vi) =
1 nếu có một cạnh nối vi và vj ,
0 nếu không.

11. 4
Hình 1.1: Một ví dụ về đồ thị đơn
Ví dụ 1.3. Trong Hình 1.1, G = (V, E) là đồ thị đơn có:
• Tập hợp đỉnh V = {a, b, c, d}.
• Tập hợp cạnh E = {ab, ac, ad, bc, cd}.
Định nghĩa 1.4. Nếu giữa hai đỉnh có thể có nhiều hơn một cạnh thì G được
gọi là một đa đồ thị. Khi đó E có thể được đồng nhất với một ánh xạ từ V ×V
vào N sao cho với mọi vi, vj ∈ V :
E(vi, vj) = E(vj, vi) = số cạnh nối vi và vj .
Hình 1.2: Một ví dụ về đa đồ thị
Ví dụ 1.5. Trong Hình 1.2, G = (V, E) là đa đồ thị: E(a, b) = E(b, a) =
2; E(a, d) = E(d, a) = 2.

12. 5
Hình 1.3: Một ví dụ về đồ thị có khuyên
Định nghĩa 1.6. Một cạnh của đồ thị có hai đầu trùng nhau được gọi là một
khuyên.
Ví dụ 1.7. Cho đồ thị G = (V, E) như Hình 1.3, đỉnh a là đỉnh có khuyên.
Định nghĩa 1.8. Một đồ thị có hướng G = (V, E) được xác định bởi:
• một tập hợp V khác rỗng gồm các đỉnh,
• một tập hợp E gồm các cạnh có hướng (hay cung), mỗi cạnh đi từ một
đỉnh đầu tới một đỉnh cuối.
Hình 1.4: Một ví dụ về đồ thị có hướng
Định nghĩa 1.9. Nếu với hai đỉnh vi, vj bất kỳ, có nhiều nhất một cạnh đi từ
vi tới vj thì G được gọi là một đồ thị đơn có hướng. Khi đó E có thể được coi
là một tập hợp các cặp có tính thứ tự của các đỉnh. Một cách tương đương, E

13. 6
có thể được đồng nhất với một ánh xạ từ V × V vào {0, 1} sao cho với mọi
vi, vj ∈ V :
E(vi, vj) =
1 nếu có một cạnh từ vi tới vj ,
0 nếu không.
Hình 1.5: Một ví dụ về đồ thị đơn có hướng (a), đa đồ thị có hướng (b)
Định nghĩa 1.10. Nếu từ một đỉnh tới một đỉnh khác có thể có nhiều hơn một
cạnh thì G được gọi là một đa đồ thị có hướng. Khi đó E có thể được đồng
nhất với một ánh xạ từ V × V vào N sao cho với mọi vi, vj ∈ V :
E(vi, vj) = số cạnh từ vi tới vj .
Định nghĩa 1.11. Xét một đồ thị đơn vô hướng G = (V, E). Nếu hai đỉnh
vi, vj được nối bởi một cạnh e thì ta nói vi, vj là hai đỉnh kề nhau và cạnh e kề
với các đỉnh vi, vj.
Lân cận N(v) của một đỉnh v là tập hợp tất cả các đỉnh kề với nó. Lân cận
của một tập hợp các đỉnh W ⊂ V là N(W) =
v∈W
N(v).
Bậc của một đỉnh v, ký hiệu là deg(v) là số cạnh kề với nó.
Ví dụ 1.12. Cho đồ thị G = (V, E) là một đồ thị đơn vô hướng với V =
{a, b, c, d}; E = {ab, ac, ad, bc, cd} như Hình 1.1, lân cận của đỉnh a :
N(a) = {b, c, d} và bậc của đỉnh a : deg(a) = 3. Lân cận của đỉnh b là:
N(b) = {a, c} và bậc của đỉnh b: deg(b) = 2

14. 7
Định lý 1.13 (Bổ đề bắt tay). Cho (đa) đồ thị vô hướng G = (V, E). Nếu G
không có khuyên thì:
v∈V
deg(v) = 2|E| . (1.1)
Nếu G có khuyên thì:
v∈V
deg(v) = 2|E| − . (1.2)
Định nghĩa 1.14. Xét một đa đồ thị có hướng G = (V, E). Nếu có một cạnh
a đi từ đỉnh vi tới đỉnh vj thì ta nói vj là một đỉnh kế tiếp của vi, vi là một đỉnh
liền trước của vj, a là một cạnh đi ra của vi và là một cạnh đi vào của vj.
Lân cận N(v) của một đỉnh v là tập hợp tất cả các đỉnh kế tiếp của nó.
Lân cận của một tập hợp các đỉnh W ⊂ V là N(W) =
v∈W
N(v).
Bậc đi ra của một đỉnh v, ký hiệu là d+
(v), là số cạnh đi ra từ v. Bậc đi
vào của một đỉnh v, ký hiệu là d−
(v), là số cạnh đi vào v.
Ví dụ 1.15. Trong Hình 1.5(a), lân cận của đỉnh a : N(a) = {b, c, d}, bậc đi
ra d+
(a) = 2 và bậc đi vào d−
(a) = 1.
Định lý 1.16. Cho đa đồ thị có hướng và có thể có khuyên G = (V, E). Ta có:
v∈V
d+
(v) =
v∈V
d−
(v) = |E| . (1.3)
1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ VÀ VÍ DỤ
Định nghĩa 1.17. Chu trình (Cn) là đồ thị đơn có n đỉnh và tất cả các đỉnh
đều có bậc là 2.
Trong Hình 1.6 là các chu trình C3, C4, C5.
Định nghĩa 1.18. Đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị đơn, liên thông, vô hướng gồm
n đỉnh sao cho hai đỉnh bất kỳ đều được nối với nhau và ∀v ∈ V : deg(v) =
n − 1.

15. 8
Hình 1.6: Một ví dụ về chu trình: (a) C3, (b)C4, (c) C5
Hình 1.7: Một ví dụ về đồ thi đầy đủ: (a) K4, (b) K5
Ví dụ 1.19. Trong Hình 1.7, đồ thị K4 các đỉnh đều có bậc là 3, và đồ thị K5
các đỉnh đều có bậc là 4.
Định nghĩa 1.20. Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị hai phía đầy đủ nếu
∃V1 ⊂ V sao cho tất cả các cạnh của G chỉ nối một đỉnh thuộc V1, |V1| = m
với một đỉnh thuộc V2 = V V1, |V2| = n.
Trong Hình 1.8, minh họa cho đồ thị hai phía đầy đủ K2,3 và K3,3
Định nghĩa 1.21 (Wn). Đồ thị G = (V, E) có n đỉnh {v1, ..., vn} được gọi là
đồ thị bánh xe nếu ∀i ≤ n − 1 : deg(vi) = 3, deg(vn) = n − 1.
Ví dụ 1.22. Trong Hình 1.9, đồ thi W3 có các đỉnh đều có bậc 3. Đồ thị W4,
các đỉnh a, b, c, d có bậc 3 và đỉnh e có bậc là 4. Đồ thị W5, các đỉnh a, b, c, d, e
có bậc 3 và đỉnh f có bậc 5.
1.3 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN
THÔNG
Định nghĩa 1.23. Xét một (đa) đồ thị vô hướng G = (V, E).

16. 9
Hình 1.8: Đồ thị hai phía đầy đủ: (a) K2,3, (b) K3,3
Hình 1.9: Đồ thị bánh xe: (a) W3, (b) W4, (c) W5
Một đường đi độ dài từ đỉnh u tới đỉnh v là một dãy cạnh e1, e2, . . . , e
sao cho tồn tại các đỉnh u = x0, x1, . . . , x −1, x = v sao cho ei kề với xi−1 và
xi với mọi i = 1, 2, . . . , − 1. Ta nói u là điểm đầu, v là điểm cuối của đường
đi.
Một chu trình là một đường đi có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Một đường đi đơn (tương tự, chu trình đơn) là một đường đi (chu trình)
không đi qua cạnh nào quá một lần.
Ví dụ 1.24. Trong Hình 1.10 có:
a) Một đường đi độ dài 7: v1v3v5v7v6v5v4v2.
b) Một chu trình: v1v2v4v6v5v3v1.
c) Một đường đi đơn: v1v2v4v6v5.
Định nghĩa 1.25. Đồ thị G là liên thông nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có một
đường đi.

17. 10
Hình 1.10: Đồ thi liên thông
Ví dụ 1.26. Đồ thị G trong Hình 1.11 là đồ thị không liên thông do đỉnh v6
không được nối với đỉnh nào.
Hình 1.11: Đồ thị không liên thông
1.4 CÂY
Định nghĩa 1.27. Một cây là một đồ thị vô hướng liên thông và không có chu
trình.
Từ định nghĩa trên, có thể suy ra một cây là một đồ thị không có khuyên
và không có cạnh bội.
Chúng ta thường xét các cây có gốc, tức là một cây trong đó chúng ta chọn
ra một đỉnh gốc và quy ước rằng tất cả các cạnh “hướng ra khỏi gốc”. Với mỗi
cạnh, đỉnh gần gốc hơn được gọi là đỉnh cha (hoặc mẹ), đỉnh xa gốc hơn được
gọi là đỉnh con. Các đỉnh cùng cha (mẹ) được gọi là các đỉnh anh (chị) em.

18. 11
Đỉnh u là một tổ tiên của đỉnh v, đỉnh v là một hậu duệ của u nếu u nằm trên
đường đi từ gốc tới v. Một đỉnh không có con được gọi là một lá. Một đỉnh
không phải là lá được gọi là một đỉnh trong. Tầng của một đỉnh là khoảng
cách từ đỉnh đó tới gốc. Tầng lớn nhất của một đỉnh được gọi là chiều cao của
cây.
Hình 1.12: Cây
Ví dụ 1.28. Trong Hình 1.12, đỉnh v1 là đỉnh gốc, đỉnh v4 là đỉnh cha của
v5, v6, v7, các đỉnh v5, v7, v8, v10, v12, v13, v14 là đỉnh lá.
Kết quả sau cho ta một số tính chất quan trọng, và cũng có thể được coi là
các định nghĩa tương đương của cây.
Định lý 1.29. Xét một đồ thị G vô hướng và không có khuyên. Gọi n là số đỉnh
của G. Các khẳng định sau là tương đương:
1. G là một cây.
2. G liên thông và có n − 1 cạnh.
3. G có n − 1 cạnh và không có chu trình.
4. Giữa hai đỉnh khác nhau bất kỳ của G có đúng một đường đi.
5. G không có chu trình nhưng thêm một cạnh nối hai đỉnh không kề nhau
bất kỳ tạo ra một đồ thị có đúng một chu trình đơn.

19. 12
Chương 2
CHIP-FIRING GAME
TRÊN ĐỒ THỊ
Chương này trình bày một số khái niệm, kết quả về tính hữu hạn và tính
chất của ma trận Laplace của chip-firing game trên đồ thị đơn, liên thông và
vô hướng. Kết quả đã được trình bày lại trong [3] của A. Bjorner, L. Lovasz,
và P. W. Shor.
Chip-firing game được giới thiệu sơ lược như sau: mỗi đỉnh của đồ thị
chứa một số chip, một lần di chuyển chip bao gồm chọn một đỉnh sao cho số
chip của nó luôn lớn hơn hoặc bằng số bậc của nó và gửi một chip tới mỗi
đỉnh kề của nó. Trò chơi kết thúc nếu không có đỉnh nào di chuyển được.
Trong chương này ta sẽ chỉ ra rằng tính hữu hạn của trò chơi và cấu hình kết
thúc độc lập với cách chọn các bước di chuyển.
2.1 MÔ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ
Trong phần này định nghĩa mô hình chip-firing game và luật bắn trên đồ
thị hữu hạn bất kỳ. Bắt đầu với N chip trên đồ thị sao cho trên mỗi đỉnh có
một số chip. Mỗi bước bao gồm chọn một đỉnh v sao cho số chip lớn hơn hoặc
bằng số bậc của nó và di chuyển một chip từ v tới mỗi đỉnh kề của nó. Ta gọi
bước này là bắn đỉnh v. Trò chơi kết thúc khi mỗi đỉnh đều có số chip ít hơn
số bậc của nó. Các khái niệm được định nghĩa cụ thể dưới đây.
Định nghĩa 2.1. Một mô hình "chip-firing game" (CFG) là một hệ động lực
rời rạc, được cho bởi:

20. 13
• Một đồ thị G = (V, E) đơn, liên thông và vô hướng có n đỉnh.
• Một cấu hình ban đầu C(0) = (Cv1
(0), ..., Cvn
(0)) ∈ N|V |
, trong đó
Cvi
(0) là số chip ban đầu tại đỉnh vi.
Định nghĩa 2.2. Một trạng thái hay một cấu hình của CFG là một phân phối
chip trên các đỉnh của đồ thị tại thời điểm t. Một cấu hình của hệ tại thời điểm
t ≥ 0 được định nghĩa bởi vector C(t) = (Cv1
(t), ...Cvn
(t)) ∈ N|V |
, ở đó
Cvi
(t) là số chip của đỉnh vi tại thời điểm t.
Xét đồ thị G = (V, E) là một đồ thị đơn, liên thông, vô hướng có n đỉnh
V = {v1, v2, ..., vn}. Ta đặt Cvi
chip vào đỉnh vi với vi ∈ V , cấu hình ban đầu
C ∈ Nn
và vi
Cvi
= N. Luật bắn của CFG trên đồ thị với cấu hình chip
được mô tả như sau:
• Đỉnh vi bắn được nếu Cvi
≥ deg(vi).
• Bắn đỉnh vi tức là ta giảm Cvi
bởi số bậc deg(vi) của vi, và tăng Cvj
bởi
1 cho mỗi đỉnh kề vj của vi.
• Ta có thể định nghĩa wi như sau:
(wi)j =



deg(vi), nếu i = j
−1, nếu vivj ∈ E(G)
0, ngược lại
Khi đó, bắn đỉnh vi tại thời điểm t nghĩa là trừ đi wi từ C = C(t); bước
này là hợp lệ nếu C − wi ≥ 0.
Một trò chơi hợp lệ là một dãy các cấu hình bất kỳ bắt đầu từ C sao cho mỗi
vị trí thu được từ bước hợp lệ trước đó.
Ví dụ 2.3. Cho đồ thị có cấu hình chip ban đầu như Hình 2.1, áp dụng luật
bắn ta có nhận xét: trong phần (a) các đỉnh bắn được là v1, v2, v4; trong phần
(b) các đỉnh bắn được là v1, v3.
Ví dụ 2.4. Cho đồ thị với cấu hình chip ban đầu t = 0 (Hình 2.2) là C(0) =
{3, 1, 0}. Thực hiện luật bắn chip ta thu được cấu hình tại thời điểm t = 1 là
C(1) = {1, 2, 1} và cấu hình chip tại thời điểm t = 2 là C(2) = {2, 0, 2}.

21. 14
Hình 2.1: Cấu hình ban đầu của chip trên đồ thị
Hình 2.2: Bắn chip trên chu trình C3
2.2 TÍNH HỮU HẠN CỦA CFG
Trong phần này, ta tìm hiểu các điều kiện khi nào trò chơi kết thúc sau hữu
hạn bước và khi nào trò chơi vô hạn. Giả sử G = (V, E) là đồ thị đơn, liên
thông, vô hướng với n đỉnh, m cạnh và C là cấu hình ban đầu với N chip. Ta
bắt đầu bằng bổ đề đơn giản sau đây.
Bổ đề 2.5. Nếu một CFG là vô hạn thì mọi đỉnh đều được bắn vô hạn lần.
Chứng minh. Vì đồ thị đang xét có hữu hạn đỉnh và CFG là vô hạn nên tồn
tại một đỉnh bắn được vô hạn lần. Giả sử v là đỉnh được bắn vô hạn lần. Theo
luật bắn, mỗi một lần bắn đỉnh v đều gửi một chip tới mỗi đỉnh kề của nó.
Do mỗi đỉnh kề của v không thể có nhiều hơn N chip nên mỗi đỉnh kề của v
được bắn vô hạn lần.
Lập luận như trên và do đồ thị liên thông nên mọi đỉnh đều được bắn vô hạn
lần.

22. 15
Bổ đề 2.6. Nếu một CFG kết thúc thì tồn tại một đỉnh không được bắn lần
nào.
Chứng minh. Giả sử trò chơi dừng lại sau t bước và tất cả các đỉnh đều được
bắn ít nhất một lần.
Ta xét đỉnh v với tv là bước bắn cuối cùng của v sao cho |t − tv| là lớn nhất.
Suy ra, tất cả các đỉnh kề với v đều được bắn ít nhất một lần giữa thời điểm tv
và t. Do đó, giữa thời điểm tv và t thì v nhận được ít nhất deg(v) chip.
Suy ra v bắn được tại thời điểm t, mâu thuẫn với giả thiết trò chơi dừng lại sau
t bước.
Kết quả chính của phần này chỉ ra mối liên hệ giữa tính hữu hạn của trò
chơi và cấu hình chip trên đồ thị. Ta có định lý sau đây.
Định lý 2.7. Cho G = (V, E) là đồ thị đơn, liên thông, vô hướng với n đỉnh,
m cạnh với C là cấu hình ban đầu N chip.
(i) Nếu N > 2m − n thì trò chơi là vô hạn.
(ii) Nếu m ≤ N ≤ 2m − n thì tồn tại một cấu hình ban đầu C để trò chơi
hữu hạn và một cấu hình ban đầu khác C để trò chơi vô hạn.
(iii) Nếu N < m thì trò chơi hữu hạn.
Chứng minh. (i) Theo giả thiết N > 2m − n ta có:
1 +
vi∈V
(deg(vi) − 1) = 1 + (2m − n) ≤ N
Theo nguyên lý Diriclet, tại mỗi thời điểm t, tồn tại đỉnh vi sao cho
Cvi
(t) ≥ deg(vi). Tức là mỗi thời điểm t có ít nhất một đỉnh bắn được.
Do đó, trò chơi là vô hạn.
(ii) Giả sử m ≤ N ≤ 2m − n
• Nếu N ≤ 2m − n, ta đặt số chip Cvi
tại mỗi đỉnh vi ∈ V sao cho
Cvi
≤ deg(vi) − 1. Suy ra, không có đỉnh nào bắn được. Vậy trò
chơi là hữu hạn.
• Nếu N ≥ m, ta xây dựng một cấu hình ban đầu của chip như sau:

23. 16
+ Định hướng các cạnh của G sao cho đồ thị không có chu trình.
+ Đặt d+
(vi) chip vào đỉnh vi với mỗi vi ∈ V .
+ Tồn tại vi sao cho d+
(vi) = deg(vi). Sau đó bắn đỉnh vi và
đổi chiều tất cả các cạnh kề với vi.
+ Xét định hướng mới không có chu trình và tại mỗi đỉnh vj ∈
V có d+
(vj) chip.
Nhận thấy rằng luôn tìm được một đỉnh bắn được. Vậy trò chơi là
vô hạn.
(iii) Giả sử N < m, ta có:
• Định hướng các cạnh của đồ thị G sao cho G không chứa chu
trình.
• Đặt T(t) = vi∈V max {Cvi
(t) − d+
(vi)(t), 0}, do đó T(t) ≥ 0.
• Gọi tập hợp các đỉnh không bắn được tại thời điểm t là S(t) =
{vi|Cvi
(t) < d+
(vi)(t)}.
• Xét tại thời điểm t, mỗi lần bắn vi ∈ V , đổi chiều tất cả các cạnh
kề với vi và cập nhật T(t).
+ T(t) không tăng vì mỗi lần bắn đỉnh vi ∈ V , thì T(t) =
T(t − 1) − (Cvi
(t) − d+
(vi)(t)).
+ Nếu tập S(t) thay đổi thì T(t) giảm.
• Do T(t) ≥ 0 nên T(t) không thể giảm vô hạn. Vậy trò chơi là hữu
hạn.
Ví dụ 2.8. Cho đồ thị có cấu hình ban đầu C(0) = {1, 2, 2, 1, 0} như hình
2.3. Xây dựng CFG như phần Mã nguồn CFG trong phần phụ lục A, ta thu
được đầu ra như dưới đây. Sau hai lần bắn ta tìm được cấu hình kết thúc
C(0) = {1, 3, 0, 2, 0}.
The start configure: {'v1':1,'v2':2,'v3':2,'v4':1,'v5':0}
At time t = 1
***The set of firing vertice: ['v3']
***Firing node: v3
***The configure: {'v1':1,'v2':3,'v3':0,'v4':2,'v5':0}

24. 17
Hình 2.3: Bắn chip trên đồ thị
At time t = 2
***The set of firing vertice: []
The configure terminate:
{'v1':1,'v2':3,'v3':0,'v4':2,'v5':0}.
2.3 CFG VÀ MA TRẬN LAPLACE
Trong phần trước ta đã trả lời được câu hỏi khi nào trò chơi hữu hạn và khi
nào trò chơi vô hạn. Trong phần này, ta chỉ ra mối liên hệ giữa CFG và ma trận
Laplace của đồ thị và số lần bắn nhiều nhất của mỗi đỉnh trong cùng một chu
kỳ có tính chất như thế nào. Bổ đề được trình bày lại từ bài báo Chip-firing
game on directed graphs [5].Ta định nghĩa ma trận Laplace của đồ thị dưới
đây.
Định nghĩa 2.9. Ma trận Laplace L = LG = (lij) của đồ thị G với n đỉnh
{v1, v2, . . . , vn} là một ma trận có cỡ n × n được định nghĩa như sau:
lij =



deg(vi), nếu i = j
−1, nếu vivj ∈ E(G)
0, ngược lại

25. 18
Hình 2.4: Đồ thị cho ma trận Laplace
Ví dụ 2.10. Trong Hình 2.4, ma trận Laplace của đồ thị:
L =






2 −1 0 −1 0
−1 3 −1 −1 0
0 −1 2 −1 0
−1 −1 −1 4 −1
0 0 0 −1 1






Nhận xét. Từ định nghĩa của ma trận Laplace ta có nhận xét như sau:
• L là ma trận đối xứng.
• 0 là một giá trị riêng của L tương ứng với vector riêng 1 = (1, 1, ..., 1)T
.
• L là ma trận nửa xác định dương.
• Nếu G là đồ thị liên thông thì tất cả các giá trị riêng khác không của ma
trận Laplace đều dương.
Định nghĩa 2.11. Chu kỳ T của CFG vô hạn được định nghĩa bởi:
T = min {k > 0|∃t0, ∀t ≥ t0 : C(t + k) = C(t)}
Ta quy ước chu kỳ của CFG hữu hạn là T = 1.
Từ tính chất của ma trận Laplace ta chỉ ra mối liên hệ giữa số lần bắn của
mỗi đỉnh và ma trận Laplace [5].

26. 19
Bổ đề 2.12. Cho CFG vô hạn trên đồ thị G với n đỉnh {v1, v2, . . . , vn} có chu
kỳ T. Khi đó, tổng số lần bắn của mỗi đỉnh trong chu kỳ T là như nhau.
Chứng minh. Giả sử C là cấu hình chip của đồ thị tại thời điểm bất kỳ. Cấu
hình C nhận được từ C bằng cách bắn đỉnh vi. Gọi Li là hàng thứ i của ma
trận Laplace L. Khi đó,
C = C − Li = C − eiL,
trong đó ei = (ei1, . . . , ein) với eij =
1, nếu j = i
0, nếu j = i
.
Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể tổng quát như sau:
Gọi C là cấu hình nhận được từ C bằng cách bắn mỗi đỉnh vi ∈ V là
ki (ki ∈ N) lần thì
C = C − k1 k2 . . . kn L = C − kL, với k = k1 k2 . . . kn .
Giả sử trong một chu kỳ T, mỗi đỉnh vi được bắn ki lần ta có:
C = C và C = C − kL nên kL = 0.
Đặt D = max{deg(i)} + 1 và xét L = DIn − L thấy rằng
• L là ma trận không âm.
• kL = k (DIn − L) = kDIn ⇒ kL = Dk vì vậy k là vector riêng bên
trái của L ứng với giá trị riêng D.
Áp dụng định lý Perron-Frobenius cho ma trận không âm L , vector k là vector
riêng duy nhất có tất cả các thành phần đều dương.
Mặt khác, 1L = 1 (DIn − L) = 1DIn ⇒ 1L = D1 (Do 1 là vector riêng
tương ứng với giá trị riêng 0). Kết hợp lại ta có:
kL = Dk
1L = D1
Vậy k1 = k2 = · · · = kn = k, nói cách khác trong một chu kỳ các đỉnh được
bắn số lần như nhau.
Ví dụ 2.13. Cho chu trình C6 có 6 đỉnh và cấu hình chip ban đầu như hình
2.5. Theo định lý 2.7, CFG là vô hạn. Thực hiện bắn chip như bảng 2.1 thấy
rằng trong chu kỳ T = 6 mỗi đỉnh đều được bắn đúng một lần.

27. 20
Hình 2.5: Cấu hình chip ban đầu trên chu trình C6
chips Cv1
Cv2
Cv3
Cv4
Cv5
Cv6
t = 0 1 1 0 2 1 1
t = 1 1 1 1 0 2 1
t = 2 1 1 1 1 0 2
t = 3 2 1 1 1 1 0
t = 4 0 2 1 1 1 1
t = 5 1 0 2 1 1 1
t = 6 1 1 0 2 1 1
Bảng 2.1: Bắn chip trên chu trình C6

28. 21
Chương 3
CFG SONG SONG TRÊN
ĐỒ THỊ
Chip-firing game (CFG) giới thiệu trong chương 2 được bắt đầu bởi một
phân bố chip ban đầu, tại mỗi một thời gian ta chỉ chọn một đỉnh để bắn.
Trong chương này trình bày về CFG song song, tại mỗi thời gian ta di chuyển
số chip tất cả các đỉnh bắn được và cập nhật số chip trên tất cả các đỉnh. Kết
quả chính của chương này là định lý 2.10, chu kỳ của chip trên cây chỉ có thể
là một hoặc hai. Trong chương này chỉ xét G = (V, E) là đồ thị hữu hạn, liên
thông và vô hướng. Tất cả các kết quả trong chương này được trình bày lại từ
bài báo Parallel chip firing game on graphs[4].
3.1 MÔ HÌNH CFG SONG SONG TRÊN ĐỒ THỊ
Cho G = (V, E) là một đồ thị liên thông, vô hướng, hữu hạn với n đỉnh,
m cạnh và N chip. V = {v1, v2, ..., vn} là tập đỉnh. E là tập cạnh.
Cấu hình chips ban đầu trên G là vector: C(0) = (Cv1
(0), Cv2
(0), ..., Cvn
(0)) ∈
Nn
.
Định nghĩa 3.1. Luật bắn song song được định nghĩa bởi: với mỗi vi ∈ V
Cvi
(t + 1) = Cvi
(t) − deg(vi).fvi
(t) +
vj∈N(vi)
fvj
(t) (3.1)
trong đó, Cvi
(t) ∈ N là số chip trên mỗi đỉnh vi tại bước t.
N(vi) = {vj ∈ V | (vi, vj) ∈ E} là tập đỉnh kề của vi, deg(vi) là bậc của

29. 22
đỉnh vi.
Hàm ngưỡng: fvi
(t) = 1 (Cvi
(t) − deg(vi)) =
1, Cvi
(t) ≥ deg(vi)
0, ngược lại.
Nhận xét. Từ (3.1) luôn tìm được số chip trên mỗi đỉnh vi ∈ V tại thời điểm t
và được hiểu như sau:
• Nếu Cvi
≥ deg(vi) thì đỉnh vi mất đi deg(vi) chip.
• Đỉnh vi nhận được một chip từ mỗi đỉnh kề của nó.
Hình 3.1: Cấu hình ban đầu của chip trên đường đi
Ví dụ 3.2. Cho G = {v1, v2, v3, v4, v5} là một đường đi gồm 5 đỉnh với cấu
hình chip ban đầu C(0) = (0, 2, 1, 1, 1) (Hình 3.1). Thực hiện bắn chip song
song như bảng 3.1 sau.
chips Cv1
Cv2
Cv3
Cv4
Cv5
t = 0 0 2 1 1 1
t = 1 1 0 2 2 0
t = 2 0 2 1 1 1
t = 3 1 0 2 2 0
t = 4 0 2 1 1 1
Bảng 3.1: Bắn chip song song trên đường đi
Ví dụ 3.3. Cho đồ thị có cấu hình ban đầu như Hình 3.2 với cấu hình ban đầu
C(0) = (3, 4, 2, 1, 2) Thực hiện quá trình bắn chip song song trên đồ thị, với
8 lần bắn cho mỗi đỉnh ta thu được đầu ra như sau:

30. 23
Hình 3.2: Cấu hình ban đầu của chip trên đồ thị
The start configure:
{'v1':3,'v2':4,'v3':2,'v4':1,'v5':2}→
At time t = 1
***The configure:
{'v1':2,'v2':2,'v3':1,'v4':3,'v5':4}→
At time t = 2
***The configure:
{'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3}→
At time t = 3
***The configure:
{'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1}→
At time t = 4
***The configure:
{'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3}→
At time t = 5
***The configure:
{'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1}→
At time t = 6
***The configure:
{'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3}→
At time t = 7
***The configure:
{'v1':3,'v2':3,'v3':1,'v4':4,'v5':1}→
At time t = 8
***The configure:
{'v1':1,'v2':5,'v3':2,'v4':1,'v5':3}→
Từ định lý 2.7, thấy rằng trò chơi là vô hạn. Theo định nghĩa của chu kỳ, chọn
t0 = 2 thì chu kỳ của CFG song song là T = 2.

31. 24
3.2 CHU KỲ CỦA CHIPS TRÊN CÂY
Định nghĩa 3.4. Giả sử trạng thái ổn định là một xích giới hạn (C(0), ..., C(T−
1)) với chu kỳ T.
a) Vòng lặp địa phương được định nghĩa bởi: ∀vi ∈ V :
Cvi
= (Cvi
(0), Cvi
(1), ..., Cvi
(T − 1)) ∈ NT
fvi
= (fvi
(0), fvi
(1), ..., fvi
(T − 1)) ∈ {0, 1}T
trong đó, fvi
(t) = 1 (Cvi
(t) − deg(vi)) được gọi là vết của đỉnh vi trong
vòng lặp địa phương.
b) Giá của fvi
là tập hợp tất cả các thời điểm mà đỉnh vi bắn được trong
chu kỳ T, được định nghĩa bởi:
supp(fvi
) = {t ∈ [0, T − 1] : fvi
(t) = 1}
Ta có thể phân hoạch supp(fvi
) thành pi các khoảng rời nhau và có thể
viết lại như sau:
supp(fvi
) =
pi
k=1
Si
k (3.2)
trong đó, Si
k là tập lớn nhất trên [0, T − 1] của các kí tự 1 và được định
nghĩa như sau: Si
k = [t, t + q] sao cho fvi
(t + s) = 1, s = 0, ..., q và
fvi
(t − 1) = fvi
(t + q + 1) = 0.
Ví dụ 3.5. Cho đồ thị chu trình như Hình 3.3 có cấu hình chip ban đầu C(0) =
{0, 2, 1, 1, 0, 2}. Thực hiện bắn chip song song như bảng 3.2, tìm được chu kỳ
của CFG là T = 6 và fv1
= (010001) .
S1
1 = {1}, S1
2 = {5}, supp(fv1
) =
2
k=1
S1
k
Bổ đề 3.6. Cho G = (V, E) là một đồ thị đơn, liên thông và vô hướng với cấu
hình ban đầu của chip C(0) và thực hiện CFG song song trên G. Khi đó,

32. 25
Hình 3.3: Cấu hình ban đầu của chip trên chu trình
chips Cv1
Cv2
Cv3
Cv4
Cv5
Cv6
t = 0 0 2 1 1 0 2
t = 1 2 0 2 1 1 0
t = 2 0 2 0 2 1 1
t = 3 1 0 2 0 2 1
t = 4 1 1 0 2 0 2
t = 5 2 1 1 0 2 0
t = 6 0 2 1 1 0 2
Bảng 3.2: CFG song song trên chu trình
a) Nếu
fvk
= 0 ⇒ fvi
= 0, ∀vi ∈ V
fvk
= 1 ⇒ fvi
= 1, ∀vi ∈ V
và trong cả hai trường hợp này, vòng lặp địa phương là một điểm cố
định, tức là chu kỳ của vết là T = 1.
b) Cho [s − k, s] ⊆ supp(fvi
) là một tập lớn nhất của các kí tự 1, khi đó
∃vj ∈ N(vi) sao cho
[s − k − 1, s − 1] ⊆ supp(fvj
).
c) Cho [s − k, s] ⊆ (supp(fvi
))c
, khi đó ∃vj ∈ N(vi) sao cho
[s − k − 1, s − 1] ⊆ (supp(fvi
))c
.

33. 26
Chứng minh. a) Ta chứng minh cho trường hợp fvk
= 0, chứng minh
tương tự đối với fvk
= 1.
Giả sử fvk
= 0. Từ (3.1) ta có:
Cvk
(t + 1) = Cvk
(t) − deg(vk)fvk
(t) +
vi∈N(vk)
fvi
(t)
= Cvk
(t) +
vi∈N(vk)
fvi
(t)
≥ Cvk
(t)
Suy ra,
Cvk
(T − 1) ≥ Cvk
(T − 2) ≥ ... ≥ Cvk
(0) = Cvk
(T) ≥ Cvk
(T − 1).
Vì vậy,
Cvk
= (ak, ..., ak) , ak ≤ deg(vk) − 1 (3.3)
Giả sử phản chứng ∃vi ∈ N(vk) và thời điểm t ∈ [0, T − 1] sao cho
fvi
(t ) = 1. Ta có:
Cvk
(t + 1) = Cvk
(t ) +
vi∈N(vk)
fvi
(t )
≥ Cvk
(t ) + 1
> Cvk
(t )
Điều này mâu thuẫn với (3.3), suy ra fvi
= 0, ∀vi ∈ N(vk) và T = 1.
Vì G là đồ thị hữu hạn, nên khẳng định cũng đúng cho ∀vi ∈ V.
b) Từ (3.1) ta có:
Cvi
(s) = Cvi
(s − 1) − deg(vi)fvi
(s − 1) +
vj∈N(vi)
fvj
(s − 1)
= Cvi
(s − 2) − deg(vi) [fvi
(s − 1) + fvi
(s − 2)]
+
vj∈N(vi)
fvj
(s − 1) + fvj
(s − 2)
. . .

34. 27
= Cvi
(s − k) − k. deg(vi) +
vj∈N(vi)
k
t=1
fvj
(s − t).
Do [s − k, s] là tập lớn nhất của fvi
, theo định nghĩa ta có:
fvi
(s − k − 1) = 0 ⇒ Cvi
(s − k − 1) ≤ deg(vi) − 1.
Và
Cvi
(s) = Cvi
(s − k − 1) − k. deg(vi) +
vj∈N(vi)
k+1
t=1
fvj
(s − t).
Vì vậy,
Cvi
(s) ≤ deg(vi) − 1 − k. deg(vi) +
vj∈N(vi)
k+1
t=1
fvj
(s − t).
Giả sử phản chứng với mọi đỉnh kề vj của vi sao cho [s−k −1, s−1]
supp(fvj
), tức là
∀vj ∈ N(vi), ∃t∗
j ∈ [s − k − 1, s − 1] sao cho fvj
(t∗
j) = 0.
Ta có:
vj∈N(vi)
k+1
t=1
fvj
(s − t) ≤ k. deg(vi) ⇒ Cvi
(s) ≤ deg(vi) − 1
Vì vậy, fvi
(s) = 0, mâu thuẫn với giả thiết [s − k, s] ⊆ supp(fvi
).
c) Giả sử phản chứng ∀vj ∈ N(vi), ∃t∗
j ∈ [s − k − 1, s − 1] sao cho
fvj
(t∗
j) = 1.
Suy ra, trong tập [s − k, s] đỉnh vi nhận được ít nhất deg(vi) chip.
Suy ra, ∃t ∈ [s − k, s] sao cho Cvi
(t) ≥ deg(vi), mâu thuẫn với giả
thiết.
Định nghĩa 3.7. Cho một xích giới hạn và phân hoạch giá (3.2), ta định nghĩa
số lớn nhất của các kí tự 1 liên tiếp của các fvi
:
M = max
vi∈V
max
1≤k≤pi
Si
k

35. 28
Tương tự, ta định nghĩa phân hoạch trên các tập lớn nhất của các kí tự 0.
(supp(fvi
))c
=
qi
k=1
Di
k, vi ∈ V
trong đó Di
k là các tập lớn nhất gồm các kí tự 0 liên tiếp trên vector vết fvi
. Ta
định nghĩa:
N = max
vi∈V
max
1≤k≤qi
Di
k
Rõ ràng, 0 ≤ M, N ≤ T. Nếu M = 0 và M = T tương ứng với các điểm
cố định trong Bổ đề 3.6.
Trong trường hợp đồ thị là một cây, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.8. Cho G = (V, E) là một cây và (C(0), C(1), ..., C(T − 1)) là một
xích giới hạn của CFG song song. Khi đó,
0 < M < T =⇒ M = 1
0 < N < T =⇒ N = 1
tức là, khi vòng lặp địa phương không là một điểm cố định, thì những tập lớn
nhất đều có cỡ 1.
Chứng minh. Giả sử M ≥ 2, v0 ∈ V sao cho tồn tại tập lớn nhất của fv0
của
các kí tự 1, tức là: supp(fv0
) ⊇ S0
= [t, t + M − 1], trong đó S0
là một tập
lớn nhất.
Từ bổ đề 3.6(b), ∃v1 ∈ N(v0) sao cho supp(fv1
) ⊇ S1
= [t − 1, t + M − 2]
với S1
cũng là tập lớn nhất (do M là là số lớn nhất của các kí tự 1 trong fvi
).
Từ bổ đề 3.6(b), ∃v2 ∈ N(v1) sao cho supp(fv2
) ⊇ S2
= [t − 2, t + M − 3]
với S2
cũng là tập lớn nhất.
Hơn nữa, v2 = v0. Thật vậy, giả sử phản chứng v2 = v0 và do t−1 ∈ supp(fv2
)
kéo theo fv0
(t − 1) = fv2
(t − 1) = 1. Mặt khác, t − 1 /∈ supp(fv0
) nên
fv0
(t − 1) = 0. Mâu thuẫn.
Tiếp tục quá trình này, do G là một cây và áp dụng bổ đề 3.6(b), ta tìm được
một dãy các đỉnh đôi một khác nhau {v0, ..., vk} sao cho vk là một đỉnh lá (tức
là deg vk = 1, N(vk) = {vk−1}) và
S0
= [t, t + M − 1],

36. 29
S1
= [t − 1, t + M − 2],
. . .
Sk
= [t − k, t + M − (k + 1)],
trong đó Si
đều là các các tập lớn nhất có độ dài M cho các đỉnh vi với
i = 0, · · · , k. Áp dụng bổ đề 3.6(b) trên tập lớn nhất Sk
cho đỉnh vk, ta thấy
rằng tồn tại một tập lớn nhất có độ dài M cho đỉnh vj ∈ N(vk) sao cho
[t − k − 1, t + M − (k + 2)] ⊆ supp(fvj
).
Do N(vk) = {vk−1} nên vj = vk−1 và [t − k − 1, t + M − (k + 2)] ⊆
supp(fvk−1
), vì thế fvk−1
(t − k) = 1.
Mặt khác, Sk−1
= [t − k + 1, t + M − k] ⊆ supp(fvk−1
) là một tập lớn nhất
nên fvk−1
(t − k) = 0. Mâu thuẫn. Vậy M = 1.
Từ bổ đề 3.8, ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 3.9. Cho G = (V, E) là một cây, chu kỳ T của vết của một xích giới
hạn (C(0), ..., C(T − 1)) là 1 hoặc 2. Tức là,
M = 0 ⇒ T = 1,
M = 1 ⇒ T = 2.
Định lý 3.10. Giả sử G = (V, E) là một cây và thực hiện CFG song song trên
G. Khi đó, trong trạng thái ổn định thì chu kỳ T = 1 hoặc T = 2.
Chứng minh. Giả sử (C(0), ..., C(T − 1)) là một xích giới hạn và từ Bổ đề
3.8 ta có các trường hợp sau.
• M = 0 và từ bổ đề 3.6, chu kỳ là một điểm cố định tức là fv = 0 hoặc
M = T thì fv = 1 cũng là một điểm cố định nên T = 1.
• M = 1 thì ∀vi ∈ V : 0 = fvi
= 1. Giả sử vi ∈ V và t ∈ [0, T − 1]
sao cho fvi
(t) = 1 với đúng m đỉnh kề bắn được fvj
(t) = 1 (suy ra có
deg(vi) − m đỉnh kề không bắn được). Do M = 1 nên fvj
(t) = 1(0) ⇒
fvj
(t + 1) = 0(1). Suy ra fvi
(t + 1) = 0 và
Cvi
(t + 1) = Cvi
(t) − deg(vi)fvi
(t) +
vj∈N(vi)
fvj
(t)

37. 30
⇒ Cvi
(t + 1) = Cvi
(t) − deg(vi) + m,
Cvi
(t + 2) = Cvi
(t + 1) + deg(vi) − m = Cvi
(t).
Tương tự, nếu fvi
(t) = 0 với đúng m đỉnh kề không bắn được fvj
(t) = 0 (suy
ra có di − m đỉnh kề bắn được). Khi đó, fvi
(t + 1) = 1 và từ công thức (3.1)
ta có:
Cvi
(t + 1) = Cvi
(t) + deg(vi) − m
Cvi
(t + 2) = Cvi
(t + 1) − deg(vi) + m = Cvi
(t).
Suy ra, Cvi
(t + 2) = Cvi
(t). Do đó, ∀t ∈ [0, T − 1] : Cvi
(t + 2) = Cvi
(t).
Vậy T = 2.
Hình 3.4: Cây có chu kỳ T = 2
Ví dụ 3.11. Cho cây có cấu hình chip ban đầu C(0) = {4, 0, 0, 0, 0} (Hình
3.4). Ta tìm được C(1) = {0, 1, 1, 1, 1}, C(2) = C(0) nên chu kỳ T = 2.
Phân bố chip của mỗi đỉnh Cv1
= (4, 0), Cv2
= Cv3
= Cv4
= Cv5
= (0, 1) và
vết của các đỉnh fv1
= (10), fv2
= fv3
= fv4
= fv5
= (01) số lớn nhất của các
kí tự 1 liên tiếp của fvi
là M = 1.
Định lý 3.9 không thể mở rông cho đồ thị bất kỳ có chu trình, ta có thể lấy
ví dụ đồ thị là chu trình gồm 5 đỉnh như dưới đây.
Ví dụ 3.12. Cho chu trình (Hình 3.5) có cấu hình chip ban đầu C(0) =
{2, 0, 1, 1, 1}. Ta thực hiện bắn chip song song như bảng 3.3 và tìm được
chu kỳ T = 5.

38. 31
Hình 3.5: Chu trình có chu kỳ T = 5
chips Cv1
Cv2
Cv3
Cv4
Cv5
t = 0 2 0 1 1 1
t = 1 0 1 1 1 2
t = 2 1 1 1 2 0
t = 3 1 1 2 0 1
t = 4 1 2 0 1 1
t = 5 2 0 1 1 1
Bảng 3.3: CFG song song trên chu trình 5 đỉnh

39. 32
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hoàng Thạch (2017). Giới thiệu về đồ thị. Trường hè Toán học
tại Đại học Quảng Nam, 2017.
[2] Ngô Đắc Tân (2003). Lý thuyết tổ hợp và đồ thị. NXB Đại học Quốc Gia
Hà Nội, 2003.
[3] A. Bjorner, L. Lovász, P. W. Shor (1991). Chip-firing game on graphs.
European Journal of Combinatorics, 1991.
[4] Javier Bitar and Eric Goles (1992). Parallel chip firing game on graphs.
Theoretical Computer Science, 1992.
[5] A. Bjorner and L. Lovász (1992). Chip-firing game on directed graphs.
Journal of algebraic combinatorics, 1992.

40. 33
Phụ lục A
Mã nguồn CFG
Mã nguồn trong phần phụ lục sử dụng ngôn ngữ Python 3.7 và dùng thư
viện Networkx 2.2 để thực hiện quá trình bắn chip trên đồ thị.
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# Graph
G = nx.Graph()
nodes=["v1","v2","v3","v4","v5"]
G.add_nodes_from(nodes)
edges = [("v1", "v2"), ("v1", "v5"), ("v2", "v3"), ("v2",
"v4"), ("v2", "v5"), ("v3", "v4"), ("v4", "v5")]→
G.add_edges_from(edges)
chips={"v1":1, "v2":2, "v3":2, "v4":1, "v5":0}
adj_list={"v1":["v2", "v5"], "v2":["v1","v3","v4","v5"],
"v3":["v2","v4"], "v4":["v2","v3","v5"],
"v5":["v1","v2","v4"]}
→
→
# Start CFG
print("The start configure: ", chips)
for n in range(1,30):
print("At time t = ", n)
firing_set =[]
for vertice in chips:
if chips[vertice] >= G.degree[vertice]:
firing_set.append(vertice)
print("***The set of firing vertice: ",firing_set)
if (len(firing_set)==0):
print("The configure terminate: ", chips)
break

41. 34
if (len(firing_set)>0):
node = firing_set[0]
print("***Firing node: ", node)
chips[node] = chips[node] - G.degree[node]
for adj in adj_list[node]:
chips[adj] = chips[adj] + 1
print("***The configure: ", chips)
firing_set = firing_set.remove(node)
n = n+1

42. 35
Phụ lục B
Mã nguồn CFG song song
Mã nguồn trong phần phụ lục sử dụng ngôn ngữ Python 3.7 và dùng thư
viện Networkx 2.2 để thực hiện quá trình bắn chip song song trên đồ thị.
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# Graph
G = nx.Graph()
nodes=["v1","v2","v3","v4","v5"]
G.add_nodes_from(nodes)
edges = [("v1", "v2"), ("v1", "v5"), ("v2", "v3"), ("v2",
"v4"), ("v2", "v5"), ("v3", "v4"), ("v4", "v5")]→
G.add_edges_from(edges)
chips={"v1":3, "v2":4, "v3":2, "v4":1, "v5":2}
adj_list={"v1":["v2", "v5"], "v2":["v1","v3","v4","v5"],
"v3":["v2","v4"], "v4":["v2","v3","v5"],
"v5":["v1","v2","v4"]}
→
→
# Count the firing adjacency of each node
def num_adj_firing(node):
num = 0
for adj in adj_list[node]:
if chips[adj] >= G.degree[adj]:
num +=1
return num
# Start parallel CFG
print("The start configure: ", chips)
for n in range(1,9):
print("At time t = ", n)

43. 36
new_chips={}
for node in chips:
if chips[node] >= G.degree[node]:
new_chips[node] = chips[node] - G.degree[node] +
num_adj_firing(node)→
else:
new_chips[node] = chips[node] +
num_adj_firing(node)→
chips = new_chips
print("***The configure: ", chips)