Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi

Sử dụng máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570MS để
giải các bài toán thống kê lớp 10
Chuyên đề điện từ trường dành cho lớp 11
Chuyên đề tính các dạng bài tập giới hạn bằng máy Casio
fx 570ES
Dùng phương pháp Giản đồ vectơ để giải các dạng bài tập
điện xoay chiều
Ứng dụng số phức để giải nhanh các dạng bài tập điện
xoay chiều
Chuyên đề thời gian, quãng đường trong dao động điều
hòa
Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Toán
Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Lí
Bộ đĩa DVD ôn thi Đại học.
Cách lưu văn bản vào máy Casio Fx 570ES
Và còn nhiều chuyên đề khác tại:
http://phuongphaphoctap.net
Mong các bạn đón xem.
Nhöõng taøi lieäu khaùc

Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân
Trang 28/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio
Mong nhaän ñöôïc söï uûng hoä cuûa caùc baïn
ñeå taøi lieäu ngaøy caøng hay vaø hoaøn thieän
hôn nöõa.
Moïi yù kieán goùp yù xin göûi veà:
 Nguyeãn Troïng Nhaân
 Trongnhan2209@gmail.com
 http://phuongphaphoctap.net
Xin chaân thaønh caûm ôn!
Coøn nhieàu taøi lieäu haáp daãn khaùc taïi:
http://phuongphaphoctap.net
Giới thiệu chung
Vectơ là một phần rất quan trọng trong môn Toán cấp 3. Theo
cấu trúc của bộ Giáo dục và Đào tạo thì trong đề thi Đại học, cao
đẳng luôn có những phần này và chúng chiếm số điểm tương đối
cao.
Thông thường khi làm việc với những phần vectơ này, chúng ta
thường tính nhẩm hoặc làm trong nháp. Nhưng như thế thì
không chính xác và tốn nhiều thời gian, đặc biệt là với những
bài phức tạp. Vì vậy chúng ta sẽ tận dụng chức năng tính toán
vectơ có sẵn trong máy Casio Fx570ES để giải chính xác những
bài này và giúp tiết kiệm nhiều thời gian, đặc biệt là khi đi thi
Đại học.
Một điều quan trọng nữa là khi các bạn làm bài thi, nếu các bạn
biết kết quả mình làm đúng hoặc bước vừa rồi mình làm đúng
thì chắc chắn các bạn sẽ tự tin hơn nhiều và bớt phân tâm trong
những bài kế tiếp đúng không nào.
Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu qua cách bấm vectơ 2
chiều, 3 chiều rồi sau đó ứng dụng vào làm các bài tập.

Muïc luïc
I. Vectơ 2 chiều.........................................................................3
1. Nhập vectơ vào máy:...........................................................3
2. Cách gọi vectơ để tính toán.................................................5
3. Phép cộng, trừ các vectơ: ....................................................6
4. Nhân vô hướng 2 vectơ: ......................................................7
5. Độ dài của vectơ :................................................................9
6. Góc giữa 2 vectơ : .............................................................11
II. Vectơ 3 chiều.......................................................................14
7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: ............................................14
8. Tích có hướng ...................................................................15
III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: ........17
IV. Bài tập ví dụ ......................................................................18
Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán
(ABC):
        
  
 
1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11
MH d(M(ABC))
31 4 4
Theå tích töù dieän MABC baèng 3

  
4t 111 9
V . . 3
3 2 3
       
5 17
4t 11 6 t hay t .
4 4
Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø:
   
     
   
3 3 1 15 9 11
M ; ; hay M ; ;
2 4 2 2 4 2
      N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)
       
 
2 2
ABN
1 1 2 3 2
S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9
2 2 2 2
       ABN
3 2
maxS 4t 8 0 t 2.
2
Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).
Phần này có tham số nên ta bắt buộc phải làm tay.
Có cách để kiểm tra nhanh kết quả phần này nhưng
không thuộc mode vectơ nên mình sẽ không trình bày
vào đây.

Ta lại có:
       
  
[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n,
vôùi  

n (1; 2; 2)
Suy ra phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô

n:
(ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
      
 
2 2 2
ABC
1 1 9
S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 .
2 2 2
Chúng ta tính tiếp diện tích tam giác ABC :
Vì kết quả tính tích có hướng đã được tự động lưu vào
vectơ Ans nên ta không cần phải nhập lại nữa.
Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào
Nhấn =, ta được kết quả :
Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào
I. Vectơ 2 chiều
1. Nhập vectơ vào máy:
Gọi ( , )u a b và 1 1(a , )v b là 2 vectơ tùy ý trong không
gian 2 chiều.
Ví dụ: (2,3)u  và (4,5)v 
Khi đó chúng ta lưu 2 vectơ này vào máy bằng cách:
Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR)
Máy có thể lưu tối đa 3 vectơ theo thứ tự là VTA, VTB, VTC
Chúng ta nhấn 1 để lưu vectơ u vào biến vectơ A trên máy tính.
Máy sẽ chờ chúng ta chọn số chiều của vectơ A.
Vì vectơ u có 2 chiều nên sẽ chọn số 2 (nếu 3 chiều thì sẽ chọn
số 1).

Chúng ta nhấp tọa độ của vectơ u vào:
Sau đó chúng ta sẽ nhập vectơ v vào biến vectơ B trên máy tính
bằng cách: nhấn Shift 5 để vào Mode riêng của chức năng
vectơ:
Nhấn chọn 1 (Dim) để nhập vectơ vào biến vectơ trên máy:
Chọn 2 để lưu biến vectơ v vào biến vectơ B (Lúc này biến
VTA đã lưu vectơ u rồi nên không lưu vào biến VTA được).
Chọn số chiều và nhập tọa độ theo các bước giống như khi lưu
vectơ u:
Bài 4 :
Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1)
vaø ñöôøng thaúng
() : x 1 y 2 z 3
2 1 2
  
 

1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.
2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.
Giải:
Phöông trình tham soá cuûa (D):
  

  
  
x 1 2t
y 2 t
z 3 2t
Ta có       M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)
  
 
AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)
Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách nhân có hướng AB

và AC

.
Ta nhập 2 vectơ vào máy.
Tính tích có hướng 2 vectơ này :

Diện tích tam giác ABC :
1 1
. 5.10 25
2 2
S AB AC  
Bấm máy
Nhấn =
Kiểm tra lại bằng máy trong trường hợp chưa tính độ
dài ở trên :
Nhấn =
Chúng ta kiểm tra 15 5 5 có phải là số này không
bằng cách tương tự ở trên.
Vậy là đã kết thúc phần lưu vectơ vào máy, chúng ta nhấn AC
hay On để xóa màn hình. Khi đó các biến vectơ A, B vẫn còn
giữ nguyên giá trị mà không bị mất vì chúng ta đã lưu vào máy.
Lưu ý: không được chuyển mode khi tính toán với vectơ (Vd:
chuyển từ mode Vectơ sang mode giải phương trình), vì như thế
sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ A, B.
2. Cách gọi vectơ để tính toán.
Sau khi đã lưu các vectơ vào máy tính, mỗi lần cần tính toán với
vectơ nào thì chúng ta sẽ gọi vectơ ấy ra và tính toán với chúng.
Cách gọi như sau:
Nhấn Shift 5 để vào mode riêng của vectơ.
Chúng ta thấy số 3, 4, 5 là tên của các vectơ A, B, C. Cho nên
khi cần gọi vectơ nào ra thì chúng ta sẽ nhấn số tương ứng của
tên vectơ đó.
Ví dụ: chúng ta cần gọi vectơ A ra thì sẽ nhấn Shift 5 rồi chọn
số 3.

Màn hình hiển thị:
Vậy là vectơ A đã được gọi ra và sẵn sàng để tính toán. Các
vectơ B, C cũng tương tự.
3. Phép cộng, trừ các vectơ:
Ta có công thức:
1 1( , ) (6,8)u v a a b b    
1 1( , ) ( 2, 2)u v a a b b      
Thực hiện trên máy:
Gọi vectơ A, nhấn +, rồi gọi tiếp vectơ B.
Khi đó màn hình hiển thị:
Nhấn = để máy tính hiện kết quả:
2 2
8 6 10AC   

2 2
11 2 125 5 5BC    

Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Chu vi tam giác ABC :
5 10 5 5 15 5 5P AB AC BC       
Ta bấm máy :
Kết quả ra 11.830 giống kết quả đã ghi nháp phía
trên !
Lưu ý là không ra khỏi mode vectơ vì sẽ làm mất giá
trị của các biến vectơ lưu trong máy. Nếu ra cũng
được, tuy nhiên nếu tính tiếp thì ta vào vào nhập lại
các vectơ này.

Suy ra AB vuông góc với AC
Ta lại có :
2 2
( 3) 4AB    

5
Ta tiếp tục kiểm tra độ dài các cạnh xem ngoài vuông
ra, tam giác này có cân hay không.
Ta nhấn ABS(vectơ A)
Suy ra độ dài vectơ AB là 5, và chúng ta ghi kết quả
vào phần trình bày bên dưới.
Tương tự cho vectơ B và C
Ta thấy độ dài vectơ C là số phẩy không tuần hoàn
nên ta biết chắc nó sẽ chứa căn. Vì vậy ta ghi 3 chữ số
đầu của số này vào nháp (11.180) để lát nữa kiểm tra
lại kết quả trong trình bày.
Phép – cũng tương tự phép +, chỉ cần thay đổi dấu + thành – là
xong.
Gọi vectơ A, nhấn -, rồi gọi tiếp vectơ B.
Lưu ý: khi màn hình hiển thị kết quả, các bạn sẽ thấy trên màn
hình có ghi là vectơ Ans. Điều đó có nghĩa là vectơ kết quả vừa
tính sẽ tự động lưu vào biến vectơ Ans. Và biến vectơ này có thể
được gọi ra bằng cách nhấn Shift 5 và chọn số 6. Chức năng này
giống như chức năng của phím Ans trên máy tính, chỉ khác là
biến Ans tự động lưu số vừa tính, còn biến vectơ Ans tự động
lưu vectơ vừa tính.
4. Nhân vô hướng 2 vectơ:
Theo công thức ta có:
1 1. . . 2.4 3.5 23u v a a b b    
Mặt khác, tích vô hướng giữa 2 vectơ là 1 số nên nó sẽ tự động
lưu vào biến Ans (chứ không phải biến vectơ Ans).
Cách thực hiện trên máy như sau:
Gọi vectơ A ra (Shift 5 3)

Nhấn Shift 5, chọn 7 (Dot)
Sau đó gọi tiếp vectơ B (Shift 5 4).
Màn hình hiển thị:
Nhấn =, ra kết quả là 32.
(9 1;8 2) (8;6)AC    

(9 ( 2);8 6) (11;2)BC     

Ta thấy . 3.8 4.6 0AB AC    
 
Lúc này ta không biết ∆ABC cân tại đâu nên ta sẽ
dùng máy tính để kiểm tra nhanh tích vô hướng :
Nhập 3 vectơ này vào máy tính tương ứng theo thứ tự
A, B, C
Tính vectơ A.vectơ B (tương ứng .AB AC
 
) :
Nhấn =
May quá ! Kết quả ra 0 nên ta biết AB vuông góc AC.
Nếu kết quả chưa ra 0 thì ta kiểm tra tương tự với các
cạnh còn lại

Tọa độ trọng tâm G :
Nhấn =, kết quả
7
(1, )
3
:
 Kết hợp máy tính trong trình bày tự luận :
Bài 3 : Cho tam giác ABC có (1;2), ( 2;6), (9;8)A B C
1/Tam giác ABC là tam giác gì ?
2/Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Giải
Ta có : ( 2 1;6 2) ( 3;4)AB      

5. Độ dài của vectơ :
Độ dài của vectơ được định nghĩa như sau :
2 2 2 2
2 3 13 3,606u a b    


Cách hiển thị trên máy Casio rất trực quan. Các bạn thấy cách
ghi độ dài của vectơ giống như là mình ghi trị tuyệt đối của
vectơ vậy.
Vì thế mình bấm trên máy như sau:
Bấm ABS (trị tuyệt đối)
Sau đó nhập vectơ A vào :
Tương đương với chúng ta nhập u

Sau đó chúng ta nhấn = (Có thể bỏ qua dấu đóng ngoặc cũng
được vì Casio sẽ tự đóng ngoặc cho mình)

Lưu ý : Trong mode vectơ, kết quả sẽ được hiển thị dưới dạng
một dòng (line) chứ không hiển thị dưới dạng toán học (Math)
được. Vì vậy các phép căn cũng sẽ hiển thị dưới dạng số phẩy
chứ không hiển thị dạng căn được.
Để khắc phục điều này ta làm như sau :
Các bạn nhấn tiếp tục dấu -, rồi nhập kết quả tính tay phía trên
vào.
Sau đó nhấn =, nếu kết quả =0 thì có nghĩa là ta đã tính đúng.
Còn nếu kết quả khác 0 thì chúng ta đã làm sai !
Hoặc có cách khác là sau khi bấm Abs(Vct A) =, chúng ta ghi
kết quả trên máy tính vào nháp. Sau đó nhấn AC, nhập kết quả
tính tay phía trên vào, rồi chuyển sang số phẩy. Nếu số đó giống
số trong nháp thì ta đã làm đúng, ngược lại thì đã sai và cần
kiểm tra lại .
Gọi I(x,y) là trung điểm AB, ta có :
2 0
1
2 (1,2)
0 4
2
2
x
I
y

 

  

Gọi G(xG,yG) là trọng tâm ∆ABC, ta có :
2 0 1
1
73
(1, )
0 4 3 7 3
3 3
G
G
x
G
y
 
 

   

Bấm máy :
Nhập tọa độ 3 điểm A,B,C :
Tọa độ trung điểm I :
Nhấn =, kết quả (1,2) :

IV. Bài tập ví dụ
Bài 1 : Cho     
  
a (1; 2), b (3;4),c (5, 1). Tìm tọa độ vectơ
2u a b c  
   
.
Giải
Ta có 2 (2.1 3 5;2.( 2) 4 ( 1)) (0;1)u a b c          
   
Bấm máy :
Nhấn = ra kết quả :
Bài 2 : Cho A(2,0), B(0,4), C(1,3). Tìm tọa độ trung điểm I của
đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
6. Góc giữa 2 vectơ :
Ta có công thức tính góc giữa 2 vectơ như sau :
.
cos( , )
u v
u v
u v

 
 
 
Ta có thể phát biểu bằng lời như sau : Góc giữa 2 vectơ bằng
tích vô hướng chia cho tích độ dài của 2 vectơ đó!
Chúng ta bấm máy dựa theo cách phát biểu bằng lời này. Tức là
bấm tích vô hướng của 2 vectơ sau đó chi cho tích độ dài.
Thực hiện trên máy :
Chúng ta nhập tích vô hướng của 2 vectơ như đã hướng dẫn
trong phần trước :
Sau đó chúng ta nhấn dấu chia :
Vì tích vô hướng này chia cho một tích nên ta phải đưa tích ở
mẫu vào ngoặc.

Chúng ta nhấn dấu mở ngoặc :
Sau đó nhập độ dài vectơ A như đã hướng dẫn ở phần trước:
Lưu ý: Abs sẽ tự động mở ngoặc cho chúng ta, cho nên sau khi
gọi xong vectơ A ra, ta phải đóng ngoặc của Abs lại.
Vì tích 2 độ dài là phép nhân 2 số bình thường nên ta nhấn dấu
nhân rồi nhập tiếp độ dài vectơ B :
III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính:
- Mode vectơ thích hợp cho việc kiểm tra nhanh kết quả. Đối
với bài toán lớn, các bước tính vectơ nhỏ nếu thầy cô cho
phép bỏ qua thì các bạn bấm máy và ghi kết quả luôn,
không cần làm tay.
- Máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ vì vậy các bạn phải nắm
chắc lý thuyết và phải biết giải thuần thục bằng tay.
- Để bấm nhanh, chúng ta nên nhớ thứ tự bước mà không cần
phải nhớ chi tiết từng bước. Ví dụ để khai báo vectơ A, ta
phải nhớ shift 5 1 1 và chọn 1 nếu 3 chiều, chọn 2 nếu 2
chiều. Lúc đó ta không cần nhớ là phải vào mode vectơ rồi
chọn dim, sau đó chọn vectơ A rồi chọn chiều… cách này
rất lâu, tuy nhiên chúng ta phải biết các từ này. Các bạn cố
gắng tập làm sau mà khi mình chọn chức năng, màn hình
hiển thị không kịp thao tác mình bấm, như vậy mới tiết
kiệm thời gian. Ví dụ nữa là khi mình lấy vectơ A nhân vô
hướng vectơ B thì ta vừa nhẩm vừa bấm : shift 53, shift 57,
shift 54. Nếu các bạn biết kỹ thuật đặt tay và lướt tay thì
thao tác này chỉ tốn 2s mà thôi!
- Khi đang thao tác trên mode vectơ, nếu các bạn chuyển qua
mode khác thì dữ liệu vectơ trong máy sẽ bị mất và phải
nhập lại.

Hoặc chúng ta có thể bấm đơn giản hơn là:
Bỏ qua dấu X giữa 2 vectơ luôn, lúc này máy tính sẽ hiểu ngầm
là có dấu nhân có hướng ở giữa.
Nhấn =, kết quả hiển thị:
Chúng ta nhấn = mà không cần đóng ngoặc cũng được, vì Casio
sẽ tự đóng giúp chúng ta.
Kết quả hiển thị : 0.99624
Tuy nhiên đây là giá trị của Cos, muốn tìm giá trị của góc thì ta
phải lấy arccos (hay gọi là lấy cos ngược).
Chúng ta nhấn tiếp :
Shift Cos, nhập vào Ans :
Nhấn = :
Kết quả là 4.97 độ.
Lưu ý : Phải xem kỹ đơn vị khi thao tác với góc (độ, radian…)

II. Vectơ 3 chiều
7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy:
Gọi ( , , )u a b c và 1 1 1(a , , )v b c là 2 vectơ tùy ý trong
không gian 3 chiều.
Ví dụ: (1, 2,3)u  và (4,5,6)v 
Tương tự như vectơ 2 chiều, chúng ta nhập 2 vectơ này vào máy
bằng cách:
Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR)
Có 3 vectơ cho chúng ta lựa chọn
Tại bước chọn số chiều của vectơ, chúng ta sẽ nhấn 1 để chọn số
chiều là 3.
Sau đó nhập vectơ u vào:
Các phép tính vectơ 3 chiều hoàn toàn tương tự như vectơ 2
chiều. Nên các bạn chỉ cần xem cách làm đối với vectơ 2 chiều
rồi dễ dàng suy ra cách làm đối với vectơ 3 chiều.
Tuy nhiên vectơ 3 chiều có thêm 1 điểm khác mà vectơ 2 chiều
không có, đó chính là: Tích có hướng.
8. Tích có hướng
Nếu tích vô hướng của 2 vectơ trong Casio là dot (.) thì tích có
hướng chính là dấu nhân (X) trên bàn phím.
Sau khi nhập xong 2 vectơ, để tính tích có hướng của 2 vectơ, ta
bấm:
Nhấn =, kết quả là (-3;6;-3) :

Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi

Similar to Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi (20)

More from On thi

More from On thi (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi