Dokumen tersebut membahas soal-soal yang berkaitan dengan dua lingkaran, meliputi: 1) Kedudukan dua lingkaran saling lepas dan saling memotong 2) Panjang garis singgung persekutuan luar dan dalam dua lingkaran 3) Sabuk yang melilit dua lingkaran

1. “Soal Dua Lingkaran
Saling Lepas”
“Dua Lingkaran
Sepusat”

2. “Soal Dua Lingkaran Saling
Lepas”

3. Kedudukan Dua Lingkaran
Saling Lepas
(vii) L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r sehingga L1 dan L

4. Lingkaran P memilikititikpusat (-1,2) danjari-jari 3
satuan. Lingkaran Q memilikipersamaan 𝑥2+𝑦2 −
8𝑥 − 14𝑦 + 61 = 0
a. Tunjukanbahwalingkaran P dan Q salinglepas.
b. Tentukanpersamaangaris k yang
,menyinggungbagianataskedualingkarantersebut.
Contoh Soal:

5. a.Pertama, kitacarititikpusatdanjari-jarilingkaran Q .
𝑥2+𝑦2 − 8𝑥 − 14𝑦 + 61 = 0
Maka, A = -8, B = -14, dan C = 61
Koordinattitikpusatnya : 𝑄(−
(−8)
2
, -
(−14)
2
) = 𝑄 4,7
Jari-jarinya : r =
(−8)2
4
+
(−14)2
4
− 61 = 16 + 49 − 61 = 4 = 2
Jadikoordinattitikpusatlingkaran Q adalah (4,7) danjari-jarinyaadalah 2 satuan.
Koordinattitikpusatlingakran P adalah (-1,2) danjari-jarinya 3 satuan.
Jaraktitikpusatlingkaranadalah :
𝑃𝑄 = (𝑥 𝑄 − 𝑥 𝑃)2 + (𝑦 𝑄 − 𝑦 𝑃)2 = (4 − −1 )2 + (7 − 2)2 = 25 + 25 =
50 =5 2
Pembahasa
n

6. Jumlah jari-jarikedualingkaran = 𝑟𝑃 + 𝑟𝑄 = 3 + 2 = 5
Karena𝑟𝑃 + 𝑟𝑄< PQ, makalingkaran P dan Q salinglepas.
Y
X
P
S
R
Q
k

7. b. Misalkangarissinggung k menyiggungkedualingkaran di titik R dan di titik S.
Pertama, kitahitungpanjang RS.
RS = 𝑃𝑄2 + (𝑟𝑃 − 𝑟𝑄)2 = 502 − (2 − 3)2 = 49 = 7
Misalkantitik T terletakpadagaris yang
menghubungkankeduatitikpusatlingka
ran. Titik T
jugaterletakpadakelilinglingkaran P.
Kita hitungkoordinattitik T.
Perhatikansegitigasiku-siku PVQ dan
PUT. Berdasarkankesebangunan,
diperoleh
𝑃𝑇
𝑃𝑄
=
𝑃𝑈
𝑃𝑉
dan
𝑃𝑇
𝑃𝑄
=
𝑇𝑈
𝑄𝑉
.
P
S
R
Q
k

8. 𝑷𝑻
𝑷𝑸
=
𝑷𝑼
𝑷𝑽

𝒓 𝑷
𝟓 𝟐
=
𝒙 𝑼−𝒙 𝑷
𝒙 𝑽−𝒙 𝑷

𝟑
𝟓 𝟐
=
𝒙 𝑻−(−𝟏)
𝒙 𝑸−𝒙 𝒑

𝟑
𝟓 𝟐

𝒙 𝒕−(−𝟏)
𝟒 −(−𝟏)

𝟑
𝟓 𝟐

𝑿 𝑻+𝟏
𝟓
𝑿 𝑻 =
𝟑
𝟐
 1
𝑿 𝑻 = 1,12
𝑷𝑻
𝑷𝑸
=
𝑻𝑼
𝑸𝑽

𝒓 𝑷
𝟓 𝟐
=
𝒀 𝑻−𝒀 𝑼
𝒀 𝑸−𝒀 𝑽

𝟑
𝟓 𝟐
=
𝒀 𝑻−𝒀 𝑷
𝒀 𝑸−𝒀 𝒑

𝟑
𝟓 𝟐

𝒀 𝑻−𝟐
𝟕 − 𝟐

𝟑
𝟓 𝟐

𝒀 𝑻 − 𝟐
𝟓
𝒀 𝑻 =
𝟑
𝟐
+ 2
𝒀 𝑻 = 4,12
Jadi, koordinat T(1,12 ; 4,12)

9. P
S
R
Q
k
U T
sin RPT = sin UPT =
𝑈𝑄
𝑃𝑄
=
𝑅𝑆
𝑃𝑄
=
7
5 2
= 0,99
cos RPT = cosUPT =
𝑈𝑄
𝑃𝑄
=
𝑅𝑃−𝑅𝑈
𝑃𝑄
=
𝑅𝑃−𝑅𝑄
𝑃𝑄
=
1
5 2
= 0,14

10. 𝑥 𝑅
𝑦 𝑅
=
cos RPT −sin RPT
sin RPT cos RPT
=
0,14 −0,99
0,99 0,14
=
0,14 −0,99
0,99 0,14
=
=
1,12+1
4,14−2
+ −1
2
𝑥 𝑇 − 𝑥 𝑃
𝑦 𝑇 − 𝑦 𝑃
+
𝑥 𝑃
𝑦 𝑃
2,12
2,12
+ −1
2
−1,8
2,4
+ −1
2
−2,8
4,2
Jadi, koordinat titik R(-2,8; 4,2)

11. Gradien RP =
𝑦 𝑃 − 𝑦 𝑅
𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑅
=
−1+2,8
2 −4,2
=
1,8
−2,2
= −0,82
Gradien RP =
−1
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝑅𝑃
=
−1
(−0,82)
= 1,22
Jadi, persamaangarissinggungk adalah :
𝑦 − 𝑦 𝑅 = 1,22 𝑥 − 𝑥 𝑃
↔ 𝑦 + 2,8 = 1,22 𝑥 − 4,2
↔ 𝑦 = 1,22𝑥 − 7,92

12. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua
Lingkaran
Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya
adalah
Keterangan:
l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

13. Contoh Soal:
1.

14. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika
panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka
tentukan jarak kedua pusat lingkaran?
Penyelesaian
Diketahui:
d = 12 cm
R = 11 cm
r = 2 cm
Ditanyakan p = ?
Jawab :
d = √(p2 – (R - r)2) atau
d2 = p2 – (R - r)2
122 = p2 – (11 - 2)2
144 = p2 – 81
p2 = 225
p = √225
p = 15 cm
Contoh Soal:Contoh Soal:
2.

15. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12
cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari
lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya!
Penyelesaian
Diketahui:
d = 12 cm
R = 8 cm
p = 13 cm
Ditanyakan: r = ?
Jawab:
d = √(p2 – (R - r)2) atau
d2 = p2 – (R - r)2
122 = 132 – (8 - r)2
144 = 169 – (8 - r)2
(8 - r)2 = 169 –144
(8 - r)2 = 25
(8 - r) = √25
(8 - r) = 5
r = 8 - 5
r = 3 cm Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm
Contoh Soal:
3.

16. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua
Lingkaran
karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan
dalam adalah:
Keterangan:
q = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak kedua titik pusat lingkaran
R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

17. Pada gambar di atas, panjang jari-jari MA = 5 cm, panjang jari-jari NB
= 4 cm, dan panjang MN = 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung
persekutuan dalamnya.
Penyelesaian:
Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm. Garis singgung
persekutuan dalamnya adalah AB.
AB = √( MN2 – (MA + NB)2)
AB = √(152 – (5 + 4)2)
AB = √(225 – 81)
AB = √144
AB = 12 cm
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.
Contoh Soal:
1.

18. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah
24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah
satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran
yang lain.
Penyelesaian
Diketahui:
d = 24 cm
p = 26 cm
R = 6 cm
Ditanyakan r = ?
Jawab :
d = √(p2 – (R + r)2) atau
d2 = p2 – (R + r)2
242 = 262 – (6+ r)2
576 = 676 – (6 + r)2
(6 + r)2 = 676 – 576
(6 + r)2 = 100
6+r=√100
6 + r = 10
r = 10 – 6
r = 4
Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm
Contoh Soal:2.

19. Sabuk Melilit Dua Lingkaran
Untuk Dua Lingkaran
persekutuan Dalam

20. Untuk Dua Lingkaran
persekutuan Luar

21. 𝑟1
𝑃1
𝑃2
𝑟2
Diketahui 𝐿1memiliki d = 30 cm, 𝐿2memiliki d = 25 cm. Jarak𝑃1 𝑃2 =
40 𝑐𝑚.
Tentukanpanjangtali yang melilitnya!
Contoh
Soal

22.  = 2𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑟1− 𝑟2
𝑃
)dalam radian
= 2𝑐𝑜𝑠−1 15 −12,5
40
= 2𝑐𝑜𝑠−1 0,0625
= 172,84˚
= 3,02 rad
Panjangtali :
= 2p sin  + 2𝑟1 𝜋 − 𝜃 + 2𝜃𝑟2
= 2 (40) sin (172,84)˚ + 2 . 15(3,14 – 3,02) + 2(3,02)
(12,5)
= 80(0,125) + 3,6 + 75,5
= 10 + 79,1
= 89,1 cm
Pembahas
an

23. Contoh
Soal
Sebuah mesin memiliki dua roda yang
dihubungkan sabuk seperti gambar di
samping. Jari-jari masing- masing roda
adalah 8 cm dan 4 cm. Jika titik pusat
roda terpisah sejauh 10 cm, tentukan
panjang sabuk tersebut!

24. Pembahas
an

25. Latihan Soal
Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm
dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran
adalah 2 cm. Tentukan panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
1.
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm
dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung
persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut
jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30
cm.
2.
3. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran berikut
ini saling lepas. dan

26. Sebuah mesin memiliki dua roda yang
dihubungkn sabuk seperti gambar di
samping. Jari-jari masing- masing roda
adalah 21 cm dan 35 cm. Jika jarak antara
titik pusat roda adalah 90 cm, tentukan
panjang sabuk tersebut!
4.

27. Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 8 cm.
Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Tentukan
panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
tersebut.
1.
Pembahasan
Diketahui:
s = 2 cm
R = 15 cm
r = 8 cm
Ditanyakan: d = ?
Jawab:
p = s + R + r
p = 2 cm + 15 cm + 8 cm
p = 25 cm
d = √(p2 – (R - r)2)
d = √(252 – (15 - 8)2)
d = √(625 –49)
d = √(576)
d = 24 cm
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm

28. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm
dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung
persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut
jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30
cm.
2.
Diketahui:
p = 30 cm
R = 14 cm
r = 4 cm
Jawab:
d = √(p2 – (R + r)2)
d = √(302 – (14 + 4)2)
d = √(302 –182)
d = √(900 – 324)
d = √576
d = 24
Jadi, panjang garis singgung persekutuan
dalamnya adalah 24 cm
Pembahasan

29. Lingkaran P 𝑥2 + 𝑦2 + 20𝑥 − 12𝑦 + 72 = 0
A = 20, B = -12, C = 72
Titikpusat P −
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵 → 𝑃 −10,6
r = (−
1
2
𝐴)2+(−
1
2
𝐵)2 −𝐶
r = (−10)2+ 62 − 72
r = 64
r = 8 cm
3.
Pembahasan

30. Lingkaran Q 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
A = -4, B = -2, C = -11
Titikpusat P −
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵 → 𝑃 2, 1
r = (−
1
2
𝐴)2+(−
1
2
𝐵)2 −𝐶
r = 22 + 12 − (−11)
r = 16
r = 4 cm
- koordinat titik pusat lingkaran P(-10,
6) dan r = 8 cm
- koordinat titik pusat lingkaran Q(2,1)
Jadi
,

31. 𝑃𝑄 = (𝑥 𝑄 − 𝑥 𝑃)2 + (𝑦 𝑄 − 𝑦 𝑃)2
= (2 − −10 )2 + (1 − 6)2
= 144 + 25
= 169
= 13 cm
Y
X
P
S
R
Q
k
Jumlah jari- jari kedua lingkaran = RQ + RP = 12
karena RQ + RP < PQ  12 < 13
Maka lingkaran P dan Q merupakan hubungan dua

32. 4.
Pembahasa
n

33. “Dua Lingkaran
Sepusat”

34. Definisi Lingkaran Sepusat
Lingkaran sepusat adalah lingkaran yang
terletak pada bidang yang sama dan
memiliki satu pusat yang sama tetapi
memiliki jari-jari yang berbeda

35. Sifat-sifat Lingkaran
Sepusat
Berikut sifat-sifat lingkaran sepuasat
1 ) lingkaran sepusat selalu cocok di dalam sama
lain, satu dengan radius lebih kecil di satu dengan
radius lebih besar mulai dari lingkaran terbesar
untuk terkecil satu.
2 ) lingkaran sepusat selalu memiliki jarak dari satu
sama lain .Jarak lingkaran dapat dihitung dengan
mengurangi jari-jari lingkaran luar dengan jari-jari
lingkaran dalam. Jarak L1 dengan L2= R-r
3 ) cincin melingkar: daerah berbaring antara dua
lingkaran sepusat disebut anulus atau melingkar
cincin.Wilayah dari cincin dapat dihitung dengan
mudah ketika jari-jari kedua lingkaran diberikan.
Luas Anulus(A)= π (R2 – r2)

36. Carilah daerah cincin melingkar(anulus)
yang terbentuk dua lingkaran sepusat ,
dengan jari-jari luar dan dalam lingkaran
yang masing-masing 4 cm dan 2 cm .
Penyelesaian
A = π (R 2– r2)
R = 4 cm, r = 2 cm and π = 3.14
A= 3.14 (42 – 22)
= 3.14 (16 – 4)
Jadi, A = 37.68 cm.
Contoh Soal:
1.

37. Menghitung Luas Juring
Pada Anulus
Cara menghiung luas juring pada cincin
anulus.dengan rumus
Contoh Soal:
Dua jari-jari yaitu OA dan Ob dari juring yang membentuk
sudut 600 untuk dua lingkaran sepusat dengan jari-jari
,masing-masing 8 cm dan 5 cm.Hitunglah luas daerah yang
diarsir ....
Penyelesaian
A=20,42
Cm2

38. Latihan Soal
Carilah daerah cincin melingkar(anulus)
yang terbentuk dua lingkaran sepusat ,
dengan jari-jari luar dan dalam lingkaran
yang masing-masing 21 cm dan 7 cm .
1.
Dua jari-jari yaitu OA dan Ob dari juring
yang membentuk sudut 450 untuk dua
lingkaran sepusat dengan jari-jari
,masing-masing 10 cm dan 6
cm.Hitunglah luas daerah yang diarsir
....
2.

39. Carilah daerah cincin melingkar(anulus)
yang terbentuk dua lingkaran sepusat ,
dengan jari-jari luar dan dalam lingkaran
yang masing-masing 21 cm dan 7 cm .
Penyelesaian
A = π (R 2– r2)
R = 210 cm, r = 70 cm and π = 22/7
A= 22/7(212 – 72)
= 22/7 (441 –49 )
Jadi, A =1232 cm.
1.
Pembahasan

40. Dua jari-jari yaitu OA dan Ob dari juring
yang membentuk sudut 450 untuk dua
lingkaran sepusat dengan jari-jari ,masing-
masing 10 cm dan 6 cm.Hitunglah luas
daerah yang diarsir ....
Penyelesaian
A=
25,12Cm2
2.
Pembahasan

41. TERIMAKASIH ATAS
PERHATIANNYA DAN
APA ADA PERTANYAAN