Bahan ajar

2. MATERI
 Garis singgung lingkaran
a. Garis singgung persekutuan di dalam
b. Garis singgung persekutuan di luar
 Lingkaran dalam dan luar segitiga
a. Lingkaran dalam segitiga
b. Lingkaran luar segitiga

4. GARIS SINGGUNG LINGKARAN
 Garis AB merupakan garis
singgung lingkaran pada titik B,
sehingga jari-jari OB tegak lurus
terhadap garis singgung AB,
maka panjang OA dapat dihitung
dengan teorema Pythagoras.

5. B
A
O•
OA2 = OB2 + AB2
AB2 = OA2 - OB2
OB2 = OA2 - OA2

6. Garis Singgung Persekutuan dalam
M   N
A
B
AB = Garis singgung persekutuan dalam
MN = Garis pusat persekutuan

7. AB adalah garis singgung persekutuan dalam.
AB = CN
AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2
M   N
A
B
C
r1
r2
r2

8. Garis Singgung Persekutuan Luar
M   N
A
B
AB = Garis singgung persekutuan luar
MN = Garis pusat persekutuan

9. AB adalah garis singgung persekutuan luar.
AB = CN
AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2
M   N
A
B
C
r1
r2

11. Lingkaran Dalam segitiga
A
O
D
E
F
C
B
r
a
c
b

12. A
O
D
E
F
C
B
r
a
c
b
Titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan
garis bagi sudut sudut segitiga.
Keliling ∆ ABC = a + b + c = 2s
Jadi, keliling segitiga = 2s atau s = ½ ( a + b + c ).

13. Luas segitiga = ½ alas x tinggi , atau
=  s(s – a )(s – b)(s – c )
Jika jari-jari lingkaran dalam adalah r, maka :
r = Luas : ½ keliling atau r = L/s
AF = AE = s - a
BF = BD = s - b
CE = CD = s - c

14. Lingkaran Luar segitiga
C
A
O
R
B


15. Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah
titik potong garis sumbu sisi-sisi segitiga
OA = OB=OC = jari-jari lingkaran luar.
Jika jari-jari lingkaran luar adalah R, maka :
R = abc / 4L atau ,
R = abc : 4L

17. Soal
1
Pada gambar di bawah, garis AB merupakan
garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-
jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis
singgung AB.
B
A
O
•

18. Pembahasan :
Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B
AB2 = OA2 - OB2
= 132 - 52
= 169 - 25
= 144
AB = √ 144 = 12 cm.
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

19. Soal 2
M   N
A
B
Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN =
15 cm
Tentukan panjang garis singgung AB.

20. AB2 = MN2 -( r1 + r2 )2
= 152 - ( 6 + 3 )2
= 225 – 81 = 144
AB = √ 144 = 12 cm
M   N
A
B
Pembahasan :

21. Soal 3
M

 N
A
B
Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN =
25 cm
Tentukan panjang garis singgung AB.

22. Pembahasan :
AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2
= 252 - ( 13 - 6 )2
= 625 – 49 = 576
AB = √ 576 = 16 cm
M

 N
A
B

23. Soal 4
Pada gambar di
samping, panjang
PQ = 9 cm, QR =
15 cm.
Hitunglah panjang
jari-jari OU. P Q
R
T
U
S

24. Pembahasan :
PQ = 12 cm dan QR = 15 cm
PR2 = QR2 - PQ2
= 152 - 122
= 225 - 144
= 81
PR =  81 = 9 cm

25. Pembahasan :
PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9
cm
Rd = Luas ABC : ½ keliling
= ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR +
QS )
= ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15
)
= 54 : 18
= 3 cm.
Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

26. Cara cepat :
PQ = 12 cm dan QR = 15 cm
PR2 = QR2 - PQ2
= 152 - 122
= 225 - 144
= 81
PR =  81 = 9 cm
Rd = ½ ( PQ + PR – QR )
= ½ ( 12 + 9 – 15 )
= 3 cm.

27. Soal 5
Pada gambar di
samping,
panjang PQ =10
cm, panjang QR
= PR = 13 cm.
Hitunglah
panjang jari-jari
OP.
P
Q
R
O •

28. Pembahasan :
PQ = 10 cm dan
PR = QR = 13 cm
RS2 = PR2 - PS2
= 132 - 52
= 169 - 25
= 144
PR =  144 = 12
cm
R
P
Q
O •
S

29. RL = ( abc ) : 4 L
= ( 10 x 13 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12
)
= 1690 : 240 = 7,04 cm
Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm.
R
P
Q
O •
S

30. Soal 6
Pada gambar di
samping, panjang
PQ =8 cm, PR =
15 cm.
Hitunglah
panjang jari-jari
lingkaran luar. P Q
R
O •

31. Pembahasan :
PQ = 8 cm dan PR = 15
cm
QR2 = PQ2 + PR2
= 152 + 82
= 225 + 64
= 289
QR =  289 = 17 cm
P Q
R
O •

32. PQ = 8 cm, PR = 15 cm
dan
QR = 17 cm
Rd = ½ QR
= ½ x 17
= 8,5 cm.
Jadi panjang jari-jari
lingkaran adalah 8,5 cm.
P Q
R
O •

33. Soal 7
M   N
A
B
Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24
cm
Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

34. MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2
= 242 + ( 7 + 3 )2
= 576 + 100 = 676
MN = √ 676 = 26 cm
Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.
Pembahasan :
M

 N
A
B

35. Soal 8
M

 N
A
B
Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10
cm
Tentukan panjang garis singgung AB.

36. Pembahasan :
AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2
= 102 - ( 4 - 2 )2
= 100 – 4 = 96
AB = √ 96 = 9,79
Jadi, panjang AB = 9,79 cm.
M

 N
A
B

37. Soal 9
M


N
A
B
Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24
cm
Tentukan panjang jari-jari BN.

38. MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2
262 = 242 + ( 7 + r )2
676 = 576 + ( 7 + r )2
( 7 + r )2 = 676 – 576 = 100
( 7 + r ) =  100 = 10
7 + r = 10
r = 10 – 7
r = 3
Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.
Pembahasan :

39. Soal 10
M

 N
A
B
Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN =
13 cm
Tentukan panjang AM.

40. Pembahasan :
( r1 - r2 )2 = MN2 - AB2
( r1 - 2 )2 = 132 - 122
( r1 - 2 )2 = 169 - 144
= 25
( r1 - 2 ) =  25
r1 - 2 = 5
r1 = 5 + 2 = 7
Jadi, panjang jari-jari AM = 7
cm.

41. Catatan Khusus
 Jika AB garis singgung persekutuan
dalam.
maka : AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2
 Jika AB garis singgung persekutuan luar.
maka : AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2