2. Tanım: m,n N+ için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n)
olmak üzere, aij reel sayılarından oluĢturulan;
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
. . . .
. . . .
. . . .
ai1 ai2 ... aij ... ain i. satır
. . . .
. . . .
tablosuna, m x n biçiminde
am1 am2 ... amj ..amn matris denir.
1
j. sütun
3. • A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada
bileĢeni ve aij elemanındaki i sayısına indis, j
sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A
matrisinin i. satır ile j. sütunun kesim noktasında
bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisine
kısaca A= [aij]m x n Ģeklinde gösterilir. Burada, m
matrisin sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
A matrisinin, ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına i.satır elemanları;
ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına da j.sütun elemanları denir.
2
4. Satır Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına,
satır matrisi denir.
B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
. . . .
. . . .
. . . .
Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır
matrisi)
B1
B2
A matrisi satır A= [aij]m x n = . Ģeklinde 3
matrisine bağlı olarak, .
gösterilir.
Bm
5. Sütun Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun
matrisi denir.
a11 a12 a1n • A1 :1.satır matrisi
a21 a12 a2 n • A2 : 2.satır
A1 , A2 ,......, An matrisi
.... .... .... • ...
am1 am 2 amn • ...
• An : n.satır
matrisi
A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,
A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] Ģeklinde gösterilir. 4
6. Kare Matris
Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x nmatrisine, n.
basamaktan kare matris denir.
• Örneğin;
3 4 matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
1 5
5
7. Sıfır Matrisi
Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır
matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.
• Örneğin;
0 0 0 matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
0 0 0 2 x3
6
8. Asal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann
elemanlarının oluĢturduğu köĢegene, asal köĢegen;
an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluĢturduğu
Örneğin;
köĢegene, yedek köĢegen denir.
a11,a22,a33 : asal köĢegen
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31,a22,a13 : yedek köĢegen
a31 a32 a33
7
Yedek köĢegen Asal köĢegen
9. Köşegen Matris
Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal
köĢegen üzerindeki elemanların sıfır ise, bu
tip kare matrise, köĢegen matris denir.
Örneğin;
3 0 0
0 4 0 matrisi, 3.sıradan bir köĢegen
matrisidir.
0 0 0
8
10. Skalar Matris
Tanım: A= [aij]n x n köĢegen matrisinde a11 = a22 =
a33 ...= ann = k ise,(k R) bu matrise, skalar matris
denir.
Örneğin;
5 0 matrisi, 2.sıradan bir skalar
matristir.
0 5
9
11. Birim Matris
Tanım: Asal köĢegen üzerindeki elemanları
bir, • Örneğin;
diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim
matris denir. n x n tipindeki bir birim matris In ile
gösterilir.
1 0 0 0
matrisi , 4.sıradan bir birim
0 1 0 0 matrisidir. I4 ile gösterilir.
I4
0 0 1 0
0 0 0 1 10
(asal köĢegen)
12. ĠKĠ MATRĠSĠN
EġĠTLĠĞĠ
Tanım:Tipleri aynı ve karĢılıklı elemanları eĢit olan
matrisler, eĢit matrisler denir.
(i, j) M x N için, aij = bij [aij]m x n = [bij]m x n
ÖRNEK:
5a 3a 2b 4 x
A b
ve B
a 2b 5 y 2
11
olmak üzere, A = B ise kaçtır ?
13. 5a 3a 2b 4 x matrislerinin
ÇÖZÜM : A = B =
a 2b 5b y 2 eĢitliğinden,
5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan
5a = 22
5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer
5b = 2 52b = 22 x/y de yerine yazılırsa;
x 3(2b) 2b 8b
2 bulunur.
12
y 2b 2b 4b
14. MATRĠSLERDE TOPLAMA
ĠġLEMĠ
Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiĢ olsun.
A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B
matrislerinin toplamı denir.
O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
ÇÖZÜM: Ġki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.
Buna göre;
m+1 = n+1 p-2 = 2 m=n p=4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 k=2
13
m =n 2 , p=4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.
15. TOPLAMA ĠġLEMĠNĠN
ÖZELLĠKLERĠ
2. Matrisler kümesinde toplama iĢleminin birleĢme
özelliği vardır.
A = [aij]m x n , B = [bij]m x n C = [cij]m x n matrisleri için;
A+(B+C) = [aij]m x n + ( [bij]m x n + [cij]m x n )
= [aij]m x n + [bij + cij]m x n = [aij+ (bij + cij)]m x n
= [(aij+ bij) + cij]m x n = [aij + bij ]m x n + [cij]m x n
= (aij]m x n + [ [bij]m x n ) + [cij]m x n 16
= (A+B) + C olur.
16. TOPLAMA ĠġLEMĠNĠN
ÖZELLĠKLERĠ
3. Sıfır matrisi toplama iĢleminin etkisiz
elemanıdır.
A = [aij]m x n ve O = [O]m x n matrisleri için;
A+O = [aij]m x n + [O]m x n = [aij+ O]m x n = [aij]m x n = A
O + A = [O]m x n + [aij]m x n = [O + aij]m x n = [aij]m x n = A dır.
17
17. TOPLAMA ĠġLEMĠNĠN
ÖZELLĠKLERĠ
4.. A = [aij]m x n matrisinin toplama iĢlemine göre
ters matrisi, -A = [aij]m x n matrisidir.
A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için;
A+(-A) = [aij]m x n + [-aij]m x n = [aij - aij]m x n = [0ij]m x n
A+(-A) = [-aij]m x n + [aij]m x n = [- aij+aij]m x n = [0ij]m x n dir.
18
18. İki Matrisin Farkı
Tanım: A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n
matrislerinin farkı,
A - B = A +(-B) = [aij]m x n + [-bij]m x n
= [aij - bij]m x n dir.
19
19. MATRĠSLERĠN SKALARLA
ÇARPIMI
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiĢ
olsun.
k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar
sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir.
ÖRNEK: 2 3
matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bul.
4 1
ÇÖZÜM: 2 3 2.(2) 3(2) 4 6 bulunur.
= 2.
4 1 4.(2) 1.(2) 8 2
20
20. MATRĠSTE ÇARPMA
ĠġLEMĠNĠN ÖZELLĠKLERĠ
1. Çarpma iĢleminin değiĢme özelliği yoktur. A . B
B.A
2. A O ve B O olduğu halde, A . B = O olabilir.
• Örneğin;
2 1 1 1
A ve B olup;
2 1 2 2
2 2 2 2 0 0 23
A.B dır.
2 2 2 2 0 0
21. MATRĠSTE ÇARPMA
ĠġLEMĠNĠN ÖZELLĠKLERĠ
3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi
çarpma iĢleminde yutan elemandır.
4. Birim matris çarpma iĢleminin etkisiz
elemanıdır.
I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.
24
22. MATRĠSTE ÇARPMA
ĠġLEMĠNĠN ÖZELLĠKLERĠ
5. Matrislerde çarpma iĢleminin birleĢme özelliği vardır.
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir.
6. Matrislerde çarpma iĢleminin dağılma özelliği vardır.
a. Matrislerde çarpma iĢleminin toplama iĢlemi üzerine soldan
dağılma özelliği;
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ;
25
A.(B +C) = A .B + A . C dir.
23. MATRĠSTE ÇARPMA
ĠġLEMĠNĠN ÖZELLĠKLERĠ
b. Matrislerde çarpma iĢleminin toplama iĢlemi üzerine sağdan
dağılma özelliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.
7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı
ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir.
26
24. MATRĠSĠN ÇARPMA
ĠġLEMĠNE GÖRE TERSĠ
Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=In koĢulunu
sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine,
A matrisinin çarpma iĢlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma iĢlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.
A. A-1 = A-1.A = In
• Örnek:
3 1
A matrisinin çarpma iĢlemine göre tersi
2 1 matrisini bulalım. 29
25. ÇÖZÜM:
a b
A -1= olsun. A. A-1 = A-1.A = I2 olduğundan
c d
3 1 a b 1 0
. yazalım:
2 1 c d 0 1
3a c 3b d 1 0
elde edilir. Matrislerin eşitliğinden,
2a c 2b d 0 1
3a c 1 3b d 0
2a c 0 2b d 1 1 1
a 1 b 1
bulunur. O halde, A-1 =
2 3
30
c 2 d 3
26. ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS
MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ
1. k R- 0 olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin
çarpma iĢlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A-1dir.
2. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma iĢlemine
göre tersleri, A-1 ve B-1 ise; (A.B)-1 = A-1 . B-1 dir.
a b 1 1 d b
3. A ise, A dır.
c d ad bc c a
Eğer, ad - bc = 0 ise ,A-1 yoktur.
31
27. BĠR MATRĠSĠN
TRANSPOROZU (DEVRĠĞĠ)
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun haline
getirmekle elde edilen A = [aij]m x n matrisine,A matrisinin
transporozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
• Örneğin;
3 4 5 matrisinin transporozu,
A
2 1 6 3 2
T d
A A 4 1
5 6 32
28. Teorem: A tersi olan bir matris ise,
(AT)-1 =(A-1)T dir.
• Örnek
: 1 1 2
A.B ise, BT . AT matrisleri ni bulalım .
3 4 5
Çözüm:
T 1 3
T 1 1 2
A.B B . A için , B . A
T T T T
1 4 dir .
3 4 5
2 5 35
29. Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
1. AT = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
2. AT = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir.
3. AT = A-1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir.
36
30. 0 3 4
2 3
• Örnek A 3 5
, B 3 0 6 matrislerinin hangisinin
: 4 6 0
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
Çözüm: 2 3
A simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
3 5
0 3 4
B 3 0 6 matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, AT = -A dır.
4 6 0
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar 37
sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.
