KARMAŞIK SAYILAR

2. TANIM: x2+1 = 0 denkleminin gerçel sayılar
kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(∆<0)
x2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar
kümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan
karmaşık sayılar kümesini oluşturacağız.
Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxR
kümesini C ile gösterelim.
C = {a + bi ; a,b∈R ve i2 = -1 } kümesine KARMAŞIK
SAYILAR kümesi denir.

3. İ - SAYISININ KUVVETLERİ
x2 +1 = 0 denkleminde x2 = -1⇒ x = ±√-1 olur. i = √-1
alınırsa
√-5 = √-1. √5 = i √5
√-9 = √9. √-1 = 3i
i sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken kuvvetin 4 ile
bölümündeki kalan i’nin kuvvetine yazılır.

4. KALAN SONUÇ
0 ise 1
1 ise i
2 ise -1
3 ise -i
i2 = i.i = (√-1)(√-1) = -1
i3 =i2.i = (-1)i = -i
i4 = i2.i2 = (-1)(-1) = 1

5. ÖRNEKLER
1) i21 = ?
2) i543 = ?
3) P(x) = 4x41 - 3x38 + 7x55 - 5x24 ise P(i) = ?
4) P(x) = x3 + x - 1 olduğuna göre P(√-4) = ?

6. KARMAŞIK SAYILARIN STANDART BİÇİMİ
Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar
kümesi adı verilir. C ile gösterilir.
Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu
yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir.
z = a+bi şeklinde gösterilir.
Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında
a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı ,
b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir.
z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

7. ÖRNEKLER
1) z = 5 ise z = 5 + 0i Re(z) = 5 ve Im(z) = 0
2) z = 3i ise z = 0+3i Re(z) = 0 , Im(z) = 3
3) z = (-3-4i).(1+i) = 1-7i Re(z) = 1 , Im(z) = -7

8. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ
İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve sanal kısımları
kendi aralarında eşitse bu iki karmaşık sayı eşittir denir.
z1 = a+bi ve z2 = c+di karmaşık sayıları için;
z1 = z2 ⇔ a = b ve c = d dir.
ÖRNEKLER
1) z1 = 2x+3i+y ve z2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit olduğuna göre
(x,y) sayıları nedir?
2) 3x+2y+(2x-y)i = 1-4i eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.
3) 2i+√5 = 3-2xi+ √20.i-y ise x ve y’yi bulunuz.

9. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
-
z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve z ile gösterilir.
z = a+bi - = a-bi
ise z
ÖRNEKLER
-
1) z = 3+4i ise z = 3-4i
2) z = -2-i ise -
z = -2+i
-
3) z = 4 ise z=4
-
4) z =-2i ise z = 2i

10. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER
TOPLAMA-ÇIKARMA
İki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlar
kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır ve
çıkarılır.
z1= a+bi ve z2= c+di olsun.
z1+z2 = (a+c)+(b+d)i
z1- z2 = z1+(-z2) = (a-c)+(b-d)i
ÖRNEKLER
1) z1 = 3-2i ve z2 = -4+5i ise z1 + z2 = ?
2) z1 = -2+6i ve z1+z = -4i ise z’nin eşiti nedir?

11. ÇARPMA
Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin
değeri bulunarak yerine konur.
z1 = a+bi , z2 = c+di olmak üzere;
z1.z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i
ÖRNEKLER
1) z1 = 2+3i , z2 = 4-5i ise z1.z2 = ?
2) z = (2-7i) ise z2 sayısı nedir?
3) √-5. √-8. √-10 = ?
4) (1+i)35 sayısını a+bi biçiminde yazınız.

12. 5) Çözüm kümesi {2-5i , 2+5i} olan ikinci derece denklemi bulunuz?
BÖLME
İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda paydanın eşleniği ile
çarpılır.
z1 = a+bi ve z2 = c+di ise
z1 = a+bi . c-di = (a+ib)(c+id)
z2 c+di c-di c2+d2
ÖRNEKLER
1) z1 = 4+3i , z2 =3+2i ise z1/z2 = ?

13. KARMAŞIK DÜZLEM
Analitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal
(imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık
düzlem denir.
Sanal (imajiner) eksen
A = 2+3i
A
3
Reel eksen
2

14. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ
IzI = I x+yi I = √(x2+y2) dir.
Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olan
uzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir.
UYARI
A=(x+yi) 1. ∀z∈C için IzI≥0
IzI y
2. Iz1.z2I = Iz1I.Iz2I
O x H
3. z1 Iz1|
=
z2 |z2I

15. 4. zn = z n
5. z = z = - z = - z
6. | 1/z| = 1 / |z| (z≠0)
7. | | z1| - | z2| | ≤ | z1 + z2| ≤ | z1| +| z2|
ÖRNEKLER
1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlak
değerini bulunuz.
A) z = 2 + 3i B) z = - √5 i C) z= -3
2. ( -2 + 3i ) • ( 8 +6 i ) = ?
3. ( z1 = 5 √ 3 - √ 6 i , z2 = 2 √ 11 + √ 5 i , z3 = 1 +2 √2 i ise
z1 =?
z z

16. 4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = - 1 + 2i ise z = ?
5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ;
z - 2i = i.z + 1 ise Im (z) = ?

17. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık;
A z1=x1+y1i
y1
y2 B z2=x2+y2i
x1 x2
| z1-z2 | = |AB| = √(x1-x2)2+(y1-y2)2

18. z1= 2-4i ve z2 = -4+4i sayıları arasındaki uzaklık;
z1 = 2-4i sayısının görüntüsü M1(2,-4)
z2 = -4+4i sayısının görüntüsü M2(-4,4)
| z1 -z2 | = √(2-(-4))2 + (-4-4)2 = √100 = 10
NOT
z0∈C , z0=a+bi
y z |z-z0|=r , r∈R , z=x+yi
b z0 |z-z0|=r ise | (x+iy)-(a+bi) | = r
√(x-a)2+(y-b)2 = r ise
a x (x-a)2+(y-b)2 = r2 dir.

19. 1. | z-z0| = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a,b)
ve yarıçapı r-olan çember denklemidir.
2.| z-z0| = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin
iç bölgesidir.
3. |z-z0| = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin
dış bölgesidir.
ODAKLAYICI SORU:
1. {z| z∈C ve |z- (2+3i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde
gösteriniz.
2. |z+1+i| ≥ 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
4. |z+i| ≤ 2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.

20. 5. z0 =3+4i ise A={z| z∈C ve |z- z0|=3} kümesini karmaşık düzlemde
gösteriniz
6. { z| z∈C ve |z+3i|≤|z+6-5i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz.
7. x,y∈R olduğuna göre z=x+yi dir. 1≤|z-1+i|≤2 ifadesini karmaşık
düzlemde gösteriniz.
TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ :
z1=a+bi z1+z2
⇒ z1+z2=(a+c)+(b+d)i z2
z2=c+di d
0,z1,z2 ve z1+z2 bir parelel kenarın b z1
köşeleridir. ca

21. ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ
z1=a+bi nin görüntüsü A,
z2=c+di nin görüntüsü B, z2
d
-z2=-c-di dir.
z1- z2=(a-c)+(b-d)i b z1
c a
0,z1,-z2 ve z1- z2 bir parelel kenarın
köşeleridir.
z1-z2
-z2

22. KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ
z=x+yi karmaşık sayısının düzlemdeki
görüntüsü M(x,y) ve |OM|=r=|z|=√x2+y2 M z=x+yi
r
|z |= y
OMA ‘de θ .
0 x A
x
Cosθ= ⇒ x=r.Cosθ , (x=|z|.Cosθ)
r
y
Sinθ= ⇒ y=r.Sinθ , (y=|z|.Sinθ)
r
z=x+yi
z=rCosθ+r.i.Sin θ= r(Cosθ+i.Sin θ)= r.Cisθ
z=r(Cosθ+i.Sin θ) veya z=r[Cos(θ+2kπ)+i.Sin(θ+2k π )] ,

23. ARGÜMENT
0o≤θ≤2Π olmak koşulu ile θ açısına z’nin esas argümenti denir.
ve Arg(z)=θ biçiminde yazılır.
Arg( z )=Argz-1=2Π-Argz
z=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurken
z=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır.
I. Bölgede ise Argz=θ
II. Bölgede ise Argz=Π-θ
III. Bölgede ise Argz= Π+θ
IV. Bölgede ise Argz= 2Π-θ

24. y
ÖRNEK:
z
Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; 6
r=|z|=6 ve θ=180o-20o=160o olduğundan, 20o
x
z=6(Cos160o+iSin160o) dır.
ODAKLAYICI SORU:
1 √3
z =- + i sayısının esas argümenti nedir ?
2 2
z= 2√2 - 2√2 i sayısının esas argümenti nedir ?
z=1- √3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z =-3√2 +3√6 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z = -2i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
Arg(z+2)= Π eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini
4
çiziniz.