3. TANIM: m,n∈için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , a ij reel
+
N
sayılarından oluşturulan;
a 11a ... a ... a
12 1j 1n
a 21a ... a
22
... a 2j 2n
: : : : : :
→ i. satır
a i1a ... a
i2
... a ij in
: : : : : :
a n1
a n2
... a mj
... amn
↓
j. sütun
tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir.
∈
Satranç tahtası 8x8 tipinde
bir matris örneğidir.
4. A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ij
elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. a ij
elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur.
Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [ ij ]m*n şeklinde
a
gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
.
A matrisinin a i1 , a i 2 , a ij , a in elemanlarına i.satır elemanları;
a ,a ,a ,a
1j 2j ij mj elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
5.
6.
7.
8. Satır Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir.
B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
. . . .
. . . .
. . . .
Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)
B1
B
2
A matrisi satır matrisine A= [aij]m x n = . şeklinde
bağlı olarak, gösterilir.
.
Bm
9. Sütun Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.
• A1 :1.satır matrisi
a11 a12 a1n
a21 a12 a2 n • A2 : 2.satır matrisi
A1 = , A2 = ,......, An = • ...
.... .... .... • ...
am1
am 2
amn
• An : n.satır matrisi
A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,
A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.
10. Kare Matris
Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare
matris denir.
3 −4
matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
1 5
Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik
bir kare matris örneğidir.
11. Sıfır Matrisi
Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve
O harfi ile gösterilir.
0 0 0
matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
0 0
02 x 3
12. Asal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının
oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin
oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.
a11 a12 a13
a11,a22,a33 : asal köşegen
a a22 a23
21
a31,a22,a13 :yedek köşegen
a31
a32 a33
Yedek köşegen Asal köşegen
13. Köşegen Matris
Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare
matrise, köşegen matris denir.
3 0 0
0 −4
0 matrisi, 3.sıradan bir köşegen
matrisidir.
0
0 0
14. Skalar Matris
Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise,
(k ∈ R) bu matrise, skalar matris denir.
5 0 matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.
0 5
15. Birim Matris
Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları
sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir
birim matris In ile gösterilir.
1 0 0 0
0 1 0 0 matrisi , 4.sıradan bir birim
I4 =
matrisidir. I4 ile gösterilir.
0 0 1 0
0 0 0 1
(asal köşegen)
17. İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler,
eşit matrisler denir.
∀ (i, j) ∈ M x N için, aij = bij ⇔ [aij]m x n = [bij]m x n
ÖRNEK:
5a 3a + 2b 4 x
A= ve B=
a + 2b
b
5 y 2
olmak üzere, A = B ise
x
kaçtır ?
y
18. 5a 3a + 2b 4 x matrislerinin
ÇÖZÜM : A = B ⇒ =
a + 2b b
5 y 2 eşitliğinden,
5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan
5a = 22
⇒ 5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y
5b = 2 ⇒ 52b = 22 de yerine yazılırsa;
x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b
= = = = 2 bulunur.
y a + 2b 2b + 2b 4b
19. x + y 1 0 6 1 0
Örnek: = − ise
-1 4 22 x3 1 x − y 2 2x3
x =?
21. MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B
matrislerinin toplamı denir.
O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
22. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
23. ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.
Buna göre;
m+1 = n+1 ∧ p-2 = 2 ⇒ m=n ∧ p=4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 ∧ k=2
m =n 2 , p=4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.
24. - 2 5 z
+ = −
Örnek : 1 y 1 ise (x, y, z) = ?
x − 4 2
25. Çözüm : x - 4 = 2 ⇒ x = 6
1 + y = -1 ⇒ y = -2
-2+5= z⇒ z = 3
26. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ
1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.
[ ]
A = a ij mxn
[ ]
ve B = b ij mxn
matrisleri için,
A +B =B+A
2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.
[ ]
A = a ij mxn
[ ]
, B = b ij mxn
[ ]
, C = c ij mxn
matrisleri için,
A + (B + C) = (A + B) + C olur.
27. 3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
A = a ij [ ] mxn
,0 =[0] mxn matrisleri için,
0 +A = A olur.
4. A = [a ij ] mxn matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
[ ]
- A = - a ij mxn matrisidir.
A+(-A) = [ 0] mxn
28. Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi
Tanım: A = [a ] matrisi verilmiş olsun. - A = [a ] matrisine ,
[a ]
ij mxn ij mxn
A= ij mxn
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
- 2 1 3
Örneğin: A= matrisinin toplama işlemine göre tersi,
4 5 - 6
2 - 1 - 3
- 4 - 5 6
matrisidir.
29. İKİ MATRİSİN FARKI
[ ]
Tanım : A = a ij mxn
[ ]
, B = b ij mxn
matrislerinin farkı,
[ ]
A - B = A + (-B) = a ij mxn
[ ]
+ - b ij mxn
[
= a ij − b ij ] mxn
olur.
30. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir
Örneğin: k=5 bir reel skalar dır.
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.
k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A
matrisinin çarpımı denir.
2 - 3
Örnek : matrisi ve k = 3 sayısı için
4 1
k.A matrisini bulalım.
2 - 3 6 − 9
Çözüm : k.A = 3. = bulunur.
4 1 12 3
31. Skalarla Çarpmanın Özellikleri
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun.
[ ]
Her A = [a ij ] mxn ve B = b ij mxn
matrisleri için
1. k.(A+B) = k.A + k.B
2. (k1+ k2).A = k1.A + k2.A
3. k1.(k2.A) = (k1.k2).A
34. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2.
matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.
n
A= [a ]
ij mxn
B= [b ]jk nxp
olmak üzere; elemanları c ik
= ∑ a ij . b jk = a i1 . b1k + a i 2 . b2 k + ... + a in . bnk
j=1
toplamıyla bulunan C =[cik ]mxp matrisine A ve B
matrislerinin çarpımı denir ve Cmxp = Amxn . Bnxp biçiminde
gösterilir.
35. 2 1 3 4
Örnek: A = B= olduğuna göre A.B ve B.A’yı
3 0
0 1
bulalım.
37. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN
ÖZELLİKLERİ
1.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B ≠ B . A
2. A ≠ O ve B ≠ O olduğu halde, A . B = O olabilir.
2 − 1 1 1
A= ve B= olup;
− 2 1 2 2
2−2 2 − 2 0 0
A.B = = 0 0 dır.
− 2 + 2 − 2 + 2
38. 3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde
yutan elemandır.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir.
39. 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan
dağılma özelliği;
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ;
A.(B +C) = A .B + A . C dir.
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan
dağılma özelliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.
40. 7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.
(k.B)=(k.A).B dir.
8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.
3 2 1 3 3 1
Örnek: A = , B = 4 1 , C = 1 4 veriliyor.A.B=B.C
6 4
olduğunu gösterelim.
42. KARE MATRİSİN KUVVETİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k∈N+ olmak
üzere
A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.
43. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE
TERSİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu
sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A
matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.
A.A-1 = A-1.A =In dir.
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri
1. k ∈ R - { 0} olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa, ( k.A)-1 = 1 . A -1
k
44. 2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre
tersleri,
A −1 ve B− 1 ise; ( A.B)-1 =B − .A -1
1
a b −1 1 d − b
3. A = A =
ise, ad − bc − c a
dır.
c d
−1
Eğer ad-bc=0 ise,A yoktur.
45. BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)
Tanım: A = a ij[ ] matrisinin sütunları satır ya da satırları
[a ]
mxn
sütun haline getirmekle elde edilen ji nxm matrisine
A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
− 3 2
− 3 4 5
A= matrisinin transpozu, A T = A d = 4 − 1
2 − 1 6
5 6
Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar
ise;
2. ( A + B) = A + B 3. ( k.A ) = k.A
T T T T
1. (A T ) T =A
46. [ ]
Teorem: A = a ij mxn ve B = [b ]
jk nxp
matrisleri için,
(A.B) T = BT .A T dir.
T −1 −1 T
Teorem: A tersi olan bir matris ise, (A ) = (A ) dir.
1 −1 2
Örnek: A.B = ise, BT . AT matrislerini bulalım.
3 4 5
Çözüm:
T 1 3
1 −1 2
(A.B) = B .A için B .A =
T T T T T
= −1 4 dir.
3 4 5 2 5
47. Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal
Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
T
1. A = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
T
2. A = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir.
3. A T = A −1 ise A matrisine, ortogonal matris denir.
0 3 4
2 3
Örnek: A = , B = − 3 0 − 6 matrislerinin hangisinin
3 5
− 4 6 0
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
48. 2 3
Çözüm: A = simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
3 5
0 3 4
B = − 3 0 − 6 matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.
4 6 0
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki
elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların
toplamı sıfırdır.
49. DETERMİNANTLAR
Tanım:1x1 biçimindeki A = [a11] matrisinin determinantı, A = a11
dir.
Örneğin; A=[7] matrisi için A = 7 dir.
a11 a
Tanım: 2x2 biçimindeki A = 12
matrisinin determinantı
a 21 a 22
A = a 11 a 12
= a11 . a 22 −a12 . a 21 dir.
a 21 a 22
50. 3 − 6
Örnek: A = − olduğuna göre , A yı hesaplayalım.
2 8
3 − 6
Çözüm: A = − = 3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur.
2 8
a11 a 12 a 13
Tanım : 3 × 3 biçimindeki A = a 21 a 22 a 23
matrisinin determinantıı
a a a
31 32 33
a a a
11 12 13
A=a a 21 22 23 a = (a . a . a + a . a . a + a . a . a
11 22 33 21 32 13 31 12 23
)
a a a
31 32 33
− (a13 . a 22 . a31 + a23 . a32 . a11 + a33 . a12 . a21) dir.
51. - 1 0 3
= 2 1 0 olduğldu göre, A yı hesaplayalım.
Örnek : A
0 5 - 4
53. MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan
sonra geriye kalan matrisin determinantına, a ij elemanının Minör’ü
denir ve M ij ile gösterilir.
A ij = (−1) i + j .M ij ifadesine, a ij elemanının kofaktörü yada
işaretli minörü denir.
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3 olsun.
a11 a 12 a 13
a
A = 21 a 22 a 23
∈ M3 olmak üzere,
a a a
31 32 33
det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ile tanımlı D : M3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.
54. 3001 3003
Örnek: A = determinantını hesaplayalım.
2997 2999
3001 3003 a + 1 a + 3
Çözüm: 3000=a dersek, A= = olur.
2997 2999 a − 3 a − 1
Buna göre, açılımını yapalım:
A =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.
55. DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.
a 11 a 12 a 1n
a ∈ M
21 a 22 a 2 n n olmak üzere
a n1 a n 2 a nn
det(A) = A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n
ile tanımlı D : M 3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= A ifadesine de A
matrisinin determinantı denir.
58. DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ
1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant
değeri eşittir.
A karesel matris ise, A = A T dir.
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu
matrisin determinantının değeri sıfırdır.
2a 2b 2c
A = a b c a, b, c ∈R - {0} determinantı verilmiş olsun.
1 1 1
Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki
terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, A = 0 dır.
59. 3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm
terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.
4 -2 0
A =4 -1 0 =0 dır.
3 4 0
4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm
elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki
elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
a 11 a 12 a 13
A = 0 a 22 a 23
= a11 . a 22 . a 33 (Asal köşegen altındaki
elemanlar sıfırdır.)
0 0 a 33
60. 5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer
değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
a b c d
= 6 ise = −6 dır. (1. Satır ile 2. Satır yer
c d a b
değiştirmiştir.)
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa,
determinantın değeri de k katına çıkar.
a b ka kb
A= ise k. A = olur.
c d c d
61. 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan
tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun
elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri
değişmez.
a b a b
= dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
c d c + ka d + kb
eklenmiştir.)
62. 8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her
eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı
sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
a +x b +y c +z
1 1 1
Determinantı aynı sıradan iki
A= a b c
2 2 2 determinantın toplamı biçiminde
a b 3 c 3 3 yazılırsa ;
a b c x y z
1 1 1
A=a b c +a b c
2 2 2 2 2 2 olur.
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
63. 9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir
başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı
çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.
3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır.
10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, A.B = A . B dir.
a b x y
A= =4 ve B= =7 ⇒ A.B = A . B = 4.7 = 28
c d z t
64. EK MATRİS
Tanım: n. mertebeden A =aij ]n*nkare matrisi verilmiş
[
ise ; [ A ]
T
olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ij matrisine, A
matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
65. Örneğin;
a11 a12 a 13
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma
A = a 21 a22 a 23
a a a
31 32 33
göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen
matrisin transpozu alınır.
T
11
A A12 A13 11
A A 21 A 31
A = A21
A22 A23 = A12
A 22 A 32
A A A33 A A A
31 32 13 23 33
a b d − b
A = matrisi için ek matris , Ek(A) = − c
c d a
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.
66. Ek Matris Özelliği
A.Ek(A)=Ek(A).A= A .I
a b
Yukarıdaki özelliği, A= matrisi için gösterelim:
c d
a b d − b ad − bc − ab + ab ad − bc 0
c d . − c a = cd − cd − bd + ad = 0
− bc + ad
=(ad-bc)
1 0
0 1 = A .I 2 ' dıı
67. A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:
Teorem: A matrisi A ≠ 0 olan bir matris olmak üzere,
A = Ek ( A)
−1
A ‘dır.
İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile
çarpalım:
A−1. A.Ek ( A) = A−1. A .Ι ⇒ Ek ( A) = A−1. A .Ι
⇒ Ek ( A) = A . A−1.Ι ⇒ Ek ( A) = A . A−1
−1 Ek ( A)
A =
A
68. 1 0 2
Örnek: A = 2 − 1 3 matrisinin tersini bulalım.
4 1 8
−1 Ek ( A)
Çözüm: A = olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.
det( A)
1 0 2 - 11 2 2
det( A) = 2 − 1 3 = 1 ≠ 0 olduğlduğu , A -1 var dıır Ek(A) = - 4 0 1
4 1 8 6 - 1 - 1
- 11 2 2
Ek(A)
olarak bulunur. O halde, A =
-1
= - 4 0 1 olur.
det(A)
6 - 1 - 1
ab
Sonuç : matrisinde , det(A) = ad - bc ≠ 0 ise ;
cd
Ek(A) 1 d − b
A =
-1
= − c dıır
det(A) ad - bc a
