Downloaded 61 times
![TEOREM: a ve b, herhangi iki reel sayı olmak üzere;
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]bababa
bababa
−++=
−++=
coscos
2
1
cos.cos
sinsin
2
1
cos.sin ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]bababa
bababa
−−+=
−−+=
sinsin
2
1
sin.cos
coscos
2
1
sin.sin](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-20-2048.jpg)
![İSPAT
( )
( )
( ) ( ) bababa
abbaba
abbaba
cos.sin2sinsin
cos.sincos.sinsin
cos.sincos.sinsin
=−++
−=−
+=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
eşitliğinden;
( ) ( )[ ]bababa −++= sincos
2
1
cos.sin elde edilir.](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-21-2048.jpg)
![( )
( )
( ) ( ) bababa
bababa
bababa
cos.cos2coscos
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
=−++
+=−
−=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
eşitliğinden
( ) ( )[ ]bababa −++−= coscos
2
1
cos.cos elde edilir](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-22-2048.jpg)
![( )
( )
( ) ( ) bababa
bababa
bababa
sin.sin2coscos
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
−=−−+
+=−
−=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
( ) ( )[ ]bababa −−+−= coscos
2
1
sin.sin elde edilir](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-23-2048.jpg)
![2. ( ) ( ) aaa 2sec245tan45tan =−°++° olduğunu gösterelim
ÇÖZÜM: Önce, tana + tanb dönüşüm formülünü uygulayalım
( ) ( ) ( )
( ) ( )aa
aa
aa
−°+°
−°++°
=−°++°
45cos.45cos
4545sin
45tan45tan
Şimdi paydada, cosa . cosb ters dönüşüm formülünü uygulayalım:
( ) ( )
( ) ( )[ ]aaaa
aa
−°−+°+−°++°
°
=−°++°
4545cos4545cos
2
1
90sin
45tan45tan
[ ]
a
aa
2sec2
2cos0
2
2cos90cos
2
1
1
=
+
=
+°
=](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-25-2048.jpg)
![3.
16
1
80cos.60cos.40cos.20cos =°°°° olduğunu gösterelim
ÇÖZÜM:Uygun olan iki çarpanı alarak, ters dönüşüm formülü uygulayalım
°°°°=°°°° 60cos.40cos.20cos.80cos80cos.60cos.40cos.20cos
( ) ( )[ ]
2
1
.40cos.2080cos2080cos.
2
1
−++=
[ ] 40cos.60cos100cos.
4
1
°+°=
( ) ( )[ ]
16
1
40cos
8
1
16
1
40cos
8
1
40cos
8
1
2
1
40cos
8
1
40cos
8
1
60cos140cos
8
1
40cos
8
1
40100cos40100cos
2
1
.
4
1
40cos
8
1
40cos.100cos
4
1
2
1
100cos40cos.
4
1
=°++°−=
°+
+°−=
°+
°+°=
°+°−°+°+°=
°+°°=
+°°=
](https://image.slidesharecdn.com/lise-trigonometridnmformllerislayt-130508131700-phpapp02/75/LISE-TRIGONOMETRI-DONUSUM-FORMULLERI-SLAYT-26-2048.jpg)
Uploaded bymatematikcanavari
LİSE - TRİGONOMETRİ DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ (SLAYT)
LİSE - TRİGONOMETRİ DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ (SLAYT)
More Related Content
Similar to LİSE - TRİGONOMETRİ DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ (SLAYT)
LİSE - TRİGONOMETRİ DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ (SLAYT)
- 1.
- 2. İSPAT ( ) ( ) () ( ) qsnpqpqp pqqpqp pqqpqp cos.2sinsin cos.sincos.sinsin cos.sincos.sinsin =−++ −=− +=+ Eşitliklerini taraf tarafa toplarsak (I) bulunur. p + q = a ve p – q = b diyelim. Bu eşitlikleri taraf tarafa topğladığımız da, 2 ba p + = 2 ba q − =; çıkardığımızda, buluruz. Bu değerlei, (I) eşitliğinde yazarsak; 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba −+ =+ elde edilir.
- 3. •Bu eşitlikte, byerine – b alınırsa, ( ) ( ) 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba −−− =−+ 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba +− =− elde edilir.
- 4. Aynı düşünceyle; ( ) () ( ) ( ) qpqpqp qpqpqp qpqpqp cos.cos2coscos sinsincoscoscos sinsincoscoscos =+++ +=− −=+ eşitliklerini taraf tarafa toplarsak. (II) elde edilir. =− =+ bqp aqp eşitliklerinden, 2 ba p + = ve 2 ba q − = bulunur. Bu değerleri, ( II ) eşitliğine yazarsak ; 2 cos. 2 cos2coscos baba ba −+ =+ bulunur.
- 5. ( ) ( ) () ( ) qpqpqp qpqpqp qpqpqp sin.sin2coscos sin.sincos.coscos sin.sincos.coscos −=−−+ +=− −=+ eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa. (III) elde edilir. 2 ba p + = ve değerleri, (III) te yerine yazılırsa; 2 ba p + = 2 . 2 sin2coscos baba ba −+ −=− bulunur.
- 6. TEOREM: a veb, herhangi iki reel sayı olmak üzere, ( ) ba ba ba cos.cos sin tantan + =+ ( ) ba ba ba sin.sin sin cotcot + =+ ( ) ba ba ba cos.cos sin tantan − =− ( ) ba ab ba sin.sin sin cotcot − =−
- 7.
- 8. •Bu eşitlikte, byerine –b alınırsa, ( ) ( ) ( )ba ba ba − − =−+ cos.cos sin tantan olur. Buradan; bulunur. ( ) ba ba ba cos.cos sin tantan − =− ( ) ( ) ba ab bave ba ba ba sin.sin sin cotcot sin.sin sin cotcot − =− + =+ eşitliklerinin doğruluğunu da siz gösteriniz.
- 9. 1 + sinu,1 + cosu, 1 + tanu, 1 + cotu, ifadelerini Çarpım Haline Dönüştürme uu sin 2 sinsin1 +=+ π (Dönüşüm formülünü uygulayalım.) += −− += − += − + = u uuu uu uu 4 sin2 242 sin. 24 sin2 24 cos. 24 sin2 2 2cos. 2 2sin2 2 ππππ ππ ππ bulunur.
- 10. uu cos0coscos1 +=+(Dönüşüm formülleri uygulayalım.) 2 cos2 2 cos. 2 cos. 2 cos2 2 0 cos. 2 0 cos2 2 uuuuuu == −+ = bulunur. Bu işlemi aşağıdaki biçimde de yapanbiliriz; 2 cos21 2 cos21cos1 22 uu u = −+=+ bulunur.
- 11. uu tan 4 tantan1 +=+ πDönünüşüm formülünü uygulayınız u u u u u u cos 4 sin2 cos. 2 1 4 sin cos. 4 cos 4 sin + = + = + = ππ π π bulunur.
- 12. u u u u u u sin 4 cos2 sin. 2 1 4 cos sin. 4 sin 4 cos + = + = + = ππ π π bulunur. uu cot 4 cotcot1+=+ π (Dönüşüm formülü uygulayalım.)
- 13. BİR ÜÇGENİN AÇILARININ,SİNÜS VE KOSİNÜS TOPLAMININ DÖNÜŞÜMÜ
- 14. 2 cos. 2 cos. 2 cos4sinsinsin CBA CBA =++ olduğunugösterelim. İSPAT: cos2sinsinsin =++ CA c BABA CBA sin 2 cos. 2 sin2sinsinsin + −+ =++ ( I ) π=++ CBA dir. ( III )
- 15. II ve IIIteki değerleri, I eşitliğinde yerine yazarsak, 2 cos. 2 sin2 2 cos. 2 cos2sinsinsin CCBAC CBA + − =++ 2 cos. 2 cos. 2 cos4 2 cos. 2 cos2 2 cos 2 22cos. 2 22cos2 2 cos2 2 cos 2 cos 2 cos2 2 sin 2 cos 2 cos2 CBABAC a BABABABA C BABACCBAC = −= + − −+ + − = + + − = + − = bulunur.
- 16. ÖRNEKLER 1. Aşağıdaki ifadeleriçarpım durumuna dönüştürelim. a) cos7a – cos3a b) sin5a + sina + 2sin3a a) aa aaaa aa 2sin.5sin2 2 37 sin. 2 37 sin23cos7cos −= −+ −=− b) a aaaa aaa 3sin2 2 5 cos. 2 5 sin23sin2sin5sin + −+ =++ ( )12cos.3sin2 3sin2cos.3sin2 += += aa aaa aaaa aa 22 2 cos.3sin4cos2.sin2 )11cos2.(3sin2 == +−=
- 17. 2. °−°−° 40cos10sin70sinifadesinin eşitini bulalım. ÇÖZÜM °− −°°+° =°−°−° 40 2 1070 sin. 2 1070 cos240cos10sin70sin 040cos40cos 40cos 2 1 .40cos2 40sin30sin.40cos2 =°−°= °−°= °−°°= bulunur.
- 18. 3. xxx xxx cos7cos13cos sin7sin13sin ++ ++ ifadesinin sadeleşmiş biçiminibulalım. ÇÖZÜM:Pay ve paydada, dönüşü formülleri uygulayalım: xxx xxx xxx xxx 7cos6cos.7cos2 7sin6cos.7sin2 cos7cos13cos sin7sin13sin + + = ++ ++ ( ) ( ) x x x xx xx 7tan 7cos 7sin 16cos27cos 16cos27sin == + + = bulunur
- 19. Ters Dönüşümü (çarpımıtoplama dönüştürme) Formülleri
- 20. TEOREM: a veb, herhangi iki reel sayı olmak üzere; ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bababa bababa −++= −++= coscos 2 1 cos.cos sinsin 2 1 cos.sin ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bababa bababa −−+= −−+= sinsin 2 1 sin.cos coscos 2 1 sin.sin
- 21. İSPAT ( ) ( ) () ( ) bababa abbaba abbaba cos.sin2sinsin cos.sincos.sinsin cos.sincos.sinsin =−++ −=− +=+ eşitliklerini taraf tarafa toplayalım eşitliğinden; ( ) ( )[ ]bababa −++= sincos 2 1 cos.sin elde edilir.
- 22. ( ) ( ) () ( ) bababa bababa bababa cos.cos2coscos sin.sincos.coscos sin.sincos.coscos =−++ +=− −=+ eşitliklerini taraf tarafa toplayalım eşitliğinden ( ) ( )[ ]bababa −++−= coscos 2 1 cos.cos elde edilir
- 23. ( ) ( ) () ( ) bababa bababa bababa sin.sin2coscos sin.sincos.coscos sin.sincos.coscos −=−−+ +=− −=+ eşitliklerini taraf tarafa toplayalım ( ) ( )[ ]bababa −−+−= coscos 2 1 sin.sin elde edilir
- 24. ÖRNEKLE R 1. 24 7 cos. 24 7 sin ππ ifadesinin eşitinibulalım. ÇÖZÜM: ters dönüşüm formülünü uygulayalım: −+ += 2424 7 sin 2424 7 sin 2 1 24 7 cos. 24 7 sin ππππππ 4 23 2 2 2 3 2 1 4 sin 3 sin 2 1 + = += += ππ olur
- 25. 2. ( )( ) aaa 2sec245tan45tan =−°++° olduğunu gösterelim ÇÖZÜM: Önce, tana + tanb dönüşüm formülünü uygulayalım ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa aa aa −°+° −°++° =−°++° 45cos.45cos 4545sin 45tan45tan Şimdi paydada, cosa . cosb ters dönüşüm formülünü uygulayalım: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]aaaa aa −°−+°+−°++° ° =−°++° 4545cos4545cos 2 1 90sin 45tan45tan [ ] a aa 2sec2 2cos0 2 2cos90cos 2 1 1 = + = +° =
- 26. 3. 16 1 80cos.60cos.40cos.20cos =°°°° olduğunugösterelim ÇÖZÜM:Uygun olan iki çarpanı alarak, ters dönüşüm formülü uygulayalım °°°°=°°°° 60cos.40cos.20cos.80cos80cos.60cos.40cos.20cos ( ) ( )[ ] 2 1 .40cos.2080cos2080cos. 2 1 −++= [ ] 40cos.60cos100cos. 4 1 °+°= ( ) ( )[ ] 16 1 40cos 8 1 16 1 40cos 8 1 40cos 8 1 2 1 40cos 8 1 40cos 8 1 60cos140cos 8 1 40cos 8 1 40100cos40100cos 2 1 . 4 1 40cos 8 1 40cos.100cos 4 1 2 1 100cos40cos. 4 1 =°++°−= °+ +°−= °+ °+°= °+°−°+°+°= °+°°= +°°=