LİSE - Karmaşık Sayılar 1

KARMA IKŞ
SAYILAR
Derse giriş için tıklayın...Derse giriş için tıklayın...

A. TanımA. Tanım
B.B. i nin Kuvvetlerii nin Kuvvetleri
C.C. İki Karmaşık Sayının Eşitliğiİki Karmaşık Sayının Eşitliği
1. Toplama - Çıkarma
2. Çarpma
3. Bölme
A. Karmaşık Sayıların Kutupsal GösterimiA. Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi
D. Bir Karmaşık Sayının EşleniğiD. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlemE. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
G. Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)G. Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)
H. Mutlak Değerle İlgili ÖzelliklerH. Mutlak Değerle İlgili Özellikler
B. Kutupsal Biçimde İşlemlerB. Kutupsal Biçimde İşlemler
C. Bir Karmaşık Sayının KuvvetiC. Bir Karmaşık Sayının Kuvveti
D. Bir Karmaşık Sayının KökleriD. Bir Karmaşık Sayının Kökleri
F. Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının GörüntüsüF. Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Görüntüsü

A. TanımA. Tanım
ax2
+ bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk.
Mesela x2
+ 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2
+ 1 = 0 ⇒ x2
= -1 ) karesi -1 olan
reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar
kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
∆
 a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen
z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C =
 z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye
karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.
1−
{ } .1,;: diriveRbabiazz =−∈+=
.)11( 2
dirii −=⇒−=
Örnek ...1
izziziz 3,2,2,32 4321 =−=−=−=
sayıları birer karmaşık sayıdır.
⇒ Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.
⇒ Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.
⇒ Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.
⇒ Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.
iz 321 −=
iz −= 22 2
23 −=z
iz 34 =
Örneği görmek için tıklayın
Ana Menü

B. i nin KuvvetleriB. i nin Kuvvetleri
i0
= 1
i1
= i
i2
= -1
i3
= -i
i4
= 1
i5
= i
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden
birine eşit olmaktadır.
n ∈ N olmak üzere
i4n
= 1
i4n+1
= i
i4n+2
= -1
i4n+3
= -i dir.
Örnek ...2
84 = 4.21 olduğu için i84
= 1,
61 = 4.15 + 1 olduğu için i61
= i,
98 = 4.24 + 2 olduğu için i98
= -1
47 = 4.11 + 3 olduğu için i47
= -i dir.
Örnek ...3
i2
= -1 olmak üzere
(1+ i20
). (1+ i21
). (1+ i22
)
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i
Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın
i20
= (i4
)5
= 1 , i21
= (i4
)5
.i = i ve
i22
= (i4
)5
.i2
= 1.(-1) = -1 olduğu için,
(1+ i20
). (1+ i21
). (1+ i22
) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)
= 2. (1 + i). 0
= 0 olur.
Cevap C
Ana Menü

C. İki Karmaşık Sayının EşitliğiC. İki Karmaşık Sayının Eşitliği
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki
karmaşık sayı eşittir.
.. 21
2
1
dirdbvecazzolsun
dicz
biaz
==⇔=



+=
+=
Örnek ...4
Çözüm
Çözümü görmek için tıklayın
kaçtır?bagöre,olduğuna
32
32
21
2
1
+=
−+−=
−++=
zz
aibiaz
ibiaz
A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5
olur.3)2(5,göreBuna
.2513513
,5322
.13322
göre,olduğunave
).()32(
).13()2(
21
2
1
=−+=+
−=⇒−=−⇒=−=−
=⇒−=+
−=−−=+
=
−+−=
−++=
ba
dirbbbaveabb
aaa
dırabbveaa
zz
iabaz
ibaz
Cevap D
Ana Menü

.' denireşleniğininz
sayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz −=+=
Örnek ...5 Örneği görmek için tıklayın
.53:eşleniğisayısının53.5
.4:eşleniğisayısının41
55
44
33
22
11
diriziz
diriziz
tirzz
türiziz
diriziz.
+=−=
−==
==
−−=−=
−=+=
Reel katsayılı ax2
+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin
köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün
eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.
Örnek ...6
x2
- 2x + 5 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm Çözümü görmek için tıklayın
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
( )
( )
{ } .21,21
.2121
21
2
162
1.2
162
2
,165.1.424
21
2
2,1
22
diriiÇ
dirixveixise
i
i
a
b
x
acb
+−=
+=−=
±=
±
=
−±−−
=
∆+−
=
−=−−=−=∆
Ana Menü

Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve
sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.
⇒



+=
+=
dicz
biaz
2
1
.)()(
)()(
21
21
diridbcazz
veidbcazz
−+−=−
+++=+
.55)4())3(2()43()2(
31)4()32()43()2(
göre,olduğuna432
21
21
21
diriiiiizz
iiiiizz
izveiz
−=−−+−−=+−−−=−
+−=+−+−=+−+−=+
+−=−=
2. Çarpma
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2
= -1 olduğu göz önüne alınarak, reel
sayılardakine benzer şekilde yapılır.
.21 olsundiczvebiaz +=+=
)).((. 21 dicbiazz ++=
dbcibdiaca
idibcibdiaca
....
)1(,.... 22
−++=
−=+++=
22
1111
21
.)).((.
)()(.
bazzbiabiazz
ibcadbdaczz
+=⇒−+=
++−=
Ana Menü leriİ

Örnek ...9
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının
)2.()2( 33
ii +−
A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i
Çözüm
[ ]
.1255
)14()12(
)2).(2()2.()2(
3
3322
333
tir
iiii
==
+=+=
+−=+−
Cevap A Geri Ana Menü leriİ
yapalım.iişlemlerin
..
,göreolduğuna221
2
11121
21
zzzzz
izveiz +=+=
1. 2. 3.
Çözüm
)2).(21(. 21 iizz ++=
i
i
iiii
5
)1(252
)1(,242 22
=
−++=
−=+++=
1.
541)21)(21(. 11 =+=−+= iizz2.
.43
)1(441441
)2(2.1.21)21(
2
222
1
oluri
iii
iiiz
+−=
−++=++=
++=+=3.

3. Bölme
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay
ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.
.21 olsundiczvebiaz +=+=
22
2
1 )()(
))((
))((
dc
iadbcbdac
dicdic
dicbia
dic
bia
z
z
+
−++
=
−+
−+
=
+
+
=
olur.
5
5
41
)1(252
21
242
)21)(21(
)21)(2(
21
2
göre,olduğuna21ve2
22
2
2
1
21
i
ii
iii
ii
ii
i
i
z
z
iziz
==
+
−++
=
+
+++
=
+−
++
=
−
+
=
−=+=
z=a+bi sayısının,
toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi
çarpma işlemine göre tersi :
.
11
22
dir
ba
bia
biaz +
−
=
+
=
kaçtır?kısmıimajiner
neşleniğinitersiningöre,çarpmayasayısının
3
(sanal)
i−
dur.
10
1
-kısmıimajinersayınınBu
dur.
1010
3
eşleniğibununiçinolduğu
1010
3
19
3
13
3
)3)(3(
3
3
1
tersi;göreçarpmayasayısının3
22
i
iii
ii
i
i
i
−
+=
+
+
=
+
+
=
+−
+
=
−
−
Geri Ana Menü

 İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y
ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme
karmaşık düzlem denir.
 z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü
M(a,b) noktasıdır.
 z = a + bi kompleks sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki
görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
O
Reel
Eksen
İmajiner
Eksen
2
3
.z = 3+2i
O
x
y
2
3
.z = 3+2i
Ana Menü
.gösterelimuzayındaVektör
düzlemdeKarmaşık
sayısını,karmaşık23 iz +=
1.
2.

Karmaşık düzlemde, bir
karmaşık sayıya karşılık gelen
noktanın başlangıç noktasına
uzaklığına mutlak değeri
(modülü) denir ve IzI şeklinde
gösterilir.
O
x
y
b
a
.z = a+bi
IzI
IzI 22
ba +=
z = 4 + 3i sayısının mutlak değerini bularak
karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm
.534
34
22
tirz
iz
=+=⇒
+=
y
O
x
3
4
.z = 4+3i
IzI=5
Ana Menü

212121
2
2
2
1
2
1
2121
.
0,
..
zzzzzz
zzz
zz
z
z
z
z
z
zzzz
zzzz
nn
+≤±≤−
=
=
≠=
=
−==−=
6.
5.
4.
3.
2.
1.
Örnek ...14
Çözüm
kaçtır?göreolduğuna
23
23
üzere,olmak12
z
i
i
z
i
−−
+−
=
−=
.1
23
23
23
23
göre,Bunadir.2323
için,olduğueşleniğisayısının23sayısı23
dir
i
i
i
i
z
ii
i--i
=
−−
+−
=
−−
+−
=
−−=+−
+−
Cevap A
A) 1 B) C) D) 2 E) 52 3
Ana Menü leriİ

?hangisidirerdenaşağıdakilsayısıkarmaşıkzsağlayaneşitliğini
31zz
üzereolmak12
i
i
+=+
−=
A) –4-3i B) –3-4i C) –4+3i D) 3+4i E) 4+3i
Çözüm
.34
göre,olduğuna34
.4
82
219)1()9(
.1919
13
.31
31
31
göre,eVerilenler
olsun.
22222
22
22
22
22
diriz
bvea
türa
a
aaaaa
dıraaaa
denbaaveb
türbvebaa
ibabia
ibiabia
biaz
+−=
=−=
−=⇒
−=⇒
+−=+⇒−=+
−=+⇒=++
=++=
==++⇒
+=+++
+=+++
+=
Cevap C Geri Ana Menü leriİ

 z1= x1+ iy1 ve z2= x2+ iy2 sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların
karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa
eşittir. Yani,
 Iz-z0I = r şartını sağlayan z karmaşık sayılarının kümesi, z0 sabit
noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme,
merkezi z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
 Iz-z0I < r ifadesi merkezi z0, yarıçapı r olan çemberin iç
bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.
 Iz-z0I > r ifadesi merkezi z0, yarıçapı r olan çemberin dış
bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.
.)()( 2
21
2
2121 diryyxxzz −+−=−
birimdir?kaçuzaklıkarasındakisayıları
5234
üzereolmak1
21
2
iziz
i
+−=−=
−=
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 13
Çözüm
birimdir.10)8(6
86)52()34(z
:uzaklıkarasındakisayıları5234
22
21
21
=−+=
−=+−−−=−
+−=−=
iiiz
izveiz
Cevap D Geri Ana Menü

olsun.ölçümüaçınınuoluşturduğ
eksenininOxileOM.noktasıdırb)M(a,
görüntüsüdüzlemdekikarmaşıknin
olsun.
θ
z
biaz +=
O
x
y
b
a
.M(a,b)
IzI
θ H
( )
denir.gösterimi
trik)(trigonomekutupsalsayınınkarmaşık
edilmesineifadeşekildebusayınınKarmaşık
.sin.cos
sin..cos.
sin.cos.Buradan,yazılır.
b
tan,
z
a
cos,
z
b
sin,
,üçgenindendikOHM
22
dırizz
zizbiaz
zbveza
a
baz
θθ
θθ
θθ
θθθ
+=⇒
+=+=⇒
==
===+=
 Yukarıda ifade edilen eşitlikleri sağlayan θ reel
sayısına z nin argümenti denir ve
arg(z) = θ şeklinde gösterilir.
0 ≤ θ ≤ 2π ise θ ya karmaşık sayının esas
argümenti denir.
 Karmaşık sayının mutlak değer ve
argümentine bu sayının kutupsal koordinatları
denir ve (IzI,θ) şeklinde gösterilir.
 z= IzI.(cosθ +i.sinθ) sayısı
z=IzI.cisθ şeklinde de yazılabilir.
Ana Menü leriİ

kaçtır?tan
göre,olduğunaargümentisayısınınkarmaşık
14
θ
θ
=−− iz
.
5
1
tangöre,olduğuna
taniseargümentisayısının
...514
tir
a
b
biaz
diriziz
=
=+=
+=⇒=−−
θ
θθ
Örnek ...2
bulalım.iargümentinesassayısının
33 iz +−=
Çözüm
( )
Zkk
ziz
∈+=⇒







−=
−
=
==
=+−=⇒+−=
,2.
4
3
2
1
23
3
cos
2
1
23
3
sin
233333 22
π
π
θ
θ
θ
[ )
tür.
4
3
argümentiesasninz
içinolduğu
4
3
değerikiaralığında0,2nın
göreolduğuna,2.
4
3
)arg(haldeO
π
π
πθ
π
π
Zkkz ∈+=
Geri Ana Menü leriİ

Örnek ...3
.gösterelimbiçimdekutupsalsayısını
232 iz −=
Çözüm
( ) ( )
( ) .3304330sin.330cos4
:biçimikutupsalsayısının232göre,Buna
.330
2
3
4
32
cos
2
1
4
2
sin
4232
232
22
dirciszveyaiz
iz
dir
z
iz


=+=
−=
=⇒






==
−=−=
=−+=⇒
−=
θ
θ
θ
?hangisidirerdenaşağıdakil
sayıkarmaşıkolan
6
,2arıkoordinatlKutupsal 




 π
A) B) C)i31+ i+32 i22 +
D) E)i+1 i22 +
( )
.32
2
1
.
2
3
2
6
sin.
6
cos2sin.cos.
göre,olduğuna
6
)arg(2
diri
i
iizz
zvez
+=








+=






+=+=
==
ππ
θθ
π
Cevap B
IzI=4
32
2−
x
y
θ

Örnek ...5
?hangisidirerdenaşağıdakildeğeri






 −
i
i3
arg
A) B) C) D) E)
3
π
2
π
3
2π
3
4π
6
11π
1.
2.
3. )arg()arg(arg
)arg()arg().arg(
)arg(.)arg(
21
2
1
2121
zz
z
z
zzzz
znz n
−=





+=
=
Cevap D
( ) ( )
tür.
3
arggöre,Buna
dir.arg(zve
için,olduğuzve
2
2
3
4
6
8
26
11
argargarg
2
)
2
0
1
0
cos
1
1
1
sin
10
21
2
1
2
ππππ
ππ
α
α
α
==−=
−=





=






 −
==⇒






==
==
=+=
zz
z
z
i
i
iz
( ) ( )
dır.
6
11
)arg(zve
6
11
2
3
cos
2
1
sin
için,olduğu2zve3z
olsun.vesıraylariargümentlensayılarınızvez
dir.110zve213z
olsun.ive3
1
11
21
22
2
22
1
21
ππ
θ
θ
θ
αθ
==⇒






=
−=
=−=
=+==−+=
==−
i
zzi

Örnek ...6
( ) ( )
( )
( )
radyandır?kaç
z
z
arggöre,olduğuna
zargve
2
1
2






==
3
2
1
94
arg
ππ
z
A) B) C) D) E)
2
π
9
π
6
π
4
π
π
Çözüm
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dır.
6329
.3
4
.2
arg3arg2argargarg 21
3
2
2
13
2
2
1
πππππ
=−=−=
−=−=





zzzz
z
z
Cevap B
.doğrusuduryarıMP
görüntüsünsayılarınıkarmaşıkzsağlayanşartını
)z-(zarg
olsun.noktasıb)M(a,görüntüsü
düzlemdekikarmaşıksayısınınkarmaşık
0
0
θ=
+= biaz
θ
M
P
y
x
0z
Geri Ana Menü

( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) dir.sincos.
sincos...z
olsun.sincos.z
vesincos.
2121
2
1
2
1
21212121
2222
1111
θθθθ
θθθθ
θθ
θθ
−+−=
+++=
+=
+=
i
z
z
z
z
izzz
iz
izz
Örneği görmek için tıklayın Çözümü görmek için tıklayınÖrnek ...7 Çözüm
bulalım.bölümünüve
çarpımınızgöre,olduğuna
3
2
3
6
5
6
2
1
21.
2
1
z
z
z
cisz
cisz
π
π
=
=






−==
−=−+=






+==
+=











=
3
2
6
5
.
3
6
3
2
3
6
5
6
18))1(0(18
2
3
sin
2
3
cos18
2
3
.18
)
3
2
6
5
(.3.6
3
2
3.
6
5
6.
2
1
21
ππ
π
π
πππ
ππππ
cis
cis
cis
z
z
ii
icis
ciscisciszz
olur.ii
icis
+=





+






+=
3
2
1
.
2
3
2
6
sin
6
cos2
6
2
πππ
Ana Menü

( )[ ] ( ) .nsincos.sincos.z
üzere,olmaksayıdoğalbirn
dırinzi
nn
θθθθ +=+
( )
( )
r.gidilebilisonucadaakkullanılarieşitlikler
2121.1.21i-1
ve2121.1.212i1
bakılmadankuralabelirtilenyukarıdaiçin
hesaplamakyizisei-1zveya1
222
22
n
iiii
iiii
iz
−=−−=+−=
=−+=++=+
=+=
Örnek ...8
Çözüm
?hangisidirerdenaşağıdakilzgöre,olduğuna
15
6

cisz 2=
A)-64i B)32 C)32i D)64 E)64i
Cevap E



9064
)15.6(.2
152
66
cis
cisz
cisz
=
=⇒
=
dir.64
)1.0(64
)90sin90(cos64
i
i
i
=
+=
+= 
Ana Menü leriİ

Çözüm
?hangisidirerdenaşağıdakilzgöre,olduğuna 100
iz 22 += ( )
( )[ ]
( )[ ]
olur.150
21505050100
50100502100
100100100100
2
.2.2.2
)2(212
)1(212
1222
−=
==
=+=
+=+=
+=⇒+=
ii
ii
iiz
iziz
Cevap A
A) B) C) D) E)
150
2− 100
2− i.2150
i.2100 150
2
Örnek ...10
?hangisidirerdenaşağıdakilzgöre,olduğuna 300
22
3 i
z −=
.330
2
3
1
2
3
cos
2
1
1
2
1
sin
,1
2
1
2
3
22
3
22
dir
z
i
z

=⇒








==
−=
−
=
=





−+





=⇒−=
θ
θ
θ
Çözüm
( )
[ ]
dir.1
.01
0sin0cos.1
99000330.300.1
300
300
300
300300
=⇒
+=⇒
+=⇒
==⇒
z
iz
iz
ciscisz


Cevap E
A) -i B) -1 C) D)i E)1
2
31 i+
Geri Ana Menü

bulalım.
inikareköklersayısının
)
3
4
sin.
3
4
(cos16
ππ
iz +=
ve
)sin(cos
sincos
i
i
iw
322
3
2
3
2
4
2
3
4
2
3
4
160
+−=
+=




















+










=
ππ
ππ
bulunur.ii
i
iw
322
2
3
2
1
4
3
5
sin
3
5
cos4
2
3
4
sin
2
3
4
161
−=








−=






+=
























+












+=
ππ
π
π
π
π
Çözümü görmek için tıklayınÇözüm
Ana Menü leriİ
dır.içinkareköklerAyrıca,dir.ve
ikareköklersayısınınkarmaşık
:şunlardırsayılarısağlayandenklemini
r.sayılarıdıwsağlayanıbağıntısın
kökler,Buiz.göstereceğilekökleriniderecedenZn.(nsayısının
n
n
nn
n
ww
θ
π.cisrw
θ
.cisrw
θr.cisz
)...,(n,,;k
n
kπθ
cisr
wzwiçin)z,(rZnθ ver.cisz
zwzw
zbiaz
0110
1
22
1210
2
)
−=





+==
=
−=
+
==∈=
=⇔=
∈+=
+
+



Örnek ...12
bulalım.sayılarınızsağlayandenklemini083
=+z
bulunur.31)
2
3
2
1
(2
)
3
5
sin
3
5
(cos2
3
5
2ziçin2
2)01(2
)sin(cos22ziçin1
31
2
3
2
1
2
)
3
sin
3
(cos2
3
2cisziçin0
3
2.
8
)2.(.8808
3
2
1
3
1
33
ii
icisk
i
icisk
ii
ik
k
cisz
kciszz
−=−=
+===
−=+−=
+===
+=








+=
+===





 +
=⇒
+=−=⇒=+
πππ
πππ
πππ
ππ
ππ
z=a+bi karmaşık sayısının karekökleri
formülünden yararlanarak da bulunabilir.









 −
±
+
±=
22
1,0
azaz
w
z= 3 - 4i
karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
Çözüm
( )
( )
( ) olur.2
14
2
35
2
35
w
göre,olduğuna5434,3
0,1
22
i
ii
zveba
−+=
−±=






 −
−
+
±=
=−+=−==
Geri Ana Menü

A. TanımA. Tanım
2. Çarpma
3. Bölme

ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1
Soru ...1
kaçtır?kısmıiner)sanal(imajneşleniğini
sayısınınkarmaşıkzsağlayaneşitliğini
12342 −=+−− iziz
13
12
−
13
5
−
13
5
13
12
1A) B) C) D) E)
tür.
13
5
)zİm(
:kısmısanalsayısının
13
5
13
12
için,olduğu
13
512
32
6496
)32)(32(
)32)(23(
32
23
23)32(
12342
22
2
−=
−=⇒
+
=⇒
+
−−+
=
+−
+−
=
−
−
=⇒
−=−⇒
−=+−−
iz
i
z
iii
ii
ii
i
i
z
iiz
iziz
Cevap B
Soru ...2
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının
)3.()3( 1110
ii +−
20
2 )3(220
i− )3(220
i+
)3(210
i− )3(210
i+E)
A) B) C)
D)
[ ]
olur.)3(2
)3.()13(
)3.()3)(3(
)3.()3.()3()3.()3(
20
10
10
10101110
i
i
iii
iiiii
+=
++=
++−=
++−=+−
Cevap C
Ana Menü leriİ

Soru ...3
r.)eşleniğidinin',z(?hangisidirerdenaşağıdakil
sayısıkarmaşıkzsağlayaneşitliğini
2).3(
z
zzi −=−
E)
A) B) C)
D)
)1(
9
2
i+ )1(
9
2
i− )2(
9
2
i+
)2(
9
2
i− i24 +
olur.)2(
9
2
9
2
9
4
z
göre,Bunabulunur.
9
2
9
4
,çözümündenortakdenkleminikiBu
.224
323
)2()3()3(
233
)(2))(3(z-2i).z-(3
olsun.
2
ii
yvex
diryxveyx
yxyvexyx
yixixyyx
yixyixiyix
yixyixi
yixz
+=+=
==
==+⇒
=−−=+⇒
+−=−++⇒
+−=−−+⇒
−−=+−⇒=
+=
Cevap C
Soru ...4
?hangisidirerdenaşağıdakilxgöre,olduğuna
26.
2
=+
++=
ziz
xixz
A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) 1
[ ] [ ]
42
3131
9)1(
72)1(8
26)1(2)1(2
26)1(2)1(2
2622
26)2.(2
26.2
2
2
22
2
−==⇒
−=+=+⇒
=+
=+
=+++
=+++
=−++++
=−++++⇒
=+++=
xveyax
xveyax
x
x
xx
ixx
xiixixix
xixixix
zizvexixz
Cevap A

Soru ...5 Soru ...6
kaçtır?toplamı
göreolduğuna3birinköklerindendenklemini
0
üzere,olmak,,
2
cba
i-
cbxax
IRcba
++
+
=++
∈
A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17
olur.171061halde,O
dır.0106010)6(x
denklemi;0göre,Buna
101)3()3)(3(x.x
6)3(3xx
dir.3olaneşleniği
bununköküdiğerise3birinköklerinde
ndenklemini0katsayılıReel
22
2
22
21
21
2
=++=++
=++⇒=+−−
=++
=+−=+−=
−=++−=+
+−
=++
cba
xxx
cbxax
-i-i
-i-i
-i-
i
cbxax
Cevap E
kaçtır?zgöre,olduğuna
43
1-
iz −=
5
1
5
2
5
3
5
4
1A) B) C) D) E)
olur.
5
1
5z
için,olduğu5)4(343
111-
22
===
=−+=⇒−=
−−
z
ziz
Cevap A

Soru ...7 Soru ...8
eşitiifadesinin
z-z
göre,olduğuna
2
2







 +
+=
zz
iz
A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4
olur.
zz
için,olduğu
4
1
442
2
4
)2(2
22
22
2
2
222
−=
−
==











=





−−+
−++
=








−
+
−=⇒+=
ii
iii
ii
zz
iziz
Cevap D
?hangisidirerdenaşağıdakileşitiifadesinin
1
1
üzereolmak1
50
2






−
+
−=
i
i
i
.1
i-1
i1
için,olduğu
2
21
)1)(1(
)1)(1(
1
1
250
50
2
dirii
i
ii
ii
ii
i
i
−===




 +
=
++
=
+−
++
=
−
+
Cevap B
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

Soru ...9 Soru ...10
Geri Ana Menü
[ ]
birimdir?
kaçuzaklığıolannoktasınaortaninnın
.veriliyornoktaları
2825düzlemdeKarmaşık
BCA
i)) ve C(i), B(-A( +
A) B) C) D) E)3 32 13 525
.
.
3
1
2
8
5
.
.
x
y
A
B
D
C
-2
[ ]
noktasıortanin
üzere,olmak
)28(ve)2(
BC
iCB +−
)3()
2
282
( iD
i
D +=
++−
birimdir.543)15()30(
uzaklığınoktasına
3noktasının
5göre,Buna
2222
=+=−+−=
+
AD
i)D(
i)A(
Cevap B
bulunuz.denkleminiyerinin
geometriknsayılarınıkarmaşıkzsağlayaneşitliğini
1
1
=
+−
+
iz
iz
olur.
2
1
121212
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1(
1
1
1
1
1
1
olsun.
2222
2222
2222
=⇒
++++−=+++⇒
++−=++⇒
++−=++⇒
++−=++⇒
+−+=++⇒
+−=+⇒
=
+−
+
⇒=
+−
+
+=
x
yyxxyyx
yxyx
yxyx
iyxiyx
iyixiyix
iziz
iz
iz
iz
iz
yixz
Özel Soru

ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2
Soru ...1
?hangisidirerdenaşağıdakilzgöre,olduğuna
4.ve
3
2
)arg( == zzz
π
Cevap C
Ana Menü leriİ
i+− 3 i−3 i31+−
i31− i−− 3E)
A) B) C)
D)
Soru ...2
kaçtır?göre
olduğunaargümentisayısınınkarmaşıkve
α
α
sin
1
z
ziiz +=−
dir.1sinve
2
)arg(
göre,olduğuna
2
dir.
2
2
1
)1(
1
1
1)1(
1
1
2
2
===
==
==
−
+
=
−
+
=⇒
+=−⇒
+=−⇒
+=−
α
π
α
π
z
cisiz
i
i
i
i
i
i
z
iiz
iziz
ziiz
Cevap E
1−
2
1
− 0
2
1
1A) B) C) D) E)
dir.31
2
3
2
1
2
3
2
sin
3
2
cos2
3
2
2
.
göre,olduğuna2ve
3
2
arg(z)
dir....24.
için,olduğu.
2
2
ii
icisz
ciszz
z
zzzz
zzz
+−=








+−=






+==⇒
=
==
=⇒==
=
πππ
θ
π

Soru ...3
gösterimikutupsalsayısınınkarmaşık
2424 iz −=
dir.
göre,Buna
olur.
ve
,olduğundanzz
olur.
alınırsa,eparantezinzsayısı
olur.
°°°
°
=+=
==⇒
−==
+=














−+=








−=
=−=
=−+=⇒
−=
3158)315sin.315cos8
315arg
2
1
sin
2
1
cos
)sin..(cos
2
1
.
2
1
8
2
2
2
2
8
82424
8)24()24(
2424
22
cisi(z
(z)
i
iiz
iz
z
iz
θ
θθ
θθ
Cevap E
Soru ...4
kaçtır?argümenti
esassayısınıngöre,olduğuna
20ve40
21
21
zz
ciszcisz
+
== °°
Cevap C
E)
A) B) C)
D)
°
1354cis
°
13524 cis °
3158cis
°
31524 cis °
1358cis
A) B) C) D) E)
°
10 °
20 °
30 °
40 °
60
dir.03argümentiesas
sayısınınkarmaşıkolduğundan
)03sin.03(cos01cos2
01cos.03sin.201cos.03cos.2
2
0240
cos.
2
0240
sin2.
2
0240
cos.
2
0240
cos2
)02sin40sin()02cos40(cos
02sin.02cos40sin.40cos
20ve40
21
21
21
°
°°°
°°°°
°°°°
°°°°
°°°°
°°°°
°°
+
+=
+=
−+
+
−+
=
+++=
+++=+⇒
==
zz
i
i
i
i
iizz
ciszcisz

Soru ...5
kaçtır?Re
için,sayılarıkarmaşıksağlayaneşitliğini
43
arg
İm(z)(z)
z
i
iz
+
=





−
− π
Cevap C
A) B) C) D) E)3− 1− 1 3 31+
olur.1Re
dir.11göre,Buna
1
1
3
y-1
3
4
tan
tür.
4
argümentisayısınınkarmaşık
33
y-1
olur.
43
1
3
arg
43
arg
43
arg
olsun.
=+=+
=+⇒=−
−
=⇒=
+
=




 −
+⇒
=





−
−+
⇒=





−
−
+=
yxİm(z)(z)
yxxy
y
x
x
i
x
yxi
i
iyix
i
iz
yixz
π
π
π
ππ
Cevap B
eşittir?hangisineerdenaşağıdakilgöre,olduğuna
sincos
cossin
98
z
i
i
z
αα
αα
−
+
=
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 1+i
Soru ...6
[ ]
olur.1z
göre,Buna
...dir...
1.0
90sin.90cos
))(90sin(.))(90cos(
dır.)sin(.)cos(zsin.cosz
ve)90sin(.)90(cos
cos.sin
29898
22
1
1
−===
=⇒
+=⇒
+=⇒
−−−+−−−=
−+−=⇒−=
−+−=⇒
+=
°°
°°
°°
ii
iz
iz
iz
iz
ii
iz
iz
αααα
αααα
αα
αα

Soru ...7
biriindenkareköklersayısınınkarmaşık
344 iz +−=
i434 +− i344 −− i232 −
i232 + i62 −−E)
A) B) C)
D)
olur.62
2
3
2
1
22
)240sin240(cos2224022için1
62
2
3
2
1
22
)60sin60(cos226022için0
ii
iciszk
ii
iciszk
−−=








−−=
+===
+=








+=
+===
°°°
°°°
Cevap E







 +
==
+=
=⇒
+=⇒








+−=⇒+−=
=+−=⇒+−=
°°
°°
°
°°
2
360.120
8
)360.1208cis(z
dir....1208
)120sin120(cos8
2
3
2
1
8344
dir...br8)34()4(344
2
1
2
1
22
k
ciszz
k
cisz
iz
izz
zz

Soru ...8
gösterimikutupsalsayısınınkarmaşık
3
4
i
z
+
=
A)
6
5
sin
6
5
cos
ππ
i+
B)
C)
D)
E)
6
11
sin
6
11
cos
ππ
i+
)
6
5
sin
6
5
(cos2
ππ
i+
)
6
5
sin
6
5
(cos2
ππ
i+
)
6
11
sin
6
11
(cos2
ππ
i+
Cevap E
olur.)
6
11
sin
6
11
(cos2
)
6
2sin()
6
2cos(
2
4
olsun.
6
sin
6
cos2
2
1
2
3
23
ve)2sin2(cos44
2
1
2
22
11
ππ
π
π
π
π
ππ
ππ
i
i
z
z
z
iz
iziz
izz
+=






−+−==






+=⇒








+=⇒+=
+=⇒=

Soru ...9 Soru ...10
Geri Ana Menü
biriansayılarındkarmaşıkzgöre,olduğuna
320325 °
= cisz
E)
A) B) C)
D)
°
722cis
°
1362cis °
2442cis
°
2162cis °
2882cis
dir.3522ziçin4
2802ziçin3
2082ziçin2
1362ziçin1
642ziçin0
)
5
360.320
(.)2()(
)360.320(.2)320(32
5
4
3
2
1
5
1
55
1
5
55
°
°
°
°
°
°
°°°
==
==
==
==
==







 +
=
+==
cisk
cisk
cisk
cisk
cisk
k
cisz
kciscisz
Cevap B
birimdir?kaçuzaklıkarasındakisayıları
karmaşıkvegöre,Buna
r.verilmişti
igörüntülernsayılarını
karmaşıkveŞekilde
21
21
zz
zz
Çözüm
Cevap B
A) B) C) D) E) 532 14 15 23
°
15
°
45
22
2
1z
2z
x
y
O
.
.
°
15
°
45
22
2
1z
2z
x
y
O
.
.
x
bulunur.br1414
410)
2
1
.(828
120cos.2.22.22)22(
enteoremindkosinüsüçgenindeOzz
göre,olduğuna120)Ozzm(
br ve2
br,22
olsun.uzaklık x
arasındakiile
2
2
222
21
21
2
1
21
=⇒=
+=−−+=
−+=
=
=
=
°
°
xx
x
x
z
z
zz
Özel Soru

Özel Soru
kaçtır?göre,olduğuna
zz
5)(z
2)(z
üzere,olmak0
21
2
1
ac-bc
acb
icba
cba
=
+−=
+−=
<<<
A) -29 B) -21 C) 7
D) 21 E) 29
Çözümü
bulunur.-21bc-ac
25ac-ab
4bc-ab
a,çıkarılırstarafatarafidenklemlerve
dir....4)(2c)-b(a
...25)(5c)-a(b
dir.2c)-b(ave5c)-a(b
.c)-b(a52ic)-a(b
c)i-b(a52ic)-a(b
c)(-1)-b(a52ic)-a(b
5a)-b(c2ic)-a(bzz
göre,olduğunazz
5a)-b(cz2i,c)-a(bz
dır...0ve0
için,olduğu0
2
21
21
21
=
=
=
=−⇒=
=−⇒=
==⇒
+=+⇒
+=+⇒
+=+⇒
+=+⇒=
=
+=+=
><
<<<
cab
cba
i
c-ab-c
cba
görmek için tıklayın
Cevap B
Geri Ana Menü

argümentiesassayısınınkarmaşık
20sin20cos1 °°
++−= iz
A) B) C)
D) E)
°
35 °
40 °
40
°
100 °
160
)20sin180(sin20cos180cos
20sin20cos180sin180cos
20sin20cos1
°°°°
°°°°
°°
+++=
+++=
⇒++−=
i
iiz
iz







 −







 +
+







 −







 +
=
°°°°°°°°
2
20180
cos.
2
20180
sin2.
2
20180
cos.
2
20180
cos2 i
dir.100:argümentiesas
ve802cosdeğerimutlaksayısınınkarmaşıkz
için,olduğu)100sin100.(cos80cos2
80cos.100sin2.80cos.100cos2
°
°
°°°
°°°°
+=
+=
i
i
Geri Ana Menü
Özel Soru Çözümü
görmek için tıklayın
Cevap D

A. TanımA. Tanım
2. Çarpma
3. Bölme
B Tİ İŞ

LİSE - Karmaşık Sayılar 1

More Related Content

Similar to LİSE - Karmaşık Sayılar 1

More from matematikcanavari

LİSE - Karmaşık Sayılar 1