2. ÜSLÜ SAYILAR
Üs Kavramı:
(a) reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere;
am ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.
am = a . a . a...a şeklinde gösterilir.
Örnekler:
23 = 2 . 2 . 2 =8
52 = 5 . 5 = 25
Özellikler:
· Sıfırdan farklı bir sayını sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir. am = a0 = 1
Örnekler: 30 = 1
· Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir. am = a1 = a
Örnekler: 21 = 2
· Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı
kuvvetleri alınır.
( a ) m = am
b bm
3. Örnekler: ( 2 )5 = 25 = 32
3 35 = 243
· Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
(am)n = am . n
Örnekler: ( 23)2 = 23 . 2 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
· a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;
a-m = 1
am
Örnekler: 23 = 1 = 1
23 8
· Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.
( a )-m = ( b )m
b a
Örnekler: ( 2 )-3 = ( 3 )3 = 27
3 2 = 8
4. Tek veya Çift Kuvvetler:
(-2)4 = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16
Sıfırdan farklı bir sayının;
· Çift kuvvetleri pozitiftir.
· Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.
Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:
Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Örnek: 3a5 –8a5 + a5 toplamının sonucu nedir?
Çözüm: a5 ’lerin katsayılarını toplayalım.
(3-8+1) a5 = 4a5
Üslü İfadelerde Çarpma:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak
yazılır.
am . an = am+n
5. · Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.
am . bm = (a+b)m
· Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.
Örnek: 23 . 52 = 8 . 25 = 200
Çarpma işlemi için 2 durum vardır.
a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.
x Î R , n, m Î Z için xm . xn = xn dir.
b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.
x, y Î R , n Î Z için xn . yn = (x . y) n dir.
Örnek:
299 . 599 = (2.5) 99 = 1099
27 . 37 . 57 = (2.3.S) 7 = 307 dir.
(a + b) 3 . (a - b) 3 = [ (a+b) (a-b) ] 3 = (a2 - b2) 3 Başka bir örnekte tersten de düşünürsek
42 X = (2.3.7) X = 2 X . 3 X . 7 X olur.
Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.
x Î R , m, n Î Z için (xn)m = (xm) n = xm.n dir.
6. (53) 2x = 56x dir.
Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.
(53) 2x = (5 X)6 = (52) 3x = (56) X = (52X) 3 = (56x) gibi. Örnek:
Üslü İfadelerde Bölme:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak
yazılır.
am = am – n
an
Örnekler: 28 = 28-5 = 23 = 8
25
· Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.
Örnekler: ( 81 )4 = 34 = 81
27
· Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi
yapılır.
7. İRRASYONEL SAYILAR
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın, rasyonel olmayan gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
Gerçek (reel) sayılar kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.
Gerçek sayılar kümesi, sayı ekseninin her noktasını doldurur. Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her
gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir. Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
8. 2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA iŞLEMi
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar
eşitlenir. Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır. Ortak payda, paydaya yazılır. Toplananların ortak işareti,
toplama, işaret olarak verilir.
Tam sayılı kesirler toplanırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.
b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.
Payların mutlak değerleri farkı alınır, paya yazılır. Ortak payda, paydaya yazılır. Toplam olan rasyonel sayının
işareti ise, mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.
9. ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60
+20+24+(-15)
60
+44+(-15)
60
29
60
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği
iki rasyonel sayının toplamı, yine bir rasyonel sayıdır. Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b)Değişme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde, toplama işleminin değişme özelliği vardır.
c)Birleşme özelliği
rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği
”0”tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
e)Ters eleman özelliği
Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.
10. 4-RASYONEL SAYILARDA ÇI KARMA İŞLEMİ
iki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı, çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi
ile toplanır.
ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30
5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
iki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.
NOT: Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif, ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir
rasyonel sayıdır.
Yani:
+x+=+
-x–=+
-x+=-
+x–=-
NOT
Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra
çarpma işlemi yapılır.
11. 6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği
iki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
ÖR: +3 -2 -6
4 3 12
b)Değişme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: -19 -1 +19
20 3 60
-1 -19 -19
3 20 60
c)Birleşme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15
+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15
d)Yutan eleman
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına, çarpma işleminin yutan elemanı denir.
e)Etkisiz birim eleman
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.
f)Ters eleman
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.
g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde, çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
12. 7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
iki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı, bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile
çarpılır. Elde edilen çarpım bölümü verir.
NOT
Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani: + x + = +
-x–=+
-x+=-
+x–=-
ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
44422
· +1 tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm, bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre
tersine eşittir.
ÖR: -2 1 -7 -7
7122
(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre
tersinin ters işaretlisine eşittir.
Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm, bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre
tersine eşittir.
ÖR -2 -2 1 -2 1 -2
771717
ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
771717
13. REEL SAYILAR
Aşağıdaki dört takım aksiyomu gerçekleyen R kümesine reel (gerçel) sayılılar kümesi, elemanlarına da
reel (gerçel) sayılar denir.
Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle
elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların genel adı ve tüm bu sayıların oluşturduğu küme (simgesi R).
Reel sayı ve reel sayılar kümesi de denir. Bir başka yaklaşıma göre de, cebirsel ve transandant sayı
kümelerinin birleşimi, gerçel sayılar kümesini verir. Rasyonel sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesinin bir öz alt
kümesidir. Q harfiyle gösterilir ve p ile q tamsayılar, q sıfırdan farklı olmak üzere p/q biçiminde yazılabilen sayılardan
oluşur. Her rasyonel sayının devirli ondalık açılımı (1/6 = 0,1666... gibi) olduğu kanıtlanabilir. Rasyonel sayılar kümesi
ile sayı doğrusu arasında, her rasyonel sayıya bu doğru üzerinde bir nokta karşılık gelmek üzere bir eşleme kurulabilir.
Ayrıca, herhangi iki rasyonel sayı arasında üçüncü bir rasyonel sayının var olduğu da kanıtlanabilir. Ancak
sayı doğrusu üzerinde, rasyonel bir sayıyla eşlenemeyen noktalar da vardır. Bir başka deyişle, sayı doğrusu rasyonel
sayılarla doldurulamaz. Örneğin, karesi 2 olan bir rasyonel sayı yoktur. Bunun gibi, ¹=3,14159265358979323... sayısı bir
devirli ondalık açılım değildir. İşte, sayı doğrusu üzerindeki rasyonel olmayan noktalarla eşlenen ya da devirli ondalık
açılımı olmayan gerçel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel ve irrasyonel sayı
kümelerinin arakesiti boş, birleşimi ise gerçel sayılar kümesidir. Gerçel sayılar kümesi, içinde sıralama özelliği bulunan
en geniş sistemdir ve bir cisim yapısındadır.
Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer
ondalık açılımı vardır. Mesela veya
eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar
halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara
ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan
elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.
