3. Konu Başlıkları
KARMAŞIK SAYILARIN TANIMI
TANIM: x2+1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü
olmadığını biliyoruz.( <0)
x2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini
kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan karmaşık sayılar kümesini
oluşturacağız.
Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxR kümesini C ile
gösterelim.
C = {a + bi ; a,b R ve i2 = -1 } kümesine
KARMAŞIK SAYILAR kümesi denir.
4. Konu Başlıkları Örnekler
Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar kümesi
adı verilir. C ile gösterilir.
Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa
karmaşık sayının standart biçimi denir.
z = a+bi şeklinde gösterilir.
Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında
a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı ,
b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir.
z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.
5. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
1) z = 5 ise z = 5 + 0i Re(z) = 5 ve Im(z) = 0
2) z = 3i ise z = 0+3i Re(z) = 0 ve Im(z) = 3
3) z = (-3-4i).(1+i) = 1-7i Re(z) = 1 ve Im(z) = -7
6. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ
İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve
sanal kısımları kendi aralarında eşitse bu iki
karmaşık sayı eşittir denir.
z1 = a+bi ve z2 = c+di karmaşık sayıları için;
z1 = z2 a = b ve c = d dir.
7. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
1) z1 = 2x+3i+y ve z2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit
olduğuna göre (x,y) sayıları nedir?
2) 3x+2y+(2x-y)i = 1-4i eşitliğini sağlayan x ve y
sayılarını bulunuz.
3) 2i+ 5 = 3-2xi+ 20.i-y ise x ve y’yi bulunuz.
8. Konu Başlıkları Örnekler
SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ
n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi
hesaplanır.
i= −1
i 4 = i 2 ⋅ i 2 = (−1) ⋅ (−1) = 1
i7 =4 ⋅ 3 = i
i i −
i10 = (i 4 ) ⋅ (i 4 ) ⋅ (i 2 ) = −i
.....................................
i 4n +=
1
i
i 4n =
1
9. Konu Başlıkları Örnekler
SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ
n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi
hesaplanır.
i 2 =− 1
i 5 = i 4 ⋅i = i
i = i ⋅i =1
8 4 4
i11 = (i) 4.2 ⋅ i 3 = −i
.....................................
i 4n + = 1
2
−
10. Konu Başlıkları Örnekler
SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ
n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi
hesaplanır.
i 3
= ⋅i =−
i i2
i = i ⋅ i = −1
6 4 2
i 9 = i ) 4.2 ⋅i =
( i
i 12
= i)
( 4.3
=1
.....................................
4n +
i 3
= i
−
11. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
1) i21 = ?
2) i543 = ?
3) P(x) = 4x41 - 3x38 + 7x55 - 5x24 ise P(i) = ?
4) P(x) = x3 + x - 1 olduğuna göre P( -4) = ?
12. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ
z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve
z ile gösterilir.
z = a+bi ise z = a-bi dir.
13. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
-
1) z = 3+4i ise z = 3-4i
-
2) z = -2-i ise z = -2+i
-
3) z = 4 ise z=4
-
4) z =-2i ise z = 2i
14. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER
TOPLAMA-ÇIKARMA
İki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlar
kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır ve
çıkarılır.
z1= a+bi ve z2= c+di olsun.
z1+z2 = (a+c)+(b+d)i
z1- z2 = z1+(-z2) = (a-c)+(b-d)i
15. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER
ÇARPMA
Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin
değeri bulunarak yerine konur.
z1 = a+bi , z2 = c+di olmak üzere;
z1.z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i
16. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER
BÖLME
İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda paydanın eşleniği ile
çarpılır.
z1 = a+bi ve z2 = c+di ise
z1 = a+bi . c-di = (a+ib)(c+id)
z2 c+di c-di c2+d2
20. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK DÜZLEM
Analitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal
(imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık
düzlem denir.
22. Konu Başlıkları Örnekler
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ
IzI = I x+yi I = (x2+y2) dir.
Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olan
uzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir.
A=(x+yi)
IzI
y
O x H
23. Konu Başlıkları Örnekler
UYARI
1. z C için IzI 0
2. Iz1.z2I = Iz1I.Iz2I
3. z1 Iz1|
=
z2 |z2I
4. zn = z n
5. z = z = - z = - z
6. | 1/z| = 1 / |z| (z 0)
7. | | z1| - | z2| | | z1 + z 2 | | z1| +| z2|
24. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlak
değerini bulunuz.
A) z = 2 + 3i B) z = - 5i C) z= -3
2. ( -2 + 3i ) • ( 8 +6 i ) = ?
3. ( z1 = 5 3 - 6 i , z2 = 2 11 + 5 i , z3 = 1 +2 2 i ise
z1 =?
z2 z3
4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = - 1 + 2i ise z = ?
5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ;
z - 2i = i.z + 1 ise Im (z) = ?
25. Konu Başlıkları Örnekler
KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık;
A z1=x1+y1i
y1
y2 B z2=x2+y2i
x1 x2
| z1-z2 | = |AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2
26. Konu Başlıkları Uyarılar
ÖRNEKLER
z1= 2-4i ve z2 = -4+4i sayıları arasındaki uzaklık;
z1 = 2-4i sayısının görüntüsü M1(2,-4)
z2 = -4+4i sayısının görüntüsü M2(-4,4)
| z1 -z2 | = (2-(-4))2 + (-4-4)2 = 100 = 10
27. Konu Başlıkları Örnekler
UYARILAR
z0 C , z0=a+bi
y z |z-z0|=r , r R , z=x+yi
b z0 |z-z0|=r ise | (x+iy)-(a+bi) | = r
(x-a)2+(y-b)2 = r ise
a x (x-a)2+(y-b)2 = r2 dir.
28. Konu Başlıkları Örnekler
UYARILAR
1. | z-z0| = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a,b)
ve yarıçapı r-olan çember denklemidir.
2.| z-z0| = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin
iç bölgesidir.
3. |z-z0| = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin
dış bölgesidir.
29. Konu Başlıkları
ÖRNEKLER
1. {z| z C ve |z- (2+3i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde
gösteriniz.
2. |z+1+i| 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
4. |z+i| 2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
5. z0 =3+4i ise A={z| z C ve |z- z0|=3} kümesini karmaşık düzlemde
gösteriniz
6. { z| z C ve |z+3i| |z+6-5i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz.
7. x,y R olduğuna göre z=x+yi dir. 1 |z-1+i| 2 ifadesini karmaşık
düzlemde gösteriniz.
30. Konu Başlıkları
TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ :
z1=a+bi
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z2=c+di
0,z1,z2 ve z1+z2 bir parelel kenarın
köşeleridir.
z1+z2
z2
d
b z1
ca
31. Konu Başlıkları
ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ
z1=a+bi nin görüntüsü A,
z2=c+di nin görüntüsü B, z2
d
-z2=-c-di dir.
z1- z2=(a-c)+(b-d)i b z1
c a
0,z1,-z2 ve z1- z2 bir parelel kenarın
köşeleridir.
z1-z2
-z2
32. Konu Başlıkları
KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ
z=x+yi karmaşık sayısının düzlemdeki
görüntüsü M(x,y) ve |OM|=r=|z|=√x2+y2 M z=x+yi
r
|z |= y
OMA ‘de θ .
0 x A
x
Cosθ= ⇒ x=r.Cosθ , (x=|z|.Cosθ)
r
y
Sinθ= ⇒ y=r.Sinθ , (y=|z|.Sinθ)
r
z=x+yi
z=rCosθ+r.i.Sin θ= r(Cosθ+i.Sin θ)= r.Cisθ
z=r(Cosθ+i.Sin θ) veya z=r[Cos(θ+2kπ)+i.Sin(θ+2k π )] ,
33. Konu Başlıkları Örnekler
ARGÜMENT
0o 2 olmak koşulu ile açısına z’nin esas argümenti denir.
ve Arg(z)= biçiminde yazılır.
Arg( z )=Argz-1=2 -Argz
z=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurken
z=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır.
I. Bölgede ise Argz=
II. Bölgede ise Argz= -
III. Bölgede ise Argz= +
IV. Bölgede ise Argz= 2 -
34. y
ÖRNEK:
z
Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; 6
r=|z|=6 ve =180o-20o=160o olduğundan, 20o
x
z=6(Cos160o+iSin160o) dır.
SORULAR:
1 3
z =- + i sayısının esas argümenti nedir ?
2 2
z= 2 2- 2 2 i sayısının esas argümenti nedir ?
z=1- 3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z =
-3 2 +3 6 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z = -2i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
Arg(z+2)= eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini
4
çiziniz.
35. 2
(3 + i) + ( −5 + 2i) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
3 2 3 2
A −2 +2i C −2 + i E −2 −
2
i
2
3 2
B − 2 + 2 2i D 2+ i
2
Cevap
36. ( x + yi)(2 − 3i) = 4 + i ise (x,y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 4 5 1 5 14
A , C , E ,
13 13 13 13 13 13
5 14 5 14
B − ,− D ,−
13 13 13 13
Cevap
37. Karmaşık düzlemde, şekildeki çemberi aşağıdaki kümelerden
hangisi belirtir?
A {z:|z-i|=1,z∈C}
B {z:|z+i|=1,z∈C}
C {z:|z-i|<1,z∈C}
D {z:|z-i|=2,z∈C}
E {z:|z-i|>1,z∈C}
Cevap
38. 2 − 2i 1
z= ise değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1+ i z +1
5 3 3
A C E
2 2 3
5 2
B D
5 2
Cevap
