LİSE - LOGARİTMA (SLAYT)

1. LOGARİTMA

2. I. ÜSTEL FONKSİYON
• a = 1 ve a pozitif reel sayı olmak üzere,
• f: R R+
• f(x) = ax
fonksiyonuna üstel fonksiyon
denir.

3. II. LOGARİTMA
• A. TANIM
• a = 1 ve a > O olmak üzere,
• f: R R+
, f(x) = ax
• fonksiyonu birebir ve örten olduğundan ters fonksiyonu
vardır.
• f(x) = aX
fonksiyonunun tersine logaritma fonksiyonu denir.
• f: R ——» R+
ve f(x) = ax
ise,
• f-1
: R+
——>R ve f-1
(x) = loga
x dir.
• Loga
x = y x = ay

4. • Örnek :
• Iog2 64 = x x=?
• Çözüm:
• 64 = 2X
• 26
=2x
• x = 6 olur.
• f(x) = loga
x fonksiyonunun tanımlı
• olabilmesi için x > 0, a > O ve a = 1
• olmalıdır.
a sayısına logaritmanın tabanı denir

5. • Örnek :
• f(x) = logx
2
(16-x2
)
• fonksiyonun tanımlı yapan kaç tane x tamsayısı vardır?
• Çözüm :
• f(x)=logx
2
(16-x2)
• fonksiyonunun tanımlı olması için, 16-x2
>0 ve x2
> O (x2=
1) olmalıdır.
• 1) 16-x2
>0 x2
<16.
• => - 4 < x < 4 tür
• 2) x2
> O x = O
• 3) x2
= 1 => x=-1, x= 1 dir.
• O halde, fonksiyonun tanım aralığı
• X e (-4, 4) -{-1, O, 1} dır. Bu aralıkta bulunan
• tamsayılar {- 3, - 2, 2, 3] tür.

6. • Örnek :
• f(x) = log2
(x-2)-3.log2
(7-x) fonksiyonunun en geniş tanım
aralığı nedir?
• Çözüm :
• log2
(x-2) in tanımlı olması için, x-2>0 x>2 olmalıdır.
• 3.log2
(7-x) in tanımlı olması için, 7-x>0 x<7 olmalıdır.
• O halde,
• f(x) = Iog2
(x - 2) - 3.log2
(7 - x) fonksiyonunun en geniş tanım
aralığı, 2 < x < 7 dir.

7. C. LOGARlTMA FONKSİYONUNUN
ÖZELLiKLERi
• 1) ae R+
-{1} olmak üzere loga
a=1 ve loga
1 =
0 dır.
Örnek :
• Iog3
3 = 1, log1/21/2 = 1 , log51 = 0

8. • 2) x,y e R+
ve a e R+
- (1) olmak üzere,
a) loga(x.y) = logax + logby
b) Loga(x/y) = logax – logay
ÖRNEK
Loga(x.y) = 2n ve loga(x/y) = 2m ise, x nedir?
Çözüm :
Iog2
(x.y) = 2n => Iog2
x + Iog2
y = 2n
Log2(x/y) =2m => log2 x – log2 y = 2m
2.log2x = 2n + 2m
Log2x = n+m x= 2n+m

9. ÖRNEK:
Iog2
3 = a ise,
Ioge
27 ifadesinin a cinsinden eşiti nedir?
Log8 27 = log 2
3
33
= - log2 3 = log2 3 = a dır.

10. • 4) Ioga
b . logbc = logac
• Örnek:
• Iog4
5 . Iog5
6 . Iog6
7 . Iog7
8 işleminin sonucu kaçtır?
• Çözüm:
log4 5 . log5 6 . log6 7 . log7 8 = log4 8 = log2
2
23
=3/2

11. Örnek :
Iog3
5 = a olduğuna göre, Iog5
15 in değeri nedir?
Çözüm:
Iog5
15 = Iog5
(5.3) = Iog5
5 + Iog5
3
= 1+1/a
=a+1
a

12. • Örnek :
• log(a + b) = log a + log b
• olduğuna göre, b nin a türünden değeri nedir?
• Çözüm :
• log(a + b) = log a + log b => log(a + b) = log(a.b)
a+b = a.b
a= b(a-1)
b = a
a - 1

13. • Örnek :
•
• log x + 2.log 1/x = log 8 - 2.log x
• denklemini sağlayan x kaçtır?
• Çözüm :
• log x + 2.log1/x = log 8 - 2.log x
• log x - 2.log x = log 8 - 2.log x
• log x = log 8
• x = 8

14. • Örnek :
• Iog7
(2x - 7) - Iog7
(x - 2) = O olduğuna göre, log5
x in değeri
kaçtır?
• Çözüm :
• Iog7
(2x - 7) - Iog7
(x - 2) = O
• log7
(2x-7) = log7
(x-2)
• 2x - 7 = x - 2
• x = 5 tir.
• O halde,
• Iog5
x = Iog5
5 = 1 bulunur.

15. • 7) log x = log10 x
• 8) ln x = loge x
• Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna
bayağı logaritma denir.
• Tabanı e (e = 2,71828...) olan logaritma
fonksiyonuna doğal logaritma denir.

16. • Örnek:
• log 5 = n ise,
• log 2 nin n cinsinden eşiti nedir?
• Çözüm:
• log 2 = log 10/5 = log 10 - log 5
• = 1 - n dir.
Örnek :
ln a = p olarak verildiğinde, log a2
neye eşit olur?
Çözüm :
ln a = p => loge
a = p
⇒ a = ep
⇒ log a2
- 2.log a = 2.log ep
= 2p.log e dir.

17. • 9) Taban değiştirme kuralı
• Loga b = logc b
• logc a
• 10) alog
a
x
= x
• 11) alog
b
c
= clog
b
a
• Örnek :
• loga x loga 2
2 + X =64
• olduğuna göre, x kaçtır?
• 2log
a
x
= xlog
3
2
olduğundan
• 2log
3
x
+ xlog
3
2 =
64 ise 2.2log
3
x
= 64
» ise 2log
3
x
= 32
» ise log3
x
= 5
» ise x = 35
•

18. D. LOGARİTMA EŞiTSiZLİKLERİ
• loga
f(x) > b veya loga
f(x) < b gibi eşitsizlikleri
çözmek için aşağıdaki maddelere dikkat edilmelidir.
• 1. f(x) > O olmalıdır.
• 2.
• a) a > 1 ise, eşitsizlik yön değiştirmez. Yani, loga
f(x)
< b ise f(x) < ab
dir.
• b) O < a < 1 ise, eşitsizlik yön değiştirir. Yani, loga
f(x)
< b ise f(x) > ab
dir.

19. • Örnek ;
• Iog3
(x - 4) < 2
• eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
• Çözüm :
• Iog3
(x - 4) < 2
• 1) x -4 > O => x>4 tür,
• 2) Taban 1 den (3 > 1) büyük olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez.
• Iog3
(x - 4) < 2 => x - 4 < 32
ise x< 13 tür.
• O halde,
• ÇK : 4< x< 13 olur.
•
•

20. • Örnek :
• Log3/5 (x - 3) > O
• eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
• Çözüm :
• Iog3
(x - 3) > O
• 1) x-3 >0 ise x>3
• 2) Logaritmanın tabanı 3/5 < 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
•
log3/5 (x - 3) > O ise (x - 3) < (3/5)0
ise x<4
• O halde
• x > 3 ve x < 4 ten,
•
ÇK : 3<x54 olur
•
•

21. . KAREKTERİSTİK - MANTİS
• x e R+
, keZ ve O<m<1 olmak üzere,
• log x = k + m olacak şekilde k ve m sayıları
bulunabilir.
• k tamsayısına logaritmanın karekteristiği (tam
kısmı), m reel sayısına logaritmanın mantisi
denir.

22. • Örnek :
• log 2 = 0,30103 ifadesinde; log 2 nin karekteristiği O, mantisi 0,30103
tür.
• Örnek :
• log x = 5, 27064 ifadesinde; log x in karakteristiği 5, mantisi 0,27064
tür,
• Örnek :
• log x = - 4,3468 ise,
• log x in karekteristiği kaçtır?
• Çözüm :
• log x=-4,3468
• log x = - 4 - 0,3468
• mantis [0,1) arasında olması gerektiğinden,
• log x = -4-1 +1 -0,3468
• log x = - 5 + 0,6532 den,
• log x in karekteristiği - 5,
• mantisi de 0,6532 dir,