FONKSİYONLARIN LİMİTİ

2. DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT
EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN
LİMİTLERİ
SONSUZ İÇİN LİMİT
SONSUZ LİMİT
FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ
TEOREMLER
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
ÇÖZÜMLÜ TEST

3. DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT
GÖRÜNTÜLER DİZİSİ
Tanım: A ⊂ R olmak üzere, f : A → R fonksiyonu verilmiş
olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir (x n ) dizisi için
(f(x n )) (x n ) dizisine;
dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir.
(x n ) = ( x1 , x 2 , x 3 ,...., x n ,....) (f(x n ))
dizisi için,
(f(x n )) = (f(x1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),.....f(x n ),....) görüntü dizisi;
dir. ÖRNEK
BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ
ANA MENÜ

4. ÖRNEK:
 1
(x n ) = 1 +  dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor:
 n
a) (x n ) dizisinin limitini bulalım. (lim n →∞ (x n ))
b) (f(x n )) görüntüler dizisini bulalım.
c) (f(x n )) görüntüler dizisinin limitini bulalım.
ÇÖZÜM
(lim n →∞ (x n ))

5. ÇÖZÜM:
 1
a) lim n →∞ (x n ) = lim n →∞ 1 +  = 1 dir.
 n
  1   2
b) (f(x n )) = ( 2(x n ) + 3) =  21 +  + 3  =  5 + 

bulunur.   n    n
 2
c) lim n →∞ (f(x n )) = lim n →∞  5 +  = 5 bulunur.
 n

6. BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Tanım: A ⊂ R, a ∈ R, L ∈ R olmak üzere, f : A → R ya da
f : A - { a} → R fonksiyonu verilmiş olsun. { a}
A-
Terimleri (x n )
kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her
(f(x n )) için,
dizisi dizileri bir L sayısına
yakınsıyorsa; x, a’ya giderkenlim x →a f(x) = L
( f(x)’in limiti L’dir, denir ve
biçiminde gösterilir.
Limitin Olmaması:
Terimleri A ,- { a} kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az
iki (x n ) ve (x n ) dizileri için (lim f(x n ) ≠ (lim f(x ,n ) ise x → a
için f fonksiyonunu limiti yoktur.
ÖRNEK:
f : R → R, f(x) = 3x - 4 fonksiyonunun x → 1 için
limitini bulunuz. ÇÖZÜM
ANA MENÜ

7. ÇÖZÜM:
Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim.
 1 ,  1
(x n ) = 1 + , (x n ) = 1 −  dizilerinin f fonksiyonu ile
 n  n
elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.
  1    1 
(f(x n )) =  3 1 +  − 4  → − 1, (f(x n )) =  3 1 −  − 4  → − 1

,
  n  

  n  
O halde, limiti 1 olan her (x n ) dizisi için,
(f(x n )) = (3x n − 4) → 3 − 4 = −1

8. EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT
Tanım: A ⊂ R, f : A → R bir fonksiyon a ∈ R, L ∈ R, ∀ε ∈ R
+
olmak üzere x - a < δ ⇒ f(x) - L < ε önermesine uyan a ε
∃δ ∈ R +
bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti
L’dir denir ve →a f(x) = L
(lim x biçiminde yazılır.
ÖRNEK
Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.
y=f(x
y=f(x y=f(x f(a) )
) )
L+ε L+ε L+ε
f(x) f(x) f(x)
L L
f(x) f(x) L
L−ε L−ε L−ε f(x)
0 a -δ a a +δ 0 a -δ a a +δ 0 a -δ a a +δ
ANA MENÜ

9. ÖRNEK:
f : R → R , f(x) = 2x - 1 fonksiyonu veriliyor.
lim x →2 f(x) = 3 olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim.
ÇÖZÜM

10. ÇÖZÜM:
∀ε > 0 için X - 2 < δ ⇒ f ( x ) − 3 < ε önermesine uyan
∃δ > 0 bulmalıyız.
X-2 <δ ⇒ −δ < x - 2 < δ
⇒ -2δ < 2x - 4 < 2δ
⇒ −2δ < 2x - 1 - 3 < 2δ
⇒ -2δ < f(x) - 3 < 2δ
⇒ f ( x ) − 3 < 2δ
ε ε
O halde δ = alınabilir. ∀ε > 0 İçin, δ = > 0
2 2
olduğundan tanıma göre lim x → 2 f(x) = 3 olur.

11. SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
f : R → R ya da f : R - { a} → R şeklinde tanımlı f
fonksiyonunda:
Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a
ya yaklaşırken, f(x) ler de bir L1reel sayısına,f
fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve
lim x →a - f(x) = L1 biçiminde gösterilir.
Tanım2:x değerleri a dan büyük
L2
değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir
L2
reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına, f
fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti + = L 2
lim x →a denir ve
biçiminde gösterilir.
1.x → a - yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani
daima x<a dır.
+
x→a 2. yazılışı x lerin a ya
sağdan yaklaştığını gösterir.yani daima x>a dır.
ANA MENÜ

12. Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması
durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.
y y
L1
L2
X
a a
X
Sonuçlar:lim x →a - f(x) = L1 ve lim x →a + = L 2 için;
1. L1 = L 2 = L ∈ R ise, lim x →a f(x) = L dir.
L1 ≠ L 2
2. ise lim x→a f(x) yoktur.

13. Aralığının uç noktalarındaki limiti
f : [ a , b] → R , y = f ( x ) fonksiyonunun tanım aralığının uç
noktalarındaki limiti araştırılırken:
1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir.
lim x →a f ( x ) = lim x →a + f ( x ) = P = f ( a )
2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.
lim x →b f ( x ) = lim x →b− f ( x ) = K = f ( b )
y y=f(x)
K=f(b)
P=f(a)
x
a 0 b

14. f : ( a , b ) → R , y = f ( x ) fonksiyonunun tanım aralığının
uç noktalarındaki limiti araştırılırken:
1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir.
lim x →a f ( x ) = lim x →a + f ( x ) = P dir.f(a) tanımsızdır.
2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir.
lim x →b f ( x ) = lim x →b− f ( x ) = K dir. f(b) tanımsızdır.
y y=f(x)
K
P
x ÖRNEK
a 0 b

15. ÖRNEK:
R → R, y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği aşağıda
verilmiştir. x in –1,1 ve 2 değerleri için fonksiyonun limitinin
olup olmadığını araştırınız.
y ÇÖZÜM
y=f(x)
3
2
1
x
-1 1 2

16. ÇÖZÜM:
f ( x) = 2
⇒
a. lim
x →−1− lim x →−1− f ( x ) = lim x →−1+ f ( x ) = 2
lim x →−1+ f ( x ) = 2
b. lim x →1− f ( x ) = 1 ⇒ lim x →1− f ( x ) = lim x →1+ f ( x ) = 1
lim x →1+ f ( x ) = 1
c. lim x →2− f ( x ) = 3
lim x →2+ f ( x ) = 0 ⇒ lim x →2− f ( x ) ≠ lim x →2+ f ( x )
olduğundan lim x→2 f ( x ) yoktur.

17. ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN
LİMİTLERİ
3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ
ANA MENÜ

18. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
g( x ) , x < a ise
f ( x) = 
h ( x ) , x ≥ a ise fonksiyonu verilsin.
Kritik noktada,yani koşuldaki x = a değerinde limit
sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir.
lim x →a − f ( x ) = lim x →a − g ( x ) = L1 
 L1ve L 2 ye göre cevaplama
lim x →a + f ( x ) = lim x →a + h ( x ) = L 2 
 yapılır.
Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon
dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır.
( )
x1 < a için lim x →x f x = lim x →x g x
1 1
( )
x2 > a için lim x →x 2 f ( x ) = lim x →x h ( x )
2
ÖRNEK

19. ÖRNEK:
− x + 1, x < 1 ise
f : R − {1} → R f ( x) = 
x − 1, x > 1 ise
Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti
bulalım.
ÇÖZÜM

20. ÇÖZÜM:
lim x →1− f ( x ) = lim x →1− ( − x + 1) = 0

 olduğundan
lim x →1+ f ( x ) = lim x →1+ ( x − 1) = 0  lim x →1 f ( x ) = 0 dır.
lim x →2− f ( x ) = lim x →−2− ( − x + 1) = 3
 olduğundan

lim x →2+ f ( x ) = lim x →−2+ ( − x + 1) = 3 lim
 f ( x ) = 3 tür.
x →−2
lim x →2− f ( x ) = lim x →2− ( x − 1) = 1
 olduğundan

lim x →2+ f ( x ) = lim x →2+ ( x − 1) = 1
 lim x →2 f ( x ) = 1 dir.

21. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ
f : R → R , lim x→a f ( x ) in bulunuşunda:
x=a noktası kritik nokta ( f ( a ) = 0 ) ise, soldan ve
sağdan limit incelenmelidir.
Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, ( f ( a ) ≠ 0 )
limit değeri ile görüntü olacağından
lim x →a f ( x ) = f ( a ) dır.
ÖRNEK:
x −4
2
f : R − { − 2,2} → R , f ( x ) = fonksiyonunun;
2− x
x =-2, x =0, x =2 ve x =4 noktalarında limitinin olup
olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM

22. ÇÖZÜM: f(x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon
şeklinde yazalım
x −∞ -2 0 2 +∞
x2 − 4 + - - +
x - - + +
f ( x) x 2 −4
= x −2
4 − x2
= −x + 2
4 − x2
= −x + 2
x2 − 4
2−x
= −x − 2
2 +x 2+x 2−x
x − 2, x < −2 ise
− x + 2,−2 < x < 0 ise

f ( x) = 
x + 2,0 ≤ x < 2 ise
− x − 2, x > 2
 ise
a. lim x →−2 f ( x ) = lim x →−2 ( x − 2 ) = −4 

 lim x →−2 f ( x ) yoktur.
− −
lim x →−2 f ( x ) = lim x →−2 ( − x + 2 ) = 4
+ +


23. b. lim x →0− f ( x ) = lim x →0− ( − x + 2 ) = 2
 lim x →0 f ( x ) = 2 dir.
lim x →0+ f ( x ) = lim x →0+ ( x + 2 ) = 2  
c. lim x →2− f ( x ) = lim x →2− ( x + 2 ) = 4 
x→2 f ( x ) yoktur.
 lim

lim x →2+ f ( x ) = lim x →2+ ( − x − 2 ) = −4

x2 − 4 12
d. lim x →4 = f ( 4) = = 6 bulunur.
2− x −2

24. İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ
f : R → R , lim x→a sgn f ( x ) nın bulunuşunda:
1. x=a noktası kritik nokta f(a)=0 ise, bu noktalarda soldan
ve sağdan limit incelenmelidir.
lim x →a − sgn f ( x ) = L1 ve lim x →a + sgn f ( x ) = L 2 olsun
Eğer L1 = L 2 ise lim x →a sgn f ( x ) = L1 = L 2 dir.
Eğer L1 ≠ L 2 ise lim x→a sgn f ( x ) yoktur.
2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse ( f ( a ) ≠ 0 )
Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından,
lim x →a sgn f ( x ) = sgn f ( a ) dır. ÖRNEK

25. ÖRNEK:
( )
f : R → R , f ( x ) = sgn x − 3 fonksiyonunun, x =3 ve x =2
2
noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım.
ÇÖZÜM

26. ÇÖZÜM:
lim x →3− f ( x ) = lim x →3− (1) = 1

 olduğundan, lim x →3 f ( x ) = 1
lim x →3+ f ( x ) = lim x →3+ (1) = 1

lim x →2 f ( x ) = f ( 2 ) = lim x →2 sgn ( x − 3) = 1 dir.
2
y
1
0 x
1 2 3

27. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ
f : R → R , lim x→a f ( x ) ın bulunuşunda:
x = a için f ( a ) ∈ Z ise, soldan ve sağdan limit incelenir.
Soldan limit incelenirken, x<a yani h = ε > 0olmak üzere,
x = a − h yazabiliriz.Sonra h → 0 için limitini alabiliriz.
lim x →a − f ( x ) = lim h →0 f ( a − h ) = L1
Sağdan limit incelenirken x > aolduğundan,yani h=ε>0
olmak üzere x = a + h yazabiliriz.
Sonra h → 0 için limitini alabiliriz.
lim x →a + f ( x ) = lim h →0 f ( a + h ) = L 2
Eğer L1 = L 2 = L ⇒ lim x →a f ( x ) = L dir.
Eğer L1 ≠ L 2 ⇒ lim x →a f ( x ) yoktur.
x = a için f ( a ) ∉ Z ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit
olacağından; lim x →a f ( x ) = f ( a ) dir. ÖRNEK

28. ÖRNEK:
f ( x ) = 2x − 1 fonksiyonunun x =
1
ve x=
3
2 5
noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM

29. 1 1
ÇÖZÜM: a. x = için, 2x − 1 =   − 1 = 0 ∈ Z
2 2
olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim.
1
Soldan limit incelerken, x < olduğundan, yani h = ε > 0 olmak
1 2
üzere x = − h yazalım ve h → 0 için limitini alalım.
2  
1 
lim  1  − f ( x ) = limh →0 
 2 − h  − 1 = lim h →0 ( 1 − 2h − 1) = 0 − 1 = −1

x → 
2   2  
Sağdan limit incelenirken, x > 1 olduğundan, yani h=ε>0
2
1
Olmak üzere, x = yazalım ve h → 0 için limitini alalım.
2+ h
 1  
lim  1 + f ( x ) = limh →0  2 + h  − 1 = lim h →0 ( 1 + 2h − 1) = 1 − 1 = 0
 2 
x → 
2    
1
x = noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan;
lim 1 f ( x )
2
yoktur.
x→
2

30. 3 3 1
b. x= için, 2x − 1 = 2  − 1 = ∉ Z olduğundan, limit
5 5 5
değeri ile görüntü değeri eşit olur.
O halde, lim 3 f ( x) = f  3  =
 
3
2  − 1 =
6
−1 = 1−1 = 0
x→
5 5 5 5

31. SONSUZ İÇİN LİMİT
f : ( x 0 ,+∞ ) → R bir fonksiyon olsun.Terimleri ( x 0 ,+∞ )
aralığında bulunan ve + ∞ a ıraksayan her ( x n ) dizisi
için, lim n → +∞ ( f ( x n ) ) = L ise; x →+∞ için, f nin limiti L
dir denir ve lim n →+∞ f ( x ) = L biçiminde gösterilir.
Aynı şekilde f : ( − ∞, x 0 ) → R bir fonksiyon olsun.
Terimleri ( − ∞, x 0 ) aralığında bulunan ve − ∞ a
ıraksayan her ( x n ) dizisi için lim n →−∞ ( f ( x n ) ) = K ise; x → −∞
için, f nin limiti K dır, denir nve−∞ f ( x ) = K
lim →
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
ANA MENÜ

32. ÖRNEK:
1
 , x ≠ 0 ise
f : R → R, f ( x ) =  x fonksiyonu veriliyor.
3, x = 0 ise

a. lim x →+∞ f ( x ) b. lim x →−∞ f ( x )
ifadelerinin eşitini bulalım. ÇÖZÜM

33. ÇÖZÜM:
a. ( x n ) dizisi için, lim( x n ) = +∞ olsun.
 1  1
lim x →+∞ f ( x ) = lim n →+∞ f ( x n ) = lim n →+∞   =
 x  + ∞ = 0 dır.
 n
b. ( xn ) dizisi için, lim( x n ) = −∞ olsun.
 1  1
lim x →−∞ f ( x ) = lim n →−∞ f ( x n ) = lim n →−∞   =
x  −∞ =0
dır.
 n

34. SONSUZ LİMİT
A ⊂ R ve a ∈ A olmak üzere, f : A → R ya da
f : A − { a} → R fonksiyonu için , terimleri; }
A − {a
∀( x n )
kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi≠ 0 )
( x n için,
1. ( f ( x:n ) ) → +∞ ise, lim x →a f ( x ) = +∞
2. ( f ( x n ) ) → −∞ ise, lim x →a f ( x ) = −∞ dur.
y
a x
0
ANA MENÜ

35. P( x )
P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzeref ( x ) =
fonksiyonunun paydasını sıfır yapan x değerlerinde Q( x )
limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.
ÖRNEK:
− 3x + 1 değerini bulalım.
lim x →3 ÇÖZÜM
x −3

36. ÇÖZÜM:
 − 3x + 1  − 3( 3 − h ) + 1 − 8 + 3h
lim x →3−   = lim h →0 = lim h →0 = +∞
 x −3  3− h −3 −h
 − 3x + 1  − 3( 3 + h ) + 1 − 8 − 3h
lim x →3+   = lim h →0 = lim h →0 = −∞
 x −3  3+ h −3 h
x=3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan,
− 3x + 1
lim x →3 yoktur.
x −3

37. FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ
TEOREMLER
Teorem: A ⊂R, a ∈A, b, c ∈Rolmak üzere,A → R ye
ya da A − { a} → R ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;
lim x →a f ( x ) = b ve lim x →a g( x ) = c ise,
1. lim x →a ( f ( x )  g ( x ) ) = bc
2. lim x →a ( f ( x ).g( x ) ) = lim x →a f ( x ).lim x →a g( x ) = b.c
 f ( x )  lim x →a f ( x ) b
 g ( x )  = lim g ( x ) = c ( lim x →a g ( x ) ≠ 0 )
3. lim x →a  
  x →a
4. lim x →a n f ( x ) = n lim x →a f ( x ) = n b ÖRNEK
ANA MENÜ

38. ÖRNEK : f ( x ) = 2x + 1 g( x ) = x 2 − 1 fonksiyonları veriliyor:
a. lim
x→ 2
( )
( 3.f ( x ) ) b. lim x →−1 2.f ( x ) + 3 g( x )
 f ( x) 
c. lim x → 2 
 g( x )  değerlerini gösteriniz.

  ÇÖZÜM

39. ÇÖZÜM 1.
a. lim x →2 ( 3.( 2x + 1) ) = 3.lim x →2 ( 2x + 1) = 3.5 = 15
b. ( )
lim x → − 1 2( 2x + 1) + 3 x 2 − 1 = lim x → − 1 2( 2x + 1) + lim x → − 1 3 x 2 − 1
= −2 + 0 = −2
 2x + 1   lim x → 2 ( 2x + 1)  3
c. lim x → 2  2  = 
 lim x 2 − 1  = 5
 x − 1   x→ 2 ( )



40. LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
0
1. BELİRSİZLİĞİ
0
2.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
3.
∞ BELİRSİZLİĞİ:
∞
4. ∞ − ∞ BELİRSİZLİĞİ
5. 0.∞ BELİRSİZLİĞİ
ANA MENÜ

41. LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI
0 ∞
Bu bölümde , , ∞−∞ ve 0.∞ belirsizliklerini
,
0 ∞
inceleyeceğiz.
0 BELİRSİZLİĞİ
0 f ( x ) lim x → a f ( x )
lim x → a = limiti hesaplanırken; lim x → a f ( x ) = lim x → a g( x ) = 0
g( x ) lim x → a g( x )
( )
ise belirsizliği oluşur.Bu durumda; f ( x ) ve g x ifadeleri ( x − a )
0
0
çarpanına sahiptir.Yani f ( x ) = ( x − a ) f1 ( x ) ve g( x ) = ( x − a ) g1 ( x )
f ( x) ( x − a ).f1 ( x ) = lim f1 ( x )
olacağından, lim x →a = lim x →a olur.
0 g( x ) ( x − a ).g1 ( x ) g1 ( x )
x →a
Bu limitte yine 0 belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrarlanır.
ÖRNEK: lim x 2 − 4x + 4 değerini bulunuz.
x →2
ÇÖZÜM
x 2 − 5x + 6

42. ÇÖZÜM:
x 2 − 4x + 4 2 2 − 4.2 + 4 4 − 8 + 4 0
lim x →2 2 = 2 = =
x − 5x + 6 2 − 5.2 + 6 4 − 10 + 6 0
(x − 2) 2
x−2
⇒ lim x →2 = lim x →2 =0
(x − 2).(x − 3) x −3

43. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ
Sinüs ve cosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir.
a ∈ R olmak üzere,
lim x →a sinx = sina, lim x →a cosx = cosa dır.
sinx
tanx = olduğundan, tanjant fonksiyonu cosx = 0 için
cosx süreksizdir. lim tanx = tana
x→ a
cosx
cotx = olduğundan, cotanjant fonksiyonu sinx = 0 için
sinx süreksizdir. lim x →a cotx = cota
9 − x2
ÖRNEK: lim x →3 =? ÇÖZÜM
tan(3 − x)

44. ÇÖZÜM:
9 − x2 0
lim x →3 = B.H
tan(3 − x) 0
(3 − x)(3 + x) 3− x
lim x →3 = lim x →3 . lim x→3 (3 + x) =
tan(3 − x) tan(3 − x)
1.6 = 6

45. ∞ BELİRSİZLİĞİ:
∞
lim x → ∞ f ( x ) =  ∞ ve lim x → ∞ g ( x ) =  ∞ f ( x)
ise, lim x → ∞
g( x )
+ ∞ −∞ + ∞ −∞
limitinin hesabında; , , , belirsizliklerinden
+ ∞ + ∞ −∞ −∞ ∞
biri ile karşılaşılır.Bu durumdaki belirsizlik belirsizliğidir.
∞
Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli x
parantezine alınıp kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir.
ÖRNEK:
x 4 + 5x
lim x →+∞ değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM
2 − x3

46. ÇÖZÜM:
x + 5x ( + ∞ ) + 5.( + ∞ ) + ∞
4 4
lim x → +∞ = = belirsizliği vardır.
2− x 2− (+ ∞) −∞
3 3
 5
x 1 + 3 
4
x 4 − 5x  x 
lim x → +∞ = lim x → +∞
2−x 3
3 2 
x  3 − 1
x 
 5
x 1 + 3 
= lim x → +∞  x  = ( + ∞ )(1 + 0 ) = + ∞ = −∞
 2
 3

− 1
( 0 − 1) −1
x 

47. ∞−∞ BELİRSİZLİĞİ
lim x → a ( f ( x ) − g( x ) ) = ∞ − ∞ veya lim x →  ∞ ( f ( x ) − g( x ) ) = ∞ − ∞
belirsizliği genellikle; 0 yada
∞ belirsizliklerinden birine
dönüştürülür. 0 ∞
ÖRNEK:
 2 1 
lim x → 1  2 −  değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM
 x − 1 x − 1

48. ÇÖZÜM:
 2 1  2 1 2 1 B.H
lim x →1  2 −  = 2 − = − = ∞−∞
 x −1 x −1  1 −1 1−1 0 0
 2 1   2 − x −1   1− x  0
lim x →1  2 −  = lim x →1 
 ( x − 1)( x + 1)  = lim x →1  ( x − 1)( x + 1)  = 0
  
 x −1 x −1     
belirsizliğine dönüşür.
 1− x  −1 1

lim x →1   = lim x →1
 =− bulunur.
 ( x − 1)( x + 1)  x +1 2

49. 0.∞ BELİRSİZLİĞİ
lim x →a ( f ( x ).g ( x ) ) = 0.∞ veya lim x → ∞ ( f ( x ).g( x ) ) = 0.∞
belirsizliğinin oluşması durumunda;
f ( x) 0
lim x → a ( f ( x ).g( x ) ) = lim x → a = ya da
1 0
g( x )
g( x ) ∞ biçimine
lim x → a ( f ( x ).g( x ) ) = lim x → a = dönüştürülerek limit
1 ∞
f ( x) hesaplanır.
ÖRNEK:
1
lim x →∞ ( 3x + 1) değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM
x+4

50. ÇÖZÜM:
1
lim x →∞ ( 3x + 1) = 0.∞ belirsizliği vardır.
x+4
3x + 1 ∞
lim x →∞ = belirsizliğine dönüşür.
x+4 ∞
3x + 1
lim x →∞ =3 bulunur.
x+4

51. ÇÖZÜMLÜ TEST
SORU 1. ( )
f ( x ) = sgn x 2 − 3x − 4 + x 2 + 2 dir. ÇÖZÜM
lim x →4− f ( x ) in değeri nedir?
SORU 2. f ( x ) = 2x − 7 dir. ÇÖZÜM
lim x →2− f ( x ) in değeri nedir?
SORU 3. f ( x ) = x 2 − 4x + 4
dür. ÇÖZÜM
x = 2 için limit değeri ne olabilir?
SORU 4. lim x →−3−
(
sgn 9 − x 2 ) ın değeri nedir? ÇÖZÜM
2
x −9
SORU 5. f ( x ) = −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2 ise, ÇÖZÜM
lim x → +∞ f ( x ) ve lim x → −∞ f ( x ) in değeri nedir?
ANA MENÜ

52. SORU 6. lim sin ( 2 − x )
x →2
nedir? ÇÖZÜM
2
x −4
SORU 7. x 2 + 3x + 5 değerini hesaplayalım.
lim x → −∞ ÇÖZÜM
1− x3
SORU 8.  1 1 
lim x → 0  −  değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM
 tanx sinx 
SORU 9. x 4
lim x → +∞  .sin  değerini hesaplayalım. ÇÖZÜM
2 x
SORU 10. x − 3 + 2.sgn ( x − 1) − x
lim x →1− limitini bulunuz.
−x+2 ÇÖZÜM
ANA MENÜ

53. SORU 11. 2x − x + 2
lim x →2+ ÇÖZÜM
x−2
SORU 12. lim x →2 x − 2x − 3 ÇÖZÜM
sin 2 x − sin 2 a
SORU 13. lim x →a =? ÇÖZÜM
x −a
2 2
SORU 14. − 2x + 1 ÇÖZÜM
lim x → - ∞ =?
3x + 2
3x − 5 ÇÖZÜM
SORU 15. lim x →3 =?
(x − 3) 2
ANA MENÜ

54. ÇÖZÜM 1
x −∞ -1 4 +∞
x 2 − 3x - 4 + - +
x 2 − 3x - 4 < 0
sgn(x 2 − 3x - 4) = -1
lim x →4- f(x) = −1 + 16 + 2 = 17

55. ÇÖZÜM 2
1.Yol
x → 2 − ⇒ x < 2 ⇒ 2x < 4 ⇒ 2x − 7 < 4 − 7
⇒ 2x − 7 < −3 ⇒ 2x − 7 = −4
lim x →2- 2x − 7 = −4
2. Yol
h > 0 ⇒ lim x →2- f(x) = lim h →0 f(2 − h)
lim x →2- 2x − 7 = lim h →0 2(2 - h) - 7 = lim h →0 − 2h − 3
lim h →0 - 2h − 3 = −1 − 3 = −4

56. ÇÖZÜM 3
f(x) = x 2 − 4x + 4 = (x − 2) 2
lim x →2+ f(x) = lim h →0 f(2 + h) = lim h →0 (2 + h − 2) 2 = h 2 = 0
lim x →2− f(x) = lim h →0 f(2 − h) = lim h →0 (2 − h − 2) 2 = h 2 = 0
lim x →2 f(x) = 0

57. ÇÖZÜM 4
x → −3− ⇒ x < −3 ⇒ x = −4
x 2 > 9 ⇒ − x 2 < −9 ⇒ 9 − x 2 < 0 ve sgn(9 - x 2 ) = −1
Buna göre
sgn(9 − x 2 ) 1 1 1
lim x →-3- = = =
2
x −9 (−4) − 9 16 − 9 7
2

58. ÇÖZÜM 5
3 4 2
f(x) = x (−2 + − 2 + 3 )
3
x x x
3 4 2
x → ±∞ için , 2 , 3 ifadeleri 0’a yaklaştığından
x x x
lim x →+∞ f(x) = lim x →+∞ (−2x 3 ) = −2(+∞) 3 = −∞
lim x →−∞ f(x) = lim x →−∞ (−2x ) = −2(−∞) = +∞
3 3

59. ÇÖZÜM 6
x → 2 için (2 − x) → 0 olduğundan
sin(2 − x)
lim x →2 = 1 dir. Buna göre
2−x
sin(2 − x) sin(2 − x)
lim x →2 = lim x →2 =
x −4
2
(x − 2).(x + 2)
sin(2 − x) − 1 −1 1
lim x →2 . = 1. =−
2−x x+2 2+2 4

60. ÇÖZÜM 7
x 2 + 3x + 5 ∞
lim x → −∞ = belirsizliği vardır.
1− x 3
∞
 3 5
x 1 + + 2 
2
x 2 + 3x + 5  x x =
lim x → −∞ = lim x → −∞
1− x 3
3 1 
x  3 − 1
x 
 3 5
1 + + 2 
lim x → −∞  x x =0
 1 
x 3 − 1
x 

61. ÇÖZÜM 8
 1 1 
lim x →0  −  = ∞−∞ B.H
 tanx sinx 
 1 1   cosx − 1  0 belirsizliğine
lim x →0  −  = lim x →0  =
 tanx sinx   sinx  0 dönüştürülür.
2 x
1 − 2sin −1
 cosx − 1  2
lim x →0   = lim x →0 =
 sinx  x x
2sin .cos
2 2
x
− sin
lim x →0 2 = 0 =0
x 1
cos
2

62. ÇÖZÜM 9
x 4 +∞ 4
lim x →+∞  .sin  = .sin = ∞.sin0 = 0.∞ belirsizliği
2 x 2 +∞ vardır.
4
sin
lim x →+∞ x =0
belirsizliğine dönüşür.
2 0
x
x → +∞ için, 1
→ 0 olduğundan;
x
4 4
sin sin
lim x →+∞ x = lim x .2 = 1.2 = 2
2 1
→0 4 bulunur.
x
x x

63. ÇÖZÜM 10
x − 3 + 2.sgn ( x − 1) − x
lim x →1− =
−x+2
1 − h − 3 + 2.sgn (1 − h − 1) − (1 − h )
lim h → 0 =
−1+ h + 2
− 2 − h + 2.sgn ( − h ) − 1 + h 2 − 2 −1
lim h →0 = = −1 bulunur.
1+ h 1

64. ÇÖZÜM 11
2x − x + 2
lim x →2 + =
x−2
2x − x − 2 2( 2 + h ) − 2 + h − 2
lim x →2+ = lim h →0
x−2 2+h −2
4 + 2h − 2 + h − 2 4−2−2
lim h →0 = lim h →0 =
h h
4−2−2
lim h →0 =0
h

65. ÇÖZÜM 12
lim x →2 x − 2x − 3 = lim x →2 ( x − 2x + 3)
lim x →2− ( x − 2x + 3) = lim h →0 ( 2 − h − 4 − 2h + 3) =
1− 3 + 3 = 1
lim x →2+ ( x − 2x + 3) = lim h →0 ( 2 + h − 4 + 2h + 3) =
2− 4+3 =1
lim x →2 x − 2x − 3 = 1

66. ÇÖZÜM 13
sin 2 x −sin 2 a 0
lim x →a = BH
x −a
2 2
0
(sinx −sina)(sinx +sina)
lim x →a =
(x −a)(x + a)
sinx −sina sinx +sina
lim x →a .lim x →a =
x −a x +a
x +a x −a
2.cos .sin
lim x →a 2 2 . sina +sina  =
 
x −a  2a 
1 2sina 1
2.cosa = sin2a
2 2a 2a

67. ÇÖZÜM 14
x → −∞ iken 3x + 2 < 0 olduğundan
3x + 2 = −3x − 2
− 2x + 1 − 2x + 1
lim x →−∞ = lim x →−∞ =
3x + 2 − 3x − 2
 1
x − 2 + 
 x  −2+0 2
lim x →−∞ = =
 2  −3−0 3
− x 3 + 
 x

68. ÇÖZÜM 15
 3x − 5  3(3 − h) − 5
lim x →3− 
 (x − 3)  = lim h →0
2 
=
  (3 − h − 3) 2
4 − 3h
lim h →0 2
= +∞
h
 3x − 5  3(3 + h) − 5
lim x →3+ 
 (x − 3) 2  = lim h →0 (3 − h − 3) 2 =

 
4 + 3h
lim h →0 2
= +∞
h
3x − 5
lim x →3 = +∞
(x − 3) 2