2. m ve n pozitif tam sayılar olsun.
İ=1,2,3.....,m ve j=1,2,3....,n için aij sayılarının meydana
getirdiği ;
a11a12 ....a1 j .....a1n şeklindeki dikdörtgensel
tabloya m x n tipinde bir
a21a22 ....a2 j ....a2 n matris denir ve A=[ aij]m x n
. şeklinde gösterilebilir.
Burada i ’ye satır indisi,
ai1ai2 .....aij ......ain j ’ye sütun indisi denir.aij
ye de matrisin i inci satır , j
. inci sütundaki elemanı denir.
am1am2 ...amj ...amn
3. ÖRNEK :
1 2 3 matrisi R de tanımlanmış 2x3 tipinde bir
A= matristir.
2 5 1
ÖRNEK :
−7 −2 1
1 matrisi Z de tanımlanmış 3x4 tipinde
A=2 0 0 −
1
bir matristir. Burada , ikinci satır
dördüncü sütundaki eleman a24
= -1
,3
4 4 3 üçüncü satır [3 4 4 3] tür.
4. Bir matriste satır sayısı , sütun sayısına eşitse bu matrise kare
matris denir.
ÖRNEK :
1
- 3 0
A= 2 5 2 matrisi 3x3 tipinde karesel bir
7 8 −
1 matristir.
5. Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir ve O ile
gösterilir.
ÖRNEK :
0 0 0 0
O= matrisi 2x4 tipinde bir sıfır
0 0 0 0
matrisidir.
6. Birinci köşegen üzerindeki elemanlar 1 , bunların dışındaki
elemanların tümü sıfır olan matrise birim matris denir. I n ile
gösterilir.
ÖRNEK :
0 0
1
I 3= 1 0 matrisi 3x3 tipinde birim matristir.
0
0 1
0
7. Bir kare matriste, birinci köşegen üzerindeki elemanlardan en az
birisi sıfırdan farklı olmak üzere diğer bütün elemanları sıfır ise
bu matrise köşegen matrisi denir.
ÖRNEK :
0
2
A= 0
0
matrisi 2x2 tipinde bir köşegen
matristir.
8. Bir kare matriste , birinci köşegen üzerindeki elemanlar birbirinin
aynısı olmak üzere diğer bütün elemanlar sıfır ise bu matrise
skaler matris denir.
ÖRNEK :
0 0
7
A = 7 0
0 matrisi 3x3 tipinde bir skaler
matristir.
0 7
0
9. Satır sayısı bir olan matrise satır matrisi , sütun sayısı bir olan
matrise de sütun matrisi denir.
ÖRNEK :
[
A= 1 2 6 3 ] matrisi 1x4 tipinde bir satır matrisi ,
0
1
B= matrisi 3x1 tipinde bir sütun matrisidir.
5
10. A=[aij ]m x n , B=[ bij ]mxn iki matris olsun. A(i,j) için aij =bij ise A
ve B matrisleri eşittir denir. A=B şeklinde gösterilir. Yani iki
matrisin eşit olması için aynı tipten olmaları ve karşılıklı olarak
aynı indisli elemanları birbirine eşit olmalıdır.
ÖRNEK :
x + y 2 3 2 y + z
1
0 x + z 7 = 0 4 7 olduğldu göre ,
x + y + z toplamıto bulalıul
x + y =1 x + z = 4 y + z = 4 olmalılmal
2(x + y + z) =8 , (x + y + z ) = 4tür.
11. A = [aij] mxn , B = [ bij]mxn aynı tipten iki matris olsun.
A+B = [aij]mxn + [ bij ]mxn = [aij + bij ]mxn olarak tanımlanır.
Yani aynı tipten matrisler toplanabilir ve karşılıklı olarak aynı
indisli elemanlar toplanıp aynı indisli yere yazılır.
ÖRNEK :
1 2 4 5 1 + 4 2+
5
3 − + 6 1 = − +
− 1 3 6 − + 1 1
4
7 3 4 +
1
1 7+
3
7
5
= 3 0 dir.
10
5
12. 1. Değişme özelliği vardır.
A +B = B+A ‘dır.
2. Birleşme özelliği vardır.
A + B + C = A +(B+C) = (A+B)+C ‘ dir.
3. Aynı tipten bir matrisle sıfır matrisinin toplamı bu
matrise eşittir. Yani sıfır matrisi toplamaya göre etkisiz
elemandır.
A+O = O + A = A ‘dır.
13. Bir k skaları ile A = [aij ]mxn matrisinin çarpımı
kxA = kx[aij ]mxn = [ k.aij]mxn olarak tanımlanır. Yani bir
matrisi k ile çarpmak demek matrisin bütün elemanlarını k ile
çarpmak demektir.
ÖRNEK :
3
1 3
1
A = 2 4
⇒ 4
2.2
1
3 1
3
.1 2.3
2 6
2
= 2.2 2.4 = 4 8 dir.
.3 2.1
2 2
6
14. A=[aij]mxn ve B=[bij]mxn iki matris olsun. A ile B nin çarpımı C olmak
üzere , A x B = C [aij]mxn . [bij]nxp =[cij]mxp olur. Yani A matrisinin
i inci satırı ile B matrisinin k ıncı sütununun karşılıklı elemanlarının
çarpımlarının toplamı C matrisinin (i , k) ıncı elemanını verecektir. Bu
yüzden iki matrisin çarpılabilmesi için birincinin sütun sayısının ,
ikincinin satır sayısına eşit olması gerekir. Çarpım matrisinin satır
sayısı birinci matrisin satır sayısına , sütun sayısı ise ikinci matrisin
sütun sayısına eşit olur.
16. k bir skaler ve A , B , C matrisleri aşağıdaki işlemlerin her biri için
tanımlı olsun.
1.Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
A.(B.C) = (A.B).C =A.B.C
2.Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A.(B+C) = A.B + A.C
(B+C).A = B.A + C.A
3. k.(A.B) = (k.A).B = A.(k.B) dir.
17. 4. In , nxn tipinde birim matris olmak üzere ,
A.In =In. A dır.
5. A , mxm tipinde bir kare matris olsun.
A0 = Im , A1 = A , A2 = A.A , .......... An = A.An-1 dir.
6. Birim matrisin tüm kuvvetleri kendisine eşittir.
In = I dır.
7. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur.
18. Determinant fonksiyonu , elemanları reel sayılar olan karesel
matrisleri reel sayılara dönüştüren bir fonksiyondur.
A = [ aij ]nxn ise determinant fonksiyonunun bu matristeki değeri
A veya ‘det A’ ile gösterilir.A matrisi nxn tipinde ise A
determinantı n inci mertebedendir denir.
1x1 tipinde A = [ aij ] matrisinin determinantı,
A = a11 = a11 ,
19. 2x2 tipindeki bir matrisin determinantı ,
A = (a11.a22 – a12.a21) dir.
ÖRNEK :
1 2
A = ise detA = (1.4 - 2.3) = - 2 dir.
3 4
-1 2
= ( −1.0) − ( 2.3) = −6 dıır
3 0
20. Üçüncü mertebeden bir determinantın değerini bulmak için ilk iki
satır en alta yazılır , sağ köşegen üzerindeki elemanlar çarpılır ve
toplanır.bundan sol köşegen üzerindeki elemanların çarpımlarının
toplamı çıkartılır.
2 3
1
A = 4 5 6 ise A değeğeri hesaplayalım.
7 8 9
1 2 3
A =4 5 6
= 1.5.9+2.6.7+3.4.8-(3.5.7+1.6.8+2.4.9)
7 8 9
1 2 3 =225-225=0 dır.
4 5 6
21. Bir A = [aij]nxn matrisinde bir aij elemanın bulunduğu satır ve sütun
atıldıktan sonra kalan matrisin determinantına aij nin minörü denir ve
Mij ile gösterilir.
(-1)i+j x Mij sayısına da aij nin kofaktörü ( eş çarpanı ) denir ve Aij ile
gösterilir.
2x2 tipindeki bir matris A = [aij]2x2 olsun.
A = a11.A11 + a12 .A12
3x3 tipindeki bir matris A =[aij]3x3 olsun.
A =a11.A11+ a12.A12+a13.A13
23. nxn tipindeki bir matris A =[aij ]nxn olsun.
A = a11.A11+a12.A12+a13.A13+..........+a1n.A1n
Bu ifadelere bir determinantın 1 inci satıra göre açılımı denir.
(2 inci , 3 üncü ,... n inci satıra veya sütuna göre açılımda benzer
şekilde tanımlanarak determinantın değeri hesaplanabilir.)
Determinant hesaplamak için determinant özellikleri
kullanılarak bir satır veya sütunun elemanlarının bir kısmı
sıfır yapıldıktan sonra bu satır veya sütuna göre açılım
yapılabilir.
24. 1. Karesel bir A matrisinin herhangi bir satır veya sütundaki bütün
elemanları sıfır ise A = 0 dır.
ÖRNEK :
103
0 0
A = 4 0 5 =0 , B = =0
4 5
30 7
13 0
C = 4 8 7 =0 dıır
0 0 0
25. 2. Karesel bir matrisin iki satır veya sütunu kendi aralarında yer
değiştirirse determinantın işareti değişir.
Buna göre bir A matrisinin i inci satırı ile k ıncı satırı veya i inci
sütunu ile k ıncı sütunu aralarında yer değiştirdiğinde elde edilen
matris B ise B = - A dır.
ÖRNEK :
2 3 0
A = 1 − 1 − 2 = −32 1 nci satıatı 3 ncü satıa
0 −3 4
0 −3 4
diğiğind B = 1 − 1 − 2 = 32 olur.
yer değeğiştir
2 3 0
26. 3. Bir determinantı k sayısı ile çarpmak için bu determinantın sadece
bir satırını veya sütununu k ile çarpmak gerekir. Buna göre bir A
matrisi nxn tipinde ise k.A = kn. A olur.
ÖRNEK :
1 2 4 1 2 4
3. − 2 3 5 = 3.( −2) 3.3 3.5
−7 6 −6 −7 6 −6
27. 4. Bir determinantın iki satırındaki veya sütunundaki elemanlar
karşılıklı olarak orantılı ise bu determinantın değeri sıfırdır.
ÖRNEK :
7 2 3 7 2 3
1 0 −1 = 1 0 −1 = 0
14 4 6 2.7 2.2 2.3
28. 5. İki matrisin çarpımının determinantı , her iki matrisin
determinantları çarpımına eşittir.
nxn tipinde iki matris A ve B olsun.
A .B = A . B olur.
ÖRNEK :
1 2 0 4 1 5
A= .1 −1.4 −1 ise
3 0
1 2 0 41 5
A = . .
3 0 1 −1 4 −1
= (0 − 6).(0 − 4).(−1 − 20) = −504 tir.
29. 6.bir determinantın bir satırındaki elemanların k katı başka bir
satıra veya bir sütundaki elemanların k katı başka bir sütuna
karşılıklı olarak eklenirse determinantın değeri değişmez.
ÖRNEK :
27 3 2 + 8.1 3 + 8.5 3 + 8.4
1 5 4 = 1 5 4
1 2 0 1 2 0
yukarıdaki işlemde 2 nci satırın 8 katı 1 nci satıra
eklendi.
30. Bir A matrisinin satırlarının sütun , sütunlarının satır
yapılması ile elde edilen matrise A matrisinin transpozu
(devriği) denir ve AT ile gösterilir.
ÖRNEK :
1 4 7 1 2 3
2 5 8 ise A T = 4 5 6 dur.
A=
3 6 9 3 x3
7 8 9 3 x3
31. 1.(A+B)T=AT+BT
2.(AT)T=A
3.(k.A)T=k.AT
4.(A.B)T=BT.AT
T
5. A = A
6.(AT)-1 = (A-1)T
7.A karesel bir matris olmak üzere;
AT = A ise A ya simetrik matris ,
AT = -A ise A ya anti simetrik matris ,
AT = A-1 ise A ya ortogonal matris denir.
32. [a ]
ij mxn = 0 olmamak üzere matrisin bütün
karesel matrislerinden , determinantı sııfırda
farklı olan en büyük mertebelisinin
mertebesine A matrisinin rankı denir
ve rankA ile gösterilir.
ÖRNEK :
1 2
A = 0 3 matrisinin rankını bulalım.
- 1 0
33. ÇÖZÜM :
A matrisi 3x2 tipinde olduğundan karesel matrisleri en çok
2x2 mertebesindedir.
0 3
2x2 mertebesindeki alt matrisinin
- 1 0
0 3
determinantı = 3 olduğlduğu rankA = 2 dir.
-1 0
34. [ ]
A = a ij nxn
karesel matrisinin elemenlarınıınyerine
kofaktörlerinin yazıazılmala elde edilen yeni matrisin
transpozuna A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile
gösterilir.
ÖRNEK :
1 2 0
A = 0 1 3
matrisinin ek matrisini bulalım.
- 1 0 4
36. A, nxn tipinde bir matris olsun;
A.B =B.A = In olacak şekilde bir B matrisi varsa , B ye A
nın çarpmaya göre tersi denir ve A-1 ile gösterilir.
nxn tipindeki bir matris için;
A-1=1/ A .Ek(A) dır.
![m ve n pozitif tam sayılar olsun.
İ=1,2,3.....,m ve j=1,2,3....,n için aij sayılarının meydana
getirdiği ;
a11a12 ....a1 j .....a1n şeklindeki dikdörtgensel
tabloya m x n tipinde bir
a21a22 ....a2 j ....a2 n matris denir ve A=[ aij]m x n
. şeklinde gösterilebilir.
Burada i ’ye satır indisi,
ai1ai2 .....aij ......ain j ’ye sütun indisi denir.aij
ye de matrisin i inci satır , j
. inci sütundaki elemanı denir.
am1am2 ...amj ...amn
](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)