El documento describe conceptos fundamentales de álgebra lineal como determinantes, matrices de cofactores y el método de Laplace para calcular determinantes. Define determinantes como la suma de productos elementales con signo de una matriz y explica cómo calcularlos mediante cofactores y desarrollo por filas o columnas. También presenta propiedades clave de determinantes e inversibilidad de matrices.
This chapter discusses mathematical operations with arrays in MATLAB. It covers topics such as addition, subtraction, multiplication, and division of arrays. Array operations can be performed elementwise or using matrix multiplication. Built-in functions like mean, max, and sort can be used to analyze array properties. Random number generation functions rand, randn and randi are also introduced.
1. The document introduces vectors and matrices as ways to collectively represent multiple quantities or relationships between quantities.
2. Vectors are used to represent positions, food orders, prices, and other grouped data. Matrices are used to represent ingredient amounts for different foods and connections between rooms in a floorplan.
3. All of the examples can be expressed using vectors and matrices, with the key information being the numbers in the vectors and matrices.
This document provides an introduction to MATLAB for signal processing. It discusses MATLAB's fundamental data types of matrices and vectors and how arithmetic, vector, and matrix operations work. It also demonstrates how to create matrices, plot curves and surfaces, and includes some useful tips for MATLAB syntax and commands like help, doc, semicolons, and comments.
This document outlines the simplex method for solving linear programs with upper bound constraints. It begins with an example showing how upper bounds can be modeled as additional constraints. It then discusses the concept of an extended basic feasible solution that satisfies both the standard constraints and upper bound constraints. The optimality conditions for an extended basic feasible solution are presented, showing they are analogous to the standard optimality conditions but with additional terms for the upper bounds. The general idea of proving the optimality conditions is discussed. Finally, two examples are provided to illustrate the ideas and exact procedure of the simplex method for bounded variables.
El documento describe conceptos fundamentales de álgebra lineal como determinantes, matrices de cofactores y el método de Laplace para calcular determinantes. Define determinantes como la suma de productos elementales con signo de una matriz y explica cómo calcularlos mediante cofactores y desarrollo por filas o columnas. También presenta propiedades clave de determinantes e inversibilidad de matrices.
This chapter discusses mathematical operations with arrays in MATLAB. It covers topics such as addition, subtraction, multiplication, and division of arrays. Array operations can be performed elementwise or using matrix multiplication. Built-in functions like mean, max, and sort can be used to analyze array properties. Random number generation functions rand, randn and randi are also introduced.
1. The document introduces vectors and matrices as ways to collectively represent multiple quantities or relationships between quantities.
2. Vectors are used to represent positions, food orders, prices, and other grouped data. Matrices are used to represent ingredient amounts for different foods and connections between rooms in a floorplan.
3. All of the examples can be expressed using vectors and matrices, with the key information being the numbers in the vectors and matrices.
This document provides an introduction to MATLAB for signal processing. It discusses MATLAB's fundamental data types of matrices and vectors and how arithmetic, vector, and matrix operations work. It also demonstrates how to create matrices, plot curves and surfaces, and includes some useful tips for MATLAB syntax and commands like help, doc, semicolons, and comments.
This document outlines the simplex method for solving linear programs with upper bound constraints. It begins with an example showing how upper bounds can be modeled as additional constraints. It then discusses the concept of an extended basic feasible solution that satisfies both the standard constraints and upper bound constraints. The optimality conditions for an extended basic feasible solution are presented, showing they are analogous to the standard optimality conditions but with additional terms for the upper bounds. The general idea of proving the optimality conditions is discussed. Finally, two examples are provided to illustrate the ideas and exact procedure of the simplex method for bounded variables.
Dokumen tersebut membahas tentang logaritma, meliputi pengertian logaritma, sifat-sifat dasar logaritma seperti perkalian, pembagian, perpangkatan dan penarikan akar logaritma, serta contoh soal penerapan logaritma untuk menentukan nilai logaritma dan pH larutan.
1. 1 TRIUNGHIUL
2. CUPRINS 2 Definiţie Clasificarea triunghiurilor Linii importante în triunghi Cazuri de congruenţă
3. Definiţie 3 Triunghiul este figura geometrică formată dintr-o reuniune a trei segmente determinate de trei puncte necolineare.
4. Clasificarea triunghiurilor 4 După laturi - oarecare - isoscel - echilateral După unghiuri - ascuţitunghic - dreptunghic - obtuzunghic
5. Triunghiul oarecare 5 Nici o latură nu are aceeaşi lungime A C B
6. Triunghiul isoscel 6 Are două laturi de lungimi egale AB=AC A B C
7. Triunghiul echilateral 7 Are toate laturile de lungimi egale AB=AC=BC A B C
8. Triunghiul ascuţitunghic 8 Are toate unghiurile ascuţite (Â< 90º ) A B C
9. Triunghiul dreptunghic 9 Are un unghi drept (Â =90º ) A B C catet a catet a ipotenuza
10. Triunghiul obtuzunghic 10 Are un unghi obtuz (Â > 90º ) A B C
11. Linii importante în triunghi 11 Mediana Bisectoarea Inălţimea Mediatoarea
12. Mediana 12 Segmentul care uneşte vârful unui unghi al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. AA’, BB’, CC’ A B CA' B'C' G
13. Bisectoarea 13 Semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri congruente. BÂA’= A’ÂC A C B I A’
14. Inălţimea 14 Perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă AA’ A B C H A’
15. Mediatoarea 15 Perpendiculara construită pe latura unui triunghi în mijlocul laturii. A B C
16. CAZURI DE CONGRUENŢĂ 16
17. CAZURI DE CONGRUENŢĂ TRIUNGHI DREPTUNGHIC 17
18. VĂ MULŢUMESC PENTRU ATENŢIE! 18
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Trace is defined as the sum of the elements on the main diagonal of a square matrix. The trace of an n x n matrix A is the sum of its diagonal elements A11 + A22 + ... + Ann. Some key properties of the trace are that the trace of a matrix is equal to the trace of its transpose, and the order of matrices in a product can be switched without changing the trace. The algorithm to calculate the trace traverses the main diagonal and sums the elements, having time complexity O(n) where n is the order of the matrix.
Giá 10k/lượt download Liên hệ page để mua: https://www.facebook.com/garmentspace Xin chào, Nếu bạn cần mua tài liệu xin vui lòng liên hệ facebook: https://www.facebook.com/garmentspace Tại sao tài liệu lại có phí ??? Tài liệu một phần do mình bỏ thời gian sưu tầm trên Internet, một số do mình bỏ tiền mua từ các website bán tài liệu, với chi phí chỉ 10k cho lượt download tài liệu bất kỳ bạn sẽ không tìm ra nơi nào cung cấp tài liệu với mức phí như thế, xin hãy ủng hộ Garment Space nhé, đừng ném đá. Xin cảm ơn rất nhiều
This document outlines the concept of compound distributions. It defines a compound distribution as a random variable Y that is the sum of random variables X1 + X2 + ... + XN, where N is a random variable representing the number of terms. The document discusses the assumptions about N and the Xi, provides an example, and outlines the key properties of compound distributions including distribution function, expected value, variance, and moment generating function. It also includes a numerical example to demonstrate calculating the expected value and variance of a compound distribution.
1. Siswa mempelajari konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi untuk menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
2. Materi pembelajaran meliputi penjelasan tentang hubungan antara turunan dan integral sebagai anti turunan, serta contoh penentuan anti turunan beberapa fungsi.
3. Siswa diharapkan mampu menentukan anti turunan fungsi setelah mempelajari konsep integral sebagai kebalikan dari
This document discusses matrices and arrays in MATLAB. It defines matrices and vectors, and notes that MATLAB treats all variables as matrices. It explains how to enter matrices in MATLAB by listing elements separated by commas and semicolons. It also discusses built-in functions to generate matrices filled with zeros, ones, random values, or an identity matrix. The document covers operations on matrices like addition, subtraction, and multiplication. It explains how to extract sub-matrices and elements using indexing and introduces the colon operator.
Dokumen tersebut membahas tentang logaritma, meliputi pengertian logaritma, sifat-sifat dasar logaritma seperti perkalian, pembagian, perpangkatan dan penarikan akar logaritma, serta contoh soal penerapan logaritma untuk menentukan nilai logaritma dan pH larutan.
1. 1 TRIUNGHIUL
2. CUPRINS 2 Definiţie Clasificarea triunghiurilor Linii importante în triunghi Cazuri de congruenţă
3. Definiţie 3 Triunghiul este figura geometrică formată dintr-o reuniune a trei segmente determinate de trei puncte necolineare.
4. Clasificarea triunghiurilor 4 După laturi - oarecare - isoscel - echilateral După unghiuri - ascuţitunghic - dreptunghic - obtuzunghic
5. Triunghiul oarecare 5 Nici o latură nu are aceeaşi lungime A C B
6. Triunghiul isoscel 6 Are două laturi de lungimi egale AB=AC A B C
7. Triunghiul echilateral 7 Are toate laturile de lungimi egale AB=AC=BC A B C
8. Triunghiul ascuţitunghic 8 Are toate unghiurile ascuţite (Â< 90º ) A B C
9. Triunghiul dreptunghic 9 Are un unghi drept (Â =90º ) A B C catet a catet a ipotenuza
10. Triunghiul obtuzunghic 10 Are un unghi obtuz (Â > 90º ) A B C
11. Linii importante în triunghi 11 Mediana Bisectoarea Inălţimea Mediatoarea
12. Mediana 12 Segmentul care uneşte vârful unui unghi al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. AA’, BB’, CC’ A B CA' B'C' G
13. Bisectoarea 13 Semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri congruente. BÂA’= A’ÂC A C B I A’
14. Inălţimea 14 Perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă AA’ A B C H A’
15. Mediatoarea 15 Perpendiculara construită pe latura unui triunghi în mijlocul laturii. A B C
16. CAZURI DE CONGRUENŢĂ 16
17. CAZURI DE CONGRUENŢĂ TRIUNGHI DREPTUNGHIC 17
18. VĂ MULŢUMESC PENTRU ATENŢIE! 18
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Trace is defined as the sum of the elements on the main diagonal of a square matrix. The trace of an n x n matrix A is the sum of its diagonal elements A11 + A22 + ... + Ann. Some key properties of the trace are that the trace of a matrix is equal to the trace of its transpose, and the order of matrices in a product can be switched without changing the trace. The algorithm to calculate the trace traverses the main diagonal and sums the elements, having time complexity O(n) where n is the order of the matrix.
Giá 10k/lượt download Liên hệ page để mua: https://www.facebook.com/garmentspace Xin chào, Nếu bạn cần mua tài liệu xin vui lòng liên hệ facebook: https://www.facebook.com/garmentspace Tại sao tài liệu lại có phí ??? Tài liệu một phần do mình bỏ thời gian sưu tầm trên Internet, một số do mình bỏ tiền mua từ các website bán tài liệu, với chi phí chỉ 10k cho lượt download tài liệu bất kỳ bạn sẽ không tìm ra nơi nào cung cấp tài liệu với mức phí như thế, xin hãy ủng hộ Garment Space nhé, đừng ném đá. Xin cảm ơn rất nhiều
This document outlines the concept of compound distributions. It defines a compound distribution as a random variable Y that is the sum of random variables X1 + X2 + ... + XN, where N is a random variable representing the number of terms. The document discusses the assumptions about N and the Xi, provides an example, and outlines the key properties of compound distributions including distribution function, expected value, variance, and moment generating function. It also includes a numerical example to demonstrate calculating the expected value and variance of a compound distribution.
1. Siswa mempelajari konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi untuk menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
2. Materi pembelajaran meliputi penjelasan tentang hubungan antara turunan dan integral sebagai anti turunan, serta contoh penentuan anti turunan beberapa fungsi.
3. Siswa diharapkan mampu menentukan anti turunan fungsi setelah mempelajari konsep integral sebagai kebalikan dari
This document discusses matrices and arrays in MATLAB. It defines matrices and vectors, and notes that MATLAB treats all variables as matrices. It explains how to enter matrices in MATLAB by listing elements separated by commas and semicolons. It also discusses built-in functions to generate matrices filled with zeros, ones, random values, or an identity matrix. The document covers operations on matrices like addition, subtraction, and multiplication. It explains how to extract sub-matrices and elements using indexing and introduces the colon operator.
3. Tanım: m,n ∈ N+ için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere,
aij reel sayılarından oluşturulan;
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
. . . .
. . . .
. . . .
i. satır
ai1 ai2 ... aij ... ain tablosuna, m x n biçiminde
matris denir.
. . . .
1
. . . .
am1 am2 ... sütun
j. amj ..amn devam etmek için tıklayınız
4. A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada
bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına indis, j sayısına
da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. satır ile
j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde
gösterilen A matrisine kısaca A= [aij]m x n şeklinde
gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun
sayısını gösterir.
A matrisinin, ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına i.satır
elemanları; ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına da j.sütun
2
elemanları denir.
devam etmek için tıklayınız
5. Satır Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir.
B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
. . . .
. . . .
. . . .
Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)
B1
B
A matrisi satır A= [aij]m x n =
2
. şeklinde 3
matrisine bağlı olarak, gösterilir.
.
Bm
devam etmek için tıklayınız
6. Sütun Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.
a11 a12 a1n A1 :1.satır matrisi
a21 a12 a2 n A2 : 2.satır matrisi
A1 = , A2 = ,......, An = ...
.... .... .... ...
am1
am 2
amn
An : n.satır matrisi
A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,
4
A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.
devam etmek için tıklayınız
7. Kare Matris
Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan
kare matris denir.
Örneğin;
3 − 4 matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
1 5
5
devam etmek için tıklayınız
8. Sıfır Matrisi
Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir
ve O harfi ile gösterilir.
Örneğin;
0 0 0 matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
0 0 0
2 x3
6
devam etmek için tıklayınız
9. Asal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının
oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin
oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.
Örneğin;
a11,a22,a33 : asal köşegen
a11 a12 a13 a31,a22,a13 : yedek köşegen
a a22
a23
21
a31
a32 a33
7
Yedek köşegen Asal köşegen
devam etmek için tıklayınız
10. Köşegen Matris
Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir.
Örneğin;
3 0 0
0 − 4 0 matrisi, 3.sıradan bir köşegen
matrisidir.
0 0 0
8
devam etmek için tıklayınız
11. Skalar Matris
Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k
ise,(k ∈ R) bu matrise, skalar matris denir.
Örneğin;
5 0 matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.
0 5
9
devam etmek için tıklayınız
12. Birim Matris
Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer
elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n
tipindeki bir birim matris In ile gösterilir.
Örneğin;
1 0 0 0
0 1 0
0
matrisi , 4.sıradan bir birim
I4 = matrisidir. I4 ile gösterilir.
0 0 1 0
10
0 0 0 1
(asal köşegen) devam etmek için tıklayınız
13. İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler,
eşit matrisler denir.
∀ (i, j) ∈ M x N için, aij = bij ⇔ [aij]m x n = [bij]m x n
ÖRNEK:
5a 3a + 2b 4 x
A= ve B=
a + 2b
b
5 y 2
x 11
olmak üzere, A = B ise kaçtır ?
y
devam etmek için tıklayınız
14. 5a 3a + 2b 4 x matrislerinin
ÇÖZÜM : A = B ⇒ =
a + 2b b
5 y 2 eşitliğinden,
5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan
5a = 22
⇒ 5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer
5b = 2 ⇒ 52b = 22 x/y de yerine yazılırsa;
x 3(2b) + 2b 8b
= = = 2 bulunur. 12
y 2b + 2b 4b
devam etmek için tıklayınız
15. MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B
matrislerinin toplamı denir.
O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.
Buna göre;
m+1 = n+1 ∧ p-2 = 2 ⇒ m=n ∧ p=4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 ∧ k=2
13
m =n 2 , p=4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.için tıklayınız
devam etmek
16. MATRİSİN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.
- A= [aij]m x n matrisine, A= [aij]m x n matrisinin toplamı işlemine göre
tersi denir.
Örneğin;
− 4 1 3
A= matrisinin toplama işlemine göre tersi,
2 5 − 6
2 − 1 − 3
− 4 − 5 6
matrisidir. 14
devam etmek için tıklayınız
17. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için;
A+B = [aij]m x n + [bij]m x n
= [aij+ bij]m x n = [bij + aij]m x n
= [bij]m x n + [aij]m x n
=B+A
15
devam etmek için tıklayınız
18. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
A = [aij]m x n , B = [bij]m x n C = [cij]m x n matrisleri için;
A+(B+C) = [aij]m x n + ( [bij]m x n + [cij]m x n )
= [aij]m x n + [bij + cij]m x n = [aij+ (bij + cij)]m x n
= [(aij+ bij) + cij]m x n = [aij + bij ]m x n + [cij]m x n
= (aij]m x n + [ [bij]m x n ) + [cij]m x n
16
= (A+B) + C olur. devam etmek için tıklayınız
19. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
A = [aij]m x n ve O = [O]m x n matrisleri için;
A+O = [aij]m x n + [O]m x n = [aij+ O]m x n = [aij]m x n = A
O + A = [O]m x n + [aij]m x n = [O + aij]m x n = [aij]m x n = A dır.
17
devam etmek için tıklayınız
20. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
4.. A = [aij]m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
-A = [aij]m x n matrisidir.
A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için;
A+(-A) = [aij]m x n + [-aij]m x n = [aij - aij]m x n = [0ij]m x n
A+(-A) = [-aij]m x n + [aij]m x n = [- aij+aij]m x n = [0ij]m x n dir.
18
devam etmek için tıklayınız
21. İki Matrisin Farkı
Tanım: A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrislerinin farkı,
A - B = A +(-B) = [aij]m x n + [-bij]m x n = [aij - bij]m x n dir.
19
devam etmek için tıklayınız
22. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.
k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A
matrisinin çarpımı denir.
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir.
ÖRNEK: 2 − 3
4 matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bul.
1
ÇÖZÜM: 2 − 3 2.(2) − 3(2) 4 − 6 bulunur.
= 2. = 4.(2) 1.(2) = 8 2
4 1
20
devam etmek için tıklayınız
23. SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k,k1,k2 olsun. Her
A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için;
• k . (A+B) = k . A + k . B
• (k1+k2) . A = k1 . A + k2 . A
• k1 .(k2 . A) = (k1. k2) . A
21
devam etmek için tıklayınız
24. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için 1.matrisin sütun
sayısı,2.matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [aij]m x n ve
B= [bij]m x n olmak üzere;
n
elemanları cik = Σ
j =1
a ij . b jk
= ai1 .b1k +ai2 . b2k + ... +ain . bnk
toplamıyla bulunan C=[cik]mxp matrisine, A ve B matrislerinin
çarpımı denir ve Cmxp = Amxp . Bmxp şeklindedir.
Buna göre,A . B matrisinin i.satır j.sütun elemanı c jk ise, bu eleman Bi
satır vektörü ile Aj sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O halde birinci
matrisin her satırı, ikinci matrisin her sütununa karşılık gelen
elemanlarıyla çarpılıp toplanır.
22
devam etmek için tıklayınız
25. MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B ≠ B.A
2. A ≠ O ve B ≠ O olduğu halde, A . B = O olabilir.
Örneğin;
2 − 1 1 1
A= ve B= olup;
− 2 1 2 2
2− 2 2 − 2 0 0
A.B = = 0 0 dır. 23
− 2 + 2 − 2 + 2
devam etmek için tıklayınız
26. MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde
yutan elemandır.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.
24
devam etmek için tıklayınız
27. MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir.
6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan
dağılma özelliği;
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ;
25
A.(B +C) = A .B + A . C dir.
devam etmek için tıklayınız
28. MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan
dağılma özelliği;
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde
iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.
7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.
(k.B)=(k.A).B dir.
26
devam etmek için tıklayınız
29. 8. A ≠ O ve A . B = A . C iken, B = C olmayabilir.
3 2 1 3 3 1
, B = 4 1, C = 1 4
ÖRNEK:
6 4
matrisleri veriliyor. A . B= A . C olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:
3 2 1 3 11 11 1 1
A.B= . 4 1 = 22 = 11. 2 2
6 4 22
3 2 3 1 11 11 1 1
A . C = 6 .1 4 = 22
4 22 = 11. 2 2
27
O halde, A . B = A .C dir.dikkat edilirse, A . B = A .C iken B ≠ C dir.
devam etmek için tıklayınız
30. Kare Matrisin Kuvveti
Tanım: n.sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. K ∈N+
olmak üzere; A0=In , A1=A , A2= A . A ,A3=A.A2 ,...,Ak=A.Ak-1 dir.
Örnek; n.sıradan A ve B kare matrisleri için, A2 - B2 =
(A-B).(A+B) eşitliği doğru olmayabilir. Açıklayalım.
Çözüm; (A-B).(A+B) = A . A + A . B - B . A - B . B
= A2 + A.B-B.A - B2 dir.
Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği olmadığından,A.B=B.A
yazılamaz. Bu nedenle A2 - B2 = (A-B).(A+B) ifadesi doğru
olmayabilir. Aynı şekilde,(A+B)2=A2+2AB+B2 eşitliği de
28
doğru değildir.
devam etmek için tıklayınız
31. MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=In koşulunu
sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin
çarpma işlemine göre tersi denir.
A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1.A = In
Örnek:
3 − 1
A= matrisinin çarpma işlemine göre tersi
29
− 2 1 matrisini bulalım.
devam etmek için tıklayınız
32. ÇÖZÜM:
a b
A -1= c olsun. A. A-1 = A-1.A = I2 olduğundan
d
3 − 1 a b 1 0
− 2 1 . c = 0 1 yazalım:
d
3a − c 3b − d 1 0
− 2a + c − 2b + d = 0 1 elde edilir. Matrislerin eşitliğinden,
3a − c = 1 3b − d = 0
− 2a + c = 0 − 2b + d = 1 1 1
a =1 b =1
bulunur. O halde, A =
-1
2 3
30
c=2 d =3
devam etmek için tıklayınız
33. ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ
1. k ∈ R-{0} olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A-1dir.
2. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre
tersleri, A-1 ve B-1 ise; (A.B)-1 = A-1 . B-1 dir.
3. a b −1 1 d − b
A= ise, A = ad − bc − c a dır.
c d 31
Eğer, ad - bc = 0 ise ,A-1 yoktur.
devam etmek için tıklayınız
34. BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ)
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun
haline getirmekle elde edilen A = [aij]m x n matrisine,A matrisinin
transporozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
Örneğin;
− 3 2
− 3 4 5
A= matrisinin transporozu, AT = Ad = 4 − 1 dır.
2 − 1 6 5 6
32
devam etmek için tıklayınız
35. Teorem: A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir
skalar ise;
1. (AT)T = A , 2. (A+B)T = AT + BT , 3. (k.A)T = k.AT dir.
33
devam etmek için tıklayınız
36. Teorem: A= [aij]m x n ve B = [bij]n x p matrisleri için,
(A.B)T = AT . BT dir.
1 2 0
Örnek: A= , B= ise, (A.B)T = BT . AT
−1 3 4 olduğunu gösterelim.
1 2 0 8
. = ⇒ ( A.B ) = [8 12]
T
Çözüm: A.B =
− 1 3 4 12
1 − 1 1 − 1
B = [ 0 4] A =
T T T T
( )
⇒ B . A = [ 0 4]. 2 3 = [ 8 12] olur.
2 3
( A.B ) T
= B .A T T
dir.
34
devam etmek için tıklayınız
37. Teorem: A tersi olan bir matris ise, (AT)-1 =(A-1)T dir.
1 − 1 2
Örnek: A.B = ise, BT . AT matrislerini bulalım.
3 4 5
Çözüm:
T 1 3
1 − 1 2 − 1 4 dir.
( A.B ) = B .A için, B . A =
T T T T T
=
3 4 5
2 5
35
devam etmek için tıklayınız
38. Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
1. AT = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
2. AT = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir.
3. AT = A-1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir.
36
devam etmek için tıklayınız
39. 0 3 4
2 3
A= , B = − 3 0 − 6 matrislerinin hangisinin
3 5
Örnek:
− 4 6 0
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
Çözüm: 2 3
A= simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
3 5
0 3 4
B = − 3 0 − 6 matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, AT = -A dır.
4 6 0
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar
sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.
37
devam etmek için tıklayınız
40. Tanım:1x1 biçimindeki A = [a ]
11
matrisinin determinantı, A = a 11 dir.
Örneğin; A=[7] matrisi için A =7 dir.
a11 a
Tanım: 2x2 biçimindeki A= 12
matrisinin determinantı
a 21 a 22
A = a 11 a 12
= a11 . a 22 −a12 . a 21 dir.
a 21 a 22
3 − 6
Örnek : A = olduğldu göre, A yı hesaplayalım
− 2 8
3 − 6
38
Çözüm : A = = 3.8 - (-2).(-6) = 24 - 12 = 12
− 2 8
devam etmek için tıklayınız
41. a11 a 12 a13
Tanım : 3 × 3 biçimindeki A = a 21 a 22 a23
matrisinin determinantıı
a a a
31 32 33
a a 11 12 a 13
A=a a 21 22 a 23
= (a11 . a 22 . a33 + a 21 . a32 . a13 + a31 . a12 . a 23)
a a 31 32 a 33
− (a13 . a 22 . a31 + a23 . a32 . a11 + a33 . a12 . a21) dir.
39
devam etmek için tıklayınız
42. - 1 0 3
Örnek : A = 2 1 0 olduğuna göre, A yı hesaplayalım.
0 5 - 4
-1 0 3
Çözüm : A = 2 1 0
0 5 -4
= [( −1).1.( −4) + 2.5.3 + 0.0.0]− [ .1.0 + 0.5.( −1) + ( −4).0.2]
3
= (4 + 30 + 0) − (0 + 0 + 0) = 34 bulunur. 40
devam etmek için tıklayınız
43. Tanım: n.
sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j.
Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin
determinantına, a ij elemanının Minör’ü denir ve
M ij ile gösterilir. (−1) i + j .M ij
A ij =
41
devam etmek için tıklayınız
44. Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3
olsun.
a11 a 12 a 13
A = a 21 a a 23
∈ M3
22
a a a
31 32 33
olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ile
tanımlı D : M → R fonksiyonuna , determinant
3
fonksiyonu denir. 42
devam etmek için tıklayınız
45. 3001 3003
Örnek: A = determinantını hesaplayalım.
2997 2999
3001 3003 a + 1 a + 3
Çözüm: 3000=a dersek, A = = olur. Buna göre,
2997 2999 a − 3 a − 1
açılımını A =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8
43
devam etmek için tıklayınız
46. Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun.
11
a a 12 a 1n
a
21 a 22 a 2n
∈ n olmak üzere
M
a a a
n1 n2 nn
det(A) = A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ile tanımlı D : M 3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= A ifadesine de A matrisinin
determinantı denir.
44
devam etmek için tıklayınız
47. −1 0 2 0
1 −1 0 1
Örnek: A = değerini bulalım.
0 1 2 1
−1 3 2 4
Çözüm:
− 1 0 1 1 −1 1
A =− .( − ) 2 . 1
1 1 2 1 + .( − ) 4 . 0
2 1 1 1
3 2 4 − 1 3 4
A = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) ⇒ A = -1.(-10)+2.(3)=16
bulunur.
45
devam etmek için tıklayınız
48. 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise, A = A dir.
T
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin
determinantının değeri sıfırdır.
2a 2b 2c
A = a b c a, b, c ∈R - {0} determinantı verilmiş olsun. Bu
1 1 1
determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı
olarak orantılı olduğu için, A = 0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır
ise, determinantın değeri sıfırdır.
4
A =4
-2
-1
0
0 =0 dır. 46
3 4 0
devam etmek için tıklayınız
49. 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır
ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu
çarpımın ters işaretlisine eşittir.
a 11 a 12 a 13
A = 0 a 22 a 23
= a11 . a 22 . a 33 (Asal köşegen altındaki
0 0 a 33
elemanlar sıfırdır.)
5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse,
determinant işaret değiştirir.
a b c d ise (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.)
=6 = −6
c d a b
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın
değeri de k katına çıkar.
A=
a b
ise k. A =
ka kb
olur. 47
c d c d
devam etmek için tıklayınız
50. 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm
terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla
toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.
a b a b dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
=
c d c + ka d + kb eklenmiştir.)
8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki
terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın
toplamı biçiminde yazılabilir.
a +x b +y c +z
1 1 1
Determinantı aynı sıradan iki
A= a b 2c 2 2 determinantın toplamı biçiminde
a b 3c 3 3
yazılırsa ;
a b c x y z
1 1 1
olur.
A=a b c +a b c
2 2 2 2 2 2
48
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
devam etmek için tıklayınız
51. 9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait
terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş
çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam
sıfır olur.
3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.
10. N. Mertebeden A ve B matrisleri A.B = A . B dir.
için,
a b x y
A= = 4 ve B = = 7 ⇒ A.B = A . B = 4.7 = 28
c d z t
49
devam etmek için tıklayınız
52. Tanım: n. mertebeden
A= [ ]
aij n*n Kare matrisi
[ ]
verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij T ise ;
matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile
gösterilir.
a11 a12 a13 Matrisinin ek matrisi bulunurken,
A = a 21 a 22 a 23 tanıma göre matriste her elemanın
a
31 a32 a33 yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen
matrisin transpozu alınır.
T
A11 A 12 A 13
A 11A A
21 31
A= A 21 A 22 A 23
= A 12A A
22 32
A A A A A A
31 32 33 13 23 33
a b d − b
A = matrisi için ek matris , Ek(A) = − c
c d a
50
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.
devam etmek için tıklayınız
53. A.Ek(A)=Ek(A).A= A .I
a b
Yukarıdaki özelliği, A= Matrisi için gösterelim:
c d
a b d − b ad − bc − ab + ab ad − bc 0
c d . − c a = cd − cd − bd + ad = 0
− bc + ad
1 0
=(ad-bc) = A .I 2 ' dıı
0 1
51
devam etmek için tıklayınız
54. Teorem: A matrisi A ≠ 0 olan bir matris olmak üzere,
A = Ek ( A) ‘dır.
−1
A
52
devam etmek için tıklayınız
55. 1 0 2
Örnek: A = 2 − 1 3
matrisinin tersini bulalım.
4 1 8
Ek ( A)
−1
Çözüm: A = olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı
det( A)
bulalım.
1 0 2 - 11 2 2
det( A) = 2 − 1 3 = 1 ≠ 0 olduğlduğu , A -1 var dıır Ek(A) = - 4 0 1
4 1 8 6 - 1 - 1
- 11 2 2
Ek(A)
olarak bulunur. O halde, A -1 = = - 4 0 1 olur.
det(A)
6 - 1 - 1
ab
Sonuç : matrisinde , det(A) = ad - bc ≠ 0 ise ;
cd
A =
-1 Ek(A)
=
1 d − b 53
det(A) ad - bc − c dıır
a
devam etmek için tıklayınız