Лекц-6

1. 1.6. Магадлалын онол ба магадлалын тархалтын цуваа
1.6.1 Магадлалын онолын ерөнхий ойлголт
Магадлын онолын хүрээнд юуны өмнө янз бүрийн санамсаргүй үзэгдэл гарах
боловжит түвшнийг судлах асуудал хамрагдана. Нийгэм эдийн засгийн аливаа үзэгдэл
нь орших байдал бие биенээсээ харилцан хамаарах үүднээс авч үзвэл тодорхой
онцлогтой байж болно. Тухайлбал: уг санамсаргүй үзэгдэл харьцангуй бие даасан үл
хамаарах байдалтай, эсвэл нөгөө үзэгдлээс шууд хамаарах чанартай буюу нийцэх ба үл
нийцэх гэх мэт янз бүр байх жишээтэй. Иймд магадлалыг дараах байдлаар ангилж
статистикийн судалгаанд ашигладаг байна. Үүнд:
1. Энгийн магадлал
2. Хосолсон магадлал
3. Нөхцөлт магадлал
Магадлалын онолын тусламжтайгаар илрүүлсэн үзэгдлүүдийн зүй тогтол нь энэхүү
үзэгдэл цаашид хэрхэн яаж явагдахыг урьдчилан тодорхойлох боломж олгодог юм.
Эдийн засгийн судалгаанд магадлалын аргыг хэрэглэх шаардлага нэлээд их
тохиолддог байна. Магадлалын онолд тусгай тогтсон тэмдэглэгээ, тодорхойлолт,
аксиом дүрмүүд ашиглагддаг. Одоо эдгээртэй танилцья.
1.Аливаа дурын “А” үзэгдэл гарах магадлалыг Р(А) гэж тэмдэглэнэ. Зөвхөн ганц
үзэгдэл дангаар гарах энэхүү магадлалыг энгийн магадлал гэнэ.
Жишээ 1: сургуулийн аврага шалгаруулах англи хэлний тэмцээнд 20 оюутан оролцсон
эсвэл аль нь нэг оюутны тэргүүн байр эзлэх магадлал нь Р(тэргүүн байр)=
1
20
= 0.05
байна. Өөрөөр хэлбэл аль ч оюутаны аварга болох магадлал 20-иос нэг бөгөөд энэ
үзэгдэл нь харилцан ялгаатай (үл хамаарах) үзэгдлүүд юм.
2.Санамсаргүй хоёр үзэгдэл бие биетэйгээ үл нийцэх тохиолдолд А эсвэл В
үзэгдлийн гарах магадлалыг дараах байдлаар тодорхойлно. Үүнд:
Р(А U В)=Р(А)+Р(В)
Энэ томъёоллоос зөвхөн А үзэгдэл гарах магадлалыг
Р(А) = 1 − Р(A̅) гэсэн дүрэм гаргаж болно.
Жишээ 2: Зуны амралтаар жуулчны компанид орчуулагчаар ажилахаар Бат, Оюун,
Цэцгээ, Дорж, Итгэл гэсэн 5 оюутан хүсэлт гаргажээ. Тэгвэл Цэцгээ эсвэл Итгэл
сонгогдох магадлал нь:
Р(Ц эсвэл И)=
1
5
+
1
5
= 0.4 болно.
Хоёр болон түүнээс олон үзэгдэл гарах магадлалыг дараах жишээнээс тооцоолъё.
Хүснэгт9. Гэр бүл ба хүүхдийн тоо
Хүүхдийн
Тоо
0 1 2 3 4 5 6түүнээс дээш
Нийт өрхийн
дунд эзлэх жин
0.05 0.10 0.30 0.25 0.15 0.10 0.05
Дөрөв болон түүнээс дээш хүүхэдтэй өрнийн магадлалыг тодорхойлбол:
Р(4,5,6болондээш)= 0.15 + 0.10 + 0.05 = 0.30 болно.
Одоо 5 болон түүнээс цөөн хүүхэдтэй гэр бүлийн магадлалыг Р(А) гэж үзвэл

2. Р(А) = 1 − Р(A̅) = 1 − 0.05 = 0.95
гэж хялбар тооцоолж болно.
3.Санамсаргүй хоёр үзэгдэл харилцан бие биетэйгээ нийцэж байгаа тохиолдолд А
эсвэл В үзэгдэл гарах магадлалыг
Р(А U В)=Р(А)+Р(В) −Р(А∩В)
гэсэн томъёогоор тодорхойлно.
Р(А∩В)-А болон В үзэгдэл хамт гарах тохиолдлын магадлал
Энэ магадлалыг дараах байдлаар дүрсэлж харуулна.
А эсвэл В
А болон В
Зураг1. Харилцан холбоотой үзэгдлийн магадлал
Жишээ 3: Нэг цехийн ажилчдаас таван хүнийг хамт олны зөвлөлд нэр дэвшүүлэв.
Нэр дэвшигчдийн нас, хүйс дараах байдалтай байв.
Хүснэгт10. Нэр дэвшигчдийн зарим тодорхойлолт
Нэр дэвшигчийн
дугаар
Хүйс Нас
1 Эрэгтэй 30
2 Эрэгтэй 32
3 Эмэгтэй 45
4 Эмэгтэй 20
5 Эрэгтэй 40
Эмэгтэй эсвэл 35-аас дээш насны ажилчин хамт олны зөвлөлд сонгогдох магадлалыг
тооцвол
Р(эмэгтэй эсвэл 35 аас дээш)=Р(эмэгтэй)+Р(35-с дээш)-Р(эмэгтэй болон 35с дээш)
2
5
+
2
5
−
1
5
=
3
5
= 0.6
гарч байна.
4. Хэрэв хоёр болон түүнээс дээш тооны үзэгдлүүд бие биенээсээ үл хамаарах
бол Р(А∩В)=Р(А) ∙Р(В) гэсэн магадлал байна.
Р(А∩В) –г А болон В үзэгдэл хамт гарах магадлал. Ийм магадлалыг хосолсон магадлал
гэнэ.
Жишээ 4: Мөнгөний сүлд Р(С) болон тоо Р(Т) гарах магадлал байх ба түүнийг модны
мөчир маягаар дүрсэлж болно.

3. 1 хаялт 2 хаялт 3 хаялт
0.125
0.25
0.125
0.5
0.125
0.25
0.125
0.1
0.125
0.25
0.125
0.5
0.125
0.25
0.125
Зураг 2. Хосолсон магадлал
Хосолсон магадлалаас биномын тархалт үүснэ.
5. А үзэгдэл В үзэгдлийг гарахад хүргэж байгаа буюу А үзэгдлийг үүсэхэд В
үзэгдэл тооцогдох нөхцлийг Р(В/А)=P(В) гэж томъёолно. Ийм магадлалыг нөхцөлт
магадлал гэнэ.
1.6.2 Магадлалын тархалтын цуваа
Магадлалын түвшингээр байгуулсан тархалтын цуваа нь
- Дискрет магадлалын тархалт
- Тасралтгүй магадлалын тархалт гэж хоёр үндсэн төрөлтэй байна.
Эдийн засгийн аливаа үзэгдэлийн хувьсах тоон шинж тэдгээр байгуулсан
тархалтын цуваанаас харьцангуй давталтын тусламжтайгаар магадлалын цуваа
байгуулж уг үзэгдэл ирээдүйд хэрхэн явагдах талаар дүгнэлт гаргахад ашиглах
боломжтой юм.
Жишээ 5: Хүснэгт 1-д өнгөрсөн 100 өдрийн хугацаанд Central Motors компанийн
худалдсан автомашины тухай мэдээлэл өгөгдөв. Худалдааны менежментийн үйл
ажиллагаанд ашиглах зорилгоор өдөр бүр худалдсан машины талаархи мэдээллийг
илүү тодорхой болгох ирээдүйд борлуулалтын түвшинг прогнозлоход магадлалын
тархалт илүү тодорхой чухал ач холбогдолтой байна. Тухайлбал аль нэг өдөр 13 машин
худалдах магадлал нь 0.23 байгааг харж болно. Түүнчлэн өсөн нэмэгдэх магадлалыг
тодорхойлсноор 13 болон түүнээс цөөн тооны машин худалдах магадлал 0.62 байна
гэдгийг ч мэдэх боломжтой байна.

4. Хүснэгт 11. Магадлалын тархалтийн цуваа
Нэг өдөр
борлуулсан
машины тоо (x)
Өдрийн тоо
(f)
Магадлал
P(x)
Өсөн
нэмэгдэх
магадлал
х*Р(х)
10 8 0.08 0.08 0.8
11 12 0.12 0.20 1.32
12 19 0.19 0.39 2.28
13 23 0.23 0.62 2.99
14 18 0.18 0.80 2.52
15 20 0.20 1.00 3.00
Дүн 100 1.00 - 12.91
Магадлалын тархалтыг судалгаанд ашиглахад түүний хүлээгдэх тоон хэмжээ гэсэн
үзүүлэлт нилээд чухал байдаг. Энэ үзүүлэлт нь дунджийн нэг өвөрмөц төрөл билээ.
Дискрет магадлалын цувааны хүлээгдэх хэмжээг дараах томъёогоор тодорхойлдог
байна.
𝐸(𝑥) = ∑[𝑋 ∗ 𝑃(𝑥)]
Е(х)- хүлээгдэх хэмжээ
Х- вариантын утгууд
Р(х)- вариант бүрийн гарах магадлал
Өмнөх жишээнээс “хүлээгдэх хэмжээ” буюу нэг өдөр борлуулах машины
боломжит тоо хэмжээ нь хүснэгтийн тавдугаар баганын дүн буюу 12.91 байна.
Дискрет магадлалын тархалтын нэг хэлбэр нь биномын тархалт юм.
Биномын тархалтын магадлалыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ. Энэ томъёог
Бернуллын томъёо гэнэ.
Р(х)=𝐶 𝑛
𝑥
∙ 𝑝 𝑥 ∙ (1 − 𝑝)
𝑛−𝑥
Энд:Р(х) - сонгосон шинж тэмдгийн х амжилтын магадлал
n- туршилтын тоо
𝐶 𝑛
𝑥
- туршилт хийхэд сонгосон шинж тэмдэг х гарах тоо
Р- нэг туршилтанд ногдох амжилтын (тийм) магадлал
(1-р)- нэг туршилтанд ногдох уналтын (үгүй) магадлал
Хэсэглэлийн тоог 𝐶 𝑥
𝑛
=
𝑛!
𝑥!(𝑛−𝑥!)
тодорхойлно.
Биномын тархалтын үндсэн шинж тэмдэг нь:
а. n гэсэн ижил туршилтуудаас зөвхөн хоёр боломжит хувилбар
(амжилт—тийм, уналт = үгүй) гарах

5. б. Нэг туршилтаас ногөө туршилтын хооронд амжилтын магадлал
хэвээр хадгалагдана
в. Туршилт бүр нь бие биеэс үл хамаарна гэсэн тодорхой нөхцөлуүд
биелэгдэж байх ёстой.
Биномын тархалтын жишээ:
Central Motors компани өдөрт 13 болон түүнээс дээш тооны автомашин
борлуулбал ашигтай байх болно гэж тодорхойлсон байна. Central Motors
компанийн борлуулалтын менежер ашигтай ажиллах өдрүүдийн магадлалыг
тодорхойлоход биномын тархалтыг ашиглана. Энэ жишээнд хувьд Биномын
тархалтын үндсэн нөхцөл биелэгдэж байна.
1. Өдөр бүр ашигтай, эсвэл алдагдалтай гэсэн хоёр боломжит гарц байна.
2. Ашигтай байх өдрийн магадлал нь Р--0.61 өдрөөс өдөрт тодорхой
хэмжээгээр хадгалагдана гэж үзье.
3. Өдөр бүрийн борлуулалтын хэмжээ бие биеэс үл хамаарна.
Компаний менежер өдрийн борлуулалтын загварчлал боловсруулахад бином
тархалтыг ашиглан бизнесийн шийдвэр гаргахад тус дөхөм болох юм.
Биномын хүснэгтийг ашиглан тодорхой тавигдсан асуудлуудад хариулбал:
1. Долоо хоногийн бүх өдөр ашигтай байх магадлал
n=6; р=0.60; х=6, Р(х)= 0.047
2. Долоо хоногт дөрөв болон түүнээс дээш өдөр ашигтай байх магадлал
n=6; р=0.60; х>4 тул Р(х)=0.311+0.187+0.047=0.545
3.Долоо хоногийн нэг ч өдөр ашиггүй байх n=6; р=0.60; х=0 тул
Р(х)= 0.004
4. 15 хоногоос 10 болон түүнээс дээш өдөр ашигтай байх магадлал n=15;
р=0.60; х>10 тул
Р(х)=0.186+0.127+0.0063+0.022+0.005+0.000=0403 байна.
Тус компаний ашигтай ажиллах өдрүүдийн магадлал харьцангуй бага байгаа
тул үүнийг нэмэгдүүлэхийн тулд борлуулалтыг өсгөх олон төрлийн арга
хэмжээ авах нь зүйтэй байна. Тухайлбал, зар сурталчилгааг нэмэгдүүлэх,
худалдагчдын ур чадварыг дээшлүүлэх, сургалт зохион байгуулах гэх мэт.
Биномын тархалтын дундаж болон стандарт хэлбэлзлийг дараах
томъёогоор тодорхойлно. Үүнд:
𝑋̅=n∙р; 𝜎 = √𝑛 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝)
Central Motors компаний долоо хоногийн ашигтай ажиллах өдрийн дундаж,
стандарт хэлбэлзлийг энэхүү томъёогоор тодорхойлбол:
𝑥̅ = 6 ∙ 0.61 = 3.66
𝜎 = √6 ∙ 0.61 ∙ (1 − 0.61) = 1.19
гэсэн хэлбэлзэл тооцогдож байна.
Тус компаний хувьд дунджаар долоо хоногийн 3.66 өдөр нь ашигтай
ажиллах(хүлээгдэх хэмжээ) бөгөөд стандарт хэлбэлзэл нь 1.19 өдөр байна.

6. 1.6.3. Нормал тархалт түүний үндсэн үзүүлэлтүүд
Тасралтгүй тархалтын цувааны нэг чухал хэлбэр нь нормал (хэвийн)
тархалт юм. Статистикийн шинжлэх ухаан олон тооны санамсаргүй шалтгаан,
хүчин зүйлсийн нөлөөллөөр явагдаж буй нийгэм, эдийн засгийн юмс үзэгдлийн
зүй тогтлын тодорхой илэрхийлэл болгон хэвийн тархалтыг судалгаанд
ашигладаг юм.
Нөгөө талаар түүвэр нийдмийг (тархалтыг) судалж дүгнэлт гаргахад
нормал тархалтын цуваа маш чухал үүрэгтэй байдаг.
Нормал тархалтын үндсэн шинжүүд нь:
1. Нормал тархалтын муруй зөвхөн нэг оройтой өөрөөр хэлбэл ганц
модатой байна.
2. Нормал тархалтын дундаж ямагт түүний төвд оршино.
Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтын функц 𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
хэлбэртэй бол уг санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэвийн тархалттай
санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэнэ. 𝑓(𝑥) функцийн график нь 𝑥 = 𝜇 босоо
шулууны хувьд тэгш хэмтэй, 𝑥 = 𝜇 цэг дээр хамгийн их утгаа авна.
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
=
1
√2𝜋
∫ 𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
𝑑𝑥 = 0.5 + 𝜙(
𝑥−𝜇
𝜎
) болно.
𝜙(𝑥) =
1
√2𝜋
∫ 𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
𝑥
−∞
𝑑𝑥 функцийг ашиглан [𝑥1; 𝑥2] завсарт утгаа авах
магадлалыг
𝑃(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2) = 𝐹(𝑥2) − 𝐹(𝑥1) = 𝜙 (
𝑥2−𝜇
𝜎
) − 𝜙(
𝑥1−𝜇
𝜎
) гэж олно.
Анхдагч мэдээний арифметик дунджаас харгалзсан хэлбэлзлийг стандарт
хэлбэлзэлд хуваах үйлдлийг анхны мэдээллийг Z хэмжигдэхүүнд шилжүүлэх
хувиргалт гэнэ. Z оноо гэсэн ойлголт нь стандарт хэлбэлзлийн тусламжтайгаар
илэрхийлэгдэх юм. Үүнийг томъёолбол: 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
болно.
х - тархалтын цувааны сонирхон судалж буй тодорхой хувьсах хэмжигдхүүний
утга
𝜇 −дундаж
𝜎- стандарт хэлбэлзэл
Z- тухайн хувьсах вариантаас дундаж хүртэл хэдэн стандарт хэлбэлзлийн зай
байгааг харуулна. /Нормал тархалтын хүснэгт /
Жишээ 6: Оюутнуудын тухайн улиралд хичээлд суусан цагийн дундаж
500 цаг, стандарт хэлбэлзэл нь 100 цаг байв.
а. 500-650 цаг хичээлд оролцсон оюутнуудын магадлалыг тодорхойл.
б. 700 цагаас дээш хичээлд оролцсон оюутнуудын магадлалыг
тодорхойл.
Бодолт: 𝑍 =
650−500
100
= 1.5 тул хэвийн тархалтын хүснэгтээс z=1.5 утганд
харгалзах магадлал 0.4332 байна.

7. 500-650 цаг хичээлд оролцсон оюутнуудын магадлал
𝑃(500 ≤ 𝑥 ≤ 650) = 𝐹(𝑧2) − 𝐹(𝑧1) = 𝜙 (
650−500
100
) − 𝜙 (
500−500
100
) = 𝜙(1.5) − 𝜙(0) =
0.4332 − 0 = 0.4332 байна.
700 цагаас дээш хичээлд оролцсон оюутнуудын магадлалыг тодорхойлъё.
Үүний тулд 700 цаг хичээлд оролцсон оюутнуудын магадлалыг олбол 𝑍 =
700−500
100
= 2 ба Хэвийн тархалтын хүснэгтээс z=2 утганд харгалзах магадлал
0.4772 байна.
Магадлал 0.4772 нь 500-700 цаг хичээлд суусан оюутан болно. Эндээс 0-700 цаг
хичээлд суусан байх магадлал 0.9772 байна. Тэгвэл 700 цагаас дээш байх
магадлал нь 1-0.9772=0.0228 болно.