lekts5

1. 1
1.5. Тархалтын цувааны төвийн хэмжигдэхүүнүүд, хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүд
1.5.1. Тархалтын цувааны дундаж.
Статистикт нэг төрлийн үзэгдлийн нийтлэг шинжийг тодорхойлж чадах ерөнхийлсөн
үзүүлэлтийг дундаж хэмжигдэхүүн гэнэ.
а. Давталтгүй өгөгдсөн энгийн тархалтын цувааны дунджийг арифметик дунджийн
жинлэгдээгүй томъёогоор олно. 𝐗̅ =
∑ 𝐱 𝐢
𝐧
Жишээ1. Дэлгүүрийн 7 хоногийн борлуулалтын дүн өгөгджээ.
Хүснэгт5. Борлуулалт
Хоног 1 2 3 4 5 6 7 ∑
Борлуулалт
/сая төг/
100 105 91 103 120 110 106 735
7 хоногийн дундаж борлуулалтыг тооцоол.
б. Давталттай өгөгдсөн дискрет тархалтын цувааны дунджийг арифметик дунджийн
жинлэгдсэн томъёогоор олно.
𝐗̅ =
∑ 𝐱 𝐢∙𝐟𝐢
∑ 𝐟𝐢
энд, xi -вариантууд fi –давталт
Жишээ2: 50 га талбайн 1 га-аас авсан ургацын хэмжээг судалжээ.
Хүснэгт6. Ургацын хэмжээ
1га-с авсан ургац/цн/ /х/ 16 17 18 19 20 21 22 ∑
Талбай/га/ /f/ 6 9 8 12 7 4 4 50
X̅ =
16 ∙ 6 + 17 ∙ 9 + 18 ∙ 8 + 19 ∙ 12 + 20 ∙ 7 + 21 ∙ 4 + 22 ∙ 4
50
= 18.66
в. Интервалын тархалтын цувааны дунджийг дунджийн чанарыг ашиглан хялбарчилсан
𝐗̅ =
∑(
𝐱 𝐢−𝐱 𝐨
𝐥
)∙
𝐟𝐢
𝐜
∑
𝐟𝐢
𝐜
∙ 𝐥 + 𝐱 𝐨 томъёогоор олно. энд, xo- тархалтын цувааны төвийн утга, с –
давталтуудыг ерөнхийлөн хуваах хамгийн их тоо,
l - интервалын урт.
Жишээ3: Үйлдвэрийн ажилчдын өдрийн бүтээмжийг судалж, дараах тархалтын цуваа
байгуулжээ. Тархалтын цувааны моод, медиан, дунджийг ол.

2. 2
Хүснэгт7. Ажилчдын өдрийн бүтээмж
Аж/өдрийн
бүтээмж /ш/
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Дүн
Аж/тоо 30 62 56 32 20 200
Интервалын тархалтын цувааны дунджийг арифметик дунджийн чанарыг ашиглан
хялбарчилсан томъёогоор олохын тулд дараах тоцоололыг хийе.
Бүтээмж аж/тоо
тооцоолол
х х-хо (х-хо )/l [(х-хо )/l]* fi [(х-хо )/l]2
*fi
[20-30[ 30 25 -20 -2 -60 120
[30-40[ 62 35 -10 -1 -62 62
[40-50[ 56 45 0 0 0 0
[50-60[ 32 55 10 1 32 32
[60-70[ 20 65 20 2 40 80
∑ 200 хо=45 l=10 -50 294
Дундаж нь X̅ =
∑(
xi−xo
l
∙)
fi
c
∑
fi
c
∙ l + xo =
−50
200
∙ 10 + 45 = 42,5
Судалгаанд хамрагдсан 200 ажилчдын өдрийн дундаж бүтээмж 42,5 ш байна.

3. 3
1.5.2. Тархалтын цувааны моод
Нийгэм, эдийн засгийн юмс үзэгдлийн тоон хэмжээний зонхилох чиг хандлагыг
тодорхойлох үзүүлэлт нь моод юм. Тухайн судлагдаж үзэгдлийн шинж байдлаас
хамаарч дундаж хэмжигдэхүүн болгон арифметикийн дундаж, моод, медианы алийг нь
сонгон авч болно.
Жишээ нь, хамгийн эрэлт ихтэй хувцасны хэмжээ (рост, размер), хамгийн элбэг байдаг
ам бүлийн тоог тодорхойлоход моодыг ашиглах нь илүү байдаг.
Тархалтын цувааны хамгийн их давталттай вариантын утгыг моод гэнэ.
а. Давталтгүй өгөгдсөн энгийн тоон цуваанд моод байдаггүй. Учир нь бүх хувьсах
шинж тэмдгүүд давтагддаггүй бөгөөд нэг нэг тодорхой ялгаатай утгаар өгөгдсөн байдаг
тул моод байхгүй юм.
б. Дискрет тархалтын цувааны моодыг тодорхойлолтыг нь үндэслэн шууд зааж болно.
Жишээ2. 𝑚 𝑜 = 19
в. Интервалын тархалтын цувааны моодыг дараах томъёогоор тодорхойлно.
𝑚 𝑜 = 𝑥 𝑜 + 𝑙 ∗
𝑓 𝑖−𝑓𝑖−1
(𝑓 𝑖−𝑓 𝑖−1)+(𝑓 𝑖−𝑓𝑖+1)
энд, xo - моод оршиж буй интервалын эхний утга,
fi – fi-1 – моoдын интервал болон түүний өмнөх интервалын давталтуудын ялгавар,
fi – fi+1 – моoдын интервал болон түүний дараах интервалын давталтуудын ялгавар, l-
интервалын урт.
Зарим тархалтын цуваанд нэгээс илүү моод байж болно. Ийм тархалтын цувааг олон
моодтай тархалт гэнэ.
Хэрэв моод, медиан, дундаж тэнцүү байвал уг тархалтын цувааг тэгш хэмт тархалтын
цуваа гэнэ.
Жишээ3. Моодыг тодорхойлоё. Хамгийн их давталт нь 62 тул моод [30;40[ хооронд
байна. 𝑚 𝑜 = 𝑥 𝑜 + 𝑙 ∗
𝑓 𝑖−𝑓 𝑖−1
(𝑓 𝑖−𝑓𝑖−1)+(𝑓 𝑖−𝑓𝑖+1)
=30 + 10 ∗
62−30
(62−30)+(62−56)
= 38.9
Судалгаанд хамрагдсан 200 ажилчдын өдрийн бүтээмжийг судлахад зонхилох чиг
хандлага нь 38.9 ш бүтээмжтэй байна.

4. 4
1.5.3. Тархалтын цувааны медиан
Тархалтын цувааг таллан хувааж байгаа вариантын утгыг медиан гэнэ. Ямар ч
тархалтын цуваа ганц медиантай байна. Медиан нь тархалтын цувааны жинхэнэ төвийн
хэмжигдэхүүн юм.
а. Давталтгүй өгөгдсөн энгийн тархалтын цувааны медианы дугаарыг 𝑚е =
𝑛+1
2
гэж
олно. n- тэгш үед 2 вариантын дунджаар медианы утгыг авна.
б. Давталттай өгөгдсөн дискрет тархалтын цувааны медианы дугаарыг 𝑚е =
∑ 𝑓 𝑖
2
гэж
олно.
Жишээ2. 𝑚е = 19
в. Интервалын тархалтын цувааны медианыг 𝑚е = 𝑥 𝑜 + 𝑙 ∗
𝑛/2−𝑇𝑖−1
𝑓 𝑖
томъёогоор
тодорхойлно. энд, xo - медиан оршиж буй интервалын эхний утга, Ti-1 – медианы өмнөх
интервалын өсөн нэмэгдэх давталт, l- интервалын урт.
Жишээ3. Медианыг тодорхойлоё. Тархалтын цувааны тэн хагас нь 100 тул медиан
[40;50[ хооронд байна. 𝑚е = 𝑥 𝑜 + 𝑙 ∗
𝑛/2−𝑇 𝑖−1
𝑓 𝑖
=40 + 10 ∗
100−(30+62)
56
= 41.2
Судалгаанд хамрагдсан 200 ажилчдын өдрийн бүтээмжийг судлахад тэн хагас буюу
50% нь 41.2 ш-ээс дээш бүтээмжтэй байна.

5. 5
1.5.4. Хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүд, тэдгээрийг тооцоолох аргачлал
Эдийн засгийн судалгаа шинжилгээнд дараах хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүдийг ашиглана.
1.1.Хэлбэлзлийн далайц.
Судалгаанд хамрагдсан нэгжүүдийн хамгийн их, бага тоон утгуудын ялгавар юм.
Хэлбэлзлийн далайц 𝑅 = 𝑥 𝑚𝑎𝑥 − 𝑥 𝑚𝑖𝑛
1.2.Квартил.
Хэрэв тархалтын цувааг тус бүр нь судалгаанд хамрагдсан нэгжийн 25 хувийг багтаасан
дөрвөн хэсэгт хуваахад квартил үүснэ. Медиан нь ажиглалтын нэгжийг адил 50 хувьтай
тэнцүү хоёр хэсэгт хуваадаг тул медиан орших цэг нь хоёрдахь квартил болох юм. Нэг
дэх болон гуравдахь квартилын ялгаварыг квартил хоорондын хэлбэлзэл гэнэ.
1.3.Дисперс ба квадрат дундаж хэлбэлзэл.
Вариантын утга дунджаасаа хэлбэлзэх хэлбэлзлийн квадратын дунджийг дисперс гэнэ.
Дисперсээс язгуур гаргасныг квадрат дундаж хэлбэлзэл гэнэ. 𝜎 = √𝜎2
Дисперсийг 𝜎2
=
∑(x−X̅)2f
∑ f
буюу 𝜎2
=
∑ x2f
∑ f
− (X̅)2
= X2̅̅̅ − (X̅)2
томъёогоор олно.
Мөн дисперсийн чанаруудыг ашиглан хялбарчилсан дараах томъёогоор олж болно.
𝜎2
=
∑(
xi−xo
l
)
2
∙
fi
c
∑
fi
c
∙ l2
− (X̅ − xo)2
энд, xo- тархалтын цувааны төвийн утга,
с –давталтуудыг ерөнхийлөн хуваах хамгийн их тоо, l - интервалын урт.
Квадрат дундаж хэлбэлзэл нь вариантын утга дунджаасаа дунджаар хичнээн нэгжээр
хэлбэлзэхийг илэрхийлэх чухал үзүүлэлтийн нэг юм. Кв дундаж хэлбэлзлийг ашиглан
дунджаас ямар зайд объектийн нэгжүүдийн хэдэн хувь нь оршин байхыг тодорхойлно.
Үүнд: 1. Объектийн нэгжүүдийн 68% нь дунджаасаа ±𝜎 кв дундаж хэлбэлзэлтэй.
2. Объектийн нэгжүүдийн 95% нь дунджаасаа ±2𝜎 кв дундаж хэлбэлзэлтэй.
3. Объектийн нэгжүүдийн 99% нь дунджаасаа ±3𝜎 кв дундаж хэлбэлзэлтэй байна.

6. 6
Хүснэгт8. Дисперсийн төрлүүд
№ Дисперсийн төрөл Жинлэгдсэн Жинлэгдээгүй
1 Ерөнхий дисперс
𝜎2
=
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2
∙ 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
𝜎2
=
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛
2 Бүлгийн диперс
𝜎𝑘
2
=
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅ 𝑘)2
∙ 𝑛 𝑘𝑖
∑ 𝑛 𝑘𝑖
𝜎𝑘
2
=
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅ 𝑘)2
𝑛 𝑘
3 Бүлгийн дундаж
дисперс
𝜎𝑘
2̅̅̅ =
∑ 𝜎𝑘
2
∙ 𝑛 𝑘
∑ 𝑛 𝑘
𝜎𝑘
2̅̅̅ =
∑ 𝜎𝑘
2
𝑘
4 Бүлэг хоорондын
дисперс
𝛿2
=
∑(𝑋̅ − 𝑋̅ 𝑘)2
∙ 𝑛 𝑘
∑ 𝑛 𝑘
𝛿2
=
∑(𝑋̅ − 𝑋̅ 𝑘)2
𝑛
Үүнд: 𝑥̅ -нийт нийдмийн ерөнхий дундаж 𝑥̅ 𝑘 - к-р бүлгийн дундаж 𝑛𝑖 - i-
р вариантын давталт, 𝑛 𝑘𝑖 - к-р бүлгийн i дэх вариантйн давталт,
𝜎𝑘
2
- к-р бүлгийн дисперс 𝑛 𝑘 -к-р бүлгийн нийт давталт 𝑛- нийт нийдмийн
нэгжийн тоо.
Бүлгүүдийн дундаж дисперс дээр бүлэг хоорондын дисперсийг нэмэхэд ерөнхий
дисперс гарна. η2
=
δ2
𝜎2 харьцаа нь бүх хүчин зүйлийн дотор сонирхон судалж буй
хүчин зүйлийн хувийн жинг харуулах үзүүлэлт болох бөгөөд Детерминацийн
коэффициент гэнэ. 𝜂 = √
δ2
𝜎2
корреляцийн харьцаа гэх бөгөөд энэ үзүүлэлт нь үр
дүнгийн шинж тэмдэг болон нөлөөлөх хүчин зүйлийн хооронд бодитой сайн хамаарал
байгаа эсэхийг харуулна.
1.4. Вариацийн коэффициент
Вариацийн коэффициент нь вариантын утга дунджаасаа дунджаар хичнээн хувиар
хэлбэлзэхийг илэрхийлэх харьцангуй үзүүлэлт юм. Вариацийн коэффициентийг 𝑉𝐶 =
𝜎
X̅
∙ 100% томъёогоор олно.

7. 7
Жишээ4: Вакум цонхны үйлдвэрийн ажилчдын сарын цалинг судлан дараах тархалтын
цуваа байгуулжээ.
Сарын цалин
/мян,төг/
120-140 140-160 160-180 180-200 200-220
Нийт
Аж/тоо
4 10 16 12 8
50
Тархалтын цувааны үзүүлэлтүүдийг тооцоолж, тайлбарла.
Бодолт: Хэлбэлзлийн далайц 𝑅 = 𝑥 𝑚𝑎𝑥 − 𝑥 𝑚𝑖𝑛 =220-120=100. Ажилчдын цалингийн
хэлбэлзэл 100 мян,төг байна.
Интервалын тархалтын цувааны дисперсийг чанаруудыг ашиглан хялбарчилсан
томъёогоор олохын тулд дараах тооцоололыг хийе.
Цалин аж/тоо f
Тооцоолол
х х-хо (х-хо )/l [(х-хо )/l]*f [(х-хо )/l]2
*f
[120-140[ 4 130 -40 -2 -8 16
[140-160[ 10 150 -20 -1 -10 10
[160-180[ 16 170 0 0 0 0
[180-200[ 12 190 20 1 12 12
[200-220[ 8 210 40 2 16 32
sum 50 хо=170 l=20 10 70
50 ажилчны дундаж цалин X̅ =
∑(
xi−xo
l
∙)
fi
c
∑
ni
c
∙ l + xo =
10
50
∙ 20 + 170 = 174 мян.төг,
дисперс нь
𝜎2
=
∑(
xi−xo
l
)
2
∙
fi
c
∑
fi
c
∙ l2
− (X̅ − xo)2
=
70
50
∙ 202
− (174 − 170)2
= 544 ба квадрат дундаж
хэлбэлзэл 𝜎 = 23.3 буюу дундаж цалингаас хэлбэлзэх хэлбэлзэл 23.3 мян.төг болно.
Вариацийн коэффициент 𝑉𝐶 =
𝜎
X̅
∙ 100% = 13.4% , ө/х, дундаж цалингаас хэлбэлзэх
хэлбэлзэл 13.4% байна.