1. Нууцыг тайлахад

2. Санасан тоог олох гэж байгаа хүн нэгнийхээ санасан үйлдлүүдийг энэ тоон дээр гүйцэтгэвэл 2n*3=6n  6n:2=3n 
тоон дээр арифметикийн үйлдлүүдийг тодорхой дарааллаар 3n*3=9n болно. Иймд санасан тоог ологчийн гүйцэтгэх
гүйцэтгүүлж эцсийн үр дүнг мэдсэнээр санасан тоог олдог үйлдлийн ѐсоор (9n:9)*2=2n гэж санасан тоо гарч байна.
тоглоом (бодлого) нь арифметикийн нилээд эртний Зөв (үнэн) байна. Хэрэв санасан тоо сондгой, өөрөөр хэлбэл
бодлогуудын нэг юм. Энэ тоглоом нь тоглоомд оролцож
байгаа хүмүүсийн үйлдэл гүйцэтгэх хурд болон чадвар 2k+1 хэлбэртэй байвал энэ тоон дээр бодлогын нөхцөлд заасан
хөгжүүлээд зогсохгүй ой тогтоолтыг хөгжүүлдэг сайн талтай. үйлдлүүдийг гүйцэтгэвэл (2k+1)*3=6k+3 сондгой тоо гарч
Санасан тоог ологч нь хэдийгээр янз бүрийн үйлдэл хийлгэж байгаа учир бодлогын нөхцөлд заасан ѐсоор (6k+3+1):2=
байгаа ч эцсийн үр дүнгээ өөрөө мэдэж байгаа учир түүнд энэ =(6k+4):2=3k+2  (3k+2)*3=9k+6 гэсэн үр дүн гарна.Эндээс
ажил тийм ч их хүнд зүйл биш. Санасан тоог олох янз бүрийн санасан тоог олох арга ѐсоор санасан тоо нь (9k+6):9=k(6) 
арга байдаг. Тэдгээрийн зарим нэгээс та нарт сонирхуулъя. k*2+1=2k+1 байна. Ийнхүү санасан тоог олох энэхүү арга зөв
болох нь бүрэн батлагдав.
Нэгдүгээр арга: Нэг тоо сана. Санасан тоогоо гурваар үржиж, Одоо олон хүнээр нэг нэг тоо сануулаад тэдгээрийн
гарсан үржвэрийг 2-т хуваа. Хэрэв үржвэр сондгой тоо байвал санасан тоонуудыг нэгэн зэрэг нэг бүрчлэн олдог нэгэн аргыг
эхлээд түүн дээр 1-ийг нэмж, дараа нь 2-т хуваа. Одоо гарсан авч үзье.
ноогдворыг дахин 3-аар үрж. Хэд гарав?
Хоёрдугаар арга: Сондгой тооны хүмүүсээр нэг нэг тоо
Одоо санасан тоог ологч нь санасан тоог дараах замаар сануул. Эхний ба хоѐр дахь хүний тоог хооронд нь, хоѐр дахь
олно. Хэрэв эцсийн үр дүн нь 9-т үлдэгдэлгүй хуваагдаж ба гурав дахь хүний тоог хооронд нь гэх мэтчилэн хамгийн
байвал ноогдворыг 2-оор үржиж (үлдэгдэл анхаарах сүүлийн хүн ба эхний хүн хоѐрын тоог хооронд нь нэмүүлж
шаардлагагүй) гарсан үржвэр дээр 1-ийг нэмэхэд санасан тоо гарсан нийлбэрүүдийг эхнээс нь дараалуулан хэлүүлж ав.
гарна. Эхний хоѐр хүний тооны нийлбэр нэгдэх, хоѐр ба гуравдахь
хүний тоонуудын нийлбэрийг хоѐр дахь гэх мэтчилэн
Жишээлбэл үйлдлийг гүйцэтгэгч 63 гэж хэлмэгц
нийлбэрүүдийг эхнээс нь дугаарлаад сондгой дугаартай
санасан тоог ологч 63:9=7 учир 14-ийг (7*2=14) санасан байна
нийлбэрүүдийн нийлбэрээс тэгш дугаартай нийлбэрүүдийн
гэж шууд хэлэх хэрэгтэй.Эсвэл 17-г саналаа гэж бодъѐ. Тэгвэл
нийлбэрийг хасахад хамгийн эхний хүний санасан тооноос
санасан тоог ологчийн заавар ѐсоор тоо санагч 17*3=51 
хоѐр дахин их тоо гарна. Иймд хүмүүсийн санасан тоонуудыг
51+1=52  52:2=26  26*3=78 учир 78 гэж хэлнэ. Санасан
хоѐр хоѐроор нь нэмсэн нийлбэрүүд мэдэгдэж байгаа учир
тооог ологч нь 78= 8*9+6 учир (8*2=16  16+1=17) арван эхний хүний тоог олж, бусад хүмүүсийн тоог хөөж олж болно.
долоо гэж олно.
Жишээлбэл тоглоомонд долоон хүн оролцсон бөгөөд
Баталгаа: Хэрэв тоо санагч тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл 2n тэдний санасан тоонууд 7, 12, 13, 8, 6, 15, 21 байг. Тэгвэл
хэлбэртэй тоо санасан бол бодлогын нөхцөлд заасан тэдний эхнээс нь хоѐр хоѐроор нь нэмсэн нийлбэрийг дугаарын

3. I II III IV V VI VII
хамт бичвэл 19, 25, 21,14, 21, 36, 28 болох ба сондгой дугаар дахь n
буюу n   7 гэсэн тоо гарах учир энэ тооноос санасан тоо болон
3
нийлбэрүүдийн нийлбэр нь 19+21+21+28=89, тэгш дугаар дах
түүний гуравны нэгийг хасахад 7 гарах нь илэрхий байна.Энд хоѐр
нийлбэрүүдийн нийлбэр нь 19+21+21+28=89, тэгш дугаар дах
дахь үйлдллээр нэмсэн 21-ийн гуравны нэг гарч байгааг анхаарах
нийлбэрүүдийн нийлбэр нь 25+14+36=75 болно.Энэ хоѐр хэрэгтэй. Үнэн хэрэгтээ тоог 4-өөр үржиж, 3-т хуваана гэдэг нь тэр
нийлбэрийн ялгавар 89-75=14 учир бодлогын дүгнэлт ѐсоор 4 1
эхний хүний санасан тоо 14:2=7 байна. Иймд хоѐр дахь хүний тоог  1 -ээр үржсэнтэй адил.
3 3
санасан тоо 19-7=12, гурав дахь хүний санасан тоо 25-12=13,
Ерөнхий тохиолдолд санасан тоо n-ийг a тоогоор үржиж,
дөрөв дэх хүний санасан тоо 21-13=8, тав дахь хүний санасан
na  b
тоо 14-8=6, зургаа дахь хүний санасан тоо 21-6=15, долоо дахь гарсан үржвэр дээр b тоог нэмээд нийлбэрийг c -д хуваахад
c
хүний санасан тоо 36-15=21байна.
a b a
Баталгаа: Хүмүүсийн санасан тоог a, b, c, d , e, f , g гэвэл буюу n   болох учир энэ ноогдвороос санасан тооны -ийг
c c c
бодлогын нөхцөлд тавигдсан шаардлага ѐсоор
b
a  b, b  c, c  d , d  e, e  f , f  g , g  a нийлбэрүүд гарна. хасахад гарна. Гэтэл a, b, c тоонуудыг илбэ үзүүлэгч өөрөө
c
Эдгээрийн сондгой дугаар дахь нийлбэрүүдийн нийлбэр нь
abcd e f  g a тэгш дугаар дахь нийлбэр нь сонгосон учир
b
-ийн утга ямар байхыг яаж ч зохицуулж болно.
b  c  d  e  f  g байна. c
Эхний нийлбэрээс сүүлийн нийлбэрийг
хасвал a  b  c  d  e  f  g  a  b  c  d  e  f  g   2a Илбэ II Энэ илбийг үзүүлэгч нэгэн дээр нь ямар нэгэн тэгш
болно. тоо, нөгөө дээр нь ямар нэг сондгой тоо бичсэн хоѐр цаасыг тоотой
талыг нь доош харуулан ширээн дээр тавид өөрөө буруу харж
Нэгнийхээ санасан тоог олохоос гадна түүний санасан тоон суугаад, А,Б хоѐр хүнээр ширээн дээр байгаа тэдгээр цаасыг нэг
дээр өөрийн дураар тоонууд сонгож хэсэг үйлдлийг гүйцэтгүүлсний нэгээр авахуулаад А-д нь авсан тоогоо 2-оор, Б-д нь авсан тоогоо 3-
эцэст хэд гарсныг шууд хэлэх “илбэ”-ийг янз бүрээр үзүүлж болно. аар үржих даалгавар өгнө. Гарсан үржвэрүүдийн нийлбэрийг
сонссоноор тэр хоѐрын хэн нь тэгш тоотой цаас авсныг тогтооно.
Илбэ I “Та ямар нэг тоо сана. Санасан тоогоо 4-өөр үрж.
Гарсан үржвэр дээр 21-ийг нэм. Гарсан нийлбэрээ гуравт хувааж Энэ илбийн нууц нь сондгой тоог сондгой тоогоор үржихэд
гарсан ноогдвороос санасан тоогоо хас.Хасаад гарсан ялгавараасаа үржвэр сондгой, ямар ч тоог тэгш тоогоор үржихэд тэгш тоо гарна,
санасан тооныхоо гуравны нэгийг хас. 7 гарч байгаа биз?” тэгш, сондгой хоѐр тооний нийлбэр сондгой, хоѐр тэгш тооний
нийлбэр тэгш тоо байна гэсэн маш энгийн чанаруудад оршино.Хэрэв
Баталгаа: Санасан тоог n гэвэл түүнийг 4-өөр үржихэд 4n хоѐр хүний тооны нийлбэр тэгш тоо байвал А сондгой тоотой
болно. Энэ үржвэр дээр 21-ийг нэмбэл 4-өөр үрж, гарсан үржвэр цаасыг, Б тэгш тоотой цаасыг авсан. Харин нийлбэр сондгой тоо
4n  21 байвал А тэгш тоотой цаасыг, Б сондгой тоотой цаасыг авсан.Ийм
дээр 21-ийг нэмбэл 4n+21 болох ба энэ тоог 3-т хуваахад
3

4. учраас энэ илбийг үзүүлэгч тэр хоѐр хүний гаргасан үржвэрүүдийн
нийлбэрийн оронд “төдөөр төгссөн тоо гарлаа”, эсвэл “тэгш
(сондгой) тоо” байна гэсэн хариултуудын аль нэгийг авахад хэн нь
тэгш тоон дээр үйлдэл хийснийг тогтооход хангалттай.
Энэ илбийн нэг хувилбар болох дараар илбийн нууцыг
тайлахыг та бүхнээс хүсч байна.
Хоѐр цаасны нэгэн дээр нь 81, нөгөө цаасан дээр 9-тэй
харилцан анхны тоо бичсэн байв. Бат нэг тоог нь 27-оор үржиж,
Дорж нөгөө цаасан дээрх тоог 2-оор үржээд гарсан үржвэрүүдээ
хооронд нь нэмэхэд 2005 гарчээ. 81-ийг хэн үржсэн бэ? Нөгөө
цаасан дээр хэд гэсэн тоо байсан бэ?
“Математик” сонин 2005 он №5 (125)