pengertian limit fungsi secara intuisi

1. DOSEN
DIAN PERMATA SARI, M.Si
BARISAN BILANGAN REAL

2.  Barisan bilangan real : suatu fungsi dari ℕ ke ℝ yakni
suatu aturan yang mengaitkan setiap bilangan asli
𝑛 dengan sebuah bilangan real 𝑥𝑛.
 Notasi : *𝑥𝑛+ atau 𝑥𝑛
 𝑥𝑛 disebut suku ke-𝑛 dari barisan tersebut
Definisi

3.  Barisan
1
𝑛
adalah barisan bilangan 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, …
 Barisan (−1)𝑛 adalah barisan bilangan −1,1, −1, …
range dari barisan ini adalah *−1,1+
 Barisan 𝑟𝑛 yang didefinisakan secara induktif dengan
𝑟1 = 1 dan 𝑟𝑛+1 = 1 +
1
𝑟𝑛
untuk 𝑛 = 2,3,4, …
adalah barisan 1, 2,
3
2
,
5
3
, …
 Barisan 2𝑛 adalah barisan bilangan 2,2,2, … dinamakan barisan
konstan
Contoh

4.  Barisan 𝑥𝑛 dikatakan terbatas di atas jika
∃ 𝐾 ∈ ℝ ∋ 𝑥𝑛 ≤ 𝐾 ∀𝑛 ∈ ℕ
 Barisan 𝑥𝑛 dikatakan terbatas di bawah jika
∃ 𝐿 ∈ ℝ ∋ 𝑥𝑛 ≥ 𝐿 ∀𝑛 ∈ ℕ
 Barisan 𝑥𝑛 dikatakan terbatas (terbatas diatas dan di bawah jika
∃ 𝑚, 𝑀 ∈ ℝ ∋ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 ∀𝑛 ∈ ℕ
 Pada contoh sebelumnya barisan
1
𝑛
adalah barisan terbatas karena
terdapat 𝑚 = 0 dan 𝑀 = 1 sedemikian sehingga
0 ≤
1
𝑛
≤ 1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Barisan Terbatas

5.  Bagaimana dengan barisan tak terbatas?
 Ilustrasi : barisan 2𝑛 yang unsurnya 2,4,6, … adalah
barisan yang tak terbatas di atas. Buktikan!
skema pembuktian adalah kebalikan dari definisi
barisan terbatas yaitu :
∀𝐾 > 0 , 𝐾 ∈ ℝ ∃ 𝑛𝐾 ∈ ℕ ∋ 2𝑛𝐾 > 𝐾 ∀𝑛 ∈ ℕ
bukti bisa menggunakan sifat archimedes.
Barisan Tak Terbatas

6.  Bisa membuktikannya ???
akan dibuktikan
∀𝐾 > 0 , 𝐾 ∈ ℝ ∃ 𝑛𝐾 ∈ ℕ ∋ 2𝑛𝐾 > 𝐾 ∀𝑛 ∈ ℕ
- ambil sebarang 𝐾 > 0 dengan 𝐾 ∈ ℝ.
- maka
𝐾
2
> 0.
sifat archimedes : jika 𝑥 ∈ ℝ maka terdapat 𝑛𝑥 ∈ ℕ sedemikian sehingga 𝑥 < 𝑛𝑥
- berdasarkan sifat archimedes maka terdapat 𝑛𝐾 ∈ ℕ
sedemikian sehingga
𝐾
2
< 𝑛𝐾
- sehingga 2 ∙
𝐾
2
< 2 ∙ 𝑛𝐾 atau 2𝑛𝐾 > 𝐾∎

7.  Barisan konvergen adalah barisan yang mempunyai
limit.
 Definisi barisan konvergen
Barisan 𝑥𝑛 dikatakan konvergen ke 𝑥, ditulis 𝑥𝑛 → 𝑥
jika lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥 yaitu
∀𝜀 > 0 ∃ 𝑛0 = 𝑛0 𝜀 ∈ ℕ ∋ 𝑛 > 𝑛0 ⟹ 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀
Untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli 𝑛0 (yang
nilainya bergantung pada 𝜀 sehingga
𝑛 > 𝑛0 ⟹ 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀
Barisan Konvergen

8. Ilustrasi Gambar

9.  Barisan 𝑥𝑛 =
1
𝑛
adalah barisan yang konvergen ke 0
1
𝑛
→ 0
bukti:
Diberikan 𝜀 > 0 sembarang maka
1
𝜀
> 0
berdasarkan sifat archimedes terdapat 𝑛0 ∈ ℕ sedemikian
sehingga
1
𝜀
< 𝑛0 𝑎𝑡𝑎𝑢
1
𝑛0
< 𝜀
Akibatnya untuk 𝑛 > 𝑛0berlaku
1
𝑛
− 0 =
1
𝑛
<
1
𝑛0
< 𝜀∎
Contoh barisan konvergen

10.  Buktikan
3𝑛+2
𝑛+1
→ 3.
- Diberikan 𝜀 > 0 sembarang maka
1
𝜀
> 0
- berdasarkan sifat archimedes terdapat 𝑛0 ∈ ℕ
sedemikian sehingga
1
𝜀
< 𝑛0 𝑎𝑡𝑎𝑢
1
𝑛0
< 𝜀
- Akibatnya untuk 𝑛 > 𝑛0 berlaku
3𝑛+2
𝑛+1
− 3 =
3𝑛+2−3𝑛−3
𝑛+1
=
−1
𝑛+1
=
1
𝑛+1
<
1
𝑛
<
1
𝑛0
< 𝜀∎

11. TERIMA KASIH
☺☺☺