Sebuah Kritik Filsafat absolutis Matematika

1. Sebuah Kritik Filsafat absolutis Matematika
1. Pengenalan
Tujuan utama dari bab ini adalah untuk menjelaskan dan mengkritik perspektif dominan
epistemologis matematika. Ini adalah pandangan absolutis bahwa kebenaran matematika adalah
satu-satunya kebenaran mutlak, bahwa matematika adalah satu dan mungkin hanya bidang
pengetahuan tertentu, yang tidak diragukan lagi dan obyektif. Hal ini menjadi kontras dengan
pandangan falibilis yang menentang bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yg dpt
dikoreksi, dan tidak pernah bisa dianggap sebagai perbaikan dan koreksi.
Banyak yang membuat perbedaan absolutis-falibilis karena, seperti yang ditunjukkan
secara berurutan, pilihan mana dari kedua perspektif filosofis yang diadopsi dan mungkin
merupakan faktor yang paling penting mendasari epistemologis pembelajaran matematika.
2. Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalah cabang ilmu filsafat yang bertujuan untuk merefleksikan, dan
menjelaskan hakekat matematika. Hal ini merupakan kasus khas dari kegunaan epistemologi
yang bertujuan menjelaskan pengetahuan manusia secara umum. Filsafat matematika
mengajukan pertanyaan pertanyaan seperti: Apa dasar dari pengetahuan matematika? Apa
hakekat kebenaran matematika? Apa yang mencirikan matematika? Apa pembenaran kebenaran
matematika? Mengapa kebenaran matematika dianggap sebagai kebenaran yang mendasar?
Sebuah pendekatan yang diadopsi secara luas terhadap epistemologi adalah
mengasumsikan pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh serangkaian dalil, bersama
dengan serangkaian prosedur untuk membuktikannya, atau memberikankan bukti untuk
pernyataan mereka. Atas dasar ini, pengetahuan matematika terdiri dari serangkaian teorema
bersama dengan pembuktiannya. Semula bukti-bukti matematika didasarkan pada akal saja,
tanpa bantuan data empiris, pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling
penting dari semua pengetahuan. Secara tradisional filsafat matematika berfungsi menyediakan
dasar-dasar dari kepastian pengetahuan matematika. Artinya, menyediakan sebuah sistem
dimana didalamnya pengetahuan matematika dapat di tampilkan untuk membangun kebenaran
dengan sistematis. Hal ini tergantung pada asumsi, yang diadopsi secara luas, secara implisit jika

2. tidaksecaraeksplisit.
Asumsi
Peran filsafat matematika adalah untuk menunjukkan dasar yang sistematis dan benar-
benar aman untuk pengetahuan matematika, yang diperuntukkan untuk kebenaran matematika
Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi dari filsafat
matematika adalah untuk menunjukkan dasar pengetahuan matematika. Foundationism terikat
dengan pandangan absolutis pengetahuan matematika, karena menganggap tugas pembenaran
pandangan ini menjadi tujuan utama filsafat matematika.
3.Hakekat Pengetahuan Matematika
Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu.
Euclid mendirikan sebuah struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun lalu dalam Elements,
yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk mendirikan
kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen di dalam bukunya Principia, dan
Spinoza dalam Etika, untuk memperkuat klaim mereka atas penjelasan kebenaran sistematis.
Dengan demikian matematika telah lama diambil sebagai sumber pengetahuan yang paling
tertentu yang dikenal bagi umat manusia.
Sebelum menyelidiki sifat pengetahuan matematika, pertama-tama perlu untuk
mempertimbangkan sifat pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan bertanya, apakah
pengetahuan? Pertanyaan tentang apa yang merupakan pengetahuan inti dari filsafat, dan
pengetahuan matematika memainkan suatu peranan penting. Jawaban filsafat standar untuk
pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya,
bahwa pengetahuan awalnya terdiri dari dalil yang dapat diterima (yaitu, percaya), asalkan ada
alasan yang memadai untuk menegaskannya. (Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut. Pengetahuan
apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan pemikiran sendiri, tanpa jalan lain untuk
pengamatan dunia. Berikut alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat
ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari dalil
menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949).

3. Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan priori, karena terdiri dari dalil
menegaskan berdasarkan nalar semata. Termasuk alasan logika deduktif dan definisi yang
digunakan, dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika,
sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi dasar pengetahuan
matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran dalil matematika, terdiri dari
bukti deduktif.
Bukti dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir pada
dalil, yang memenuhi sifat berikut. Setiap pernyataan merupakan aksioma diambil dari
seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan kesimpulan dari satu atau lebih
pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah 'sekumpulan aksioma' dipahami secara
luas, untuk memasukkan apa pun pernyataan diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk
aksioma, dalil-dalil dan definisi.
Diberikan sebuah contoh membuktikan pernyataan berikut '1 + 1 = 2 'dalam sistem
aksiomatik aritmatika Peano. Untuk bukti ini kita membutuhkan definisi dan aksioma s0 = 1, s1
= 2, x + 0 = x, x + sy = s (x + y) dari Aritmatika Peano, dan aturan inferensi logis dari P (r), r = t
⇒ P (t); P (v) ⇒ P (c) (di mana r, t, v, c, dan P (t) kisaran lebih dari istilah; variabel, konstanta,
dan dalil dalam istilah t, masing-masing, dan ' '⇒ menandakan implikasi logis) .2 Berikut ini
adalah bukti 1 + 1 = 2: x + sy = s (x + y), 1 + sy = s (1 + y), 1 + s0 = s (1 + 0), x +0 = x, 1 +0 = 1,
1 + s0 = s1, s0 = 1, 1 +1 = s1, s1 = 2, 1 +1 = 2.
Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. s0 = 1 [D1] dan s1 = 2 [D2] adalah
definisi dari konstanta 1, dan 2 masing-masing, dalam Aritmatika Peano, x +0 = x [A1] dan x +
sy = s (x + y) [A2] adalah aksioma Aritmatika Peano. P (r), r = t ⇒ P (t) [R1] dan P (v) ⇒ P (c)
[R2], dengan simbol-simbol seperti dijelaskan di atas, aturan logis dari inferensi. Pembenaran
bukti, pernyataan demi pernyataan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1.1.

4. Tabel 1.1: Bukti 1 +1 = 2 dengan pembenaran
Langkah Kalimat Pembenaran dari kalimat
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
x + sy = s ( x + y )
1 + sy = s ( 1 + y )
1 + s0 = s ( 1 + 0 )
x + 0 = s
1 + 0 = 1
1 + s0 = 1
s0 = 1
1 + 1 = s1
s1 = 2
1 + 1 = 2
A2
R2 diterapkan pada S1, menggunakan v = x, c = 1
R2 diterapkan pada S2, menggunakan v = y, c = 0
A1
R2 diterapkan pada S4, menggunakan v = x, c = 1
R1 diterapkan S3 dan S5, menggunakan r = 1 + 0, t = 1
D1
R1 diterapkan S6 dan S7, menggunakan r = s0, t = 1
D2
R1 diterapkan S8 dan S9, menggunakan r = s1, t = 2
Bukti ini memperlihatkan '1 + 1 = 2 'sebagai pokok pengetahuan matematika atau
kebenaran, menurut analisis sebelumnya, karena bukti deduktif menetapkan jaminan logis untuk
menegaskan pernyataan itu. Selanjutnya adalah pengetahuan priori, karena ditegaskan
berdasarkan nalar semata.
Namun, apa yang belum jelas adalah dasar asumsi yang dibuat dalam pembuktian.
Asumsi yang dibuat terdiri dari dua jenis: asumsi matematika dan asumsi logis. Asumsi
matematika yang digunakan adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma (A1 dan A2). Asumsi
logis adalah aturan kesimpulan yang digunakan (R1 dan R2), yang merupakan bagian yang
mendasari bukti dari teori, dan kalimat yang mendasari bahasa formal.
Kami menganggap pertama asumsi matematika. Definisi, menjadi definisi yang eksplisit,
yang bukan merupakan persoalan, karena pada prinsipnya mereka dapat disingkirkan. Setiap
pemunculan dari istilah yang didefinisikan 1 dan 2 dapat digantikan oleh apa yang disingkat (S0
dan ss0, masing-masing). Hasil menghilangkan definisi ini adalah bukti disingkat: x + sy = s (x +
y), s0 + sy = s (S0 + y), s0 + s0 = s (S0 +0), x +0 = x, s0 +0 = s0, s0 + s0 = ss0; membuktikan 's0
+ s0 = ss0', yang mewakili '1 +1 = 2 '. Meskipun definisi eksplisit disingkat pada prinsipnya, itu
tetap merupakan kenyamanan yang tak diragukan, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk
mempertahankan mereka. Namun, dalam konteks ini kita prihatin untuk mengurangi asumsi-

5. asumsi yang minimum mereka, untuk mengungkapkan asumsi yang tak dapat dikurangi
pengetahuan matematika dan pembenaran.
Jika definisi tidak eksplisit, seperti dalam definisi asli dari induktif Peano (Heijenoort,
1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka
definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam hal ini masalah dasar definisi, yaitu
asumsi yang menjadi landasannya, analog dengan yang aksioma.
Aksioma tidak terlepas pada pembuktian. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran
aksiomatik, atau hanya mempertahankan pembenarannya, asumsi sementara, diadopsi untuk
memungkinkan perkembangan dari teori matematika yang sedang dipertimbangkan. Kami akan
kembali ke hal ini.
Asumsi logis, yaitu aturan inferensi (bagian dari bukti teori keseluruhan) dan sintaks
logis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasarinya, dan merupakan bagian dari
mekanisme yang dibutuhkan untuk aplikasi alasan. Jadi logika diasumsikan sebagai landasan
bermasalah untuk pembenaran pengetahuan.
Singkatnya, kebenaran matematika SD '1 +1 = 2 ', tergantung untuk pembenaran pada
bukti matematika. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan
matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasarinya. Secara umum, pengetahuan
matematika terdiri dari pernyataan dibenarkan oleh bukti-bukti, yang tergantung pada aksioma
matematika (dan logika yang mendasari).
Akun ini pengetahuan matematika pada dasarnya adalah yang telah diterima selama
hampir 2.500 tahun. Presentasi awal pengetahuan matematika, Elemen Euclid suchas, berbeda
dari data di atas hanya dengan derajat. Dalam Euclid, asabove, pengetahuan matematika
didirikan oleh deduksi logis dari aksioma dan postulat theoremsfrom (yang kita termasuk di
antara aksioma). Logika yang mendasari dibiarkan tidak ditentukan (selain pernyataan dari
beberapa aksioma mengenai hubungan kesetaraan). Aksioma-aksioma tidak dianggap sebagai
asumsi sementara diadopsi, diadakan hanya untuk pembangunan teori di bawah pertimbangan.
Aksioma dianggap kebenaran dasar yang diperlukan tidak ada pembenaran, bukti luar diri
mereka sendiri (Blanche, 1966) .3 Karena itu, account klaim untuk menyediakan dasar untuk
pengetahuan matematika tertentu. Sebab bukti logis mempertahankan kebenaran dan
diasumsikan aksioma yang jelas kebenaran, maka setiap teorema yang berasal dari mereka harus
juga kebenaran (penalaran ini implisit, tidak eksplisit di Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi

6. diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap kebenaran dasar dan tak
terbantahkan, tidak ada yang dapat dinegasikan atau ditolak tanpa mengakibatkan kontradiksi.
Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, yang paling notablythe Postulat Paralel, hanya
mengarah ke badan lain pengetahuan geometris (non-Euclidean geometri).
Selain Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang
bergantung pada asumsi set aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai kebenaran universal dasar,
misalnya, aksioma teori grup, atau teori himpunan (Maddy, 1984).
4.Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika
Pandangan absolutis pengetahuan matematika adalah bahwa hal itu terdiri dari kebenaran
tertentu dan tak tertandingi. Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari
kebenaran absolut, dan mewakili ranah pengetahuan tertentu yang unik, terpisah dari logika dan
pernyataan benar berdasarkan arti istilah, seperti 'Semua bujangan belum menikah'.
Banyak filsuf, baik modern dan tradisional, memiliki pandangan absolutis pengetahuan
matematika.Jadimenurut Hempel:
validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep
matematika, dan bahwa proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurut definisi'.
(Feigl dan Sellars, 1949, halaman 225)
Lain pendukung kepastian matematika adalah AJAyer yang mengklaim berikut.
Sedangkan generalisasi ilmiah mudah mengaku menjadi keliru, kebenaran matematika dan
logika tampaknya semua orang perlu dan pasti.
Kebenaran logika dan matematika proposisi analitik atau tautologi.
Kepastian dari proposisi apriori tergantung pada kenyataan bahwa mereka tautologi. Sebuah
proposisi [yang] tautologi jika analitik. Sebuah proposisi adalah analitik jika benar hanya dalam
kebajikan makna simbol consistituent, dan karena itu tidak dapat dikonfirmasi atau dibantah baik
olehfaktapengalaman.(Ayer,1946,halaman72,7716,).
Metode deduktif memberikan surat perintah untuk penegasan matematika
pengetahuan. Dasar-dasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) menyediakan
mutlak pengetahuan tertentu, yang adalah kebenaran, karena itu sebagai berikut. Pertama-tama,
dasar laporan digunakan dalam bukti yang dianggap benar. Aksioma matematika dianggap

7. benar, untuk tujuan mengembangkan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika
adalah benar dengan fiat, dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika
ofinference melestarikan kebenaran, adalah mereka memungkinkan apa-apa selain kebenaran
yang disimpulkan dari kebenaran. Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam bukti
deduktif, termasuk kesimpulannya, adalah benar. Jadi, karena teorema matematika semua
dibentuk dengan cara bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari
klaim banyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran tertentu.
Pandangan absolutis pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi: orang
matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi, dan orang-orang logika tentang asumsi
aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks. Ini adalah lokal atau microassumptions.
Ada juga kemungkinan asumsi makro-global atau, seperti aswhether cukup deduksi logis untuk
membuat semua kebenaran matematika. Saya kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing
asumsi melemahkan klaim kepastian untuk pengetahuan matematika. Pandangan absolutis
pengetahuan matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah
antinomi dan kontradiksi berasal dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder,
1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh
formulasi paling ketat logika matematika yang dikenal pada waktu itu, sebagai dasar untuk
pengetahuan matematika. Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem
Frege tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Kelima Dasar Frege, yang
memungkinkan menetapkan yang akan dibuat dari perpanjangan konsep apapun, dan untuk
konsep atau properti yang akan diterapkan untuk mengatur (Furth, 1964). Russell diproduksi
terkenal paradoks nya dengan mendefinisikan properti dari 'tidak unsur itu sendiri. Hukum Frege
memungkinkan perpanjangan properti ini dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian set ini
adalah elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika, tidak, kontradiksi. Hukum Frege tidak
dapat dijatuhkan tanpa serius melemahkan sistem nya, namun itu tidak bisa dipertahankan.
Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan tersebut, tentu saja,
implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang
pasti, dan semua teorema yang yakin, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, dusta) berada di antara
teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang penampilan kontradiksi-kontradiksi ini, pasti
ada yang salah dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah
sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat pengetahuan

8. dan matematika untuk membangun kembali kepastian. Tiga sekolah utama yang dikenal sebagai
logicism, formalisme dan konstruktivisme (menggabungkan intuitionism). Ajaran sekolah-
sekolah pemikiran tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi Korner
(1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh
Leibniz dan Kant.
A. Logisme
Logisme adalah sekolah berpikir yang menghormati kemurnian matematika sebagai bagian dari
logika. Pendukung utama dari pandangan ini adalah G Leibnic,G. Frege (1893) B. Russel(1919),
A.N Whitehead n R. Carnap (1931). Saat ditangani oleh Betran Rusel tuntutan logisim menerima
perumusan yang paling jelas dan paling eksplisit. Ada dua tuntutan:
1. Semua konsep matematika pada akhirnya dapat dikurangi pada konsep logika, asal saja
ini diambil untuk memasukkan konsep dari kumpulan teori atau beberapa kekuatan yang
serupa, seperti jenis teori Russel
2. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma-aksioma dan aturan-aturan
yang campur tangan dari logika itu sendiri
Tujuan dari tuntutan ini jelas. Jika semua matematika dapat diekspresikan dalam teorema
logika murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika sendiri, kemudian kepastian dari
ilmu matematika dapat dikurangi untuk dan dari logika itu. Logika disadari untuk
menyediakan sebuah dasar yang pasti atas kebenaran, sebagian dari ambisi yang
berlebihan mencoba untuk menyampaikan logika, seperti hukum Frege yang kelima.
Dengan demikian jika membantu, program logika akan menyediakan dasar logika yang
pasti untuk pengetahuan matematika, melahirkan kembali kepastian yang mutlak dalam
matematika
Whitehead dan Russel (1910-13) mampu membangun yang pertama dari dua tuntutan melalui
arti dari defenisi berantai. Bagaimanapun logika dibangun pada tuntutan yang kedua.
Matematika meminta aksioma non logika seperti aksioma tidak terbatas (himpunan semua
bilangan asli adalah tidak terbatas). Dan aksioma pilihan(hasil cartesian dari himpunan kosong
adalah himpunan kosong itu sendiri). Russel mengekspresikannya pada dirinya sendiri sebagai
pengikut.

9. Tetapi walaupun semua dalil logika (atau matematika) dapat diekspresikan seluruhnya
dalam teorema dari logika konstanta bersama dengan variable, itu bukanlah masalah bahwa,
sebaliknya, semua dalil itu dapat diekspresikan dalam cara logika ini. kita telah menemukan
sejauh kepentingan tetapi bukan sebuah standar yang perlu dari dalil matematika. Kita perlu
menentukan karakter dari ide kuno dalam teorema yang mana semua ide dalam matematika
dapat ditentukan. Tetapi bukanlah dalil kuno dari semua dalil dalam matematika dapat
dibuktikan secara deduktif. Ini adalah sebuah masalah yang lebih sulit, yang mana belum
diketahui apa jawaban seutuhnya.
Kita boleh mengambil aksioma dari jumlah tak berakhir sebagai sebuah contoh dari dalil yang,
mengira itu dapat disebut dalam teorema logika. Tidak dapat dinyatakan oleh logika untuk
menjadi benar.
Dengan demikian, tidak semua teorema dalam matematika dan karenanya tidak semua kebenaran
dalam matematika dapat diperolah dari aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma
matematika tidaklah menghapuskan rasa dari logika itu. Teorema matematika tergantung pada
sebuah himpunan anggapan matematika yang tidak dapat dibagi lagi.tentu saja, sejumlah
aksioma matematika yang penting berdiri sendiri, dan juga mereka atau ingkaran mereka dapat
diadopsi tanpa ketidakkonsistenan (Cohen, 1966). Dengan demikian tuntutan yang kedua ditolak.
Untuk mengatasi masalah ini, Russel mundur untuk sebuah versi pelemah dari logistic disebut
“jika ketuhanan” yang mana tuntutan itu matematika murni menghadirkan pernyataan implikasi
dari bentuk “A → T”. Menurut pandangan ini, sebelumnya kebenaran matematika dibangun
sebagai teorema dengan pembuktian logika. Masing – masing teorema ini (T) menjadi
konsekwen dalam pernyataan implikasi. Konjungsi dari aksioma matematika (A) digunakan
dalam bukti tergabung dalam pernyataan implikasi sebagai antiseden (dalam Carnap, 1931). Jadi,
semua asumsi matematika (A) yang mana tergantung pada teorema sekarang digabungkan ke
dalam bentuk teorema yang baru (AT), menghindarkan kebutuhan untuk aksioma matematika.
Banyak manipulasi untuk sebuah pengakuan bahwa matematika adalah sistem hipotesis
deduktif, dimana konsekwensi dari himpunan asumsi aksioma di eksplorasi, tanpa menegaskan
kebenaran yang diperlukan dalam matematika.

10. Sayangnya, perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran
matematika, seperti aritmatika Peano konsisten dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi
seperti pendapat Marchover (1983).
Keberatan yang kedua, yang terlepas dari validitas dari dua tuntutan logicit, yang
merupakan alasan utama untuk menolak formalisme. Ini adalah teorema ketidaklengkapan
Godel, yang menetapkan bahwa pembuktian deduktif cukup untuk menunjukkan semua
kebeanaran matematika. Oleh karena itu pengurangan kesuksesan dari aksioma matematika
untuk logika masih tidak akan cukup untuk derivasi dari semua kebenaran matematika.
Keberatan yang ketiga yang mungkin menyangkut kepastian dan keandalan yang
mendasari logika. Hal ini tergantung pada keterujian dan pendapat, asumsi yang dibenarkan.
Dengan demikian program logika mengurangi kepastian pengetahuan matematika untuk
itu logika gagal dalam prinsip. Logika tidak menyediakan dasar yang pasti untuk pengetahuan
matematika.
B. Formalisme
Dalam istilah populer, formalisme merupakan pandangan bahwa sebuah permainan formal yang
tidak berarti yang dimainkan dengan tanda-tanda diatas kertas, mengikuti aturan-aturan.
Jejak filsafat dari formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan – tulisan Uskup
Berkeley, tetapi pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awalnya J. Von
Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk
menerjemahkan matematika kedalam sistem tafsiran formal. Dengan arti yang terbatas tetapi
bermakna sistem formal metamatematika terbukti memadai untuk matematika, dengan
menurunkan keformalan dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika melalui
bukti yang konsisten.
Tesis formalis terdiri dari dua tuntutan
1. Matematika murni dapat dinyatakan sebagai tafsiran sistem formal, yang mana kebenaran
dari matematika dipersentasikan melalui teorema formal

11. 2. Keamanan dari sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasannya dari
inkonsistensi, dengan cara meta-matematika
Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program
tidak bisa dipenuhi.
Teorema yang pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat
diturunkan dari aksioma Peano ( atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif
luas)
Hasil pembuktian-teori ini sejak itu sudah dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan
Harrington, yang merupakan teorema versi Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan
dalam aritmatika Peano (Barwise, 1977). Ketidaklengkapan teorema yang kedua
menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah
meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak
terjaga samasekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi aritmatika Peano
mengharuskan semua aksioma sistem itu dan selanjutnya asumsi, seperti sistem induksi
transfinite atas nomor urutan hitung (Gentzen, 1936)
Program formalis, seandainya berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah
pandangan kebenaran absolut matematika.
Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan
memberikan ujian untuk kebenaran matematika.
Namun, dapat dilihat bahwa dalam kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak
semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem
formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.
c. Konstruktivisme
Konstruktivis ada dalam filsafat matematika dapat ditelusuri kembali pada setidaknya
pada jaman Kant dan Kronecker (Korner, 1960)

12. Program konstrutivis salah satunya adalah merekonstruksi pengetahuan matematika (dan
reformasi praktek matematika)dalam rangka agar matematika tidak kehilangan makna
dan dari kontradiksi.
Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak pendapat non-konstruktivis seperti buku Cantor
bahwa bilangan-bilangan rill tidak terhitung, dan hukum logika dari Excluded Middle.
Baru-baru ini ahli matematika E. Uskup (1967) telah melakukan program konstruktivis
yang jauh, dengan merekonstruksi sebagian besar dari Analisis dengan cara yang
konstruktif.
Berbagai bentuk konstruktivisme yang masih berkembang saat ini seperti dalam karya
intuisionis M. Filsafat Dummen (1973, 1977)
Konstruktivisme mencakup berbagai macam pandangan yang berbeda,dari ultra-
intuitionis (A Yessenin- Volpin) melalui apa yang disebut filosofis intuitionis yang ketat (
LEJBrouwer), ditengah perjalanan intuitionis (A Heyting dan awal H weyl) intuitionis
logika modern ( A.Troelstra ) untuk jangkauan lebih atau kurang konstruktivisme liberal
termasuk P. Lorenzen, E Uskup, G Kreisel dan P. Martin-LOF
Para Matematikawan ini berbagi pandangan bahwa matematika klasik mungkin tidak
aman dan itu perlu dibangun kembali oleh “konstruktif” metode dan penalaran.
Tuntutan konstruktivis bahwa kedua kebenaran matematika dan keberadaan objek
matematika harus ditetapkan dengan metode konstruktif.
Ini berarti bahwa konstruksi matematis diperlukan untuk menetapkan kebenaran atau
keberadaan sebagai lawan untuk metode mengandalkan pada bukti dengan kontradiksi.
Untuk pengetahuan konstruktivis harus didirikan melalui bukti yang konstruktif,
berdasarkan batasan logika konstruktivis dan dari istilah matematika / objek terdiri dari
prosedur resmi matematika itu dibangun.
Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalah proses
mempelajari konstruksi yang dirancang/dilakukan dengan pensil dan kertas ,menurut pandangan
para ahli, brouner,bahwa Matematika pada dasarnya terjadi didalam pikiran dan dituliskan pada

13. tahap selanjutnya. Salah satu konsekuensi dari itu brouner melibatkan seluruh aksioma dari
pikiran intuisi menjadi tidak lengkap. Pemikiran langsung tidak selalu menutupi kebenaran
aksioma dengan cara intutif dari pemikiran intuisi, jadi itu tidak dapat dilibatkan sebagaimana
yang telah dibentuk di akhir.
Intuitionism mewakili filsafat konstruktivis paling lengkap yang dirumuskan dalam
matematika. Dua tuntutan yang tak dapat dipisahkan dari intuisi dapat dibedakan, yang mana
ada dalam istilah positif dan negatif tesis dari dummet
Yang Positif adalah cara mengintuisi dari menafsirkan dugaan/gagasan matematika dan
operasi-operasi logis adalah tepat dan sah, yaitu teori bentuk-bentuk matematika intuitif
yang dapat dimengerti. Tesis negatif adalah cara menafsirkan dugaan/gagasan
matematika yang klasik dan operasi-operasi logis adalah tidak tepat dan tidak masuk
akal, yaitu matematika klasik yang mengandung bentuk menyimpang, banyak nilai yang
kosong, tidak dapat dimengerti.
(Dummett,1997,halaman 360)
Dalam daerah yang terbatas ,dimana diantara bukti klasik dan kontruksi ada sebuah hasil,
yang terakhir ini sering lebih baik karna lebih informative. Sedangkan bukti kebenaran klasik
mungkin hanya menunjukkan keharusan logis dari keadaannya, bukti keberadaan konstruktif
menunjukkan bagaimana menyusun objek matematika yang keberadaannya ditegaskan. Hal ini
memberikan kekuatan kepada tesis positif, dari sudut pandang matematika. Namun tesis negative
jauh lebih bermasalah, karena tidak hanya gagal memperhitungkan besarnya badan non-
konstruktif matematika klasik, tetapi juga menangkal kesesuaiannya. Para konstruktivis
menunjukkan bahwa ada masalah matematika klasik yang dihadapi dan tidak terhindarkan atau
hal itu kacau dan tidak sesuai. Memang kedua matematika klasik yaitu murni dan terapan sudah
semakin menguat sejak progam konstruktivis diusulkan. Oleh karena itu, tesis negatif dari intuisi
ditolak.
Masalah lain dari pandangan konstruktivis adalah bahwa ada hasil yang tidak konsisten
dengan matematika klasik. Misalnya kesatuan dari bilanagn real, seperti yang didefenisikan oleh
para intuisi adalah terhitung. Hasil ini bertentangan dengan hasil klasik bukan karna adanya

14. perbedaan yang signifikan, tetapi karena definisi bilanagn real yang berbeda. Pengertian
konstrutivis sering memiliki arti yang berbeda dari pengertian klasik yang sesuai.
Dari pandangan epistemologis, baik tesis positif dan negatif intuisi ini memiliki
kelemahan. Para intuisi mengklaim untuk menyediakan dasar tertentu bagi versi mereka tentang
kebenaran matematika dengan menurunkannya ( secara mental ) dari aksioma teretntu,
menggunakn metode intuitif dengan pembuktian yang tepat. Pandangan ini berdasarkan
pengetahuan matematiak secara khusus berdasarkan keyakinan yang subjektif. namun kebenaran
mutlak ( dimana para intuitif mengklaim menyediakan ) tidak dapat didasarkan pada keyakinan
subyektif saja. Tidak ada jaminan bahwa intuisi dari para intuitif yang berbeda tentang dasar
kebenaran akan menjadi sama, karena sesungguhnya tidak sama.
Instuisi mengorbankan sebagian besar matematika sebagai imbalan untuk jaminan yang
menyejukkan yang tetap digunakan oleh” instusi lama” kita (Urintuition). Tetapi intuisi
itu bersifat subjektif dan bukan inter subjektif, dan tidak mungkin untuk mencegah intuisi
intersubjektif diabaikan sebagai landasan dasar matematika
( Kalmar,1967,hal.190)
Dengan demikian tesis intuisi yang positif tidak memberikan dasar tertentu bahkan untuk bagian
dari pengetahuan matematika. Kritik ini mencakup bentuk-bentuk konstruktivisme dan juga
menyatakan kebenaran dasar matematika secara kontruktif atas dasar asumsi konstruktifis yang
sudah jelas.
Tesis intuisi yang negative ( dan konstruktivisme, jika dianut), menyebabkan penolakan
yang berdasar dari pengetahuan matematika dengan alasan bahwa hal itu dimengerti. Tetapi
matematika klasik jelas. Hal itu berbeda dari matematika konstruktivis terutama pada asumsi
yang mendasar. Dengan demikian konstruktivisme adalah salah karena atas apa yang sejalan
dengan jenis kesalahan statistik, yaitu penolakan terhadap pengetahuan yang sesuai.
Prinsip-prinsip kontruktivisme banyak digunakan dalam pembelajaran sains dan
matematika. Prinsip-prinsip yang diambil adalah
 pengetahuan dibangun oleh siswa sendiri, baik secara personal maupun sosial

15.  pengetahuan tidak dapat dipindahkan dari guru ke siswa, kecuali hanya dengan keaktifan
siswa sendiri untuk menalar.
 murid aktif mengkonstruksi terus-menerus, sehingga selalu terjadi perubahan konsep
menuju konsep yang lebih rinci, lengkap, serta sesuai dengan konsep ilmiah
 guru sekadar membantu penyediakan sarana dan situasi agar proses konstruksi siswa
berjalan mulus (Suparno, 1997).