Abcd

1. HAKEKAT DAN FUNGSI
MATEMATIKA

2. KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN
Setelah sesi ini diharapkan Anda dapat
memahami :
1. pengertian matematika yang tidak
tunggal,
2. karakteristik matematika, dan
3. matematika dalam pendidikan

3. MATEMATIKA DAN KITA
 Apa manfaat matematika dalam kehidupan
sehari-hari?
 Matematika, apa dan bagaimana?

4. APAKAH MATEMATIKA ITU?
 Matematika adalah bahasa simbol
 Matematika adalah bahasa numerik
 Matematika adalah bahasa yang dapat
menghilangkan sifat kabur,majemuk, dan
emosional
 Matematika adalah berpikir logis
 Matematika adalah sarana berpikir
 Matematika adalah logika pada masa
dewasa
 Matematika adalah ratunya ilmu sekaligus
pelayannya

5.  Matematika adalah sains mengenai kuantitas
dan besaran
 Matematika adalah suatu sains yang bekerja
menarik kesimpulan2 yang perlu
 Matematika adalah sains formal yang murni
 Matematika adalah sains yang memanipulasi
simbol
 Matematika adalah ilmu tentang bil. & ruang
 Matematika adalah ilmu yang mempelajari
hub pola, bentuk, dan struktur
 Matematika adalah ilmu yang abstrak dan
deduktif

6.  Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan
eksak dan terorganisir secara sitematik
 Matematika adalah pengetahuan tentang
bilangan dan kalkulasi
 Matematika adalah pengetahuan tentang
penalaran logik berhub dg bilangan
 Matematika adalah pengetahuan
tentangfakta2 kuantitatif dan msalah tentang
ruang dan bentuk
 Matematika adalah pengetahuan tentang
struktur2 yang logik
 Matematika adalah pengetahuan tentang
aturan2 yang ketat
 Matematika adalah aktifitas manusia

7. JADI, APA ITU MATEMATIKA ?
TIDAK TERDAPAT SATU DEFINISI
TENTANG MATEMATIKA YANG TUNGGAL
DAN DISEPAKATI OLEH SEMUA TOKOH
ATAU PAKAR MATEMATIKA

8. PENGERTIAN ETIMOLOGI
 Matematika manthanein atau mathema,
belajar atau hal yang dipelajari
 Matematika wiskunde, ilmu pasti
 Matematika adalah ilmu pengetahuan yang
diperoleh dengan bernalar

9.  Ciri utama matematika adalah penalaran
deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau
pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari
kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar
konsep atau pernyataan dalam matematika
bersifat konsisten.
 Namun demikian, pembelajaran dan
pemahaman konsep dapat diawali secara
induktif melalui pengalaman peristiwa nyata
atau intuisi.

10.  Proses induktif-deduktif secara bersama-
sama dapat digunakan dalam mempelajari
konsep matematika
 Penerapan cara kerja matematika diharapkan
dapat membentuk sikap kritis, kreatif, jujur,
dan komunikatif
 Keabstrakan obyek2 matematika perlu
diwujudkan secara lebih kongkrit

11. KARAKTERISTIK MATEMATIKA
1. Memiliki obyek abstrak
2. Bertumpu pada kesepakatan
3. Berpolapikir deduktif
4. Memiliki simbol yang kosong dari arti
5. Memperhatikan semesta pembicaraan
6. Konsisten dalam sistemnya

12. MEMILIKI OBYEK ABSTRAK
Obyek dasar mat adalah abstrak dan
disebut obyek mental, obyek pikiran, yaitu :
a. FAKTA
b. KONSEP
c. OPERASI / RELASI
d. PRINSIP

13.  FAKTA berupa konvensi2 yang diungkap
dg simbol tertentu
 “3” dipahami sbg bilangan “tiga”
 “2+4” dipahami sbg “dua tambah empat”
 “//” bermakna “sejajar”
 (a,b) sebagai pasangan berurutan atau
dalam kalkulus sebagai interval terbuka

14.  KONSEP adalah ide abstrak yg dapat
digunakan untuk menggolongkan sejumlah
obyek. Apakah obyek tertentu merupakan
contoh konsep ataukah bukan.
 “Segitiga”, “Bilangan asli” “fungsi”, “variabel”,
“konstanta”, “matriks”, “vektor”, “group”, dan
“ruang metrik”

15.  DEFINISI adalah ungkapan yang
membatasi suatu konsep
1. “Trapesium adalah segiempat yang
sepasang sisinya sejajar” (definisi
analitik)
2. “Segiempat yang tejadi jika sebuah
segitiga dipotong oleh sebuah garis yg
sejajar salah satu sisinya adl trapesium”
(definisi generik)

16.  OPERASI adalah pengerjaan hitung,
pengerjaan aljabar, dan pengerjaan
matematika yang lain.
 “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”,
“irisan”.
 OPERASI adalah suatu relasi khusus,
karena operasi adalah aturan untuk
memperoleh elemen tunggal dari satu atau
lebih elemen yang diketahui
 Operasi unair, operasi biner, dll

17.  PRINSIP adalah obyek matematika yang
kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta,
beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu
relasi/operasi.
 PRINSIP adalah hub antara berbagai obyek dasar
matematika. Prinsip dapat berupa aksioma,
teorema, sifat, dsb.
 SKILL adalah prosedur atau kumpulan aturan2 yg
digunakan utk menyelesaikan soal matematika

18. BERTUMPU PADA KESEPAKATAN
 Kesepakatan yang amat mendasar adalah
AKSIOMA dan KONSEP PRIMITIF
 Aksioma disebut juga postulat adalah
pernyataan pangkal (yang tidak perlu
dibuktikan)
 Konsep primitif disebut juga undefined terms
adalah pengertian pangkal yang tidak perlu
didefinisikan

19. BERPOLA PIKIR DEDUKTIF
 Pola pikir deduktif secara sederhana dapat
dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari
hal yang bersifat umum diterapkan atau
diarahkan pada hal yang bersifat khusus”
 Proses mencari kebenaran (generalisasi)
dalam matematika berbeda dengan ilmu
pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan
yang lain.

20.  Metode pencarian kebenaran yang dipakai
adalah metode deduktif, tidak dapat dengan
cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam
adalah metode induktif dan eksperimen.
 Walaupun dalam matematika mencari
kebenaran itu dapat dimulai dengan cara
induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang
benar untuk semua keadaan harus dapat
dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam
matematika suatu generalisasi dari sifat,
teori atau dalil itu dapat diterima
kebenarannya sesudah dibuktikan secara
deduktif.

21. Contoh
 Dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan
percobaan (eksperimen) sebatang logam
dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan
dengan logam-logam yang lainnya,
dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia
dapat membuat kesimpulan (generalisasi)
bahwa setiap logam yang dipanaskan itu
dapat memuai.

22. Contoh
 Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil
adalah bilangan genap.
Buktikan!
Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan
ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu
1, 3, -5, 7.

23.  Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :
Misalkan : a dan b adalah sembarang bilangan
bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan
genap genap, maka 2a +1 bilangan ganjil dan
2b + 1 bilangan ganjil.
 Jika dijumlahkan:
(2a + 1) + (2b + 1) =
2a + 2b + 2 =
2 (a + b + 1) =
Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat,
sehingga 2 (a + b +1) adalah bilangan genap. Jadi bilangan ganjil +
bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)

24. MEMILIKI SIMBOL YG KOSONG
DARI ARTI
 Model persamaan “x+y=z” belum tentu
bermakna bilangan
 “+” belum tentu operasi tambah untuk dua
bilangan
 Makna huruf atau tanda itu tergantung dari
permasalahan yang mengakibatkan
terbentuknya model itu

25. MEMPERHATIKAN SEMESTA PEMBICARAAN
 Semesta pembicaraan adalah lingkup
pembicaraan
 Bila lingkup pembicaraannya adalah
bilangan, maka simbol2 diartikan bilangan
 Bicara vektor, model x + b = c , maka huruf 2
yang digunakan bukan berarti bilangan, tetapi
harus diartikan vektor

26. KONSISTEN DALAM SISTEMNYA
 Dalam matematika terdapat banyak sistem.
Satu dg yang lain bisa saling berkaitan, tetapi
juga bisa saling lepas.
 Sistem2 aljabar : sistem aksioma dari group,
sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari
field, dsb.
 Sistem2 geometri : sistem geometri netral,
sistem geometri Euclides, sistem geometri
non-Euclides
 Didalam msing2 sistem dan struktur itu
terdapat KONSISTENSI

27.  SISTEM adalah sekumpulan unsur atau
elemen yang terkait satu sama lain dan
mempunyai tujuan tertentu
 STRUKTUR adalah sistem yang
didalamnya memuat hubungan yang
hirarki

28. HAKIM TERTINGGI MATEMATIKA
 Dalam keilmuan terdapat 3 jenis kebenaran
1. Kebenaran konsistensi atau koherensi
2. Kebenaran korelasional
3. Kebenaran pragmatik

29. Ketidakmungkinan suatu struktur matematika
tertentu memuat suatu kontradiksi
 Perhatikan definisi sudut berikut ini
Model A : Sudut adl bangun yg terjadi
jika dua sinar berpangkal
sama
Model B : Sudut adl daerah bidang yg
dibatasi oleh dua sinar
berpangkal sama

30.  Diberikan dua pernyataan :
1. Sebuah garis lurus memotong sebuah
sudut pada tepat dua buah titik
2. Sebuah garis lurus memotong sebuah
sudut pada tak hingga banyak titik
Kaitannya dg kedua model di atas, manakah
pernyataan yang benar ?

31.  Pernyataan 1 benar dalam model A, tetapi
tidak dalam model B, kecuali ditambah dulu
suatu definisi tertentu yang dikaitkan dengan
kaki sudut
 HAKIM atau penentu kebenaran suatu
pernyataan dalam matematika adalah
STRUKTUR yang disepakati untuk digunakan
 Dalam KBK, pengertian sudut yang digunakan
adalah model A

32. Soal
Buktikan secara induktif dan deduktif!
1. Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga
sama dengan 180o.
2. Bilangan genap ditambah bilangan genap
adalah bilangan genap

33. SEKIAN
TERIMA KASIH