Dokumen tersebut membahas tentang pengertian parabola dan unsur-unsurnya seperti titik puncak, titik fokus, direktris, serta persamaan parabola berdasarkan posisi titik puncak dan fokusnya. Juga dibahas cara menentukan persamaan parabola dan garis singgungnya berdasarkan informasi yang diberikan.

2. AboutExercises
 Pen ger tian
 B erpu n cak Di (0,0)
 B erpu n cak Di (a,b)
 Tali B u su r F ocal & L at u s Rect u m
 G aris S in ggu n g Di Tit ik (x 1, y1)
 G aris S in ggu n g B ergradien m
Ya Tidak

3. Parabola ~ Pengertian 1 of 13
Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.
𝐹
𝑃
𝑔
𝑙
𝐴
𝐵
Perhatikan Gambar disamping, Dari gambar dapat
diketahui:
■ titik A dan B terletak pada parabola
■ titik P adalah puncak parabola
■ titik F adalah titik fokus
■ titik g adalah garis arah (direktris), dan
■ titik l merupakan sumbu simetri parabola
Jarak dari titik A ke garis g dan titik fokus adalah sama.
Begitu juga halnya dengan titik B.
Home AboutExercises

4. Parabola ~ Berpuncak Di (0, 0) 2 of 13
Misal titik 𝑇(𝑥, 𝑦) adalah sembarang titik pada parabola.
Jarak titik 𝑇(𝑥, 𝑦) terhadap direktri adalah : 𝑇𝐷 = 𝑥 + 𝑝
Jarak titik 𝑇(𝑥, 𝑦) terhadap titi fokus adalah :
𝑇𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦2
Sesuai dengan definisi parabola :
𝑇𝐹 = 𝑇𝐷
→ 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦2 = 𝑥 + 𝑝 (ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan)
→ 𝑥 − 𝑝 2
+ 𝑦2
= 𝑥 + 𝑝 2
→ 𝑥2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2
→ 𝑦2
= 4𝑝𝑥
Karena 𝑇 𝑥, 𝑦 adalah sembarang titik pada parabola, maka setiap
titik yang terletak pada parabola memenuhi persamaan : 𝑦2
= 4𝑝𝑥
𝐹𝑂
𝐷
𝑙
𝑦
𝑥
𝑥 = – p
𝑇(𝑥, 𝑦)
Home AboutExercises

5. Parabola ~ Arah & Berpuncak Di (0, 0) 3 of 13
𝐹𝑂
𝑔
𝑦
𝑥
𝐹 𝑂
𝑔
𝑦
𝑥
𝐹
𝑂
𝑔
𝑥
𝑦
𝐹
𝑂
𝑔
𝑥
y
⦿ Titik puncak : (0, 0)
⦿ Titik api/fokus : (p, 0)
⦿ Direktris : x = –p
⦿ Sumbu simetris : y = 0
⦿ Persamaan : y2 = 4px
Parabola mendatar/
Parabola horizontal/
Parabola terbuka ke kanan
⦿ Titik puncak : (0, 0)
⦿ Titik api/fokus : (–p, 0)
⦿ Direktris : x = p
⦿ Sumbu simetris : y = 0
⦿ Persamaan : y2 = –4px
Parabola mendatar/
Parabola horizontal/
Parabola terbuka ke kiri
⦿ Titik puncak : (0, 0)
⦿ Titik api/fokus : (0, p)
⦿ Direktris : y = –p
⦿ Sumbu simetris : x = 0
⦿ Persamaan : x2 = 4py
Parabola tegak/
Parabola vertikal/
Parabola terbuka ke atas
⦿ Titik puncak : (0, 0)
⦿ Titik api/fokus : (0, –p)
⦿ Direktris : y = p
⦿ Sumbu simetris : x = 0
⦿ Persamaan : x2 = –4py
Parabola tegak/
Parabola vertikal/
Parabola terbuka ke bawah
Home AboutExercises

6. Parabola ~ Contoh Soal 4 of 13
Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya
(4, 0) dan persamaan direktrisnya x = –4!
Penyelesaian
Buat sketsa parabola dengan diketahui: p = 4
parabola terbuka ke kanan.
Dari sketsa terlihat bahwa parabolanya merupakan
parabola horizontal yang terbuka ke kanan,
persamaannya adalah: y2 = 4px. Karena p = 4 maka
persamaannya menjadi y2 = 16x.
y
x
F(4, 0)
Home AboutExercises

7. Parabola ~ Berpuncak Di (a, b) 5 of 13
Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan
menggeser grafik parabola yang berpuncak di (0, 0).
𝐹𝑂
𝑔
𝑎
P(a,b)
𝐶`
𝐹𝑝
𝑔
𝐻𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡, 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡:
 Titik puncak O(0, 0) menjadi P(a, b)
 Titik fokus F(p, 0) menjadi a+p, b)
 Direktris X = -p menjadi x = -p+a
 Sumbu simetri dari y = 0 menjadi y = b
Home AboutExercises

8. Parabola ~ Arah & Berpuncak Di (a, b) 6 of 13
⦿ Titik puncak : (a, b)
⦿ Titik api/fokus : (a+p, b)
⦿ Direktris : x = –p+a
⦿ Sumbu simetris : y = b
⦿ Persamaan : (y – b)2 = 4p(x – a)
Parabola mendatar/
Parabola horizontal/
Parabola terbuka ke kanan
⦿ Titik puncak : (a, b)
⦿ Titik api/fokus : (a – p, b)
⦿ Direktris : x = p+a
⦿ Sumbu simetris : y = b
⦿ Persamaan : (y – b)2 = –4p(x – a)
Parabola mendatar/
Parabola horizontal/
Parabola terbuka ke kiri
⦿ Titik puncak : (a, b)
⦿ Titik api/fokus : (a, b+p)
⦿ Direktris : y = –p+b
⦿ Sumbu simetris : y = a
⦿ Persamaan : (x – b)2 = 4p(y – a)
Parabola tegak/
Parabola vertikal/
Parabola terbuka ke atas
⦿ Titik puncak : (a, b)
⦿ Titik api/fokus : (a, b – p)
⦿ Direktris : y = p+b
⦿ Sumbu simetris : y = a
⦿ Persamaan : (x – b)2 = – 4p(y – a)
Parabola tegak/
Parabola vertikal/
Parabola terbuka ke bawah
𝐹
𝑂
y
𝑥
𝑔
𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔
𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔 𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔
Home AboutExercises

9. Parabola ~ Contoh Soal 7 of 13
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di
(2, 4) dan fokus (–3, 4)!
Penyelesaian
Diketahui: P(a, b) = P(2, 4) dan
F(a – p, b) = F(–3, 4)
maka diperoleh: a = 2, b = 4, dan a – p = –3
Sehingga persamaannya adalah:
(y – b)2 = –4p(x – a)
⇔ (y – 4)2 = –4 · 5(x – 2)
⇔ y2 – 8y + 16 = –20(x – 2)
⇔ y2 – 8y + 16 = –20x + 40
⇔ y2 + 20x – 8y – 24 = 0
⇔ a – p = –3
⇔ 2 – p = –3
⇔ p = 5
Home AboutExercises

10. Parabola ~ Tali Busur Focal & Latus Rectum 8 of 13
Talibusur merupakan segmen garis yang menghubungkan dua titik
parabola.
Talibusur fokal adalah tali busur yang melalui titik fokus.
Latus rektum adalah tali busur fokal yang tegak lurus dengan sumbu
simetri disebut.
⧴ P = titik puncak
⧴ F = fokus (titik api)
⧴ g = direktriks (garis arah)
⧴ L L’ = latus rectum
⧴ 𝑇1 𝑇2 = tali busur fokal
⧴ FS = jari-jari fokal
⧴ PQ = PF = p
⧴ F𝑇1 = R𝑇1
𝐹
𝑃
𝑅
𝑥
𝐿
𝑆
𝑔
𝑄
𝑇1
𝑇2
≡
≡
𝐿`
Home AboutExercises

11. Parabola ~ Contoh Soal 9 of 13
Tentukan panjang latus rektum parabola :
𝑦2+2𝑦+8𝑥−7=0 !
Penyelesaian
Parabola : 𝑦2 + 2𝑦 + 8𝑥 − 7 = 0
→ 𝑦2
+ 2𝑦 + 1 − 1 + 8𝑥 − 7 = 0
→ 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = −8𝑥 + 8
→ 𝑦 + 1 2
= −8(𝑥 − 1)
→ 4𝑝 = 8
Panjang latus rektum : 4𝑝 = 8
Home AboutExercises

12. Parabola ~ Persamaan Garis Singgung Di Titik (x1, y1) 10 of 13
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola
No Persamaan parabola Persamaan garis singgung
1 (𝑦 – 𝑏)2 = 4𝑝( 𝑥 – 𝑎) (𝑦 – 𝑏) (𝑦1 – 𝑏) = 2𝑝 (𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎)
2 (𝑦 – 𝑏)2 = − 4𝑝( 𝑥 – 𝑎) (𝑦 – 𝑏) (𝑦1 – 𝑏) = − 2𝑝 (𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎)
3 (𝑥 – 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 – 𝑏) (𝑥 – 𝑎)(𝑥1 – 𝑎) = 2𝑝 ( 𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏)
4 (𝑥 – 𝑎)2 = − 4𝑝(𝑦 – 𝑏) (𝑥 – 𝑎)(𝑥1 – 𝑎) = − 2𝑝 ( 𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏)
Persamaan garis singgung parabola :
(𝑦 – 𝑏)2 = 4𝑝( 𝑥 – 𝑎) di titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1)
Persamaan garis singgung parabola :
(𝑥 – 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 – 𝑏) di titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1)
Home AboutExercises
CloseClose
(𝑦1 – 𝑏)2 = 4𝑝( 𝑥1 – 𝑎)
𝑦12 – 2𝑏𝑦1 + 𝑏2 = (4𝑝 (𝑥1 – 𝑎)
𝑦12 = 2𝑏𝑦1 – 𝑏2 + 4𝑝𝑥(𝑥1 – 𝑎) … … … (𝑖)
Persamaan garis singgung melalui 𝑃 (𝑥1, 𝑦1)
adalah (𝑦 – 𝑦1) = 𝑚 (𝑥 – 𝑥1) … … … … (𝑖𝑖)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai
berikut:
𝑦 − 𝑏 2
= 4𝑝 𝑥 − 𝑎
𝑥 − 𝑎 =
1
4𝑝
(𝑦 − 𝑏)2
𝑑(𝑥−𝑎)
𝑑𝑦
=
1
4𝑝
∙ 2(𝑦 − 𝑏)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑝
(𝑦−𝑏)
Jadi m di titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1−𝑏
… … … (𝑖𝑖𝑖)
Substitusi (𝑖𝑖𝑖) ke (𝑖𝑖)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1 =
2𝑝
𝑦1−𝑏
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑏 = 2𝑝 𝑥 − 𝑥1
𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑦1
2
+ 𝑏𝑦1 = 2𝑝 𝑥 − 𝑥1 … … … (𝑖𝑣)
Subtitusi persamaan (𝑖) ke persamaan (𝑖𝑣)
𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑦1
2
+ 𝑏𝑦 = 2𝑝𝑥 − 2𝑝𝑥1
𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 2𝑏𝑦1 − 𝑏2 + 4𝑝 𝑥1 − 𝑎 + 𝑏𝑦1 =
2𝑝𝑥 − 2𝑝𝑥1
𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 + 𝑏2
= 4𝑝𝑥1 − 4𝑝𝑎 + 2𝑝𝑥 −
2𝑝𝑥1
𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 2𝑝𝑥1 − 4𝑎𝑝 + 2𝑝𝑥
𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎)
(𝑥1 − 𝑎)2
= 4𝑝 𝑦1 − 𝑏
𝑥1
2
− 2𝑎𝑥1 + 𝑎2
= 4𝑝 𝑦1 − 𝑏
𝑥1
2 = 2𝑎𝑥1 − 𝑎2 + 4𝑝 𝑦1 − 𝑏 … … … (𝑖)
Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1)
adalah
(𝑦 – 𝑦1) = 𝑚 (𝑥 – 𝑥1) … … … (𝑖𝑖)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai
berikut:
(𝑥1−𝑎)2
= 4𝑝 𝑦1 − 𝑏
𝑦1 − 𝑏) =
1
4𝑝
𝑥1 − 𝑎 2
(𝑦1−𝑏)
𝑑𝑥
=
1
4𝑝
∙ 2 𝑥1 − 𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑥1−𝑎)
2𝑝
Jadi, 𝑚 =
𝑥1−𝑎
2𝑝
… … … (𝑖𝑖𝑖)
Subtitusi persamaan (𝑖) ke persamaan (𝑖𝑣)
2𝑝𝑦 − 2𝑝𝑦1 = 𝑥𝑥1 − 𝑥1
2
− 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥1
2𝑝𝑦 − 2𝑝𝑦1 = 𝑥𝑥1 − 2𝑎𝑥1 − 𝑎2
+ 4𝑝( 𝑦1 −

13. Parabola ~ Contoh Soal 11 of 13
Tentukan persamaan garis singgung parabola
y2 = 8x di titik (2,4)!
Penyelesaian
y2 = 8x
4p = 8
p = 2
Titik A(x1, y1)  A(2, 4)
Maka persamaan garis singgungnya
yy1 = 2p(x+x1)
y.4 = 2.2(x+2)
4y = 4(x+2)
y = x+2
Home AboutExercises

14. Parabola ~ Garis Singgung Bergradien m 12 of 13
Rumus Persamaan Garis Singgung ini digunakan untuk mencari persamaan
garis singgung yang garidenya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan
suatu garis atau unsur lain yang berhubungan dengan gradien (m).
Persamaan Parabola Persamaan garis singgung
y2 = 4px y = mx +
𝑝
𝑚
y2 = –4px y = mx –
𝑝
𝑚
x2 = 4py y = mx – m2p
x2 = –4py y = mx + m2p
(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +
𝑝
𝑚
(y – b)2 = –4p(x – a) (y – b) = m(x – a) –
𝑝
𝑚
(x – a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p
(x – a)2 = –4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p
Home AboutExercises

15. Parabola ~ Contoh Soal 13 of 13
Tentukan persamaan garis singgung parabola
y2 = 8x yang bergradien 2 !
Penyelesaian
Parabola y2 = 8x
4p = 8
p = 2
Maka persamaan garis singgungnya
y = mx +
𝑝
𝑚
y = 2x + 1
Home AboutExercises

16. Parabola ~ Exercises 1 of 2
☼ Apabila diketahui titik puncak (a, b) dengan persamaan (x – b)2 = –4p(y – a),
maka grafiknya adalah....
☼ Persamaaan garis singgung parabola: (𝑦 − 2)2
= 4(𝑥 − 1) pada titik (5, 2)
adalah....
A.
B.
C.
D.
A. 𝑦 + 2 = −
1
2
(𝑥 − 5)
B. x+5 = −
1
2
(𝑦 − 4)
C. 𝑦 + 3 = −
3
2
(𝑥 − 1)
D. x + 1 = −
1
4
(𝑥 + 5)
𝐹
𝑂
y
𝑥
𝑔
𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔
𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔
𝐹
𝑂
𝑦
𝑥
𝑔
Home AboutExercises
CloseClose
PenyelesaianPenyelesaian
Titik puncak (a, b) [diketahui]
(x – b)2 = –4p(y – a) [diketahui]
Maka
 Gambar parabolanya terbuka ke atas
 Titik puncak tidak tepat di sumbu x & y
(𝑦 − 2)2
= 4 𝑥 − 1 → 2 𝑦 − 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4
2(𝑦−2)
=
2
𝑦−2
Gradien garis singgungnya adalah :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
5, −2 =
2
−2−2
= −
1
2
Garis singgung bergradien −
1
2
dan melalui 5, −2 ,
maka persamaannya adalah : 𝑦 + 2 = −
1
2
(𝑥 − 5)

17. Parabola ~ Exercises 2 of 2
☼ Persamaan garis singgung (𝑥−2)2 = 12(𝑦−1) dengan gradien singgungnya = 2
adalah....
Select . . . ˅Select . . . ˅
𝑥 = 7𝑦 − 10
𝑦 = 3𝑥 − 17
𝑦 = 2𝑥 + 12
𝑦 = 8𝑥 + 14
𝑥 = 7𝑦 − 10𝑦 = 3𝑥 − 17𝑦 = 2𝑥 + 12𝑦 = 8𝑥 + 14Home AboutExercises
Close
Penyelesaian
→ (𝑥−2)2 = 12(𝑦−1)
→ 4𝑝 = 12
→ 𝑝 = 3
Garis singgungnya adalah
𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 2) − 22 ∙3
𝑦 = 3𝑥 − 17

18.  Julius Danes Nugroho [15]
 Afifah Pinakaratna [2]
 Alfian Penta Kusumah [3]
 Shabrina Fadiah Ghazmi [32]
 Nur Kholifah Septiyana [24]
 Rizki Arya Putra [29]
 Rifqi Muhammad Mustajir [28]
 Putri Nuzula Lail [26]
 Tevin Dean Ramadhan [34]
ABOUT
Home AboutExercises