La curva logaritmica

1. La curva logaritmica!

2. In questa lezione vediamo…
!
Curva logaritmica con1
2
3 Funzione logaritmica e funzione esponenziale
Curva logaritmica con
0 < a <1
a >1

3. Sfida
?!
Il parco divertimenti che vorreste visitare nella vostra vacanza estiva a
Berlino è relativamente nuovo e non siete sicuri valga davvero la pena
visitarlo.
Cercate i commenti e le recensioni di quelli che ci sono già stati e trovate
un grafico che rappresenta il gradimento degli ospiti (punteggio da 0 a 10)
in funzione degli anni di apertura del parco.
Durante il primo anno di attività i risultati non sono stati molto buoni, ma
il parco si è poi risollevato, registrando questi dati:
Quale andamento ha seguito, approssimativamente, il gradimento del
pubblico?
Anni 1 2 3 4 5 6 7 8
Gradimento 0 2,06 3,27 4,12 4,78 5,33 5,78 6,18

4. Ora vediamo…
!
Curva logaritmica con1
2
3
Curva logaritmica con a > 1
Funzione logaritmica e funzione esponenziale
0 < a <1

5. Dobbiamo distinguere due casi:
1.
2.
1. Curva logaritmica con 0 < a < 1
Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione con , cioè
riportiamo sull’asse delle ascisse i valori dell’argomento e sull’asse delle ordinate i
corrispondenti valori di .
10 ≠∧> aa
xalog
10 << a
xy alog=
1>a
Disegniamo prima un caso particolare, cioè , dando ad alcuni valori «facili» che
permettano di trovare semplicemente il valore di . Ad esempio, per
sappiamo che ; allo stesso modo, e così via.
Compiliamo una tabella dei valori corrispondenti e tracciamo il grafico.
2
1
=a
x
2
1log
2
1
=x
1
2
1
log
2
1 ==y 2
4
1
log
4
1
2
1 ==⇒= yx
x
x

6. 1. Curva logaritmica con 0 < a < 1
x y
3
2
1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
8
1
4
1
2
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3
-2
-1
1
2
3
y
x
1
8
;3
!
"
#
$
%
&
1
4
;2
!
"
#
$
%
&
1
2
;1
!
"
#
$
%
&
1;0( )
2;−1( )
4;−2( )
8;−3( )
xy
2
1log=

7. Abbiamo visto che ogni funzione ha il proprio dominio e codominio.
Un’altra caratteristica è la monotonia.
1. Curva logaritmica con 0 < a < 1
Quali sono le proprietà di questa curva?
Per la funzione logaritmica con
possiamo scrivere:
xy alog=
10 << a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3
-2
-1
1
2
3
y
x
3. Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.
1. Dominio: tutti i numeri reali postivi, zero
escluso. Ciò significa che la curva si trova
tutta a destra dell’asse .
R+
Osserviamo inoltre che, man mano che prendiamo valori di sempre più piccoli,
cioè quando si avvicina molto a 0, la curva si avvicina sempre di più all’asse , ma
senza mai toccarlo: l’asse delle ordinate è un asintoto verticale.
y
2. Codominio: tutti i numeri reali, 0 incluso: infatti,
la curva interseca l’asse in .)0;1(
R
x
y
x
x

8. Ora vediamo…
!
Curva logaritmica con 0 < a < 11
2
3
Curva logaritmica con
Funzione logaritmica e funzione esponenziale
a >1

9. Per dare una rappresentazione della funzione in questo caso, prendiamo
ancora una volta un valore molto comune della base, cioè , e costruiamo per punti
il grafico.
Il modo più diretto, ancora una volta, è dare alla variabile indipendente dei valori che
permettano di calcolare facilmente le ordinate corrispondenti.
Se ad assegniamo le potenze di 2 si ha infatti:
2. Curva logaritmica con a > 1
Consideriamo ora il caso e rifacciamo i ragionamenti che abbiamo appena visto.
2=a
xy alog=
1>a
01log1 2 === yx !
12log2 2 === yx !
24log4 2 === yx !
e così via. Compilando una tabella, possiamo disegnare il grafico.
x
y
x

10. 2. Curva logaritmica con a > 1
x y
-3
-2
-1
1 0
2 1
4 2
8 3
8
1
4
1
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
1
2
3
y
x
!
"
#
$
%
&
−2;
4
1
!
"
#
$
%
&
−1;
2
1
1;0( )
( )1;2
( )2;4
( )3;8
xy 2log=

11. 2. Curva logaritmica con a > 1
Anche per questa curva, studiamo le proprietà principali:
1. Dominio: ovvero, i numeri reali positivi,
zero escluso. Ciò significa che la curva si
trova tutta a destra dell’asse .
R+
3. Monotonia: la curva è sempre crescente nel
suo dominio. Anche qui osserviamo che, man
mano che prendiamo valori di sempre più piccoli, cioè quando si avvicina
molto a 0, la curva si avvicina sempre di più all’asse , ma senza mai toccarla: l’asse
delle ordinate è un asintoto verticale.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3
-2
-1
1
2
3
y
x
c
v
Attenzione! In questo caso la curva si avvicina all’asse con ordinate negative in
modulo sempre più grandi.
y
2. Codominio: ovvero, tutti i numeri reali, zero
incluso. Infatti, anche in questo caso, la curva
interseca l’asse in .
R
)0;1(x
x
y
x
y

12. Ora vediamo…
!
Curva logaritmica con 0 < a < 11
2
3
Curva logaritmica con a > 1
Funzione logaritmica e funzione esponenziale

13. In queste condizioni, possiamo invertire la funzione e riscriverla passando ai
logaritmi: .
3. Funzione logaritmica e funzione esponenziale
Abbiamo visto che la funzione esponenziale è biiettiva (o biunivoca). Da un punto di
vista pratico, ciò significa che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo
elemento del codominio.
x
ay =
yx alog=
Dunque, la funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale.
Graficamente, scambiare con (cioè invertire la funzione) significa disegnare la curva
simmetrica rispetto alla bisettrice di I e III quadrante.
Esiste cioè una corrispondenza «uno ad uno» tra i punti di e quelli di , che sono
rispettivamente il codominio e il dominio della funzione esponenziale.
+
R R
Se scambiamo la con la , otteniamo : è proprio la funzione logaritmica!xy alog=x y
yx

14. 3. Funzione logaritmica e funzione esponenziale
Caso 10 << a
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
x
ay =
xy alog=
xy =y
x

15. 3. Funzione logaritmica e funzione esponenziale
Caso 1>a
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
x
ay =
xy alog=
xy =y
x

16. !!
Soluzione alla sfida
Sistemando i punti della tabella in un
grafico, vediamo che l’andamento del
gradimento si approssima molto bene
con una funzione logaritmica di base
(infatti è crescente!).
Per trovare la base, usiamo la
definizione di logaritmo:
a >1
loga 2 = 2,06 ⇒ a = 22,06
≈1,4
loga 3= 3,27 ⇒ a = 33,27
≈1,4
loga 4 = 4,12 ⇒ a = 44,12
≈1,4
a =1,4 =
7
5
y = log7
5
x
5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10
-5
-2,5
2,5
5
(1;0)
(2;2,06)
(3;3,27)
(4;4,12)
(5;4,78)
(6;5,33)
(7;5,78)
(8;6,18)
anni
gradimento
Facendo gli stessi conti anche per gli altri punti, vediamo che la
base cercata è con buona approssimazione
Il gradimento segue l’andamento descritto dalla funzione:

17. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Rappresenta nel piano cartesiano le funzioni
, e . Quale di queste
cresce più rapidamente?
Calcola le loro funzioni inverse. Quale decresce
più rapidamente?
xy 3log= xy 10
log= xy 4log=
• La funzione esiste per ed è
crescente per . Vero o falso? Perché?
xy
a
1log= 10 ≠∧> aa
1<a
• Come sono tra loro le funzioni e ?xy
a
1log=xy alog=

18. Rewarded education!