Il documento tratta dei logaritmi, delle loro definizioni e proprietà, evidenziando come siano uno strumento matematico per risolvere equazioni esponenziali. Vengono illustrate le operazioni fondamentali relative ai logaritmi, come il cambiamento di base, e si forniscono esempi pratici per chiarire l'applicazione delle proprietà logaritmiche. La lezione si conclude con un invito a esercitarsi nel calcolo e nella semplificazione delle espressioni logaritmiche.

1. Logaritmi e loro proprietà!

2. In questa lezione vediamo…
!
1
2
3 Formula del cambiamento di base
Proprietà dei logaritmi
Definizione di logaritmo

3. Sfida
?!
Manca poco alla fine della scuola e, anche se un po’ in anticipo,
con gli amici stai già facendo progetti per le vacanze estive.
Una delle possibili mete è Berlino e il tuo amico Giulio,
appassionato di parchi di divertimento, vi propone di passare
una giornata in un parco vicino alla città.
Cercate alcune informazioni su Internet e vedete che all’interno
del parco c’è anche un interessante Museo della Scienza, dove
gran parte del museo è dedicata alla matematica e vi imbattete
in una delle domande tipiche dei quiz a premi che vi si svolgono.
Sai semplificare l’espressione ?5loga 3+ 4loga x +
4
3
loga y−
1
3
loga z

4. Ora vediamo…
!
1
2
3 Formula del cambiamento di base
Proprietà dei logaritmi
Definizione di logaritmo

5. L’equazione è molto facile da risolvere. Basta rispondere alla domanda «a
quale numero devo elevare 5 per ottenere 125?».
Facendo due conti troviamo subito .
E se invece l’equazione fosse del tipo ?
In questo caso non riusciremo mai a trovare il risultato a mente! Per scrivere le
soluzioni di equazioni come questa, è stato inventato il logaritmo.
1. Definizione di logaritmo
Nelle scorse lezioni abbiamo imparato a risolvere le equazioni esponenziali del tipo
con e . Spesso queste equazioni sono «semplici», nel senso che siamo
capaci, facendo qualche conto a mente, di trovare una soluzione abbastanza bella da
vedere, come ad esempio un numero intero.
bax
=
0>a 1≠a
1255 =x
Esempio:
3=x
25 =x

6. Ma che cos’è precisamente un logaritmo?
1. Definizione di logaritmo
Per esprimere la soluzione di scriviamo e diciamo che « è il logaritmo
in base 5 di 2».
Il valore esatto di lo possiamo trovare con una buona calcolatrice (oppure guardando
le tavole dei logaritmi), e otteniamo
Dopo la virgola ci sono infinite cifre che si ripetono senza un preciso ordine: il
logaritmo in questione è allora un numero irrazionale.
bax
=
25 =x
2log5=x
...4306765581,02log5 ≈=x
Data l’equazione , con , chiamiamo logaritmo in base di
l’esponente da dare ad per ottenere e scriviamo:
Il numero si chiama base del logaritmo, mentre è il suo argomento.
10 ≠∧> aa
bx alog=
x
x
a b
a b
a b

7. 1. Definizione di logaritmo
Calcolare il logaritmo (in una certa base) di un numero significa trovare l’esponente
che, dato alla base, permette di ottenere quel numero.
Il logaritmo è allora l’operazione inversa dell’elevamento a potenza che permette di
ricavare l’esponente!
Attenzione!
Il logaritmo di numeri negativi non esiste!
Scritture come non hanno alcun significato.)3(log10 −
Abbiamo visto un’altra operazione inversa dell’elevamento a potenza, ovvero
l’estrazione di radice, che ci consente di ricavare la base della potenza, cioè di risolvere
equazioni del tipo (con le condizioni opportune su e ).nn
bxbx =⇒= bn

8. Ora vediamo…
!
1
2
3 Formula del cambiamento di base
Proprietà dei logaritmi
Definizione di logaritmo

9. 2. Proprietà dei logaritmi
Visto che il calcolo dei logaritmi è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza, ci
aspettiamo che le proprietà delle potenze ritornino in qualche modo anche nei
logaritmi. Vediamone alcune!
• PROPRIETÀ DEL PRODOTTO: Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi
( ) 2121 logloglog bbbb aaa +=⋅
con le condizioni .
Dimostriamo questo fatto: se scriviamo e abbiamo, dalla
definizione di logaritmo, e .
Moltiplichiamo membro a membro le prime due espressioni e otteniamo:
Applichiamo il logaritmo di entrambi i membri: .
Infine, sostituendo e , arriviamo al risultato.
00 21 >∧> bb
1
1
bax
= 2
2
bax
=
11 log bx a= 22 log bx a=
21
2121
bbaaa xxxx
⋅==⋅ +
( )2121 loglog 21
bbxxa a
xx
a ⋅=+=+
11 log bx a= 22 log bx a=

10. 2. Proprietà dei logaritmi
Attenzione!
Per la dimostrazione abbiamo usato . Infatti, «quale esponente devo dare ad
per ottenere ?», proprio !
• PROPRIETÀ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi
21
2
1
logloglog bb
b
b
aaa −=
con le condizioni . Dimostriamo questo fatto: usiamo sempre la
definizione, cioè sapendo che e ricaviamo e .
Stavolta dividiamo membro a membro le prime due relazioni:
Applichiamo il logaritmo di entrambi i membri:
Infine, sostituendo e , arriviamo al risultato.
00 21 >∧> bb
1
1
bax
= 2
2
bax
= 11 log bx a= 22 log bx a=
2
121
2
1
b
b
a
a
a xx
x
x
== −
2
1
21 loglog 21
b
b
xxa a
xx
a =−=−
11 log bx a= 22 log bx a=
xax
a =log
x
a x
a

11. 2. Proprietà dei logaritmi
• PROPRIETÀ DELLA POTENZA: il logaritmo di un numero elevato ad una costante è
uguale a quella costante moltiplicata per il logaritmo del numero.
bkb a
k
a loglog =
• PROPRIETÀ ELEMENTARI: il logaritmo di 1 è 0. Il logaritmo in base di è 1.
1log
01log
=
=
aa
a
con la condizione . Dimostriamo questo fatto: come prima, .
Eleviamo i due membri della prima uguaglianza allo stesso esponente :
Allora risulta e, sostituendo , arriviamo al risultato.
0>b bxba a
x
log=⇒=
kkx
ba =k
a bkx log= bx alog=
k
a a

12. 2. Proprietà dei logaritmi
Esempi:
• Usiamo le proprietà appena viste per semplificare il seguente logaritmo: .
Come vedi, l’argomento può essere anche letterale, non solo numerico:
in questi casi bisogna sempre mettere le C.E.!
Il termine è sempre positivo o nullo, quindi dobbiamo fare in modo che non sia
uguale a zero imponendo .
Poi dobbiamo fare in modo che il secondo termine sia positivo .
Allora C.E.:
Possiamo ora applicare le proprietà viste prima.
Trasformiamo il logaritmo del prodotto nella somma di logaritmi:
Ora «portiamo davanti» al logaritmo gli esponenti:
32
log yxa
003
>⇒> yy
002
≠⇒≠ xx
00 >∧≠ yx
3232
logloglog yxyx aaa +=
yxyxyx aaaaa log3log2logloglog 3232
+=+=
2
x

13. Attenzione!
Bisogna sempre controllare che il risultato abbia lo stesso significato dell’espressione
di partenza! Il logaritmo da cui siamo partiti, , esiste anche per , perché la
condizione sulla era solo .
L’espressione finale , invece, esiste solo per !
In conclusione, le due espressioni sono equivalenti se e solo se .
2. Proprietà dei logaritmi
32
log yxa 0<x
00 >∧> yx
002
≠⇒≠ xx
0>xyx aa log3log2 +
• con .
Usiamo le proprietà dei logaritmi: con .
Affinché le due espressioni siano equivalenti, è necessario che
loga
x
y
C.E. : x > 0∧y > 0
x
loga
x
y
= loga x − loga y
C.E. : x > 0∧y > 0 ∨ x < 0 ∧ y < 0
C.E. : x > 0∧y > 0

14. Ora vediamo…
!
1
2
3 Formula del cambiamento di base
Proprietà dei logaritmi
Definizione di logaritmo

15. E’ possibile avere le tavole dei logaritmi di tutti i numeri rispetto a tutte le possibili
basi?
Ovvero, scelto ad esempio il numero 2, esiste una tavola che ci dica quanto vale ,
una per , per e così via?
Sarebbe ovviamente una cosa impossibile! Come se la tua calcolatrice potesse avere
infiniti tasti per i logaritmi, uno per ogni possibile base!
3. Formula del cambiamento di base
2log2
2log3 2log4
Le calcolatrici di solito hanno solo due tasti per i logaritmi:
• Il tasto calcola i logaritmi decimali, cioè quelli con base
• Il tasto calcola invece i logaritmi neperiani o naturali, che hanno base
10=a
...71828.2≈= ea
La base 10 e la base sono le più importanti e le più usate nelle applicazioni.
Basta conoscere i logaritmi in queste basi (anzi, in una sola) per poter ottenere tutti gli
altri!
log
ln
e

16. Per calcolare applichiamo la formula e scriviamo .
Usando una calcolatrice o le tavole abbiamo:
Per trovare il logaritmo di in una base qualsiasi possiamo usare la formula del
cambiamento di base:
3. Formula del cambiamento di base
a
b
b
c
c
a
log
log
log =
Esempio:
2log7
7log
2log
2log
10
10
7 =
3562,0
8451,0
3010,0
7log
2log
2log
10
10
7 ≈≈=
Se invece della base 10 usiamo la base , otteniamo lo stesso risultato:
3562,0
9459.1
6931,0
7ln
2ln
2log7 ≈≈=
ab
e

17. !!
Soluzione alla sfida
Dato che siete freschi sui logaritmi, sapete trovare facilmente la
risposta (e un po’ di allenamento non guasta: l’idea del quiz a premi
è molto allettante!).
Basta applicare le proprietà dei logaritmi:
(proprietà della potenza).
Usiamo poi le proprietà del prodotto e del quoziente:
Infine, trasformiamo le potenze in radicali:
Magari ci scappa un premio!
5loga 3+ 4loga x +
4
3
loga y−
1
3
loga z ⇒ loga 35
+ loga x4
+ loga y
4
3
− loga z
1
3
loga
35
⋅ x4
⋅ y
4
3
z
1
3
loga
243x4
y y3
z3

18. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Le espressioni e sono equivalenti?
• Calcola rapidamente i seguenti logaritmi: ,
, , , , , .
8log2
• Applicando le proprietà dei logaritmi, trasforma
la seguente espressione:
3
4
log
xyz
xxy
a
2
log xa
81log3
9
1
log
3
1 2log8
27
64
log
3
4
1000log10
5 7
2 2log
xalog2
• Trasforma in base 10 il logaritmo .x
3
5log

19. Rewarded education!