Condensatori

1. I condensatori
A cura di Enrica Maragliano
Liceo Classico C.Colombo

2. La capacità di un conduttore
• Supponiamo di avere un conduttore isolato
scarico ( il suo potenziale elettrico è nullo)
• Se elettrizziamo il conduttore con una carica
Q, il suo potenziale diventa V≠0
• Sperimentalmente si verifica che Q è
direttamente proporzionale a V
• Definiamo capacità del conduttore la
costante C Q
V
=

3. La capacità di una sfera
conduttrice
C Q
Data la relazione e ricordando che il
V
V r Q
potenziale di una sfera è abbiamo:
p e r
0
( ) 1
4
=
dove R è il raggio della sfera.
=
C = Q = Q Q
=
p e
R V 0
1 4
4
0
R
p e
 La capacità di una sfera conduttrice è
direttamente proporzionale al suo raggio.

4. Il condensatore
• Un condensatore piano è formato da due
lastre metalliche parallele dette armature,
poste ad una distanza piuttosto piccola
rispetto alla loro estensione.
• Quando un’armatura riceve una carica Q,
l’altra, per induzione, acquista una carica
−Q.

5. La capacità di un
condensatore
Sperimentalmente si verifica che la carica Q
presente sulle armature del condensatore è
direttamente proporzionale alla differenza di
potenziale ΔV fra le armature.
C Q
V
=
D

6. Il campo elettrico generato da
un condensatore piano
Avevamo visto in precedenza che, nel caso di un
condensatore piano si ha:
Quindi il campo elettrico generato da un
condensatore piano infinito è nullo all’esterno mentre
all’interno è costante e vale:
E s
0
e
=

7. Il potenziale elettrico di un
condensatore
Si è visto in precedenza che, nel caso di un
condensatore abbiamo:
E = VA - VB ® D V =
Ed
d
E s
Quindi, ricordando la relazione e
e la
definizione di densità superficiale di carica
0
abbiamo che:
=
V d Qd
s
e e
S
D = =
0 0

8. La capacità di un
condensatore piano
C Q
Ricordando la definizione di capacità V
e di
ddp nel caso di un condensatore piano abbiamo:
=
D
C = Q = Q =
S D
V Qd 0
d
0
S
e
e

9. La capacità in presenza di un
dielettrico (I)
Mettendo del dielettrico in un condensatore, la
capacità C di quest'ultimo viene aumentata di un
fattore εr, chiamata costante dielettrica relativa,
tipica del dielettrico considerato:
C = e e
S
0 r
d
Questo succede perché il campo elettrico polarizza le
molecole del dielettrico, producendo frazioni di cariche
sulle armature che creano un campo elettrico opposto
a quello già presente nel condensatore.

10. La capacità in presenza di un
dielettrico (II)

11. Condensatori in serie e in
parallelo
Spesso nei circuiti non compare un solo condensatore,
ma due o più collegati fra loro.
Parleremo in questo caso di capacità equivalente, ossia
della capacità risultante come se nel circuito ci fosse un
solo condensatore, sottoposto alla stessa ddp cui è
soggetta l’intera rete di condensatori e su cui è distribuita
la stessa carica elettrica presente su tutti i condensatori:
eq
eq
Q
C
V
=
D

12. Condensatori in parallelo
Due o più condensatori si dicono collegati “in
parallelo” se sono connessi in modo da avere ai
loro estremi la stessa differenza di potenziale.

13. La capacità equivalente di
due condensatori in parallelo
Ai capi di ciascun condensatore è
applicata una ddp ΔV (ossia V
ΔV
perché il secondo capo della rete
è messo a terra), mentre la carica
sarà: Q=Q+Q.
eq12Infatti, sostituendo i due condensatori con quello equivalente,
la carica distribuita su entrambi giunge sull’armatura di quello
risultante.
Noti C, Ce V, possiamo allora dire che:
12 Q=CV+CV=(C+C)V  Ceq=Q/V=C+Ceq1212eq12
C1
C2
P

14. La capacità equivalente di più
condensatori in parallelo
Possiamo generalizzare questo risultato per
più di due condensatori in parallelo:

15. Condensatori in serie
Due o più condensatori di dicono collegati in serie
tra loro se sono connessi in modo da avere sulle
armature la stessa carica.

16. La capacità equivalente di
due condensatori in serie (I)
La carica su ciascun
ΔV
condensatore è Q=Q=Qeq12,
P
mentre la ddp applicata ai
CCcapi della rete è ΔV (ossia V
1
2
perché il secondo capo della
rete è messo a terra.
La ddp applicata ai capi di ciascun condensatore
sarà rispettivamente ΔVe ΔV ΔV= ΔV+ΔV.
1 2 12

17. La capacità equivalente di
due condensatori in serie (II)
Ricordando le definizioni di capacità ed applicando le
formule inverse, abbiamo:
V V V V Q Q Q
= D = D + D = 1 + 2
= 1 2
ç + ¸
æ ö
1 1
è ø
1 2 1 2
æ ö
ç + ¸
= ® = = è 1 2
ø = +
1 2
1 1
eq 1 1 1
eq
eq eq
C C C C
Q
Q V C C C
V C Q Q C C

18. La capacità equivalente di più
condensatori in serie
Possiamo generalizzare questo risultato per
più di due condensatori in serie:

19. L’energia immagazzinata in
un condensatore (I)
L'energia immagazzinata in un condensatore è pari al
lavoro fatto per caricarlo.
Visto che, durante il processo di carica, le due piastre
del condensatore hanno sempre carica uguale ma di
segno opposto, sapendo che la forza elettrostatica è
conservativa, possiamo calcolare il lavoro
immaginando che la carica venga spostata
dall’armatura che si carica negativamente a quella che
si carica in modo positivo.
Quando il condensatore è completamente carico sulla
piastra positiva c’è una carica +Q e su quella negativa
−Q  abbiamo 0≤q≤Q.

20. L’energia immagazzinata in
un condensatore (II)
In corrispondenza della variazione di q, varia
anche la ddp  0≤v(q)≤V 
v(q) q
C
=
Supponiamo di trasportare una carica Δq
positiva e così piccola da non alterare il
campo elettrico (e, quindi, la ddp).
Facciamo allora un lavoro ΔL:
W V q q q
D = D = D
C

21. L’energia immagazzinata in
un condensatore (III)
Il lavoro totale necessario per caricare il
condensatore è allora pari alla somma di tutte le
quantità ΔW:
W W q q QV
= å D = å D =
= = C
1 1
1
2
n n
i
i i
i i
Infatti questo lavoro è pari
all’area sottesa al grafico
dell’andamento di V in funzione
di q, che è rappresentato da
una retta passante per l’origine
poiché sappiamo che V=q/C.

22. L’energia immagazzinata in
un condensatore (IV)
Ricordando la definizione di capacità, si
verifica che sono equivalenti alla precedente
anche le seguenti relazioni:
2
L Q CV QV
1 1 2 1
2 2 2
= = =
C