Mass and energy conservation for aqueducts networks. Variables entering the model are discussed and equations derived.

1. Riccardo Rigon
Reti di distribuzione idrica
Equazioni - II
MRanzato-RetiIdricheRoncoall’Adige

2. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Per ogni nodo interno si può scrivere una equazione di conservazione della
massa. In questo caso
1
2
3
3
3
i=1
Qi ai3 = 0
dove Qi è un componente del
vettore colonna delle portate fluenti nei tratti:
Conservazione della massa
2

3. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
3
Equazioni
Conservazione della massa
In notazione vettoriale, la precedente equazione si potrebbe scrivere:
dove è la trasposta della matrice di incidenza (adiacenza)

4. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Ovvero:
1
2
3
3Q1 Q2 + Q3 = 0
Conservazione della massa
4
Se è il vettore colonna
che corrisponde alle portate eventualmente
fornite od emunte ai vari nodi.

5. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
5
Equazioni
Conservazione della massa
Se si assume che vi sia un emungimento, immissione di portata
anche nel nodo 3, allora il vettore P diviene:
Le prime tre equazioni risultano delle assegnazioni e renderebbero
il sistema sovradeterminato. In genere non tutte queste portate
sono assegnate e, in questo caso, le equazioni corrispondenti,
vengono tolte dal sistema (con una riduzione del numero di colonne
di A)

6. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Si ossservi che si è assunto che gli emungimenti avvengano ai nodi in questo
caso nessuna equazione di conservazione è associata ai tratti, dove la portata si
limita a fluire.
1
Q1
Il flusso di massa determina però una perdita di carico lungo la condotta
Conservazione della massa
6

7. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
La rete in pressione è soggetta a consumi variabili durante il giorno e durante i
mesi. Tuttavia per la progettazione delle reti, si assume che il moto delle
condotte in pressione sia permanente con portata pari alla portata di progetto
(generalmente la portata massima nel giorni di massimo consumo). Il moto
inoltre si assume in regime turbolento, anche se è evidente che in alcuni tratti
terminali il moto potrebbe essere di tipo laminare.
1
Q1
Conservazione della massa
7

8. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
La perdita di carico è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua fluente
e si può allora calcolare con la formula di Darcy-Weisbach o Gaukler e Strickler
(Manning nella letteratura anglosassone)
Darcy-Weisbach
Gaukler e Strickler Ji =
v2
i
K2
s i R
4/3
h i
=
44/3
v2
i
K2
s i D
4/3
i
Ji =
i v2
i
2gDi
Dissipazione dell’energia
8

9. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Ovvero, in funzione delle portate:
Darcy-Weisbach
Gaukler e Strickler
Ji =
2 i Q2
i
g ⇥2 D3
i
Dissipazione dell’energia
9
Ji = 10.2936
Q2
i
K2
s i D
16/3
i

10. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
10

11. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
In generale, esprimendo la formule con coefficienti generici e in funzione della
portata fluente
Ji = bi D µ
i Qi|Qi| 1
= 2
Dissipazione dell’energia
11
i
dove bi dipende dalla formula di scabrezza che si usa

12. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Dunque la differenza di altezza piezometrica, Hi, tra due nodi successivi è
espressa come
hk = ⇤
h1
...
hn
⇥
⌅
dove hk è una componente del vettore (colonna) dei carichi ai nodi
Dissipazione dell’energia
12
Li è la lunghezza del tubo (del tratto) in esame

13. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Dissipazione dell’energia
1
2
3
3
1
2
4
Nel caso della rete ad albero in esame, abbiamo tre equazioni per i tratti:
13

14. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
14
Equazioni
Dissipazione dell’energia
Si osservi che le equazioni di dissipazione dell’energia si possono scrivere:
se:
sono vettori riga e se:
sono vettori colonna con

15. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Che sommate all’equazione di continuità per il nodo interno (3) danno 4 equazioni,
usando le ultime tre per calcolare le quote piezometriche assolute.
15
Q1 Q2 + Q3 = 0

16. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
16
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Assumendo che Q3 sia assegnata dal fabbisogno idrico dell’utenza,
la variabili da determinare rimangono
con 4 equazioni utili. In dipendenza di altre condizioni del problema
in esame potremo determinare due delle variabile scritte sopra e
determinare le altre quattro risolvendo le equazioni a disposizione.

17. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
17
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Ad esempio: se è assegnata Q2, anche Q1 risulta assegnata (dall’
equazione di continuità). Rimangono in gioco 4 variabili e tre
equazioni. Se, per esempio, si assegna la quota del nodo
intermedio, si possono determinare univocamente i diametri dei
tubi da usare. Viceversa si potrebbe assegnare il diametro di un
tubo e determinare le altre tre variabili.

18. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
18
Equazioni continuità
In generale, si possono assegnare n equazioni di continuità,
tante quante i nodi interni che possono essere scritte:
o, in forma vettoriale

19. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
19
All together
Le equazioni insieme risultato allora n+t

20. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
20
All together in forma matriciale
dove D è la matrice diagonale contenente i diametri dei tubi, I la
matrice diagonale e QT il vettore trasposto delle portate. Il
numero di equazioni è n+t, il numero di variabili dipende dal
problema in esame. Il sistema di equazioni è un sistema non
lineare essendo le portate incognite.

21. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
21
Se i diametri delle tubazioni sono assegnati
Allora il problema diventa un problema di verifica e le incognite
che rimangono sono:
le t portate lungo i tratti
gli n carichi idraulici dei nodi interni
Pertanto il sistema di equazioni è ben determinato