L'equazione differenziale lineare dell primo ordine a coefficienti costanti può descrivere una grande varietà di fenomeni diversi e costituisce un modello matematico estremamente importante

1. Modelli matematici
A) Equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti
Tante situazioni fisiche anche molto diverse tra loro sono descritte dallo stesso modello matematico
rappresentabile da un'equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti.
df (x)
dx
+af (x)+b=0
In generale la soluzione di questa equazione differenziale si ottiene risolvendola con b = 0 (CASO 1)
e poi aggiungendo alla soluzione f(x) trovata la costante -b/a.
Soluzione omogenea (b=0):
df (x)
dx
=−af (x) ==> (metodo della separazione delle variabili) ==>
df (x)
f (x)
=−adx ==>
∫
df (x)
f (x)
=−a∫dx ==> ln|f (x)|=−a x+c ==> f (x)=C e−a x
Soluzione generale dell'equazione non omogenea (b≠0):
f (x)=C e
−a x
−
b
a
La costante C si determina imponendo la “condizione iniziale (o al contorno)” del tipo f(0) = k.

2. ESEMPI: CASO 1 b = 0
Un caso semplice ma molto comune e importante è rappresentato dall'equazione differenziale
omogenea del 1° ordine:
df (x)
dx
=a f (x)
Essa descrive fenomeni in cui il cambiamento percentuale di una certa quantità f(x):
df (x)
f (x)
è
costante nel tempo (a). Per risolvere l'equazione è necessaria la condizione al contorno f(0) = f0.
* Decadimento esponenziale. Gli elementi radioattivi decadono proprio seguendo la legge secondo
cui il numero di nuclei che decade in un certo intervallo di tempo è direttamente proporzionale al
numero di nuclei presenti nel campione ossia:
dN(t)
dt
=−k N(t)
Essa si integra per SEPARAZIONE delle VARIABILI ossia:
dN
N
=−k dt
La soluzione si ottiene integrando membro a membro e utilizzando la condizione iniziale N(0) = N0
N (t)=N 0 e
−k t
** Assorbimento dell'intensità di una radiazione I da parte di una lastra di piombo.
dI( x)
I (x)
=−λdx
utilizzando la condizione iniziale I(0) = I0
I( x)=I0 e
−λ x

3. *** Scarica e di un condensatore e “scarica” di un induttore in un circuito RC o RL
Condensatore Induttanza
dQ(t)
dt
=−
1
RC
Q τ=
1
RC
di(t)
dt
=−
R
L
i τ=
L
R
Q(t)=Q0e
−
t
RC
i(t)=i0 e
−
R
L
t
Utilizzando la condizione iniziale Q(0) = Q0 e i(0) = i0
**** Crescita esponenziale (legge di Malthus 1766-1834)
Secondo il modello malthusiano se una popolazione ha a disposizioni risorse infinite cresce a un
tasso costante cioè la variazione percentuale del numero di individui è costante.
dN
N
=r dt
dove r è il TASSO di CRESCITA. La soluzione è una crescita esponenziale con N(0) = N0:
N (t)=N 0 e
rt
Dopo un certo tempo la crescita esponenziale porta a valori enormi chiamata CATASTROFE
MALTHUSIANA

4. ESEMPI: CASO 2 b ≠ 0
L'altro caso molto comune e importante è rappresentato dall'equazione differenziale omogenea del 1°
ordine a coefficienti costanti risolta all'inizio:
df (x)
dx
=a f (x)+b
* Carica di un condensatore in un circuito V-RC e carica di un induttore in un circuito V-RL
Condensatore Induttanza
dQ(t)
dt
=−
1
RC
Q+
V
R
τ=RC
di(t)
dt
=−
R
L
i+
V
L
τ=
L
R
Q(t)=Q0
(1−e
−
t
τ ) i(t)=i0
(1−e
−
t
τ )
con Q(0) = 0 e i(0) = 0, Q0=VC e i0=
V
R
.
** Caduta di una sbarretta conduttrice in un campo magnetico uniforme
E' un classico problema sull'induzione elettromagnetica. Sulla sbarretta agiscono due forze
contrastanti: la forza peso F = mg e la forza resistiva di Lorentz F = ilB che forniscono la seguente
equazione differenziale utilizzando la II legge della dinamica di Newton F=ma=m
dv
dt
:
dv
dt
=−
l
2
B
2
mR
v+g
v(t )=vmax
(1−e
−
t
τ ) con τ=
mR
l
2
B
2
e vmax=
gmR
l
2
B
2
ottenuta uguagliando: mg = ilB
con v(0) = 0

5. *** Caduta di un oggetto (es. paracadutista) in un mezzo viscoso come l'aria o l'acqua
E' un classico problema di dinamica. Sull'oggetto agiscono due forze contrastanti: la forza peso
accelerante F = mg e la forza d'attrito viscoso resistiva F = k v che forniscono la seguente:
dv
dt
=−
k
m
v+g
v(t )=vmax
(1−e
−
t
τ ) τ=
m
k
con v(0) = 0 e vmax=
gm
k
ottenuta uguagliando: mg = kv
**** Raffreddamento di un corpo secondo la legge di Newton
Secondo la legge del raffreddamento di Newton la temperatura di un corpo isolato diminuisce in
modo proporzionale alla differenza fra la sua temperatura e quella dell'ambiente TE secondo la legge:
dT
dt
=−k (T−TE)
T(t)=TE+T0
(1−e
−
t
τ ) τ=
1
k
con T(0) = T0

6. B) Eq. differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti omogenea
Un altro importante modello matematico che descrive svariate situazioni fisiche è rappresentato dall'
equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.
d
2
dx
2
f (x)+k
2
f (x)=0
La soluzione generale di questa equazione differenziale sarebbe una soluzione complessa del tipo
f (x)=ae
ikx
+be
−ikx
ma possiamo semplificarla molto distinguendo due casi:
CASO 1) k >0
f (x)=Acos(kx+ϕ)
Le costanti A e ϕ si determinano imponendo le “condizioni al contorno” f(0) = f0 e f ' (0) = v0
CASO 1) k <0
f (x)=Aekx
+Be−kx
Le costanti A e B si determinano imponendo le “condizioni al contorno” f (0) = f0 e f ' (0) = v0

7. ESEMPI: CASO 1 k > 0
* Oscillatore armonico
Il prototipo per antonomasia di questa equazione è rappresentato dall'oscillatore armonico soggetto
alla forza elastica F = - kx. Dalla II legge della dinamica di Newton F=ma=m
d
2
x
dt
2
si ottiene
d
2
x
dt
2
+ω
2
x=0
con ω
2
=
k
m
. La soluzione è quindi:
x(t)=Acos ωt
dove si sono scelte come condizioni iniziali: x(0) = A e v(0) = x ' (0) = 0.
** Circuito LC oscillante
Inizialmente si chiude l'interruttore su 1 e si carica il condensatore;
successivamente lo si commuta su 2 scaricandolo sull'induttanza.
L'equazione di Kirchoff alla maglia fornisce l'equazione:
d
2
Q
dt
2
+ω
2
Q=0
con ω
2
=
1
LC
. Ricordiamo che per la legge di Faraday-Lenz la fem indotta sulla bobina è
fem=−L
di
dt
mentre nel condensatore la ddp è V=
Q
C
. Inoltre si ha i=−
dQ
dt
.
La soluzione della carica ai capi del condensatore è quindi:
Q(t)=Q0cos ωt
L'energia è inizialmente tutta nel condensatore E=
1
2
Q0
2
C
poi si trasferisce nell'induttanza
E=
1
2
Li
2
e così via.

8. *** Equazione di Schrodinger
In meccanica quantistica (non relativistica) l'equazione fondamentale che governa la dinamica della
funzione d'onda ψ è quella di Schrodinger che in una dimensione e non dipendente dal tempo è:
−
ℏ
2
2m
d
2
ψ
dx
2
+ V ψ = Eψ
con V energia potenziale ed E energia totale della particella.
*** A
Nel caso la particella sia libera V = 0 e l'equazione si scrive:
d
2
ψ
dx
2
+ k
2
ψ=0
con k
2
=
2mE
ℏ
2
=
p
2
ℏ
2
=
4 π
2
λ
2
(relazione di De Broglie)
La soluzione che descrive una particella libera è quindi “un'onda” (manca la parte temporale) del tipo
ψ( x)=Acos(kx+ϕ)
ESEMPI: CASO 2 k < 0
*** B
Nel caso la particella sia muova in un potenziale costante V > E (classicamente è impossibile
perché implicherebbe un'energia cinetica negativa) per x >=0, l'equazione si scrive:
d
2
ψ
dx
2
−λ
2
ψ=0
con λ
2
=
2m(V−E)
ℏ
2
La soluzione che descrive questa particella è del tipo ψ( x)=Ae
λ x
+Be
−λ x
La condizione di normalizzazione impone che A sia nullo.
Dunque l'ampiezza dell'onda ψ( x) (e quindi la probabilità di trovare la particella in zone con V>E
è proporzionale a |ψ(x)
2
| ) decresce esponenzialmente secondo la legge:
ψ( x)=Be−λ x
B si determina con la condizione di normalizzazione: ∫
0
+∞
ψ
2
(x)dx=1