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1. DINAMICA RELATIVISTICA
La legge fondamentale della dinamica relativistica:
Nella fisica newtoniana, la 2° legge della dinamica afferma:
" La forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale all'accelerazione e ne
condivide direzione e verso; la massa del corpo è costante di proporzionalità ed è
chiamata anche massa inerziale, in quanto misura l'inerzia del corpo, ovvero la
capacità del corpo di opporsi alle variazioni del suo stato di moto."
(In particolare nell'ultima equazione viene eguagliato l'impulso alla quantità di moto)
Nella fisica relativistica la massa non è più una costante che caratterizza un
determinato corpo, ma varia in funzione della velocità a cui si muove il corpo rispetto
ad un osservatore fermo:
La legge fondamentale della dinamica, quindi, va cambiata perchè la massa non è più
una costante (si riprende l'uguaglianza tra impulso e quantità di moto):
È possibile dimostrare che questa nuova formulazione della legge fondamentale della
dinamica soddisfa i postulati della relatività ristretta; per far muovere un corpo alla
velocità della luce bisognerebbe imprimere una forza infinita:
L'energia cinetica e l'equivalenza tra massa ed energia
(E=mc²):
Definizione di energia cinetica:
"L'energia cinetica K di un corpo di velocità v è il lavoro compiuto da una forza
esterna per aumentare la velocità del corpo da 0 al valore v."
dv
F ma F m Fdt mdv Fdt dmv I dp
dt
= Þ = Þ = Þ = Þ =
rr r r r rr r r r
0
02
2
1
m
m m
v
c
g= =
-
0 0 0 0
0 0 0
Fdt dmv Fdt d m v Fdt m d v Fdt m vd m dv
d dv d
F m v m F m v a
dt dt dt
g g g g
g g
g g
= Þ = Þ = Þ = + Þ
æ ö
Þ = + Þ = +ç ÷
è ø
r r r rr r r r r
rr rr r r
0 0lim
v c
d dv
m v m
dt dt
g
g
®
æ ö
+ = +¥ç ÷
è ø
r
r

2. È possibile tradurre questa definizione nella notazione degli integrali:
K nella meccanica classica (si considera m₀ come massa inerziale):
K nella meccanica relativistica:
Anche il teorema dell'energia cinetica deve essere modificato affinchè soddisfi i
postulati della relatività ristretta. Einstein arriva alla seguente equazione:
I termini dell'equazione vengono indicati nel seguente modo:
K= energia cinetica del corpo;
m₀c²= E₀= energia a riposo, costante indipendente dal sistema di riferimento.
L'equazione può essere riscritta nel seguente modo:
E è quindi il valore che indica l'energia totale di un corpo, che porta ad una delle
conseguenze più importanti e celebri della relatività: l'equivalenza tra massa ed
energia; esse diventano diverse manifestazioni della stessa cosa e anche una piccola
quantità di materia può essere convertita in una grande quantità di energia.
Si arriva, quindi, a una nuova unità di misura per la massa, considerando che l'energia
si misura in ev e che c² è una costante:
È possibile dimostrare la veridicità di questa celebre legge.
Per il teorema dell'energia cinetica, l'energia cinetica K di un corpo è uguale alla
somma dell'energia cinetica iniziale dello stesso e del lavoro compiuto dalla forza che
agisce su di esso lungo la traiettoria dl moto, cioè:
Ma considerando che il lavoro L=Fdx si ha che la variazione di energia cinetica
dK=Fdx.
Come abbiamo visto in precedenza nella dinamica relativistica la legge fondamentale
assume la seguente forma:
Di conseguenza la variazione di energia cinetica è:
Ma la massa non è più una costante ed è uguale a:
2
0 0 0 0 00 0 0 0 0
1 1
2
2 2
v v v v vdv dx
K Fdx m dx m dv m vdv m vdv m v
dt dt
= = = = = = =ò ò ò ò ò
( )2 2 2 2
0 0 02
2
1
1 1
1
K mc m c m c m c
v
c
g
æ ö
ç ÷
ç ÷= - = - = -
ç ÷
-ç ÷
è ø
2 2 2
0 0mc K m c E K E E mc= + Þ = + Þ =
dv dm
F m v
dt dt
= +
rr r
i iK K dK K L= + = +
2
,
dv dm dx dx
dK Fdx m v dx mdv vdm
dt dt dt dt
dx
Considerando v allora dK mvdv v dm
dt
æ ö æ ö
= = + = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= Þ = +
2
ev
m
c
é ù
= ê úë û

3. Ora si calcola la derivata della massa in funzione della velocità:
Si può sostituire c²dm-v²dm al posto di mvdv nell'equazione che determina la
variazione di energia cinetica dK=mvdv+v²dm. Di conseguenza si ha:
Se l'oggetto parte da fermo si ha Kᵢ=0, quindi dK=K; inoltre dm=m-m₀.
Allora si ottiene:
C.V.D.
L'invariante energia-quantità di moto:
Per agevolare i calcoli negli esperimenti di fisica particellare è utile trovare una
relazione tra l'energia e la quantità di moto relativistica della suddetta particella
considerando che sono queste le due grandezze che vengono misurate piuttosto che la
velocità.
Elevando al quadrato l'espressione della massa relativistica si ottiene:
Moltiplicando entrambi i membri per c⁴(1-v²/c²) l'equazione diventa:
Il secondo termine dell'equazione è uguale a E₀², ovvero al quadrato dell'energia a
riposo, il quale è sempre uguale per qualsiasi sistema di riferimento perchè m₀ e c
sono due costanti. Per questo motivo viene chiamato invariante energia-quantità di
moto.
1
2 2
0
0 22
2
1
1
m v
m m
cv
c
-
æ ö
= = -ç ÷
è ø
-
3
2 2
0
0 2 2 22 2
2 2
0
2
2
2 20
2 2 2 2 22 2
2 2
1 2
1
2
1 1
,
1
1 1
1 1
mdm v v v
m
dv c c cv v
c c
m
Considerando m quindi
v
c
m v dm
mv mv c dm v dm mvdv
c c v dv c vv v
c c
-
æ ö -æ ö æ ö
= - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è øæ öè ø
- -ç ÷
è ø
= Þ
-
æ ö
Þ = Þ = Þ - =ç ÷
- -è øæ ö
- -ç ÷
è ø
2 2 2 2
dK v dm c dm v dm dK c dm= + - Þ =
( )2 2 2
0 0
2 2
0 0 0 0
K c m m mc m c
m c E K E E E K E mc
= - = -
= Þ = - Þ = + =
2
2 0
2
2
1
m
m
v
c
=
-
2 4 2 2 2 2 4
0
2 2 4
2 2 2 2 4
0
m c m v c m c
E m c
E p c m c
p mv
- =
ì =
Þ - =í
=î

4. Il fotone e la conservazione della massa-energia:
Einstein ipotizza che la luce sia costituita da quanti elementari ("pacchetti") di
energia, chiamati fotoni.
Queste particelle sono prive di massa ma dotate di energia e, ovviamente hanno
velocità c in qualsiasi sistema di riferimento.
Considerando l'invariante energia-quantità di moto e che m₀=0 si ottiene che il fotone
ha le seguenti caratteristiche:
Come detto in precedenza, energia e massa sono manifestazioni diverse della stessa
cosa, quindi un corpo possiede energia a prescindere dalla velocità che assume solo
per il fatto di avere una massa.
I due principi di conservazione della massa e dell'energia, che prima della relatività
erano considerati indipendenti, ora sono sostituiti da un unico principio di
conservazione della massa-energia, secondo cui la somma di tutte le energie e di tutte
le masse dell'universo rimane inalterata nel tempo.
REALIZZATO DAANDREA FORNETTO
E pc
E
p
c
=
=